Thông tin tài liệu
Chuyên đề 4: HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC VÀ 2 0� 45� A Đặt vấn đề Trong chuyên đề ta thiết lập hệ thức liên hệ tỉ số lượng giác góc góc 2 Nhờ mà ta tính tỉ số lượng giác góc biết tỉ số lượng giác góc 2 ngược lại B Một số ví dụ Ví dụ Cho 45�, chứng minh sin2 2sin cos Áp dụng: Cho sin 0,6 tính sin2 Giải � 45� Xét ABC vuông A, C Vẽ đường cao AH đường trung tuyến AM Khi MA MB MC BC � 2 Ta có AMC cân M, � AMB 2C ABC vng A, ta có sin AB AC ; cos BC BC Xét AHM vuông H, ta có sin2 Ta có 2sin.cos AH AM 1 AB AC 2.AB.AC 2AH.BC 2AH 2AH AH BC BC BC 2AM AM BC2 BC2 2 Từ 1 2 suy sin2 2sin cos Áp dụng: Nếu sin 0,6 cos2 1 sin2 1 0,6 0,64 Do cos 0,64 0,8 Vậy sin2 2sin.cos 2.0,6.0,8 0,96 Nhận xét: Việc xét ABC vuông A để có sin cos Việc vẽ đường trung tuyến AM để xuất 2 Vẽ thêm đường cao AH để tính sin2 Ví dụ Cho 45� Chứng minh hệ thức sau: a) cos2 cos2 sin2 b) tan2 2tan 1 tan2 Giải a) Ta có cos2 2 1 sin2 2 1 2sin cos 1 4sin2 cos2 cos2 sin2 cos2 sin2 4sin2 cos2 cos4 2sin2 cos2 sin4 Do đó: cos2 cos sin 2 cos2 sin2 Vì 45�nên sin cos (xem 2.26) Vậy cos2 cos2 sin2 Lưu ý: Tiếp tục biến đổi hệ thức ta hệ thức sau cos2 sin2 cos2 1 cos2 2cos2 cos2 sin2 1 sin2 sin2 1 2sin2 Vậy cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 b) Ta có tan2 sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 Chia tử mẫu cho cos2 ta được: 2tan 2sin cos cos2 sin2 2sin : tan tan2 : cos 1 tan2 cos2 cos2 � với Chứng minh rằng: Ví dụ Cho tam giác ABC vuông C, � A ,B sin sin 1 sin2 Giải � 90� ABC vuông C nên � A B � nên � Mặt khác, � A 45� A B Ta có 90�nên sin cos Do sin sin sin cos 2 sin2 cos2 2sin.cos 1 sin2 Ví dụ Khơng dùng máy tính bảng số tính: , cos22� , tan22� sin22� 30� 30� 30� Giải Tìm hướng giải Vì 22� 30�bằng nửa góc 45�, nên ta dùng cơng thức tỉ số lượng giác góc nhân đơi để giải Trình bày lời giải �Ta có cos2 1 2sin2 � sin2 1 cos2 30� Với 22� , 2 45�ta được: sin2 22� 30� � 2 2 1 cos45� � � � � 2� � � Suy sin22� 30� 2 2 �Ta có cos2 2cos2 � cos2 1 cos2 30� Với 22� , 2 45�ta được: cos22� 30� � 2 2 1 cos45� � � � � 2� � � 2 Suy cos22� 30� � tan22� 30� sin22� 30� cos22� 30� 2 2 : 2 2 2 2 1 21 1 21 C Bài tập vận dụng 4.1 Cho 0� 45�, chứng minh 4.2 Cho sin 1 sin2 sin cos 24 25 a) sin2 b) sin 4.3 Khơng dùng máy tính bảng số, tính: sin15�,cos15�, tan15� 4.4 Khơng dùng máy tính bảng số, tính: sin75�,cos75� , tan75� 4.5 Khơng dùng máy tính bảng số, tính: , cos67� , tan67� sin67� 30� 30� 30� 4.6 Khơng dùng máy tính bảng số, tính: a) cos36� b) Từ tính cos72� , cos18�,sin72�, sin18� 4.7 Cho hình vng ABCD Gọi M, N trung điểm BC CD Đặt � MAN , tính sin � 45� Vẽ đường trung tuyến AM 4.8 Cho tam giác ABC vuông A, BC a , C Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AM cắt đường thẳng BC N Chứng minh rằng: CN a2 cos 2cos2 4.9 Cho tam giác ABC cân A, � A 80� Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh AC lấy � 50� điểm N cho BAM , � ABN 30� Gọi O giao điểm AM BN Chứng minh MON tam giác cân 4.10 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng: sin A.sin B.sinC �sin B C C A A B sin sin 2 HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 4.1 Ta có 1 sin2 sin2 cos2 2sin.cos sin cos Do 1 sin2 sin cos Ta có sin cos nên 2 sin cos 1 sin2 sin cos 4.2 �24 � 49 a) Ta có sin2 cos2 � cos2 1 � � �25� 625 Do cos 49 625 25 Vậy sin2 2sin.cos 24 336 25 25 625 2 b) Từ công thức cos2 1 2sin2 suy cos 1 2sin Do sin 1 cos � � � 1 �: Vậy sin 25 2 � 25� 4.3 Ta có cos2 1 2sin2 � sin 1 cos2 Với 15�,2 30�ta được: 1 cos30� � � 2 4 sin2 15� � 1 :2 � � � � 2� Do sin2 15� 31 31 2 Với 15�,2 30�ta được: 6 31 cos2 15 � 3� 2 4 � : � � 2� � � Do cos15� Ta có tan15� 31 31 1 cos30� 2 31 2 6 2 1 sin15� : cos15� 4 31 3 2 4 2 Cách giải khác: Tính trực định nghĩa tỉ số lượng giác �Cách thứ � 15�, AC Xét ABC vng A, B Để tính sinB, cosB , tanB ta cần phải biết AB, BC Vẽ đường trung trực BC cắt AB N � 30� NBC cân N Ta có � ANC 2B Xét ANC vng A có � ANC 30�, nên NC 2AC AN AC.cot30� ; AB AN NB AN NC Xét ABC vng A có BC2 AB2 AC2 12 8 Do BC Vậy sin15� sin B AC BC 31 2 2.2 31 AB BC tan15� tan B AC 2 2 AB 31 31 6 31 2 cos15� cos B 6 �Cách thứ hai � 15�, BC Xét ABC vuông A, B Vẽ đường trung tuyến AM đường cao AH Ta có MA MB MC � 30� MAB cân M, � AMC 2B Xét AMH vuông H, � AMC 30�nên AH AM Ta có HM AM.cos M 2.cos30� Suy HB HM MB Ta có AB2 AH HB2 12 � AB 31 AC2 BC2 AB2 16 8 8 � AC 8 2 31 Vậy sin15� sin B AC 6 BC cos15� cos B tan15� tan B AB BC AC AB 2 2 31 1 31 31 4.4 Dùng kết 4.3 ta được: sin75� cos15� 6 cos75� sin15� 6 tan75� cot15� 1 2 tan15� 4.5 Dùng kết ví dụ ta được: sin67� 30� cos22� 30� 2 2 6 2 31 2 cos67� 30� sin22� 30� 2 2 tan67� 30 cot22� 30� tan22� 30� 1 21 4.6 �C � 72� a) Vẽ ABC cân A, � A 36�, BC Khi B Vẽ đường phân giác BD Dễ thấy tam giác BCD, ABD tam giác cân Do AD BD BC Vẽ DH AB HA HB Ta đặt HA HB x Xét ADH vuông H, ta có cos A AH x AD Do cos36� x Xét ABC có AB AC 2x ; CD 2x Vì BD đường phân giác nên: DA AB 2x � DC AC 2x 1 2 1� � � � � 4x 2x � � 2x � � � � 2� � � �2 � � 51 x (ch� n) � � � 5� 5� � �� 2x 2x � � � � � � � � � 1 2 2 � � � � x (lo� i) � � 5 Vậy cos36� b) Vận dụng hệ thức cos2 2cos2 ta � 1� 6 cos72� 2cos 36� 2.� � � � � � Cũng vận dụng hệ thức cos36� 2cos2 18� cos36� 1 � � cos 18 ް � 1� � 2� � � 5 10 16 ta 51 Do cos18� 10 Từ suy sin72� cos18� sin18� cos72� 10 51 4.7 Ta đặt AB 2a BM = DN = a Dùng định lí Py-ta-go ta tính AM AN a � DAN � , 90� 2 Đặt BAM Vậy 2 hai góc phụ Ta có cos AD 2a AN a 5 �2 � sin cos2 2cos 2.� � � 5� Cách giải khác Gọi H giao điểm AN với DM � AND DMC c.g.c Suy � A1 D � D � 90�nên � � 90� Ta có D A1 D 2 Suy AH DH Ta đặt AB 2a DN a , DM AM a DHN �DCM gg � Suy DH DH DN DC DM DC.DN 2a.a 2a DM a Do HM DM DH a Ta có sin 2a 3a 5 HM 3a :a 5 AM 5 4.8 ABC vuông cân A, AM đường trung tuyến nên AM MB MC a � AMC cân M � AMN 2 Xét AMN vuông cân ta có AM MN.cos2 � MN AM 2AM a cos2 2cos2 2cos2 Ta có CN CM MN a cos2 1 a a 2cos2 2cos2 Vì cos2 2cos2 nên cos2 2cos2 Do CN a.2cos2 2cos2 a.cos2 2cos2 �C � 50� 4.9 ABC cân A, � A 80�nên B � 180� 50� 50� Ta có BMA 80� � 50� 30� 20� CBN � NBC � C � 20� 50� 70� ANB � 80� 50� 30� CAM Áp dụng định lí sinvào tam giác OBM, OAB, OAN ta được: OM OB OM sin20� � sin20� sin80� OB sin80� OB OA OB sin50� � sin50� sin30� OA sin30� OA ON OA sin70� � sin70� sin30� ON sin30� OM OM OB OA nên: ON OB OA ON Vì OM sin20�sin50�sin70� sin20� cos40� cos20� 1 ON sin80�sin30�sin30� sin80� 2 2sin20� cos20� 2cos40� sin40� 2cos40� sin80� 1 sin80� sin80� sin80� Suy OM ON MON cân O 4.10 A A B B Ta có sin A 2sin cos ; sin B 2sin cos ; 2 2 C C sinC 2sin cos 2 sin B C 180� A A� A � sin sin� 90� � cos 2 2� � sin C A 180� B B� B � sin sin� 90� � cos 2 2� � sin A B 180� C C� C � sin sin� 90� � cos 2 2� � Ta có sin A.sin B.sinC �sin B C C A A B sin sin 2 A A B B C C ް 8sin cos sin cos sin cos 2 2 2 A B C 8sin sin sin 2 A B C cos cos cos 2 A B C sin sin sin 2 Bất đẳng thức cuối (xem 2.8) Do bất đẳng thức cho ... cos15� Ta có tan15� 3? ?1 3? ?1 1 cos30� 2 3? ?1 2 6 2 1? ?? sin15� : cos15� 4 3? ?1 3 2 4? ?? 2 Cách giải khác: Tính trực định nghĩa tỉ số lượng giác �Cách thứ � 15 �,... 1? ?? 2? ?1 ? ?1 2? ?1 C Bài tập vận dụng 4. 1 Cho 0� 45 �, chứng minh 4. 2 Cho sin 1? ?? sin2 sin cos 24 25 a) sin2 b) sin 4. 3 Khơng dùng máy tính bảng số, tính: sin15�,cos15�,... tan B AB BC AC AB 2 2 3? ?1 1? ?? 3? ?1 3? ?1 4. 4 Dùng kết 4. 3 ta được: sin75� cos15� 6 cos75� sin15� 6 tan75� cot15� 1 2 tan15� 4. 5 Dùng kết ví dụ ta được: sin67� 30�
Ngày đăng: 24/09/2021, 22:33
Xem thêm:
