Trong năm qua tôi đã vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất, kể cả các[r]
(1)Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử A / Lời nói đầu Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, song đó lại là dạng toán khó học sinh bậc THCS Nội dung này giới thiệu khá đầy đủ chương trình Đại Số và có thể coi là nội dung nòng cốt chương trình Bởi nó vận dụng nhiều các phần sau như: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, biến đổi các biểu thức vô tỉ, giải phương trình bậc cao Thực tế giảng dạy cho thấy, mặc dù các phương pháp giơí thiệu SGK roừ ràng, cụ thể Song việc các em vận dụng còn nhiều lúng túng Đặc biệt học sinh khá giỏi thì nội dung kiến thức chưa đáp ứng nhu cầu học toán các em Vậy Dạy - Học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử nào để đạt kết tốt nhất? Phù hợp cho học sinh đại trà? Đồng thời đáp ứng nhu cầu học tập học sinh khá giỏi Để đạt kết đó, ngoài phương pháp truyền thụ người thầy phải nắm bắt kiến thức cách nhuần nhuyễn Đó chính là lý tôi đưa đề tài này Cụ thể đề tài này, với phương pháp hay đặc biệt Tôi làm rõ: Phương pháp giải Bài tập tự luyện Với nội dung và trình bày đề tài này, hy vọng đề tài này không là tài liệu hướng dẫn học sinh mà còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho công tác giảng dạy giáo viên các trường THCS Lop8.net (2) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử B Nội dung Phần 1: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Các phương pháp I/ Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp Tìm nhân tử chung là đơn thức, đa thức có maởt tất caỷ các hạng tử Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung và nhân tử Viết nhân tử chung ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại hạng tử vào dấu ngoặc Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) –3xy + x y – 5x y b) 2x(y – z) + 5y(z – y) c) 10x (x + y) – 5(2x + 2y)y Bài làm 2 a) 3xy + x y – 5x y = xy(- + xy – 5x) b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y) c) 10x (x + y) – 5(2x + 2y)y = 10x (x + y) – 10y (x + y) = 10(x + y)(x – y ) = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) (x – y) Bài tập tự luyện Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) 12xy – 12xy + 3x b) 15x – 30 y + 20z c) x(y – 2007) – 3y(2007 - y) d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1) Bài 2: Tính giá trị các biểu thức sau a) 23,45 97,5 +23,45 5,5 -,23,45 b) 2x (x – y) + 2x (y – x ) + 2x (z – x) (Với x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008) II) Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp Sử dụng các đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử luỹ thừa đa thức đơn giản Những đẳng thức : (A + B) = A + 2AB + B (A - B) = A - 2AB + B A – B = (A + B)(A – B) (A + B) = A + 3A B + 3AB + B (A - B) = A - 3A B + 3AB - B A + B = (A + B)(A – AB + B ) A - B = (A - B)(A + AB + B ) (A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2CA A n – B n = (A – B)(A n 1 + A n 2 B + … + AB n 2 + B n 1 ) Lop8.net (3) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử A k – B k = (A +B)(A k 1 - A k 2 B + … - B k 1 ) A K 1 + B K 1 = (A + B)(A k – A k 1 B + A k 2 B - … +B k ) n(n 1) n 2 n(n 1) n A B +…+ A B + nAB n 1 + B n 1.2 1.2 n(n 1) n 2 (A - B) n = A n - n A n 1 B + A B - … +(-1) n B n 1.2 (A + B) n = A n + n A n 1 B - Ví dụ Phân tích đa thức tành nhân tử a) x + 6xy + 9y b) a – b c) (x – 3) - (2 – 3x) d) x – 3x + 3x - Bài Làm a) x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y ) b) a – b = (a ) – (b ) = (a + b ) (a – b ) = (a + b ) (a + b) (a – b) c) (x – 3) - (2 – 3x) = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- + 4x) d) x – 3x + 3x - = (x – 1) 2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử a) a + b + c – 3abc b) (a + b + c) – a – b – c Bài Làm 3 3 a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c – 3abc = ( a + b + c)[(a + b) – (a + b)c + c ] – 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a + b + c – ab – bc – ca) b) (a + b + c) – a – b – c = (a + b) + c + 3c(a + b)(a + b + c) – a – b –c = 3(a + b)(ab + bc + ac + c ) = 3(a + b)(b + c) (c + a) Bài tập tự luyện Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x – 15) – 16 b) 25 – (3 – x) c) (7x – 4) – ( 2x + 1) d) 9(x + 1) – e) 9(x + 5) – (x – 7) f) 49(y- 4) – 9(y + 2) Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) 8x + 27y b) (x + 1) + (x – 2) c) – y + 6xy – 12x y + 8x d) 2004 - 16 III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào nhóm Áp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán 2 2 Lop8.net (4) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x – 3xy + x – 3y b) 7x – 7xy – 4x + 4y c) x + 6x – y + d) x + y – z – 9t – 2xy + 6zt Bài Làm a) x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1) b) 7x – 7xy – 4x + 4y = (7x – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4) c)x + 6x – y + = (x + 6x + 9) – y = (x + 3) - y = (x + + y)(x + – y) d)x + y – z – 9t – 2xy + 6zt = (x – 2xy + y ) – (z – 6zt + 9t ) = (x – y) – (z – 3t) = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t 2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz b) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3xyz Bài Làm 2 2 2 a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz = (x z + y z + 2xyz) + x y + xy + xz2 + yz = z(x + y) + xy(x + y) + z (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z ) = (x + y) [(xz + xy) + (yz + z )] = (x + y) [x(z + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3xyz = (x y + x z + xyz) + ( xy + y z + xyz) + (x z + yz + xyz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z) Bài Tập Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 3x – 9x – 27 b) x + 3x – 9x – c) x – 3x + 3x – – 8y BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) c) x(y + z )2 + y(z + x) + z(x + y) – 4xyz d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y) IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp Vận dụng linh hoạt các phương pháp đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau : - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2 Lop8.net (5) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) 5x - 45x b) 3x y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bài làm a) 5x – 45x = 5x(x – 9) = 5x(x +3) (x – 3) b) 3x2y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy [(x – 1) – (y + a) 2] = 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)] = 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1) Bài tập Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc b) 8x (x + z) – y (z + 2x) – z (2x - y) c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] Bài Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z) – x – y - z Hướng dẫn 3 3 (x + y + z ) – x – y - z =[(x + y + z) – x ] – (y + z ) = (x + y + z – x) [(x+ y + z) + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử Phương pháp Ta phân tích hạng tử thành tổng nhiều hạng tử thích hợp, để xuất nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 – 6x + Bài làm 2 Cách 1: x – 6x + = (x – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4) Cách 2: x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3) – = (x –3 + 1)(x – – 1) = (x – 2)(x – 4) Cách 3: x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + – 6) = (x – 2)(x – 4) Cách 4: x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + –6) = (x –4)(x – 2) Cách 5: x2 – 6x + = (x2 – 4x + 4) – 2x + = ( x – 2) – 2(x – 2)= (x – 2)(x – – 2) = (x – 2)(x – 4) Bài tập Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử Lop8.net (6) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 + 7x +10 b) x2 – 6x + c) 3x2 – 7x – d) 10x2 – 29x + 10 Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 4x2 – 29x + 24 b) x + 6x2 + 11x + c) x2 – 7xy + 10y d) 4x2 – 3x – VI/ Phương pháp thêm bớt cùng hạng tử Phương pháp Ta thêm hay bớt cùng hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử chung các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử x + 64 = x + 64 + 16x – 16x = (x + 8) – (4x) = (x2 + 4x + 8)(x – 4x + 8) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 4y b) x + x + Bài làm 2 4 4 2 a) x + 4y = x + 4y + 4x y – 4x y = (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) b) x + x + = (x + x + x ) – (x + x + x ) + (x + x + 1) = x (x + x + 1) – x (x + x + 1) + (x + x +1) = (x + x + 1)(x – x +1) Bài tập Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + x + b) x + x + c) x + x + d) x + Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 5x + 3x – b) x + 9x + 11x – 21 c) x – 7x + Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x - 5x + 8x – b) x – 3x + c) x – 5x + 3x + d) x + 8x + 17x + 10 e) x + 3x + 6x + Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử Lop8.net (7) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a) b) c) d) e) f) g) x – 2x – 2x – 12x + 7x – x3 + x2 + x + 3x + 3x + x + 9x + 26x + 24 2x – 3x + 3x + 3x – 14x + 4x + * MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC VII/ Phương pháp đặt biên số (đặt biên phụ) Phương pháp Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức đã cho có biểu thức xuất nhiều lần Ta đặt biểu thức là biến Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức dễ phân tích thành nhân tử Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử a) 6x – 11x + b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bài Làm a) 6x – 11x + - Đặt x2 = y - Đa thức đã cho trở thành: 6y – 11y + = (3y – 1)(2y – 3) - Trả lại biến cũ: 6x – 11x + = (3x – 1) (2x – 3) = ( x – 1)( x + 1)( x - )( x + ) b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5 - Đặt x + 3x + = y x – 3x – = y – - Đa thức đã cho trở thành y(y – 4) – = y – 4y – = (y + 1)(y + 5) - Trả lại biến cũ (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) – = (x + 3x + + 1)(x + 3x + – 5) = (x + 3x + 2)(x + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 - Đặt x + 8x + = y x + 8x + 15 = y + - Đa thức đã cho trở thành : y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) - Trả lại biến cũ (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + + 3) = (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Bài tập Lop8.net (8) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x + x) – 2(x + x) – 15 b) (x + 3x + 1)(x + 3x + 2) – c) (x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x d) 3x – 4x + 2x – 8x + 2x – 4x + VIII/ Phương Pháp hệ số bất định Phương Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc thì hệ số tương ứng chúng phải a n x n + a n 1 x n 1 + + a x + a x + a = b n x n + b n 1 x n 1 + + b x + b x + b a i = b i i = 1; n Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Ví dụ 1: A = x + 11x + 30 Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao là Nên A phân tích thì A có dạng A = (x + a)(x + bx + c) = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac x + 11x + 30 = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac Đồng hệ số, ta có a b ab c 11 ac 30 Chọn a = c = 15; b = -2 Vậy (x + 11x + 30) = (x + 2)(x – 2x + 15) 2.2 Ví dụ 2: B = x – 14x + 15x – 14x +1 Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao là nên B phân tích thành nhân tử thì B có dạng: B = (x + ax + b)(x + cx + d) B = x + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x + bd Đồng hệ số, ta có: a c 14 ac b d 15 ad bc 14 bd a 1 b c 13 d a 13 b c 1 d Do B = (x – x + 1)(x – 13x + 1) B = (x – 13x + 1)(x – x + 1) Bài tập Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x + 4x + 5x + b) 2x – 3x –7x + 6x + Lop8.net (9) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử c) 5x + 9x – 2x – 4x – Bài 17: Tìm a, b, c a) x – 2x + 2x – 2x + a = (x – 2x + 1)(x + bx + c) b) x + 3x – x – = (x – 2)( x + bx + c) + a c) 4x + 7x + 7x – = (ax + b)(x + x +1) + c IX/ Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Khi các biến có vai trò đa thức thì ta xét giá trị riêng Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z) – x – y – z Bài Làm Coi P là đa thức biến x Khi đó x = -y thì P = P (x + y) Trong P, vai trò x, y, z bình đẳng nên P (x + z) P (y + z) P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mà P là đa thức bậc biế x, y, z nên Q là số Với x = ; y = z = 1, ta có Q = Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) Ví dụ 2: M = a(b + c)(b - c ) + b(c + a)(c - a ) + c(a + b)(a - b ) Bài Làm Coi M là đa thức biến a Khi a = b thì M = M (a - b) Trong M vai trò a, b, c bình đẳng nên : M (b - c) M (c - a) M = (a - b)(b –c)(c – a)N Vì M là đa thức bậc biến a nên N là đa thức bậc a Nhưng a,b,c có vai trò bình đẳng nên: N = (a + b + c)R (R là số) M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R Chọn a = 0, b = 1, c = R = Vậy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c) Bài tập Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) X Phương pháp tìm nghiệm đa thức Phương pháp Cho đa thức f(x), a là nghiệm đa thức f(x) f(x) = Như đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm đa thức Lop8.net (10) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Ta đã biết nghiệm nguyên đa thức có phải là ước hệ số tự Ví dụ: x3 + 3x - Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy - ac = - suy a là ước - Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải là ước hạng tư không đổi Ước (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; sau kiểm tra ta thấy1 là nghiệm đa thức suy đa thức chứa nhân tử (x - 1) Do ta tách các hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung (x – 1) * Cách 1: x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 – = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2 * Cách 2: x3 + 3x2 – = x 3– + 3x2 – = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2 Chú ý: + Nếu đa thức có tổng các hệ số không thì đa thức chứa nhân tử (x – 1) + Nếu đa thức có tổng các hệ số các hạng tử bậc chẵn tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1) Ví dụ : * Đa thức : x3 - 5x2 + 8x – có - + - = Suy đa thức có nghiệm là hay đa thức có chứa thừa số (x – 1) *Đa thức : x3 – 5x2 + 3x + có (- 5) + = + Suy đa thức có nghiệm là - hay đa thức chứa thừa số (x + 1) +Nếu đa thức không có nghiệm nguyên đa thức có nghiệm hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p đó p là ước q hạng tử không đổi, q là ước dương hạng tử cao Ví dụ: 2x3 – 5x2 + 8x – Nghiệm hữu tỷ Nếu có đa thức trên là : (- 1); ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- Sau kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - ) hay (2x - 1) Do đó ta tìm cách tách các hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x - 1) 2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – =x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1) =(2x – 1)(x2 – 2x + 3) XI Phương pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c Nếu b2 – 4ac là bình phương số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số các phương pháp đã biết Nếu b2 – 4ac không là bình phương số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp Lop8.net (11) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử b) Ví dụ: 2x2 – 7x + Với a =2 , b =- , c = Xét b - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55 Suy Phân tích thành nhân tử : 2x2 - 7x + = ( x - 3)(2x - 1) Chú ý: P(x) = ax2 + bx + c = có nghiệm là x1 , x2 thì P(x) =a( x - x1)(x - x2) Phần 2: CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I) Bài toán rút gọn biểu thức Phương pháp +Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất nhân tử chung +áp dụng tính chất phân thức đại số: Chia tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung Học sinh thấy liên hệ chặt chẽ các kiến thức giúp phát triển tư suy luận lôgic, sáng tạo 2)Ví dụ: Rút gọn biểu thức 3x x x 2x3 x 4x x 2x x B= x 1 x 1 x2 1 A= Bài Làm 3x 3x x x x x x x x 3x 3 x ( x 1) x( x 1) ( x 1) A= 2 x ( x 1) x( x 1) 3( x 1) a) A = 2 A= ( x 1)(3 x x 1) ( x 1)( x 1)(3 x 1) ( x 1)(2 x x 3) ( x 1)(2 x 3)( x 1) A= ( x 1) (3 x 1) x ( x 1) (2 x 3) x b) MTC = x2 - = (x + 1)(x - 1) B = ( x 3)( x 1) (2 x 1)( x 1) ( x 3) ( x 1)( x 1) B = x 2x 2x x x ( x 1)( x 1) B = x2 1 ( x 1)( x 1) Bài tập Bài 19 Rút gọn biểu thức a (b c) b (c a ) c (a b) ab ac b bc 2 x x 12 x 45 B= 3 x 19 x 33 x A= Lop8.net (12) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử C= x y z xyz ( x y ) ( y z ) ( z x) D= x y z xyz ( x y ) ( y z ) ( z x) Bài 20 Rút gọn biểu thức 1 1 x( x y ) y ( x y ) x( x y ) y ( y x) 1 B= a (a b)(a c) b(b a )(b c) c(c a )(c b) A= Bài 21 Cho x2 - 4x + = Tính giá trị biểu thức A= x4 x2 1 x2 II) Bài toán giải phương trình bậc cao Phương pháp: áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình tích AB = A = B = Ví dụ: Giải phương trình * Ví dụ 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = (x- 5)(x2- 2x + 5) = x x 2x x ( x 1) 0(voly ) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {5} * Ví dụ 2: (2x2 + 3x - 1) - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = (1) Đặt: 2x + 3x - = t (*) 2x2 + 3x + = t + Phương trình đã cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 = t2 - 5t + = (t - 1)(t - 4) = t t t t + Thay t = vào (*), ta có: 2x2 + 3x - = 2x + 3x - = (2x + 4x) - x - = Lop8.net (13) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2x(x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (2x - 1) = x 2 x 2 x x + Thay t = vào (*), ta có : 2x2 + 3x - = 2x + 3x - = (x - 1)( 2x +5) = x x 1 2 x x Vậy phương trình (1) có tập nghiệm: S = { -2; * Ví Dụ 3: (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40 (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40 Đặt x2 + 6x + = t (*) x2 + 6x + = t + Phương trình đã cho trở thành: 5 ; ; 1} 2` (1) t(t + 3) = 40 + 3t – 40 = (t – 5)(t + 8) = t2 t t 8 Thay t = vào (*), ta có: x + 6x + = x2 + 6x = x x(x + 6) = x - Thay t = -8 vào (*), ta có: x2 + 6x + = - x2 + 6x + 13 = 25 27 + + = 4 27 (x + )2 + = (Vô lý) x2 + 2x Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6} Ví dụ 4: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn x + 3x + 4x + 3x + = (4) Ta thấy x = không là nghiệm phương trình (4) Chia hai vế (4) cho x 0, ta Lop8.net (14) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1 + =0 x x 1 )+4=0 (x2 + ) + 3(x + x x Đặt x + = t (*) x x + = t2 – x x + 3x + + Phương trình đã cho trở thành : t + 3t + = (t + 1)(t + 2) = t 1 t 2 Thay t = - vào (*), ta : x + = -1 x + x + = (Vô nghiệm) x Thay t = - vào (*), ta : x + = - x + 2x + = (x + 1) = x = -1 x Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1} *Ví dụ 5: Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ x – x + 3x + 3x – x + = (5) Có x = - là nghiệm phương trình (5) Do đó (5) (x + 1)(x – 2x + 5x – 2x + 1) = Giải phương trình đối xứng bậc chẵn x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + = (5’) Ta thấy x = không là nghiệm (5’) Chia vế (5’) cho x 0, ta có: x – 2x + - 1 1 + = (x + ) – 2(x + ) + = x x x x ) = t (*) x Đặt (x + (x + ) = t2 – 2 x (5’) t – 2t +3 = (t – 1) + = ( vô nghiệm) Vậy Phương trình (5) có tập nghiêm S = {-1} Bài tập: Bài 22: Giải phương trình a) 2x + 3x +6x +5 =0 b) x – 4x – 19x + 106x – 120 = c) 4x + 12x + 5x – 6x – 15 = d) x + 3x + 4x + = Bài 23: giải phương trình a) x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24 b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680 c) (2x + 1)(x+ 1) (2x + 3) = 18 Lop8.net (15) Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử d) 12x + 7) (3x + 2)(2x + 1) = Bài 24: giải phương trình a) (x – 6x + 9) – 15(x – 6x + 10) = b) (x + x + 1) +(x + x + 1) – 12 = c) (x + 5x) – 2x – 10x = 24 Bài 25: giải phương trình a) x - 2x + 4x – 3x + = b) x – 3x + 4x – 3x + = c) 2x – 9x + 14x – 9x + = d) x + x + x + x +x + x + = Bài 26: giải phương trình: x + 2x + 3x + 3x + 2x + = D Kết luận chung Phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rộng lớn trải suốt chương trình học học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác tạo nên lôgic chặt chẽ toán học Các phương pháp nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Trong năm qua tôi đã vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy các em hào hứng quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất, kể các bài tập vận dụng rút gọn biểu thức thì ý nghĩa việc phân tích các đa thức tử và mẫu các phân thức quan trọng, nó không giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu có thể) mà còn giúp việc tìm tập xá định, tìm mẫu thức chung biểu thức Số học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng vào các bài tập là 95% Trên đây là số suy nghĩ tôi vấn đề phát triển tư học sinh qua việc dạy giải bài toán phân tích đa thức hành nhân tử Rất mong góp ý chân thành các đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! Lop8.net (16)