DE THI DA HSG TOAN 8 TINH BAC NINH

Đường phân giác trong BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC.[r]

(1)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

TỈNH BẮC NINH – NĂM 2010 MÔN TOÁN 8

( Thời gian làm 120 phút )

Bài 1: ( điểm )

Số N có dạng p q rx y z( p,q,r số nguyên tố x,y,z số nguyên dương ) pq-r =3; pr-q = Biết số N N N; ;

p q r tương ứng có ước số ước số N 20;12 15 Tìm N ?

Bài 2 : ( điểm )

a, Cho số a,b,c thoả mãn b 0,a b c c, 2ac bc ab

     

Chứng minh    

2

a a c a c

b c

b b c

  

 

 

b, Cho đa thức P x  x4 x3 x2 ax b

     Q x  x2 x Tìm a b để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)

Bài 3 : ( điểm )

a, Giải phương trình x1 x5 x 3 x7 297 b, Tìm tất cặp số nguyên dương (x;y) cho

3

1

x x xy

 

số nguyên dương

Bài 4 :(4 điểm ) Cho a,b,c,d số dương Chứng minh : a b b c c d d a

b c c d d a a b

   

   

   

Bài 5 ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A có AB=AC=a ; BC=c Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC chứng minh  2

1 b

b a  a b

(2)

ĐÁP ÁN Bà

i

Nội dung Điểm

1

+Ta có  1  

pq r

p r q

pr q           

- Vì 2, 5, 7x y z

p   p q r  N 

- Khi số ước N (x+1)(y+1)(z+1) - Số ước tương ứng , ,

2

N N N

tương ứng :            

                             

1 ; 1 ; 1

1 1 1 20

1 1 1 12

1 1 1 15

x y z x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y z

                                 -           

1 20

1 12 2, 4,

1 15

y z

x z x y z

x y                   

- Vậy N=2 72 857500



1

1 a, Ta có

   

       

2

2 2

2

a a c a c c a c

a c ac bc ab a c a c b c a

       

         

- Chứng minh TT : b2 b c2 2b c b c a  

     

- Suy dpcm b,               1 2 1

2

P

Q x x x p x Q x

P

a b a

a b b

                             0,5 0,5 a PT cho

        2 2 2

4 21 297

4 32

8

4

x x x x

x x x

(3)

Vậy nghiệm PT x=4; x=-8 b, Ta có

     

       

  

3

2

1 ; ; 1

1

1 1 1

1

x x

Z x x xy x xy

xy

x xy x xy xy

x x y xy x y xy

x y z xy z Z



     



       

     

    



 

Ta có PT x+y+z=xyz

Do vai trò x,y,z , giả sử  

2

3

1;3 1;2;3

x y z xyz x y z x yz z

z yz y

         

    

- Nếu y=1 x+2=x ( loại) - Nếu y=2 x=3

- Nếu y=3 x=2 ( loại xy).

Vậy (x,y,z)=( 3;2;1) hốn vị

0,5 0,5

0,5

4 VT=

   

4

1 1

4

a c b d c a d b b c c d d a a b

a c b d

b c d a c d a b

a c b d

a b c d a b c d

   

   

   

   

        

   

   

     

     

Dấu = xảy a=b=c=d

1 1

A H b D

(4)

-Vẽ đường cao BH suy AH=AD/2

- Do BD phân giác tam giác ABC  

2

1

DA b DA DC b b

DA

DC  a b  a a b  a b

-Tam giác HAB vuông H

 

2

2 2 2 2

4

AD

AB BH AH BH b

     

-TT ta có  

2 2

2 2 . 3

2

AD AD

BH a  b  a  b b AD

 

Từ (1),(2) (3) ta có    

 

2

1

b b

b a b a b b

a b b a a b

      

 

0,5

1 1,5