Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi b x – y3 + y – z3 + z – x3 Lời giải: a Các hạng tử của đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng thức đáng nhớ nào, c[r]
(1)Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích đơn thức và đa thức Phân tích đa thức thành nhân tử các phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung) - Dùng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm nhiều hạng tử Phân tích đa thức thành nhân tử vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm bớt cùng hạng tử - Đặt ẩn phụ (còn gọi là đổi biến số) - Duøng phöông phaùp heä baát ñònh - Tìm nghiệm đa thức - Quy taét HORNER (Hoùt - Nô) B MỘT SỐ BAØI TOÁN: I PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHÓM HẠNG TỬ Bài1 Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x) Caùch 1: Khai trieån hai ba soá haïng, chaúng haïn khai trieån hai soá haïng đầu nhóm các số hạng làm xuất thừa số chung z - x A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x) = y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x) = y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x) = (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2) = (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y) = (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x) = (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz) Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x) Do ta có: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)] = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x) = (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2) = (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x) = (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2) = (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy) Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) a3 + b3 + c3 -3abc Lop8.net (2) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Lời giải: a) Các hạng tử đa thức đa thức đã cho không chứa thừa số chung, không có dạng đẳng thức đáng nhớ nào, không thể nhóm các số hạng Do ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt cùng hạng tử để có thể vận dụng các phương pháp phân tích đã biết a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc) = (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc) b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = Khi đó theo caâu a ta coù: a3 + b3 + c3 – 3abc = hay a3 + b3 +c3 =3abc Vaäy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) Cách 2: Để ý rằng: (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 và (y – z) = (y – x) + (x – z) (x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 = = [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3 = (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 Bài 3: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử X3 – 7x – Caùch 1: Taùch soá haïng -7x thaønh – x – 6x, ta coù: X3 – 7x – = x3 – x – 6x – = x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6) = (x + 1)(x + 2)(x – 3) Caùch 2: Taùch soá haïng – = – 14 ,ta coù: X3 – 7x – = x3 + – 7x – 14 = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x + 3) = (x + 2)(x + 1)(x – 3) II PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHU Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 b) 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2 Giaûi: a) Ñaët x2 + x + = y ta coù x2 + x + =y +1 Ta coù: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 Lop8.net (3) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi = ( y – 3)(y + 4) Do đó: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2 = 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2 = 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2 Ñaët: x2 + xy + xz = m, ta coù 4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2 = 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2 Thay m = x2 +xy +xz, ta được: 4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 * DAÏNG ÑAËC BIEÄT Xeùt Q(x) = ay2 + by + c Neáu coù caùc soá m, n cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2 + by + c = ay2 + (m + n)y + m.n/a hay ay2 + by + c =a(y + m/a)(y + n/a) (*) nói riêng a = thì y2 + by +c = ( y + m)(y +n).Trong trường hợp này a, b, c nguyên thì trước hết phân tích hai số nguyên m.n cho giá trị tuyệt đối m và n nhỏ b sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b Da thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c Caùch giaûi: Ñaët bieán phuï y = x2 vaø aùp duïng HÑT (*) Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử Giaûi: Ñaët y = x2 ,coù Q(y) = 6y2 + 19y + 15 Tìm m, n cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 neân choïn m = 9, n = 10, ta coù: 6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5) Do doù P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5) Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) y = x2 + (a + b) x Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = thì a + b = =c + d Biến đổi: P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15 = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5) Lop8.net (4) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Do doù P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) Tổng quát: Nếu đa dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả maõn a1b1 = c1d1 vaø a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì ñaët y =(a1x + a2)(b1x + b2) roài bieán đổi trên Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 và a2b2 = c2d2 Ví duï: Phaân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thaønh nhaân tử Giaûi: Deã thaáy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 vaø a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 thì P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) = 24x2 Tìm m.n = 24x2 và m + n = 10x ta chọn m = 6x , n = 4x Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do doù P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10) Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = -1 Cách giải: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử ay2 + bxy sử dụng HĐT (*) Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + thành nhân tử Giaûi: Ñaët y = x2 – suy y2 = x4 – 2x2 + Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x = 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x Từ đó Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 Tìm m, n cho m.n = - 10x2 vaø m + n = 3x choïn m = 5x , n = - 2x Ta coù : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2 = 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2 = 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x) Do doù , P(x) = (x2 – x – )(2x2 + 5x – 2) Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2 Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b và biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử y2+ bxy sử dụng HĐT (*) Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + thành nhân tử Giaûi: Deã thaáy b = 1, d = 2, e =4 ñaët y = x2 – suy y2 = x4 – 4x2 + Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + – x3 – 6x2 + 2x = (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2 Từ đó Q(y) = y2 – xy – 6x2 Tìm m, n cho m.n = - 6x2 vaø m + n = - x choïn m = 2x, n = -3x Lop8.net (5) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Ta coù Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2 = y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x) Do doù, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2) * Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì có thể xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo caùch treân Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 và biến đổi P(x) dạng mx4 + nx2 + p Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) – 16 thành nhân tử Giải: Đặt y = x – lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) – 16 = 2y4 + 12y2 – 14 = 2(y2 + 7)( y2 – 1) = 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1) Do doù P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1) BAØI TẬP: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1) A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 2) B(x) = (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 3) C(x) = 4(x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2 4) D(x) = (7 – x)4 + ( – x)4 – 5) E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16 6) F(x) = x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + IV PHÖÔNG PHAÙP HEÄ SOÁ BAÁT ÑÒNH Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Giaûi: a) Keát quaû tìm phaûi coù daïng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Ta phải tìm a, b, c thoả mãn: x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac Vì hai đa thức này đồngnhất , nên ta có: a+b =0 ab + c = 19 ac = - 30 Vì a,c thuộc số nguyên vá tích ac = - 30, đó a, c là ước - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30 a = 2, c = 15 đó b = - thoả mãn hệ trên Đó là số phải tìm tức là x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15) Lop8.net (6) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi b) Dễ thấy ±1 không phải là nghiệm đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên, không có nghiệm hữu tỉ Như nến đa thức đã cho phân tích thành nhân tử thì phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng đa thức này với đa thức đã cho, ta có x4 + 6x3 +7x2 + 6x + =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd a+c =6 ac + b + d =7 ad + bc = bd =1 Từ hệ này tìm được: a = b = d = , c = Vaäy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5) V TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Nếu đa thức P(x) có nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích hai thừa số là (x – a) và Q(x) P(x) = (x – a) Q(x) Muốn tìm thừa số Q(x), ta hãy chia đa thức cho nhị thức (x – a) Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể phân biệt đa thức P(x) thành tích ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x) P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x +ab, ta có thương đúng phép chia chính là Q(x) Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao? Theá naøo laø nghieäm soá keùp? Giả sử P(x) có nghiệm là x = a suy P(x) = (x – a)Q(x) Q(x) laïi coù nghieäm x = a suy Q(x) = (x – a) R(x) Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x) Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x) Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – thành nhân tử Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có số nghiệm là x = Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x) Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – cho nhị thức x – , ta thương số là Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2) Vaäy P(x) = x3 – 2x – = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – Lop8.net (7) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có nghiệm phân biệt là -1 và Vì P(-1) = vaø P(2) = Do đó P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – , ta thương đúng phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vaäy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) VI QUY TAÉT HOÙT – NÔ (HORNER) Quy tắt Hót – Nơ giúp chúng ta chia nhanh đa thức cho nhị thức baäc nhaát Bài toán: Giả sử chúng ta chia đa thức P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – + a3xn – + … + an chia nhị thức x - a Bậc đa thức thương Q(x) nhỏ bậc P(x) đơn vị Q(x) = b0xn – + b1xn – + b2xn – + …… + bn - Soá dö r laø moät haèng soá vì baä r < baäc (x – a) Ta coù: a0xn + a1xn – + a2xn – + … + an = (x – a)(b0xn -1 + b1xn – + … + bn – 1) + r Caân baèng caùc heä soá, ta coù: b0 = a0 b1 = a1 + ab0 b2 = a2 + ab1 Ta saép xeáp thaønh baûng sau: a b3 = a3 + ab2 ………………………… bn – = an – + abn - r = an + abn -1 a0 a1 a2 ……… an - b0 = a0 b1 = a1 +ab0 b2 = a2 +ab1 bn – = an -1 + abn - Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x4 – 4x3 + thành nhân tử Giaûi: Ta coù P(1) = – + = Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1) P(x) = (x – 1)Q1(x) Ta xaùc ñònh Q1(x) baèng quy taét Hoùt – Nô Lop8.net an r = an + abn -1 (8) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 3 -4 -1 -1 -1 r = p(1) =0 Do đó Q1(x) = 3x3 – x2 – x – Nhaän xeùt raèng Q1(x) = suy Q1(x) = (x – 1)Q2(x) Ta xác định Q2(x) cách sử dụng quy tắt Hót – Nơ: -1 -1 -1 Suy ra: Q2(x) = 3x2 + 2x + 1, không phân tích thành nhân tử Do đó, ta có: P(x) = 3x4 – 4x3 + = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1) Lop8.net (9)