Đường phân giác trong BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TỈNH BẮC NINH – NĂM 2010 MÔN TOÁN 8
( Thời gian làm 120 phút )
Bài 1: ( điểm )
Số N có dạng p q rx y z( p,q,r số nguyên tố x,y,z số nguyên dương ) pq-r =3; pr-q = Biết số N N N; ;
p q r tương ứng có ước số ước số N 20;12 15 Tìm N ?
Bài 2 : ( điểm )
a, Cho số a,b,c thoả mãn b 0,a b c c, 2ac bc ab
Chứng minh
2
2
a a c a c
b c
b b c
b, Cho đa thức P x x4 x3 x2 ax b
Q x x2 x Tìm a b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)
Bài 3 : ( điểm )
a, Giải phương trình x1 x5 x 3 x7 297 b, Tìm tất cặp số nguyên dương (x;y) cho
3
1
x x xy
số nguyên dương
Bài 4 :(4 điểm ) Cho a,b,c,d số dương Chứng minh : a b b c c d d a
b c c d d a a b
Bài 5 ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A có AB=AC=a ; BC=c Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC chứng minh 2
1 b
b a a b
(2)ĐÁP ÁN Bà
i
Nội dung Điểm
1
+Ta có 1
pq r
p r q
pr q
- Vì 2, 5, 7x y z
p p q r N
- Khi số ước N (x+1)(y+1)(z+1) - Số ước tương ứng , ,
2
N N N
tương ứng :
1 ; 1 ; 1
1 1 1 20
1 1 1 12
1 1 1 15
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
-
1 20
1 12 2, 4,
1 15
y z
x z x y z
x y
- Vậy N=2 72 857500
1
1
1 a, Ta có
2
2 2
2
2
2
a a c a c c a c
a c ac bc ab a c a c b c a
- Chứng minh TT : b2 b c2 2b c b c a
- Suy dpcm b, 1 2 1
2
P
Q x x x p x Q x
P
a b a
a b b
0,5 0,5 a PT cho
2 2 2
4 21 297
4 32
4 32
8
4
x x x x
x x x x
x x x
(3)Vậy nghiệm PT x=4; x=-8 b, Ta có
3
2
2
1 ; ; 1
1
1 1 1
1
1
x x
Z x x xy x xy
xy
x xy x xy xy
x x y xy x y xy
x y z xy z Z
Ta có PT x+y+z=xyz
Do vai trò x,y,z , giả sử
2
3
1;3 1;2;3
x y z xyz x y z x yz z
z yz y
- Nếu y=1 x+2=x ( loại) - Nếu y=2 x=3
- Nếu y=3 x=2 ( loại xy).
Vậy (x,y,z)=( 3;2;1) hốn vị
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5
4 VT=
4
1 1
4
4
a c b d c a d b b c c d d a a b
a c b d
b c d a c d a b
a c b d
a b c d a b c d
Dấu = xảy a=b=c=d
1 1
A H b D
(4)-Vẽ đường cao BH suy AH=AD/2
- Do BD phân giác tam giác ABC
2
1
DA b DA DC b b
DA
DC a b a a b a b
-Tam giác HAB vuông H
2
2 2 2 2
4
AD
AB BH AH BH b
-TT ta có
2 2
2 2 . 3
2
AD AD
BH a b a b b AD
Từ (1),(2) (3) ta có
2
2
1
b b
b a b a b b
a b b a a b
0,5
1 1,5