Chuyên đề 5 TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH tứ GIÁC NHỜ sử DỤNG các tỉ số LƯỢNG GIÁC 1

Chuyên đề TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC A Đặt vấn đề Ta biết cách tính diện tích tam giác theo cơng thức quen thuộc S  ah, a độ dài cạnh tam giác, h chiều cao ứng với cạnh Bây ta vận dụng tỉ số lượng giác, hệ thức cạnh góc tam giác vng để xây dựng thêm cơng thức tính diện tích tam giác, tứ giác B Một số ví dụ Ví dụ Chứng minh diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh Giải Gọi  góc nhọn tạo hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC tam giác ABC Vẽ đường cao CH Xét ACH vng H có CH  AC.sin  Diện tích ABC S  1 AB.CH Do dó S  AB AC.sin  2 Lưu ý: Nếu   900 , ta có S  AB AC Như sin 900  1, điều học lớp Ví dụ Tứ giác ABCD có AC  m, BD  n, góc nhọn tạo hai đường chéo  Chứng minh diện tích tứ giác tính theo cơng thức S  Giải �   Gọi O giao điểm AC BD Giả sử BOC Vẽ AH  BD, CK  BD Ta có AH  OA sin  ; CK  OC sin  OA  OC  AC Diện tích tứ giác ABCD là: mn sin  1 BD AH  BD.CK 2 1  BD( AH  CK )  BD(OAsin   OC sin  ) 2 1  BD sin  (OA  OC )  AC.BD sin   mn sin  2 S  S ABD  SCBD  Lưu ý: • Nếu AC  BD ta có S  1 AC.BD  mn 2 • Phương pháp tính diện tích tứ giác ví dụ chia tứ giác thành hai tam giác khơng có điểm chung, tính diện tích tam giác Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC Gọi độ dài cạnh BC, CA, AB a, b, c Tính diện tích tam giác ABC biết a  2cm, b  5cm, c  7cm Giải Theo định lí cơsin ta có: a  b  c  2bc cos A  Do  Suy cos A   52   2.5.7.cos A � sin A   cos A    25 1 Vậy diện tích tam giác ABC là: S  bc sin A  5.7  14  cm  2 Nhận xét: Trong cách giải ta tìm cos A suy sin A Ta vận dụng định lí cơsin để tìm cos B suy sin B (hoặc tìm cos C suy sin C ) Tính Ví dụ Tứ giác ABCD có AC  BD  12cm Góc nhọn hai đường chéo 45� diện tích lớn tứ giác Giải Gọi O giao điểm AC BD Giả sử � AOD  45� Diện tích tứ giác ABCD là: S 1 2 AC.BD.sin 45� AC.BD  AC.BD 2 �AC  BD � Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có: AC.BD �� � � � Do S � �AC  BD � 2   cm  � � � � Vậy max S  2cm AC  BD  6cm Ví dụ Cho tam giác ABC , � A  60� Vẽ đường phân giác AD Chứng minh rằng: 1   AB AC AD Giải Ta có S ABD  1 AB AD.sin 300  AB AD 2 S ACD  1 AC AD sin 30� AC AD 2 S ABC  1 AB AC.sin 60� AB AC 2 1 1 Mặt khác S ABD  S ACD  S ABC nên AB AD  AC AD  AB AC 2 2 2 Do AD  AB  AC   AB AC Suy AB  AC 1  hay   AB.AC AD AB AC AD Nhận xét: Phưong pháp giải ví dụ dựa quan hệ tổng diện tích tam giác ABD tam giác ACD diện tích tam giác ABC Ví dụ Tam giác ABC có cạnh nhỏ 4cm Chứng minh tam giác có diện tích nhỏ 7cm Giải � �C �, � Giả sử � A �B A �60�và sin A � Diện tích tam giác ABC là: S 1 AB AC.sin A � 4.4   6,92   cm  2 Nhận xét: Do vai trị góc A, B, C tam giác ABC nên ta giả � �C �, từ suy � sử � A �B A �60� , dẫn tới sin A � C Bài tập vận dụng • Tính diện tích 5.1 Chứng minh diện tích cùa hình bình hành diện tích hai cạnh kề nhân với sin góc nhọn tạo hai đường thẳng chứa hai cạnh �    0�   45� 5.2 Cho hình chữ nhật ABCD, AC  a BAC  Chứng minh diện tích hình chữ nhật ABCD S  a sin 2 5.3 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox lấy điểm A C, tia Oy lấy điểm B D cho S AOB OA OB  m.n  m,  n Chứng minh SCOD OC OD 5.4 Tam giác nhọn ABC có BC  a, CA  b, AB  c Gọi diện tích tam giác ABC S Chứng minh S  b2  c2  a2 Áp dụng với a  39, b  40, c  41 � A  45� Tính S cot A Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm A 5.5 Cho góc xOy có số đo 45� B cho OA  OB  8cm Tính diện tích lớn tam giác AOB 5.6 Cho tam giác nhọn ABC Trên cạnh AB, BC, CA lấy điểm M,N, P cho AM  1 AB, BN  BC , CP  CA Chứng minh diện tích tam giác MNP nhỏ diện tích tam giác ABC 5.7 Cho đoạn thẳng AB  5cm Lấy điểm O nằm A B cho OA  2cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Một góc vng đỉnh O có hai cạnh cắt tia Ax, By D E Tính diện tích nhỏ tam giác DOE 5.8 Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn Gọi H K hình chiếu A đường thẳng DC BC a) Chứng minh KAH : ABC , từ suy KH  AC.sin B; �  60� b) Cho AB  a, BC  b B Tính diện tích AHK tứ giác AKCH • Chứng minh hệ thức 5.9 Cho tam giác ABC ( AB  AC ), � A  60� Đường phân giác đỉnh A cắt đường thẳng BC N Chứng minh rằng: 1   AB AC AN 5.10 Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  Các đường phân giác đỉnh A tam giác cắt đường thẳng BC M N Chứng minh rằng:  a) 1   AM AN AB b) 1   AM AN AC 5.11 Cho tam giác ABC , � A    900 Vẽ đường phân giác AD Chứng minh rằng: 1   AB AC  AD cos Trên tia phân giác góc lấy điểm A 5.12 Cho góc xOy có số đo 30� cho OA  a Qua A vẽ đường thẳng cắt Ox Oy theo thứ tự B C Tính giá trị tổng 1  OB OC 5.13 Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn hai đường chéo góc nhọn hình bình hành Chứng minh độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề hình bình hành • Tính số đo góc Tính độ dài 5.14 Tam giác nhọn ABC có AB  4, 6cm; BC  5,5cm có diện tích 9, 69cm Tính số đo góc B (làm trịn đến độ) �  90� 5.15 Cho hình bình hành ABCD, B Biết AB  4cm, BC  3cm diện tích hình bình hành 3cm Tính số đo góc hình bình hành 5.16 Cho tam giác ABC có diện tích S  50cm , � A    90� Trên hai cạnh AB AC lấy điểm D E cho ADE nhọn, có diện tích S1  DE �10 tan S Chứng minh   cm  5.17 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Biết AB  4, 7cm, AC  5,3cm � A  72� Tính độ dài AD (làm tròn đến hàng phần mười) 5.18 Cho tam giác ABC , AB  6cm, AC  12cm, � A  120� Vẽ đường phân giác AD Tính độ dài AD 5.19 Cho tam giác ABC , AB  5cm, BC  7cm, CA  8cm Vẽ đường phân giác AD Tính độ dài AD 5.20 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Biết 1   , tính số đo góc BAC AB AC AD HƯỚNG DẪN GIẢI-ĐÁP SỐ �    90� 5.1 Xét hình bình hành ABCD, D Vẽ đường cao AH Xét tam giác ADH vuông H, ta có: AH  AD.sin  Diện tích hình bình hành ABCD là: S  CD AH  CD AD.sin  Vậy S  AD.DC.sin  5.2 Xét ABC vng B có AB  AC cos   a cos  ; BC  AC sin   a sin  Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S  AB.BC  a cos  a sin   a sin  cos   a 2sin  cos   a sin 2 2 1 5.3 Tacó S AOB  OA.OB sin  ; SCOD  OC.OD sin  2 Do S AOB SCOD OA.OB sin  OA OB    m.n OC.OD sin  OC OD 5.4 Vì ABC nhọn nên theo định lí cơsin ta có a  b  c  2bc cos A � cos A  b2  c  a 2bc Ta có cot A  Do S  cos A b  c  a b  c  a (vì S  bc sin A)   sin A 2bc sin A 4S b2  c  a cot A Áp dụng: Với a  39, b  40, c  41 � A  45�ta có: S 402  412  392  440 (đvdt) cot 450 5.5 Ta đặt diện tích tam giác AOB S 1 Ta có S  OA.OB sin O  OA.OB sin 45� 2 2  OA.OB  OA.OB 2 2 �OA  OB � �8 � Nhưng OA.OB �� � � � 16 � � �2 � Do S � 16   cm  OA  OB  4cm Vậy max S  2cm 5.6 Tacó AM  AB � BM  AB; 4 BN  BC � CN  BC ; 3 1 CP  CA � AP  CA 2 Ta đặt S AMP  S1 ; S BMN  S ; SCNP  S3 S ABC  S Khi đó: S1  1 1 1 AM AP sin A  AB AC.sin A  AB AC.sin A  S 2 8 S2  1 1 1 BM BN sin B  AB BC.sin B  BA.BC.sin B  S 2 4 1 1 1 S3  CN CP sin C  CB .CA.sin C  CB.CA.sin C  S 2 3 17 �1 1 � 17 S S Do S MNP  S  S  S Vậy S1  S  S3  �   � 24 24 �8 � 24 S MNP  S S  S 24 24 Cách giải khác: (không dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10) Vẽ đoạn thẳng AN Xét tam giác NMB NAB có BM  từ đỉnh N nên S  S NAB  1 Xét tam giác ABN ABC có BN  BC nên S ABN  S   3 1 Từ (1) (2) suy S  S  S 4 AB chung chiều cao vẽ 1 Chứng minh tương tự ta S3  S ; S1  S 8 �1 1 � S S S Do S MNP  S  �   �S  24 �8 � 24 � ) � 5.7 Ta có � (cùng phụ với BOE AOD  BEO �  Ta đặt � AOD   BEO Xét AOD vng O, ta có: OD  OA  cos  cos  Xét BEO vng B, ta có: OE  OB  sin  sin  Diện tích tam giác DOE là: 1 S  OD.OE     * 2 cos  sin  2sin  cos  Áp dụng bất đẳng thức x  y �2 xy ta được: sin   cos  �2sin  cos  hay �2sin  cos  Thay vào (*) ta đươc: S  6 � 2sin  cos  ) (dấu “=” xảy sin   cos  �   45� Vậy S  6cm   45� Nhận xét: Việc đặt � AOD   giúp ta tính cạnh góc vng DOE , từ tính diện tích tam giác theo tỉ số lượng giác góc  Do việc tìm S đưa tìm max  sin  cos   đơn giản 5.8 a) Ta có AB / / CD mà AH  CD nên AH  AB �K �  90� • ADH ABK có: H ; �B � (hai góc đối hình bình hành) D Do ADH ∽ ABK (g.g) Suy AD AH  AB AK Do AK AH AH   (vì AD  BC ) AB AD BC � ); � B � (cùng phụ với BAK • KAH ABC có KAH AK AH  AB BC Do KAH ∽ ABC (c.g.c) Suy KH AK  AC AB Xét ABK vng K có sin B  Vậy AK AB KH  sin B hay KH  AC.sin B AC b) Diện tích tam giác ABC S  1 ab (đvdt) AB.BC.sin B  ab.sin 60� 2 Vì S KAH ∽ S ABC nên Suy S KAH  S KAH �AK �  � �  sin B   S ABC �AB � 3 ab 3 3ab (đvdt) S ABC   4 16 Ta có S ABCD  ab sin 60� S ABK  ab (dvdt) 1 BA.BK sin 60� BA  BA cos 60�  sin 60� 2 1 a2 (đvdt)  a.a  2 S ADH  1 DA.DH sin 60� DA  DA cos 60�  sin 60� 2 b2 (đvdt)  b  2 Mặt khác S AKCH  S ABCD  S ABK  S ADH Nên S AKCH  ab a b 3    4ab  a  b  (đvdt)  8 �  NAB �   1800  600  :  600 5.9 Ta có NAx AN AC.sin 60� S ANB  AN AB.sin 60� S ABC  AB AC sin 60� S ANC  Vì S ANC  S ANB  S ABC nên 1 AN AC.sin 60� AN AB.sin 60� AB AC.sin 60� 2 Do AN  AC  AB   AB AC Suy AC  AB 1 1    hay AB AC AN AB AC AN 5.10 a) AM, AN hai đường phân giác hai góc kề bù nên AM  AN S ABM  1 ; AB AM sin 450  AB AM 2 S ABN  1 ; AB AN sin 450  AB AN 2 S AMN  AM AN (vì AMN vuông A) Mặt khác, S ABM  S ABN  S AMN nên: 2 AB AM  AB AN  AM AN 2 2 Do AB  AM  AN  AM  AN  AM AN  AM AN 1 ; +  hay AB AM AN AB b) Góc nhọn tạo hai đường thẳng AN, AC 45� Ta có S ANC  1 AC AN sin 45� AC AN ; 2 S AMC  1 AC AM sin 45� AC AM ; 2 S AMN  AM AN (vì AMN vuông A) 2 Mặt khác, S ANC  S AMC  S AMN nên AC AN  AC AM  AM AN 2 2 Do AC  AN  AM  AN  AM  Suy AM AN  AM AN 1  hay AC AM AN AC 5.11 • Trường hợp góc A nhọn Ra đặt � A  Ta có S ABD   AB AD.sin 2 S ACD   AC AD.sin ; S ABC  AB AC.sin  2 Mặt khác, S ABD  S ACD  S ABC nên   AB AD.sin  AC AD.sin  AB AC.sin  2 2 Suy AB AD.sin (vì sin   2sin      AC AD.sin  AB AC.2.sin cos 2 2   cos ) 2 Do AD  AB  AC   AB AC.2.cos Suy AB  AC  AB AC    2.cos 1 dẫn tới   AD AB AC AD 2.cos • Trường hợp góc A tù �   BAx �  180�  Ta đặt BAC � góc nhọn Khi BAx Ta có S ABD  S ACD  S ABC Do   AB AD.sin  AC AD.sin  AB AC.sin  180�   2 2 180�  180�  � � � � AB AC 2.sin cos  AB AC.2.sin � 90� � cos � 90� � 2 2 2� � 2� �   AB AC.2.cos sin 2  Suy AD  AB  AC   AB AC.2.cos Do AB  AC  AB AC    2.cos hay   AD AB AC AD 2.cos 1 Nhận xét: Nếu �   , phù hợp với kết luận A  90�thì ta chứng minh AB AC AD toán 5.12 Ta có S AOB  OA.OB.sin150 S AOC  OA.OC sin150 S BOC  OB.OC sin 300 Mặt khác, S AOB  S AOC  S BOC nên 1 OA.OB.sin15� OA.OC.sin15� OB.OC.2sin15� cos15� 2 Do OA  OB  OC   2OB.OC cos15� Suy OB  OC cos15�  hay   OB.OC OA OB OC  6 a.4 5.13 Gọi O giao điểm hai đường chéo Ta đặt OC  OA  x, OD  OB  y, AD  m, CD  n Giả sử � AOD  � ADC    90� Xét OCD có � AOD góc ngồi nên � C � � D AOD   � C � � �D � Mặt khác D ADC   Suy C 1 Ta có S ADO  1 �;S � m y sin D n.x sin C DCO  2 Mặt khác S ADO  S DCO nên m y  n.x Do x m 2x m AC AD  �   hay y n 2y n BD DC 5.14 Ta có S  � sin B  AB.BC sin B 2S 2.9, 69  �sin 500 AB.BC 4, 6.5,5 � �50� Vậy B 5.15 Ta có S  AB AC.sin B sin B  S 3    sin 60� AB.BC 4.3 �  60�� D �  60� �  120� Vậy B ; � AC 5.16 Ta đặt AD  x, AE  y Khi diện tích ADE S1  S1  x y sin  ; S  25cm2 Ta có DE  x  y  xy cos  Mặt khác x  y �2 xy (dấu “=” xảy x  y )  6 2a Do DE �2 xy  xy cos   xy   cos    xy sin    cos   4S1   cos   100.2sin      100 tan   sin  sin  2sin cos 2 Vậy DE � 100 tan    10 tan 2 A 5.17 Ta có   AB AC  (bài 5.11) AD cos 1 cos 360 10 cos 36   �  Do 4, 5,3 AD 4, 7.5,3 AD Suy AD  4, 7.5,3.2.cos 360 �4,  cm  10 A 5.18 Ta có   AB AC Do  AD cos 1 cos 600 1   �  � AD   cm  12 AD AD 5.19 Vì cạnh CA cạnh lớn nên góc B góc lớn ABC Ta thấy AC  AB  BC (vì 82  52  ) nên góc B góc nhọn, dó ABC tam giác nhọn Theo định lí cơsin ta có: BC  AB  AC  2bc cos A � 72  52  82  2.5.8cos A Do cos A  Ta có: �� A  600 A cos 300   AB AC AD 1 � 13  � AD  40  cm  �   AD 40 AD 13  cos �   Ta có 1 5.20 Ta đặt BAC   AB AC AD Mặt khác 1   AB AC AD Suy Do     Do 2cos  � cos   cos 60 2 AD AD cos   cos 600 �   1200 ... pháp tính diện tích tứ giác ví dụ chia tứ giác thành hai tam giác khơng có điểm chung, tính diện tích tam giác Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC Gọi độ dài cạnh BC, CA, AB a, b, c Tính diện tích tam giác. .. tích tam giác ABD tam giác ACD diện tích tam giác ABC Ví dụ Tam giác ABC có cạnh nhỏ 4cm Chứng minh tam giác có diện tích nhỏ 7cm Giải � �C �, � Giả sử � A �B A �60�và sin A � Diện tích tam giác. .. Áp dụng với a  39, b  40, c  41 � A  45? ?? Tính S cot A Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm A 5. 5 Cho góc xOy có số đo 45? ?? B cho OA  OB  8cm Tính diện tích lớn tam giác AOB 5. 6 Cho tam giác