SKKN một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

“Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” MỤC LỤC MỤC LỤC I Mở Đầu 1 Lí chọn đề tài: .1 Cơ sở thực tiễn a Thuận lợi: b Khó khăn: Mục đích đề tài: II Nội Dung .2 Những giải pháp đề tài .2 Các phương pháp 2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung 2.2 Phương pháp dùng Hằng đẳng thức 2.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử 2.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp 2.5 Phương pháp tách hạng tử 2.6 Phương pháp thêm, bớt hạng tử 10 Tóm lại 11 Kết đạt 13 III Kết luận 13 0/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” I Mở Đầu Lí chọn đề tài: Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng, việc áp dụng dạng toán phong phú, đa dạng cho việc học sau rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Qua thực tế giảng dạy qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó, cịn nhiều học sinh làm sai chưa thực được, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ biến đổi cách linh hoạt, sáng tạo vào toán cụ thể Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên Tôi chọn đề tài: “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Cơ sở thực tiễn a Thuận lợi: Được quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện Ban giám hiệu tổ chuyên môn Học sinh đa số em nông dân, làm nghề nên có tính cần cù, chịu khó, ngoan hiền b Khó khăn: Tồn nhiều học sinh cịn yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán, phần lớn kiến thức lớp dưới, chưa chủ động học tập từ đầu chương trình lớp 8, chay lười học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu Đa số em sử dụng loại sách tập có đáp án để tham khảo, nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Giáo viên chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, tồn theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mơ hồ Phụ huynh học sinh chưa thật quan tâm mức đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở học tập nhà 1/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Mục đích đề tài: Chỉ phương pháp giải giúp học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn dạng tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử” Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức bản, có hệ thống phân tích đa thức thành nhân tử Nâng cao chất lượng môn II Nội Dung Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử ngồi giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng ? Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều tốn khác Ví dụ: Bài tốn chứng minh chia hết Rút gọn biểu thức Giải phương trình bậc cao Tìm giá trị lớn nhỏ Những giải pháp đề tài Đề tài đưa giải pháp sau: Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử a) Đối với học sinh đại trà: Củng cố kiến thức Phương pháp Đặt nhân tử chung Phương pháp Dùng đẳng thức Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành b) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán Giới thiệu phương pháp: tách hạng tử thêm,bớt hạng tử (ngồi cịn số phương pháp khác đặt ẩn phụ, hạ bậc đa thức, hệ số bất định… lý sư phạm nên tơi khơng trình bày đây.) 2/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Các phương pháp 2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung: Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)  Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28 ) = ) - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2 ? (Học sinh trả lời xy )( lớp học lực trung bình yếu giáo viên hỏi nhân tử chung biến x, y) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9a(a – b) – 10(b – a)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9a(a– b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2 = (a – b)[9a + 10(a – b)] = (a – b)(19a – 10b) Sai lầm học sinh là: 3/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Thực đổi dấu sai: 9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) + 10(a – b)2 Sai lầm đổi dấu ba nhân tử : –10 (b – a)2 tích –10(b – a)2 (vì –10(b – a)2 = –10(b – a)(b – a)) Lời giải đúng: 9a(a – b) – 10(b – a)2 = 9a(a – b) – 10(a – b)2 = (a – b)[9a – 10(a – b)] = (a – b)(10b – a) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) - Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích  Chú ý: Tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) 2.2 Phương pháp dùng Hằng đẳng thức Phương pháp chung: Sử dụng đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ 4: Phân tích đa thức (a + b)2 – (a – b)2 thành nhân tử Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức nào? (HS: có dạng A2 – B2 ) Lời giải sai: (a + b)2 – (a – b)2 = (a + b + a – b)(a + b – a – b) = (2a).0 = (kết sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (a + b) – (a – b)2 = [(a + b) + (a - b)].[(a + b) - (a – b)] = (a + b + a - b)(a + b - a + b) = 2a.2b = 4ab Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu 4/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” - Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu  Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp * Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (a + b)3 – (a – b)3 thành nhân tử * Đặt a + b = x, a – b = y, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích x6 – y6 thành nhân tử Ví dụ 5: Phân tích x6 – y6 thành nhân tử Giải: x6 – y6 =  x3    y  2 = (x3 – y3 )( x3 + y3 ) = (x – y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 – xy + y2) Giáo viên củng cố cho học sinh: Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp 2.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp chung Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực a Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0)(kết dấu sai bỏ sót số 1) Sai lầm học sinh là: bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung (HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (x – y) cịn lại số 0) 5/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) b Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) c Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) = (x – 2y)(x + 2y – 2) Sai lầm học sinh là: Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại 2.4 Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp chung Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Ta thường xét phương pháp: Đặt nhân tử chung ? Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Ví dụ 9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Gợi ý phân tích: Xét phương pháp: Đặt nhân tử chung ? 6/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Dùng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Các sai lầm học sinh thường mắc phải Lời giải chưa hoàn chỉnh: a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) = x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)] = x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x2 + 1) Ví dụ10: Phân tích đa thức 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 thành nhân tử 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 11: Phân tích đa thức a2 - b2 - 2a + 2b thành nhân tử a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (2a - 2b) (Nhóm hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) Để phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cần ý bước sau đây: + Đặt nhân tử chung cho đa thức từ làm đơn giản đa thức + Xem xét đa thức có dạng đẳng thức khơng ? + Nếu khơng có nhân tử chung, khơng có đẳng thức phải nhóm hạng tử vào nhóm thoả mãn điều kiện nhóm có nhân tử chung, làm xuất nhân tử chung nhóm xuất đẳng thức Cụ thể ví dụ sau: Ví dụ 12: Phân tích đa thức A = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 thành nhân tử Ta thấy A khơng có dạng đẳng thức, hạng tử khơng có nhân tử chung, làm để phân tích Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vì trước tiên ta dùng phương pháp nhóm hạng tử A = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 7/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Sau đặt nhân tử chung nhóm thứ làm xuất đẳng thức A = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sử dụng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử chung hai nhóm là(a+b) Vậy A = 5(a + b) (a - b) +3 (a + b)2 Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy ta tiếp tục đặt nhân tử chung A = (a + b) (8a - 2b) =2 (a + b) (4a - b) Ví dụ 13: Phân tích đa thức B = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy thành nhân tử Trước hết xác định xem dùng phương pháp trước ? Ta thấy hạng tử chứa nhân tử chung 3xy + Đặt nhân tử chung B = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1) Trong ngoặc có hạng tử xét xem có đẳng thức khơng? + Nhóm hạng tử: B = xyx2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2 + Dùng đẳng thức: B = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử ngoặc có dạng đẳng thức + Tiếp tục sử dụng đẳng thức: B = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Ví dụ 14: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Suy hệ sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B) Giải: A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3 = (x + y)3 +z3 +3z(x + y)(x+ y + z) – x3 – y3 – z3 = [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2) = 3(x + y)(y + z)(x + z) 2.5 Phương pháp tách hạng tử Trong số trường hợp phương pháp học giải mà ta phải nghĩ tách hạng tử thành nhiều hạng tử để áp dụng phương pháp biết Định lí bổ sung: 8/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f (1) a 1 f (1) a 1 số nguyên Ví dụ 15: : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + Cách 1: x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Cách 2: x2 - 6x + = x2 - 6x +9 - = (x - 3)2 - 12 = (x - 3+1)(x – - 1) = (x-2)(x-4) Cách 3: x2 - 6x + = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4) Cách 4: x2 - 6x + = x2 - 4x +4 - 2x + = (x-2)2 - 2(x-2) = (x - 2)(x - 4) Có nhiều cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử có cách thông dụng là: Cách : Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Cách : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương Ví dụ 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 9x2+6x-8 = 9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) = (3x -2)(3x+4) Hoặc = 9x2-6x+1 – = (3x+1)2-32 = (3x+1-3)(3x+1+3) = (3x -2) (3x+4) *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc thành hai hạng tử ta dựa vào đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q) Như tam thức bậc hai: a x2+bx+c hệ số b = b1+ b2 cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm sau : Tìm tích a.c Phân tích a.c thành tích hai thừa số nguyên cách Chọn hai thừa số mà tổng b Ví dụ 17: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử Ta có : a = ; b = ; c = -8 + Tích a.c =9.(-8) =-72 9/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” + Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số dương có giá trị tuyệt đối lớn (để tổng hai thừa số 6) -72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 = (-8).9 + Chọn hai thừa số có tổng 6, -6 12 Từ ta phân tích 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) Ví dụ 18 : Khi phân tích đa thức x –x - thành nhân tử Ta có : a = ; b = -1 ; c = -6 + Tích a.c =1.(-6) = -6 + Phân tích - thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn b = -1 < (để tổng hai thừa số -1) -6 = 1.(-6) = 2.(-3) + Chọn hai thừa số có tổng -1, : -3 Từ ta phân tích x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3) *Chú ý : Trong trường hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b số lẻ, khơng bình phương số nguyên nên giải theo cách gọn so với cách hai 2.6 Phương pháp thêm, bớt hạng tử Khi đa thức cho mà hạng tử đa thức khơng chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức khơng thể nhóm số hạng ta phải biến đổi hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết Ví dụ 19: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta có phân tích: - Tách x2 thành 2x2 – x2 : (làm xuất đẳng thức) Ta có x4 + x2 + = x4 + 2x2 + – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 - Thêm x bớt x: (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 20: Phân tích đa thức x5 + x4 + thành nhân tử Cách 1: Thêm x3 bớt x3 (làm xuất đẳng thức đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + 10/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” = (x5 + x4 + x3 )+ (1 – x3 ) = x3(x2+ x + 1)+ (1 – x )(x2+ x + 1) = (x2+ x + 1)(x3 – x + ) Cách 2: Thêm x3, x2, x bớt x3, x2, x (làm xuất đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x + )  Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,….; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + Ví dụ 21 : Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Ta thấy x4 =(x2)2 ; = 22 Do ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 4x2 x4 + = (x4 + + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2) Ví dụ 22 : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do ta thêm bớt vào đa thức cho hạng tử 16a2b2 64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab) Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải khó khăn q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Tóm lại Để thực tốt kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nêu thành thạo thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh kiến thức sau: Củng cố lại phép tính, phép biến đổi, quy tắc dấu quy tắc dấu ngoặc lớp 6, Ngay từ đầu chương trình Đại số giáo viên cần ý dạy tốt cho học sinh nắm vững kiến thức nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức, thức đáng nhớ, việc vận dụng thành thạo hai chiều đẳng thức Khi gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, học sinh cần nhận xét: 11/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” A Quan sát đặc điểm toán: Nhận xét quan hệ hạng tử toán (về hệ số, biến) B Nhận dạng toán: Xét xem toán cho thuộc dạng nào? áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau (đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp phương pháp) C Chọn lựa phương pháp giải thích hợp: Từ sở mà ta chọn lựa phương pháp cho phù hợp với toán  Lưu ý: Kinh nghiệm phân tích tốn thành nhân tử Trong tốn phân tích đa thức thành nhân tử - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung bước biểu thức lại ngoặc, thường thu gọn, sử dụng phương pháp nhóm dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp nhóm hạng tử bước biểu thức nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng phương pháp đẳng thức - Nếu bước 1, sử dụng phương pháp dùng đẳng thức bước toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức  Chý ý: Phương pháp đặt nhân tử chung sử dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp nhóm sử dụng liên tiếp hai bước liền Phương pháp dùng đẳng thức sử dụng liên tiếp hai bước liền * Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng tử * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận thực phép biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm hạng tử, sau bước giải phải có kiểm tra Phải có đánh giá tốn xác theo lộ trình định, từ lựa chọn sử dụng phương pháp phân tích cho phù hợp Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng toán, nhận xét đánh giá tốn theo quy trình định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào toán, sử dụng thành thạo kỹ giải toán 12/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” thực hành, rèn luyện khả tự học, tự tìm tịi sáng tạo Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm cách giải hay, cách giải khác Kết đạt Từ thực tế giảng dạy áp dụng phương pháp nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ cách giải toán dạng tập Kinh nghiệm giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững cách phân tích đa thức thành nhân tử chương trình học, học rèn luyện kĩ thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức mức độ khác thông qua chuỗi tập Bên cạnh cịn giúp cho học sinh giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm số phương pháp giải khác, dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài tốn học, phát huy tính tự học, tìm tịi, sáng tạo học sinh học toán Cụ thể kết kiểm tra dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử thống kê qua giai đoạn lớp sau: a) Chưa áp dụng giải pháp Thời gian : Khoảng hkI năm học 2019 – 2020 Chưa áp dụng giải pháp TS HS 43 Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) 10 23.25% b) Áp dụng giải pháp Thời gian TS Trung bình trở lên Số lượng Tỉ lệ (%) Tuần học thứ năm học 2019 – 2020 HS Kết áp dụng giải pháp 43 35 81.39% III Kết luận Với giáo viên nói chung thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tượng học sinh để từ đưa tập phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải tốn, u thích học tốn Từ nâng cao từ dễ đến khó, có người thầy giáo cần phải tìm tịi nhiều phương pháp giải tốn, có nhiều toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa cho học sinh làm, phát cách giải khác cách giải hay, tính tự giác học toán, phương pháp giải toán nhanh, có kỹ phát cách giải tốn nhanh, có kỹ phát cách giải Trong q trình thực đề tài hẳn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót định, mong góp ý chân tình đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 13/14 “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2020 NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 14/14 ... đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Ví dụ 9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử Gợi ý phân tích: Xét phương pháp: Đặt nhân tử chung ? 6/14 ? ?Một số phương pháp phân tích đa thức thành. .. Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực a Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 –... tử dạng tập vận dụng vận dụng ? Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác Phân tích đa thức thành nhân tử tốn nhiều tốn khác Ví dụ: Bài