SKKN một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÃ SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Lĩnh vực: Tốn Cấp học: Trung học sở Năm học 2016-2017 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Mục lục TT NỘI DUNG SKKN TRANG Phần I Đặt vấn đề Lý chọn đề tài Mục đích đề tài Giới hạn đề tài Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kế hoạch nghiên cứu Phần II Giải vấn đề Cơ sở lý luận thực tiễn: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Thực trạng vấn đề 26 Bài học kinh nghiệm giải pháp thực 26 Kết áp dụng đề tài 27 Phần III Kết luận khuyến nghị 28 Phần IV Tài liệu tham khảo 29 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài a Cơ sở pháp chế Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi công tác mũi nhọn ngành giáo dục & đào tạo Trong xu phát triển nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi nhu cầu cấp thiết xã hội, góp phần khơng nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Chính vậy, năm gần đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ngành giáo dục trọng b Cơ sở lý luận Toán học mơn học giữ vai trò quan trọng suốt bậc học phổ thơng Là mơn học khó, đòi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu cơng việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn thường xun phải làm Trong cơng tác giảng dạy mơn Tốn, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh có khiếu mơn Tốn Giúp cho em trở thành học sinh giỏi thực mơn tốn cơng tác mũi nhọn công tác chuyên môn ngành giáo dục trọng Các thi học sinh giỏi cấp tổ chức thường xuyên năm lần thể rõ điều Chương trình Tốn bậc THCS có nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” chuyên đề giữ vai trò quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số khơng thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phương trình bậc cao gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Quận, Thành phố, nhiều năm có tốn chun đề phân tích đa thức thành nhân tử Chính vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà thân quan tâm Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử c Cơ sở thực tiễn Năm học này, thân Nhà trường giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dưỡng học sinh Đây hội để đưa đề tài áp dụng vào công tác đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Mục đích đề tài - Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp giải tập thích hợp cho - Thực nghiệm việc sử dụng phương pháp giải tập phân tích đa thức thành nhân tử giảng dạy - Một số học kinh nghiệm trình nghiên cứu Giới hạn đề tài Đề tài áp dụng nhà trường dạy Đối tượng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp lớp nhà trường Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: a) Phương pháp nghiên cứu lý luận b) Phương pháp khảo sát thực tiễn c) Phương pháp quan sát d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái qt hóa e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Kế hoạch nghiên cứu -Từ tháng 8/2016 đến tháng 10/2016: Đọc tài liệu liên quan đến đề tài -Từ tháng 11/2016 đến tháng 12/2016: Lập đề cương đề tài -Từ tháng 1/2017 đến tháng 3/2017: Hoàn thiện đề tài Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận thực tiễn: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nhiều định lý chứng tỏ đa thức phân tích thành tích đa thức trường số thực R Song mặt lí thuyết, thực hành khó khăn nhiều, đòi hỏi “kĩ thuật”, thói quen kĩ “sơ cấp” Dưới qua ví dụ ta xem xét số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngược) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử C = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do : C = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài : phân tích đa thức sau thành nhân tử D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Giải: Ta có: E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử: F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có : F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = x3 + 3x2 + 2x + Giải: Ta có : G = x3 + 3x2 + 2x + = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có : H = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) Phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Sau số ví dụ : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Giải: Ta có : A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (y – z)(x – y)(z – x) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có : B = 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x6 + x4 + x2 + Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử D = x2 + 2x + – y2 Giải: Ta có: D = x2 + 2x + – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + + y ) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = x m + + xm + – x - Giải: Ta có : G = xm + + xm + – x – = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + – 1) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối nhóm số hạng làm xuất thừa số chung y - z Ta có : G = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y) nên : G = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x – y)(x – z) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Giải: Ta có : K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Giải: Ta có : Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b – c)(a – c) Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp dùng đẳng thức để đưa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác Các đẳng thức thường dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau số tập cụ thể: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : C = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = (x + y)3 +(x - y)3 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải sau : Cách 1: E = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: E = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: F = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) Giải: Ta có: G = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = x8 – 28 Giải: Ta có : H = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2) * Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp ba phương pháp kể để phân tích đa thước thành nhân tử Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 Sáng kiến kinh nghiệm 10 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nhận xét: Từ lời giải tốn ta giải tốn tổng qt sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành : A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) Bằng cách biến đổi tương tự 5, ta đưa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đa thức A thành tích nhân tử Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Giải: Giả sử x ≠ , ta viết đa thức dạng : 1 )+7) ) + 6( x x x 1 Đặt y = x - x2 + = y2 + x x E = x2((x2 + Do : E = x2(y2 + + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) , ta x   x ( x − ) + x E=   x  Thay y = x - = (x2 + 3x – 1)2 Dạng phân tích với x = Nhận xét : Từ lời giải tập này, ta giải tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = a0x2n + a1xn – +…….+ an – 1xn – +anxn + an – 1xn – + … + a1x + a0 Bằng cách đưa xn làm nhân tử A, hay : A = xn(a0xn + a1xn – + …….+ an – 1x + an + Sau đặt y = x + a n −1 a a +… + n1−1 + 0n x x x ta phân tích A thành nhân tử cách dễ dàng x tập Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Giải: Ta có: F = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 - Đặt X = x + y, đa thức trở thành : F = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) Sáng kiến kinh nghiệm 16 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Thay X = x + y vào (1) ta : F = (x + y – 4)( x + y + 3) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Giải: G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Đặt : x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b ⇒ ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức A trở thành : G = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 b = xy + yz + zx vào (*) ta : G = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 Phương pháp tách hạng tử; thêm bớt hạng tử Phương pháp tách; thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đưa đẳng thức đáng nhớ Sau số ví dụ : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 – 6x + Giải: Ta giải tốn số cách sau: Cách 1: A = x2 – 6x + = x2 – x – 5x + = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 - 2x + 1) – 4x + = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – - 4) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – = (x – – 2) (x – + 2) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + Sáng kiến kinh nghiệm 17 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (x2 – 1) – 6x + = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (6x2 – 6x) – 5x2 + = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + Đặt f(x) = x2 – 6x + Dễ thấy tổng hệ số f(x) hay f(x) = nên f(x) chia hết cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x –1) thương (x – 5) Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax + bx + c (c ≠ 0) phương pháp tách số hạng ta làm sau : Bước : lấy tích a.c = t Bước : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất trường hợp) t = pi.qi Bươc : tìm cặp nhân tử pi, qi cặp pa, qa cho : pa + qa = b Bước : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Bước : từ nhóm số hạng đưa nhân tủ chung dấu ngoặc Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - Sáng kiến kinh nghiệm 18 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = x4 – x2+ 3x2 – = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 2: B = x4 + 2x2 - = x4 + 3x2 – x2– = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 ) + 2x2 – – = (x4 – 1) + 2x2– = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 + 2x2 + 1) - = (x2 + 1)2 – = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + – 2)(x2 + + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 – 9) + 2x2 + = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - + 2) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Sáng kiến kinh nghiệm 19 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x + x2 + Giải: Cách : C = x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : C = x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : C = x4 + x2 + = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử D = 5x2 + 6xy + y2 Giải: Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) = 4x(x + y) + (x + y)2 = (x + y)(4x + x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (3x2 + 6xy + 3y2) + (2x2 – 2y2 ) = 3(x + y)2 + 2(x2 – y2 ) = (x + y)(3x + 3y + 2x – 2y) Sáng kiến kinh nghiệm 20 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 10xy + y2) – (4xy + 4y2) = 5(x + y)2 – 4y(x + y) = (x + y)(5(x + y) – 4y)) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 - 5y2) + (6xy + y2) = 5(x2 – y2) + 6y(x + y) = 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y) = (x + y)(5x – 5y + 6y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (9x2 + 6xy + y2) – 4x2 =(3x + y)2 – 4x2 = (3x + y – 2x)(3x + y + 2x) = (x + y)(5x + y) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x4 + x2y2 + y4 Giải: Ta có : E = x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2 = (x2 + y2)2 – (xy)2 = (x2 + y2 – xy)(x2 + y2 + xy) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : F = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x = (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1)) = (x2 – x + 1)(2x2 + 2) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x4 + 81 Sáng kiến kinh nghiệm 21 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Giải: Ta có : P = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = (2x2 + 9)2 – (6x)2 =(2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x3 – 7x2 + 17x - Giải: Ta có : Q = 3x3 – 7x2 + 17x - = 3x3 – x2 – 6x2 + 2x + 15x – = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử M = x3 – x2 – x - Giải: Ta có : M = x3 – x2 – x - = x3 – – (x2 + x + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1) - (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – – 1) = (x2 + x + 1)(x – 2) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = x3 – 6x2 – x + 30 Giải: Ta có : H = x3 – 6x2 – x + 30 = x3 + 2x2 – 8x2 – 16x + 15x + 30 = x2(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) = (x + 2)(x2 – 8x + 16 – 1) = (x + 2)((x – 4)2 – 1)) = (x + 2)(x – – 1)(x – + 1) = (x + 2)(x – 5)(x – 3) Phương pháp hệ số bất định Phương pháp dựa vào định nghĩa hai đa thức nhau, ta tính hệ số biểu diễn đòi hỏi cách giải hệ phương trình sơ cấp Sau số ví dụ : Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + Giải: Biểu diễn đa thức dạng : x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) Sáng kiến kinh nghiệm 22 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện : a + c = −16 ac + b + d = 12   ad + bc = −14 bd = Xét bd = với b, d ∈ Z , b ∈ {1;3 } với b = 3; d = Hệ điều kiện trở thành :  a + c = −6  ac = a + 3c = −14  Suy 2c = - 14 + = - 8, c = - , a = -2 Vậy A = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Giải: Biểu diễn đa thức dạng : B = ( ax + by + c )( dx + ey + g ) = adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y + cg = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Đồng hai đa thức, ta hệ điều kiện : ad = ae +bd = 22  ag +cd =11   be = bg +ce = 37   cg =10 ⇒ a =3   b =1   c =5   d =1   e =7   g =2 Vậy C = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + )( x + 7y + ) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x4 – 8x + 63 Giải: Ta biểu diễn B dạng : C = x4 – 8x + 63 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Sáng kiến kinh nghiệm 23 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử a + c = ac + b + d =  Đồng hai đa thức ta hệ điều kiện:  ad + bc = −8  bd = 63 ⇔ a   b   c   d  =− =7 =4 =9 Vậy : C = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9) Phương pháp xét giá trị riêng Đây phương pháp khó, áp dụng cách “linh hoạt” phân tích đa thức thành nhân tử nhanh Trong phương pháp ta xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định thừa số lại Sau số ví dụ : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) Giải: Thử thay x y A = y2(y – z) + y2(z – y) = Như A chứa thừa số x – y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x A khơng đổi ( ta nói đa thức A hốn vị vòng quanh x → y → z → x Do A chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy A có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) Ta thấy k phải số, A có bậc tập hợp biến x, y, z, tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc ba tập hợp biến x, y, z Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = (*), ta được: 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) = -2k k = -1 Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Chú ý: (*) giá trị x, y, z chọn tuỳ ý cần chúng đơi khác để (x – y)(y – z)(z – x) ≠ Sáng kiến kinh nghiệm 24 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) + z2x2(y – z) Giải: Thay x = y B = y2z2(z – y) + z2x2(y – z) = Như B chứa thừa số x – y Ta thấy đa thức B hốn vị vòng quanh x → y → z → x Do B chứa thừa số x – y chứa thừa số y – z, z – x Vậy B có dạng : k(x – y)(y – z)(z – x) Mặt khác B đa thức bậc ba x, y, z, nên phép chia B cho (x – y)(y – z)(z – x) thương số k, nghĩa : B = k(x – y)(y – z)(z – x) , k số Cho : x = 1; y = -1; z = ta : 12.(-1)2.(-2) + (-1)2.0.(0 + 1) + 02.12.(1 – 0) = k 2.(-1).(-1) -2 = 2k k = -1 Vậy B = -1(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) Giải: Nhận xét: Nếu hốn vị vòng quanh a, b, c, C khơng thay đổi Thay a=b vào C ta có: C = + bc(b – c) + cb(c – b) = Do C chia hết cho (a – b) Suy C chia hết cho (b – c) C chia hết cho (c – a) Từ : C chia hết cho (a – b)(b – c)(c – a) Mặt khác C đa thức bậc ba a, b, c, nên phép chia C cho (a – b)(b – c)(c – a) thương số k, nghĩa : C = k(a – b)(b – c)(c – a) Cho a = 1; b = 0; c = ta = -2k hay k = - C = -1(a – b)(b – c)(c – a) = (a – b)(b – c)(a – c) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) Sáng kiến kinh nghiệm 25 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Giải: Nhận xét: Nếu hốn vị vòng quanh x, y, z P khơng thay đổi Thay z = y vào P ta có: P = + z(z3- x3) + z(x3 –z3) = Do : P chia hết cho (y – z) Suy P chia hết cho (z – x) P  (x – y) Từ : P chia hết cho (y – z)(z – x)(z – x) Mặt khác P đa thức bậc ba x, y, z nên phép chia P cho (y – z)(z – x)(z – x)được thương số k, nghĩa : P = k(y – z)(z – x)(z – x) Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta : 2.13 + 1.(-2)3 + = k.1.(-2) - = - 2k k=3 Vậy P = 3(y – z)(z – x)(z – x) Hay x(y3 – z3) + y(z3 – x3) + z(x3 – y3) = 3(y – z)(z – x)(z – x) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2 + (a + b – c)(b +c – a)(c +a – b) Giải: Nếu hốn vị vòng quanh a, b, c, Q khơng thay đổi Thay a = vào Q ta có : Q = + b(c – b)2 + c(b – c)2 + (b – c)(b + c)(c – b) = Do Q  a Suy Q  b Q  c Từ : Q  abc Mặt khác Q đa thức bậc ba a, b, c nên phép chia Q cho abc thương số k, nghĩa : Q = k.abc Cho a = b = c = 1, ta : 1.12 + 1.12 + 1.12 + 1.1.1 = k.1.1.1 k=4 Vậy Q = 4.abc Hay: a(b +c – a)2 + b(c +a – b)2 + c(a +b – c)2+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc II Thực trạng vấn đề: Từ năm học 2011-2012 tơi ln nhà trường phân cơng dạy Tốn hai lớp Qua thực tế giảng dạy, qua dự Sáng kiến kinh nghiệm 26 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thăm lớp đồng nghiệp qua kỳ thi chất lượng, thi học sinh giỏi cấp, tơi nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập như: Quy đồng mẫu thức, giải loại phương trình, rút gọn biểu thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ lý để giải tập cần phải có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Chính tơi mạnh dạn viết đề tài áp dụng trực tiếp vào việc ôn luyện HSG lớp lớp III Bài học kinh nghiệm giải pháp thực Trong trình thực đề tài thân người trực tiếp thực việc bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi rút số học kinh nghiệm giải pháp thực sau: - Để thực tốt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, trước hết giáo viên cần phải có trình độ chun mơn vững vàng, nắm vững thuật toán, giải tốn khó cách thành thạo Cần phải có phương pháp giảng dạy phù hợp kích thích tò mò, động, sáng tạo, tích cực học sinh - Tốn học mơn khó, vấn đề tốn rộng Chính vậy, giáo viên cần phải biết chắt lọc, xây dựng thành giáo trình ơn tập bao gồm tất chuyên đề Với chuyên đề cần phải chọn lọc tốn điển hình, để học sinh từ phát huy khả mình, vận dụng cách sáng tạo vào giải toán khác thể loại - Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần thường xuyên bám sát đối tượng học sinh, theo dõi động viên kịp thời cố gắng, nỗ lực học sinh Đồng thời, kích thích em phát huy tối đa khả q trình ơn luyện, học tập Bên cạnh đó, cần theo dõi kiểm tra, uốn nắn kịp thời sai sót mà học sinh mắc phải, giúp em có niềm tin, nghị lực tâm vượt qua khó khăn bước đầu học tập chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi mà giáo viên đưa - Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi cần tránh cho học sinh biểu tự đắc, cho giỏi Điều làm cho em khó tránh khỏi thất bại tham dự thi lớn Chính vậy, giáo viên cần ln có tốn khó, u cầu cao để em thấy trình học bồi dưỡng học sinh giỏi q trình khơng thể diễn ngày một, ngày hai, mà trình lâu dài, thường xuyên, liên tục Tuy nhiên, cần tránh cho học sinh tự ti, liên tục khơng giải tốn khó gây cho em nản chí, niềm tin vào khả Sáng kiến kinh nghiệm 27 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử II Hiệu áp dụng đề tài: Tôi ứng dụng nội dung nêu vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp lớp nhà trường thu kết khả quan Kết học tập học sinh nâng lên, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm dạng tốn có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt Đa số em học sinh biết sử dụng phương pháp phân tích thơng thường cách thành thạo, số em học sinh có kỹ nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào phương pháp phân tích nêu sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh phương pháp em dễ dàng tiếp cận với dạng tốn khó kiến thức việc hình thành số thủ thuật trình học tập giải tốn học mơn Tốn PHẦN III KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm 28 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS trình lâu dài, bền bỉ Bởi em có q trình năm học Tốn Để có học sinh giỏi, cần phải tập trung bồi dưỡng cho em từ năm học lớp Với năm liên tục, với nỗ lực thầy lẫn trò, chắn có học sinh giỏi thực mơn Tốn Trên đây, đề tài đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, theo mạch kiến thức trọng tâm chương trình Tốn Đề tài áp dụng có hiệu song khơng tránh khỏi hạn chế định Bản thân tơi mong có đóng góp, bổ sung bạn đồng nghiệp, nhà quản lý giáo dục để đề tài hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn! PHẦN IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Sáng kiến kinh nghiệm 29 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để thực đề tài này, sử dụng số tài liệu sau: 1) Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 2)Chuyên đề bồi dưỡng Đại số (Nguyễn Đức Tấn) 3) “23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp” Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh – Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (NKTH) 4) Nâng cao & phát triển toán (Tập I & II) (Vũ Hữu Bình) 5) Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp (phần Đại số) (Võ Đại Mau; Võ Đại Hoài Đức) Sáng kiến kinh nghiệm 30 Năm học 2016-2017 ... “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Mục đích đề tài - Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp. .. 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận thực tiễn: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nhiều định lý chứng tỏ đa thức phân. .. 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp dùng đẳng thức để đưa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác Các đẳng thức thường