Đang tải... (xem toàn văn)
- Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó.. Bổ sung.[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Chuyên đề
DIỆN TÍCH ĐA GIÁC
I Kiến thức cần nhớ
1 Mỗi đa giác có diện tích xác định
Diện tích đa giác số dương có tính chất sau : - Hai tam giác có diện tích
- Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác
- Hình vng cạnh có độ dài có diện tích
2 Các cơng thức tính diện tích đa giác
- Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước S = ab (a, b kích thước hình chữ nhật)
- Diện tích hình vng bình phương cạnh
2
S = a (a độ dài cạnh hình vng)
- Diện tích hình vng có đường chéo d 1d2
2
- Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng S =
2ab (a, b độ dài hai cạnh góc vng)
- Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh S =
2ah (a, h độ dài cạnh đường cao tương ứng)
- Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao : S =
2 (a + b) h (a, b độ dài hai đáy, h độ dài đường cao)
- Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao ứng với cạnh ; S = ah (a, h độ dài cạnh đường cao tương ứng)
- Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc nửa tích hai đường chéo :
1 2
S = d d (d ; d
2 độ dài hai đường chéo tương ứng)
- Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo
1 2
S = d d (d ; d
2 độ dài hai đường chéo tương ứng) 3 Bổ sung
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
- Hai tam giác có chung đường cao (hoặc cặp đường cao nhau) tỉ số diện tích tỉ số hai cạnh ứng với đường cao
- ABCD hình thang (AB // CD) Hai đường chéo AC BD cắt O thìSAOD = SBOC - Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn
- Hai hình chữ nhật có chiều cao tỉ số diện tích tỉ số hai đáy
- Tam giác cạnh a có diện tích
2 a 3
. 4
II Một số ví dụ
Ví dụ Cho tam giác ABC có diện tích S Trên cạnh AB, BC, CA lấy ba điểm M, N, P
cho AM = 2.BM, BN = 2.NC, CP = 2.PA Tính diện tích tam giác MNP theo S
Giải (h.52)
Áp dụng tỉ số diện tích hai tam giác có chung đường cao, ta có :
ABN ABC
BMN ABN
2 2 2
BN = BC =>S = S = S
3 3 3
1 1 1 2 2
BM = AB =>S = S = S= S.
3 3 3 3 9
Tương tự ta có : AMP CNP
2
S = S ; S = S
9
Suy
MNP ABC AMP BNM CNP 1 S = S -S - S - S = S
3
Ví dụ Cho ABC, tia đối tia BA, CB, AC lấy M, N, P cho BM = BA, CN = CB, AP
= AC Chứng minh SMNP = 7SABC
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | ABC ANC có chung đường cao kẻ từ A BC = CN nên SABC = SACN
Tương tự, ta có :
APN ACN APN ABC
PMB PAB ABC
MNC MBC ABC
S = S => S = S
S = S = S ;
S = S = S
Mà SMNP = SABC + SACN + SANP + SAPB + SBPM + SBCM + SCNM
Do : SMNP = 7SABC.
Nhận xét
- Nên nhớ tính chất : Đường trung tuyến tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích
nhau
- Vận dụng kĩ thuật trên, làm tốn sau : Cho tứ giác ABCD, tia đối tia AD, BA, CB, DC lấy M, N, P, Q cho AM = AD, BN = BA, CP = CB, DQ = CD Chứng minh
MNPQ ABCD
S = 5S
Ví dụ Cho ABC Lấy điểm M, N, P thuộc cạnh AC, AB, BC cho
CM BP AN
= = =
AC BC AB Gọi I giao điểm BM, CN Gọi E giao điểm CN, AP Gọi F giao
điểm AP, BM Chứng minh : SEIF = SIMC + SFBP + SNEA
Giải (h.54)
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Ta có : ABP ABC
1 1
BP = BC => S = S
3 3
Tương tự, ta có: BMC ABC 1
S = S ;
3
CAN ABC 1 S = S .
3
Suy ra: SABP + SBMC + SCNA = SABC
hay SANE + SBNEF + SBFP + SBFP + SCPFI + SCMI + SCMI + SMIEA + SANE
= SANE + SBNEF + SBFP + SCPFI + SCMI + SMIEA + SEFI
Vậy: SANE + SBFP + SCMI = SEFI.
Nhận xét Kĩ thuật vận dụng tính chất hai tam giác có chung đường cao số diện tích tỉ
số hai đáy ứng với đường cao đó, lưu ý :
1 1 1
1
3+ + =3 3 Dựa vào kĩ thuật đó, giải sau : Cho ABC Lấy điểm M, N, P
thuộc cạnh AC, AB, BC cho CM= ; AN=1
AC AB BP = CP Gọi I giao điểm BM, CN Gọi E
là giao điểm CN, AP Gọi F giao điểm AP, BM Chứng minh :SEIF = SIMC + SFBP + SNEA
Ví dụ Cho ABC vng cân A có BC = 36cm Vẽ hình chữ nhật MNPQ cho MAB, QAC, P, NBC Xác định vị trí N P để diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn
Giải (h.55)
Đặt MN = NB = x PQ = CP = x PN = 36 - 2x Suy diện tích MNPQ :
S = NP.QP = x.(36 - 2x) S = 36x - 2 x2
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Vậy diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn 162cm2khi BN = CP = 9(cm)
III Bài tập tự luyện
1 Cho hình thang ABCD (BC đáy nhỏ) Gọi I trung điểm CD Qua I kẻ đường thẳng d song
song với AB Kẻ AH BE vng góc với d Chứng minh SABCD = SABEH.
2 Cho hình thang cân ABCD (AB// CD) có AC = 8cm, BDC = 45°.Tính diện tích hình thang ABCD
3 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB = 5cm, CD = 15cm hai đường chéo AC = 16cm, BD =
12cm Tính diện tích hình thang ABCD
4 Lấy điểm miền tứ giác để với bốn đỉnh ta điểm, khơng có
điểm thẳng hàng Biết diện tích tứ giác Chứng minh : tồn tam giác có ba đỉnh lấy từ điểm cho có diện tích khơng vượt q
10 Tổng qt hóa tốn cho n-giác lồi với n điểm nằm
trong đa giác
(Tuyển sinh lớp 10 chuyên THPT Chu Văn An, Hà Nội - Amsterdam năm học 2003- 2004)
5 Cho tam giác ABC M, N tương ứng trung điểm đoạn CA ; CB I điểm đường
thẳng MN (I M ; I N) Chứng minh ba tam giác IBC, ICA, IAB có tam giác mà diện tích tổng diện tích hai tam giác cịn lại
6 Cho hình bình hành ABCD có diện tích S Gọi M trung điểm BC Gọi N giao điểm AM
BD Tính diện tích tứ giác MNDC theo S
7 Cho hình thang có độ dài hai đường chéo 3cm 5cm Độ dài đoạn nối trung điểm hai đáy 2cm
Tính diện tích hình thang
8 Ta nói ABCDE ngũ giác đặc biệt đường chéo song song với cạnh tương ứng (h.56)
Nói cách khác BD // EA, EB// DC, AC// ED, CE// BA DA// CB Gọi X, Y, Z, V, W giao điểm đường chéo hình vẽ
Chứng minh ABCDE ngũ giác đặc biệt tam giác AXY, BYZ, CZV, DVW EWX có diện tích thân ngũ giácXYZVW ngũ giác đặc biệt
9 Cho tam giác ABC nhọn Xác định vị trí điểm M nằm tam giác cho AM BC + BM CA +
CM AB đạt giá trị nhỏ
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành
cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: