sáng kiến kinh nghiệm: một số phương phấp phân tích đa thức thành nhân tử

A / Lời nói đầuPhân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, song đó lại là một trong những dạng toán khó đối với học sinh bậc THCS.. Bởi nó được vận dụng rất

A / Lời nói đầu

Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, song đó lại là một trong những dạng toán khó đối với học sinh bậc THCS

Nội dung này được giới thiệu khá đầy đủ trong chương trình Đại Số

8 và có thể coi là nội dung nòng cốt của chương trình Bởi nó được vận dụng rất nhiều ở các phần sau như: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức của các phân thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, biến đổi các biểu thức vô tỉ, giải phương trình bậc cao

Thực tế giảng dạy cho thấy, mặc dù các phương pháp được giơí

thiệu trong SGK rất roừ ràng, cụ thể Song việc các em vận dụng còn nhiều lúng túng Đặc biệt đối với học sinh khá giỏi thì nội dung kiến thức chưa đáp ứng được nhu cầu học toán của các em

Vậy Dạy - Học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử như thế nào để đạt kết quả tốt nhất? Phù hợp cho học sinh đại trà? Đồng thời đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh khá giỏi Để đạt kết quả đó, ngoài phương pháp truyền thụ người thầy phải nắm bắt được kiến thức một cách nhuần nhuyễn Đó chính là lý do tôi đưa ra đề tài này

Cụ thể trong đề tài này, với mỗi phương pháp cơ bản hay đặc biệt Tôi làm rõ:

Phương pháp giải

Bài tập tự luyện

Với nội dung và trình bày trong đề tài này, hy vọng đề tài này không chỉ là tài liệu hướng dẫn đối với học sinh mà còn là tài liệu tham khảo

bổ ích cho công tác giảng dạy của giáo viên các trường THCS

B Nội dung

Phần 1: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Các phương pháp cơ bản I/ Phương pháp đặt nhân tử chung

Phương pháp

Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có maởt trong tất caỷ các hạng tử

Phân tích mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) –3xy + x2y2 – 5x2y

b) 2x(y – z) + 5y(z – y)

c) 10x2(x + y) – 5(2x + 2y)y2

Bài làm a) 3xy + x2y2 – 5x2y = xy(- 3 + xy – 5x)

b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)

c) 10x2(x + y) – 5(2x + 2y)y2 = 10x2(x + y) – 10y2(x + y) = 10(x + y) (x2 – y2)

= 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) 2(x – y)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 12xy2 – 12xy + 3x

b) 15x – 30 y + 20z

c) 75x(y – 2007) – 3y(2007 - y)

d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1)

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau

a) 23,45 97,5 +23,45 5,5 -,23,45 3

b) 2x3(x – y) + 2x3(y – x ) + 2x3(z – x) (Với x = 2006 ; y =

2007 ; z = 2008)

II) Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Phương pháp

Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản

Những hằng đẳng thức :

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

A – B = (A + B)(A – B)

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2CA

An – Bn = (A – B)(An 1 + An 2B + … + ABn 2 + Bn 1)

A k – B k = (A +B)(A2 k 1 - A2 k 2B + … - B2 k 1)

A2 K 1 + B2 K 1 = (A + B)(A k – A2 k 1B + A2 k 2B2- … +B k)

(A + B)n = An + n An 1B - n( 1n.21) An 2B2 + … + n( 1n.21) A2Bn 2 + nABn 1+

Bn

(A - B)n = An - n An 1B +n( 1n.21) An 2B2 - … +(-1)nBn

Ví dụ Phân tích đa thức tành nhân tử

a) x2 + 6xy2 + 9y4

b) a4 – b4

c) (x – 3)2 - (2 – 3x)2

d) x3 – 3x2 + 3x - 1

Bài Làm a) x2 + 6xy2 + 9y4 = x2 + 2x3y2 + (3y)2 = (x + 3y2)2

b) a4 – b4 = (a2)2 – (b2)2 = (a2 + b2) (a2 – b2) = (a2 + b2) (a + b) (a – b)

c) (x – 3)2 - (2 – 3x)2 = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- 5 + 4x)

d) x3 – 3x2 + 3x - 1 = (x – 1)3

2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử

a) a3 + b3 + c3 – 3abc

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3

Bài Làm a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) + c3 – 3abc

= ( a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3abc( a + b +c)

= (a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3

= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a3 – b3 –c3

= 3(a + b)(ab + bc + ac + c2) = 3(a + b)(b + c) (c + a)

Bài tập tự luyện Bài 3 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x – 15)2 – 16

b) 25 – (3 – x)2

c) (7x – 4)2 – ( 2x + 1)2

d) 9(x + 1)2 – 1

e) 9(x + 5)2 – (x – 7)2

f) 49(y- 4)2 – 9(y + 2)2

Bài 4 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 8x3 + 27y3

b) (x + 1)3 + (x – 2)3

c) 1 – y3 + 6xy2 – 12x2y + 8x3

d) 20042 - 16

III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

Phương pháp

Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào từng nhóm

Áp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán

2 Ví dụ

2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2 – 3xy + x – 3y

b) 7x2 – 7xy – 4x + 4y

c) x2 + 6x – y2 + 9

d) x2 + y2 – z2 – 9t2 – 2xy + 6zt

Bài Làm

a) x2 – 3xy + x – 3y = (x2 – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)

b) 7x2 – 7xy – 4x + 4y = (7x2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)

c)x2 + 6x – y2 + 9 = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 - y2= (x + 3 + y)(x + 3 – y)

d)x2 + y2 – z2 – 9t2 – 2xy + 6zt = (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 6zt + 9t2)

= (x – y)2 – (z – 3t)2 = (x – y + z – 3t)(x – y –

z + 3t

2.2/ Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz

b) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz

Bài Làm a) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz

= (x2z + y2z + 2xyz) + x2y + xy2 + xz2 + yz2

= z(x + y)2 + xy(x + y) + z2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z2)

= (x + y) [(xz + xy) + (yz + z2)]

= (x + y) [x(z + y) + z(z + y)]

= (x + y)(y + z)(x + z)

b) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz

= (x2y + x2z + xyz) + ( xy2 + y2z + xyz) + (x2z + yz2 + xyz)

= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)

= (xy + yz + xz)( x + y + z)

3 Bài Tập

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x4 + 3x2 – 9x – 27

b) x4 + 3x3 – 9x – 9

c) x3 – 3x2 + 3x – 1 – 8y3

BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2)

b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )

c) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz

d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)

IV/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

1 Phương pháp

Vận dụng linh hoạt các phương pháp cơ bản đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau :

- Đặt nhân tử chung

- Dùng hằng đẳng thức

- Nhóm nhiều hạng tử

2 Vớ dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 5x3 - 45x

b) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

Bài làm a) 5x3 – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3)

b) 3x2y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)

= 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]

= 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]

= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]

= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)

3 Bài tập

Bài 7 Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc

b) 8x3(x + z) – y3(z + 2x) – z3(2x - y)

c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2

Bài 8 Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y + z)3 – x3 – y3 - z3

Hướng dẫn (x + y + z )3 – x3 – y3 - z3

=[(x + y + z)3 – x3] – (y3 + z3)

= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz +

z2)

= (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz –

z2]

= (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz)

= 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)]

= 3( x + y)(y + z)(x + z)

V/ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử

1 Phương pháp

Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung

2 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử x2 – 6x + 8

Bài làm

Cách 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2) (x – 4)

Cách 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x –

3 – 1) = (x – 2)(x – 4)

Cách 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)

Cách 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)

Cách 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)

3 Bài tập

Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x2 + 7x +10

b) x2 – 6x + 5

c) 3x2 – 7x – 6

d) 10x2 – 29x + 10

Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x3 + 4x2 – 29x + 24

b) x3 + 6x2 + 11x + 6

c) x2 – 7xy + 10y

d) 4x2 – 3x – 1

VI/ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.

Phương pháp

Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử chung bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức,

Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử.

x4 + 64 = x4 + 64 + 16x2 – 16x2= (x2 + 8)2 – (4x)2 = (x2 + 4x + 8)(x2

– 4x + 8)

Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x4 + 4y4

b) x5 + x + 1

Bài làm a) x4 + 4y4= x4 + 4y4 + 4x2y2 – 4x2y2= (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)

b) x5 + x + 1 = (x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2) + (x2 + x + 1)

= x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + (x2 + x +1)

= (x2 + x + 1)(x3 – x2 +1)

Bài tập

Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x5 + x4 + 1

b) x8 + x7 + 1

c) x8 + x + 1

d) x8 + 4

Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x3 + 5x2 + 3x – 9

b) x3 + 9x2 + 11x – 21

c) x3 – 7x + 6

Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x3 - 5x2 + 8x – 4

b) x3 – 3x + 2

c) x3 – 5x2 + 3x + 9

d) x3 + 8x2 + 17x + 10

e) x3 + 3x2 + 6x + 4

Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) x3 – 2x – 4

b) 2x3 – 12x2 + 7x – 2

c) x3 + x2 + 4

d) x3 + 3x2 + 3x + 2

e) x3 + 9x2 + 26x + 24

f) 2x3 – 3x2 + 3x + 1

g) 3x3 – 14x2 + 4x + 3

* MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC

VII/ Phương pháp đặt biên số (đặt biên phụ)

Phương pháp

Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn

Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 6x4 – 11x2 + 3

b) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) –5

c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

Bài Làm a) 6x4 – 11x2 + 3

- Đặt x2 = y

- Đa thức đã cho trở thành: 6y2 – 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)

- Trả lại biến cũ:

6x4 – 11x2 + 3 = (3x2 – 1) (2x2 – 3) = ( 3 x – 1)( 3 x + 1)( 2 x

-3)( 2 x + 3)

b) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) –5

- Đặt x2 + 3x + 1 = y  x2 – 3x – 3 = y – 4

- Đa thức đã cho trở thành

y(y – 4) – 5 = y2 – 4y – 5 = (y + 1)(y + 5)

- Trả lại biến cũ

(x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) – 5 = (x2 + 3x + 1 + 1)(x2 + 3x + 1 – 5)

= (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15

c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

- Đặt x2 + 8x + 7 = y  x2 + 8x + 15 = y + 8

- Đa thức đã cho trở thành :

y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5)

= (y + 5)(y + 3)

- Trả lại biến cũ

(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x2 + 8x +7 + 5)(x2 + 8x + 7 + 3)

= (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)

3 Bài tập

Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15

b) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) – 6

c) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4

c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x2

d) 3x6 – 4x5 + 2x4 – 8x3 + 2x2 – 4x + 3

VIII/ Phương Pháp hệ số bất định

Phương Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì

hệ số tương ứng của chúng phải bằng nhau

an xn + an 1 xn 1 + + a2x2 + a1x + a0 = bnxn + bn 1xn 1 + + b2x2 + b1

x + b0

 ai = bi  i = 1; n

2 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

2.1 Ví dụ 1: A = x3 + 11x + 30

Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1 Nên nếu A phân tích được thì A có dạng

A = (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac

 x3 + 11x + 30 = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac

Đồng nhất hệ số, ta có



















30

11

0

ac

c

ab

b

a

Chọn a = 2  c = 15; b = -2

Vậy (x3 + 11x + 30) = (x + 2)(x2 – 2x + 15)

2.2 Ví dụ 2: B = x4 – 14x3 + 15x2 – 14x +1

Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích được thành nhân tử thì B có dạng:

B = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

B = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất hệ số, ta có:

14

15 14

1

a c

ac b d

ad bc

bd

 







 

































1 13 1 1

d c b

a

hoặc

13 1 1 1

a b c d





 









 



Do vậy B = (x2 – x + 1)(x2 – 13x + 1) hoặc B = (x2 – 13x + 1)(x2 – x + 1)

Bài tập

Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x3 + 4x2 + 5x + 2

b) 2x4 – 3x3 –7x2 + 6x + 8

c) 5x4 + 9x3 – 2x2 – 4x – 8

Bài 17: Tìm a, b, c

a) x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + a = (x2 – 2x + 1)(x2 + bx + c)

b) x3 + 3x2 – x – 3 = (x – 2)( 2x + bx + c) + a

c) 4x3 + 7x2 + 7x – 6 = (ax + b)(x2 + x +1) + c

IX/ Phương pháp xét giá trị riêng

Phương pháp: Khi các biến có vai trò như nhau trong đa thức thì ta

xét giá trị riêng

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.

2.1: Ví dụ 1: P = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

Bài Làm Coi P là một đa thức biến x

Khi đó nếu x = -y thì P = 0  P  (x + y)

Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên.

P  (x + z)

P  (y + z)

 P = (x + y)(x + z)(y + z).Q

Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số

Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3

Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)

Ví dụ 2:

M = a(b + c)(b2 - c2) + b(c + a)(c2 - a2) + c(a + b)(a2 - b2)

Bài Làm Coi M là đa thức biến a

Khi a = b thì M = 0

M  (a - b)

Trong M vai trò của a, b, c bình đẳng nên :

M  (b - c)

M  (c - a)

M = (a - b)(b –c)(c – a)N

Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a

Nhưng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên:

N = (a + b + c)R (R là hằng số)

 M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R

Chọn a = 0, b = 1, c = 2  R = 1

Vậy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)

Bài tập

Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử

A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

X Phương pháp tìm nghiệm của đa thức

1 Phương pháp

Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0

Như vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a) thì phải là nghiệm của đa thức

Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ

số tự do

2 Ví dụ: x3 + 3x - 4

Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a là ước của

- 4

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tư không đổi

Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4 sau khi kiểm tra ta thấy1 là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x - 1)

Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x – 1)

* Cách 1:

x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2

* Cách 2:

x3 + 3x2 – 4 = x 3– 1 + 3x2 – 3 = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2

Chú ý:

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x – 1)

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1)

Ví dụ :

* Đa thức : x3 - 5x2 + 8x – 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0

Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số (x – 1)

*Đa thức : x3 – 5x2 + 3x + 9 có (- 5) + 9 = 1 + 3

Suy ra đa thức có nghiệm là - 1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1)

+Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu

tỷ

Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng q p trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất