Đang tải... (xem toàn văn)
C.Kết luận và đề nghị I/KÕt luËn vµ bµi häc kinh nghiÖm Đề tài "Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên"mà tôi trình bày trên đây,qua việc sử dụng đề tài tôi th[r]
(1)A phÇn më ®Çu I- Lý chọn đề tài Toán học là môn khoa học tự nhiên đóng vai trò quan trọng phát triển tu học sinh Để tiếp cận với chương trình đổi sách giáo khoa đó là hạn chế áp đặt kiến thức phải tạo các tình làm nảy sinh vấn đề để học sinh giải từ đó tạo cho các em các phương pháp để giải số bài tập Phương trình là khái niệm quan trọng toán học chương trình toán học phông thông đặc biệt là môn Đại số Ngay từ lớp đầu tiên các em đã làm quen với bài toán tìm x, tìm y Tuy nhiên néi dung sách giáo khoa chưa định nghĩa cách rõ ràng khái niệm này đã ngầm đưa bài toán phương trình vào đó.Xuyên suốt chương trình toán học phæ thông thì phương trình nội dung liên hệ chặt chẽ với hệ thống số với phép biến đổi đồng với hàm số Phương trình gồm nhiều loại, loại có phương pháp giải khác phương trình nghiệm nguyên nói riêng là đề tài lí thú lôi nhiều người từ các học sinh nhỏ với bài toán "trăm trâu, trăm cỏ" đến các chuyên gia toán học lớn với bài toán "Định lí Pecma" Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi nhận thấy để giúp học sinh giải vấn đề này cách có kĩ năng, tôi chọn đề tài "Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên" mà tôi thấy quá trình giảng dạy tôi đã đạt mục đích mình đó là hiệu học tập học sinh II- Nhiệm vụ nhiên cứu: Căn vào vai trò và tầm quan trọng đề tài, t×nh hình học tập học sinh, tôi thấy cần phải nghiên cứu hai nội dung lớn: 1.Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên 2.Nghiên cứu để hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên để phát và giải vấn đề giải phương trình nghiệm nguyên III- Đối tượng nghiên cứu: Để góp phần nâng cao hiệu quá trình giảng dạy dạng toán tìm nghiệm nguyên tôi chọn đối tượng khá giỏi lµ häc sinh lớp và phạm vi nghiên cứu là chương trình toán bậc trung học sở IV- Phương pháp nghiên cứu: Để học sinh dễ dàng, thuận lợi tiếp cận với dạng toán trước hết tôi tiến hành trình bày phần là: các kiến thức phần hai là: Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm nguyên.h V- Thời gian nghiên cứu: Để thuận lợi cho việc thực tất đề tài, tôi tiến hành nghiên cứu và thực vào thời điểm phù hợp với chương trình kiến thức môn học mà các em học trên lớp Vì tôi tiến hành thời gian từ tháng 10 năm 2007 đến tháng năm 2008 Lop7.net (2) B Néi dung I - Cơ sở lí luận Ngoài phương trình bậc hai ẩn, các bài toán tìm nghiệm nguyên thường không có qui tắc giải tổng quát Mỗi bài toán với số liệu riêng nó đòi hỏi cách giải riêng phù hợp, điều đó có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo linh hoạt và sáng tạo Trong chương trình sách giáo khoa toán THCS có đưa giải phương trình tìm nghiệm nguyên dạng bài tập, số lượng không nhiều, nửa nhu cầu giải phương trình với phong phú, các kỳ thi học sinh giỏi gần đây có đề cập nhiÒu đến dạng toán này II - Cơ sở thực tế và khảo sát ban đầu: Nh÷ng năm học trước đây chưa thực đề tài này, gặp dạng toán giải phương trình nghiệm nguyên mặc dù thuộc đối tượng học sinh khá giỏi số em còn lúng túng gặp dạng toán.Hoặc có em nắm phương pháp giải việc trình bày lại chưa tốt Nhìn chung việc giải toán phương trình nghiệm nguyên với các em chưa thật đồng đều, qua khảo sát ban đầu có: + 30% số học sinh giải bài tập dễ và trung bình + 5% số học sinh giải bài tập khó Số còn lại các em chưa nắm phương pháp giải và giải diễn đạt lời giải III - Các biện pháp để thực đề tài PhÇn 1: Kiến thức Khái niệm phương trình nghiệm nguyên Xét phương trình: f (x,y,z) = g (x,y,z ) Giải phương trình nghiệm nguyên là ta phải tìm tất các giá trị (x,y,z) thoả mãn phương trình đó x,y,z, gọi là ẩn Bộ giá trị (x,y,z, ) gọi là nghiệm Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình Nghiệm phương trình Một phương trình với nghiệm nguyên có thể vô nghiệm, có hữu hạn nghiệm, có vô số nghiệm Trong trường hợp có vô số nghiệm c¸c nghiÖm phương trình biểu thị công thức có chứa tham số là số nguyên Kiến thức liên quan + Các tính chất tập hợp Z + Tính chất chia hết, chia có dư + Bất đẳng thức và tính chất bất đẳng thức Lop7.net (3) +Công thức tính và nghiệm phương trình bËc hai +Các quy tắc biến đổi phương trình Khi không sử dụng các quy tắc biến đổi phương trình thì dùng đến các biến đổi mà các giá trị ẩn thoả mản điều kiện cần (chưa thoả mản điều kiện đủ) nghiệm trường hợp này ta cần kiểm tra lại các giá trị đó cách thử vào phương trỡnh đã cho theo thứ tự: Bước1: Giả sử phương trình có nghiệm nguyên ( x0 , y o , z ) ta suy các ẩn phải nhận các giá trị nào đó Bước2: Thử lại các giá trị đó ẩn để khảng định tập nghiệm phương trình Phần 2: Một số phương ph¸p thường dïng để giải phương tr×nh với nghiệm nguyªn /Phương ph¸p dïng tÝnh chia hết 1.1/Phương ph¸p ph¸t tÝnh chất chia hết ẩn *VÝ d ụ 1: Giải phương tr×nh với nghiÖm nguyªn 2x+13y=156 (1) GV: Em cã nhận xÐt g× 13y v à 156 (nhận xÐt tÝnh chia hết) HS: 13y 13 v à 156 13 GV: Đ ể ( 2x+13y) 13 th× 2x phải chia hết cho số nào? HS : 2x 13 GV: Từ đã c¸c em h·y t×m c«ng thức nghiệm phương tr×nh Giải Giả sử x,y là c¸c số nguyªn thoả m·n phương tr×nh (1) ta thấy 13y và 156 chia hết cho 13 nªn suy ra: 2x 13 x 13 (v× v à 13 nguyªn tố cïng nhau) Đặt x=13t ( t Z ) thay vào phương tr×nh (1) ta được: 2.13t + 13y = 156 2t y 12 y 12 2t x 13t (t Z ) y 12 2t V ậy: Đảo lại thay c¸c biểu thức x và y vào (1) phương tr×nh nghiệm đóng Vậy phương tr×nh (1) cã v« số nghiệm nguyªn (x;y) ®îc biÓu thÞ bëi c«ng x 13t y 12 2t thøc (t Z ) 1.2/ Phương pháp đưa phương trình ước số: Ví dụ2 : Tìm các nghiệm nguyên phương trình xy + x - y = GV : Hướng dẫn học sinh thêm bớt số nào đó vào vế phương trình cho vế trái phân tích thành tích các nhân tử vế phải là số Sau đó dựa vào ước vế phải mà tìm nghiệm phương trình Phương trình dạng gọi là phương trình ước số Gi¶i Lop7.net (4) xy - x - y = x( y 1) ( y 1) ( y 1)( x 1) v× x;y Z y 1; x Z Vµ lµ íc cña 3.C¸c íc cña lµ 1;3 Do vai trò bình đẳng x và y phương trình nên có thể giả thiết x y đó x y Ta cã : x-1 -1 y-1 -3 Do đó : x y -2 Vậy nghiệm phương trình là : (4;2);(2;4);(0;-2);(-2;0) * * * 1.3/ Phương pháp tách các giá trị nguyên *Ví dụ : Tìm các nghiệm nguyên phương trình : x xy x y GV : H·y biÓu thÞ y theo x x 6x HS : y = x5 GV: Em h·y tÝnh biÓu thøc thøc cã tö lµ sè x 6x thµnh phÇn nguyªn céng víi mét biÓu x5 x 6x = x-1 + x5 x5 GV : v× y Z ; x Z VËy suy ®iÒu g× ? HS : Z x lµ íc cña x5 HS : x= GV : Từ đó em hãy giải tiếp bài toán Gi¶i x xy x y xy y x x y ( x 5) x x * x = phương trình có dạng 0y =13 vô nghiệm x 6x = x 1 x5 x5 nªn Z x lµ íc cña x5 *x 5 y= Do y Z Ta cã : x-5 -1 Lop7.net -3 (5) x y 8 Vậy nghiệm nguyên phương trình là : (6;8);(4;0);(8;8);(2;0) GV:chú ý ví dụ có thể giải theo phương pháp tách các giá trị nguyên đó là: VÝ dô2: C¸ch2: xy - x - y = x(y-1) = y + x y2 y 1 (y 1) (NÕu y = th× 0x = ( v« nghiÖm )) x 1 x là số nguyên nên y - là ước Từ đó tìm y 1 nghiệm phương trình là: (4;2) ,(2;4) ,(0;-2),(-2;0) * * * 2/ Phương pháp xét số dư vế * Ví dụ : Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên a x y 2002 b x y 2003 GV : Em cã nhËn xÐt g× vÒ sè d cña tõng x ; y chia cho HS : x , y chia cho chØ cã sè d lµ hoÆc1 GV:vËy sè d cña x y vµ x y chia cho lµ bao nhiªu ? GV:2003,2002 chia cho cã sè d lµ bao nhiªu ? Từ đó ta có cách giải: Gi¶i 2 a/ DÔ chøng minh ®îc x ; y chia cho chØ cã sè d lµ hoÆc1 nªn x y chia cho cã sè d 0;1;3 cßn vÕ ph¶i chia cho d Vậy phương trình không có nghiệm nguyên b/ x ; y chia cho cã d lµ 0;1 nªn x y chia cho cã sè d 0;1;2 cßn vÕ ph¶i 2003 chia cho dư 3.Vậy phương trình không có nghiệm nguyên *Ví dụ5:Tìm các nghiệm nguyên phương trình : x y y GV:cho HS nhận xét tính chia hết và chia có dư vế để đến cách giải Gi¶i: x y y x y ( y 1) Ta thÊy 9x + chia cho d nªn suy y( y + 1) chia cho d y = 3k + y + = 3k + (k Z) Khi đó: 9x + = ( 3k + 1) ( 3k + 2) 9x = 9k (k + 1) x = k( k + ) Thö l¹i: y = 3k + 1, x = k ( k + 1) thoả mãn phương trình đã cho x k (k 1) (k Z) y 3k Vậy phương trình đã cho có nghiệm ( x; y) đó: Lop7.net (6) 3/ Phương pháp dùng bất đẳng thức 3.1/ Phương pháp thứ tự các ẩn Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z = xyz ( 1) GV: Do vai trò bình đẳng x,y,z phương trình, nên giả sử x y z x y z z chia vế cho z ta xy Từ đó suy kết Gi¶i: Vì x,y,z có vai trò bình đẳng phương trình Gi¶ sö x y z xyz x y z 3z Chia hai vế bất đẳng thức: xyz 3z cho số dương ta có: xy xy 1,2,3 + Víi: xy = ta cã x = 1, y = thay vµo (1) ta ®îc + z = z ( lo¹i) + Víi: xy = ta cã x = 1; y = thay vµo ( 1) ta cã : 1+2+z = 2z z = + Víi xy = ta cã x = 1; y = thay vµo ( 1) ta cã : 1+3+z = 3z z = ( lo¹i) v× ta gi¶ sö z y Vậy nghiệm phương trình là ( 1;2;3) ; ( 2;1;3) ; ( 1;3;2); (2;3;1); ( 3;1;2); (3;2;1) 3.2/ Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn: * Ví dụ 7: Tìm các nghiệm nguyên dương phương trình 1 x y GV: Hướng dẫn học sinh lập luận để đến giới hạn khoảng nghiệm x y từ đó tìm kết Gi¶i Do vai trò bình đẳng x và y nên giả sử x y thì ta suy ra: 1 x8 x y x 1 mÆt kh¸c: < x ( v× 1 v× x y >0) x>4 y VËy kho¶ng gi¸ trÞ cña x lµ: < x 8 Ta cã: x y 20 12 lo¹i Vậy phương trình có nghiệm là: ( 5;20) ; (20;5) ; ( 6;12) ; ( 12;6) ; (8;8) GV: có thể giải phương trình trên cách đưa phương trình ước số là: Lop7.net (7) 1 x y xy x y ( y 4)( x 4) 16 từ đó tìm x;y x y xy 3.3/ Phương pháp nghiệm nguyên * VÝ dô 8: T×m c¸c sè tù nhiªn x cho x x x GV: Phương pháp này cho học sinh nhận xét các nghiệm phương trình chứng minh cho phương trình đó không còn nghịêm nào khác ví dụ GV cho HS nhận xét x = ; x = ( các giá trị đặc biệt) chứng minh kh«ng cßn gi¸ trÞ nµo kh¸c lµ nghiÖm Gi¶i: x 3 5 x x x 2 3 1 5 5 x (1) + Với: x = thì vế trái phương trình (1) = 2; vế phải băng nên x = không ph¶i lµ nghiÖm + Với: x = thì vế trái phương trình (1) 1, đúng x = là nghiệm phương trình x + Víi: x th× < 5 x x x x 2 2 3 < 5 5 5 x 3 vµ < < ( lo¹i) 5 5 5 Vậy phương trình không có nghiệm x Trả lời: Phương trình có nghiệm là x=1 3.4/ Sử dụng điêù kiện để phương trình bậc hai có nghiệm GV: Phương pháp làm là viết phương trình f ( x , y ) dạng phương trình bậc hai ẩn (chẳng hạn x) đó y là tham số Điều kiện để phương trình có nghiệm là (để có nghiệm nguyên còn cần là số chính phương) *Ví dụ 9: Tìm các nghiệm nguyên phương trình (1) x y xy x y Gi¶i: x y xy x y x ( y 1) x ( y y ) (2) Điều kiện cần để phương trình (2) có nghiệm là ( y 1) 4( y y ) 3 y y Ta cã: 3 y y y y 3( y 1) ( y 1) Suy ra: *y-1=1 y=2 thay vào (2) được: x 3x giải phương trình này ta ®îc: x=1; x=2 *y-1=-1 y=0 thay vµo (2) ®îc x x x 0; x Lop7.net (8) *y-1=0 y=1 thay vµo (2) ®îc x x x 0; x Thử lại các giá trị trên nghiệm đúng phương trình (1) Vậy phương trình (1)có nghiệm là (0;0) ;(1;0) ;(0;1) ;(2;1);(1;2) ;(2;2) * Chú ý: có thể giải bất phương trình y y theo các xét dấu tam thức bậc hai đó là phương trình y y có nghiệm là y 12 Do đó bất phương trình y y Cã nghiÖm 12 12 34 3 y y y y 0;1;2 3 3 3 Từ đó suy x * * * Phần 3: Kết thu đề tài Sau thực xong đề tài này tôi thấy phần lớn học sinh làm thành thạo dạng toán phương trình nghiệm nguyên ,các em tự tin gặp dạng toán này Qua kiÓm tra kh¶o s¸t,kÕt qu¶ thu ®îc nh sau : + 80% Sè häc sinh gi¶i ®îc bµi tËp trung b×nh + 40% Sè häc sinh gi¶i ®îc bµi tËp kh¸ khã + 10% Sè häc sinh gi¶i ®îc khã Như so với kết trước thực đề tài rõ ràng kết thu cao nhiều Không đề tài còn giúp các em mạnh dạn ,tự tin hơn, gây hng phÊn cho c¸c em gÆp d¹ng to¸n Lop7.net (9) C.Kết luận và đề nghị I/KÕt luËn vµ bµi häc kinh nghiÖm Đề tài "Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên"mà tôi trình bày trên đây,qua việc sử dụng đề tài tôi thấy nó mang lại hiệu lớn quá trình giảng dạy đó là: + Đề tài giúp cho học sinh thấy tầm quan trọng việc giải phương trình đó là tổng hợp nhiều kiến thức liên quan.Vì đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến thức và sau đó vận dụng linh hoạt kiến thức đó vào giải bài tập + Đề tài giới thiệu số phương pháp thường dùng đề giải phương trình nghiệm nguyên.Trong phương pháp tôi đưa số ví dụ điển hình có tính chất giới thiệu để giảng mẫu ,để các em nhận dạng nhanh phương trình và tìm phương pháp hợp lí Tuy nhiên có số bài phương trình nghiệm nguyên giải không thể áp dụng các phương pháp trên mà đòi hỏi học sinh phải suy luận để gi¶i quyÕt + §Ò tµi gióp cho häc sinh rÌn luyÖn thªm vÒ kÜ n¨ng gi¶i to¸n khoa häc, ng¾n gän vµ l« gÝc * * * II /§Ò nghÞ víi c¸c cÊp Với hiệu thu thân và học sinh tôi thấy đề tài mang tính khả thi lớn Do kinh nghiệm còn hạn chế tôi mong muốn và đề nghị các đồng chí đồng nghiệp đặc biệt là các cấp ngành bổ sung ,góp ý chân thành để đề tài có kÕt qu¶ kh¶ quan h¬n n÷a ¸p dông T«i ch©n thµnh xin c¶m ¬n Ngµy:30/3/2008 Người viết: Mai ThÞ Thi Lop7.net (10) 10 Lop7.net (11)