1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Chuyen de he thuc luong va ti so luong giac trong tam giac vo truong thanh FULL

17 33 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 17
Dung lượng 591,12 KB

Nội dung

Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A KIẾN THỨC: I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Một số hệ thức: 1) c2 = ac’, b2 = ab’ A b c 2) h2 = b,c, B 3) ah = bc H c, 4) C a b, 1 = 2+ 2 h b c 5) a2 = b2 + c2 -Với tam giác cạnh a, ta có: h = a ; S= a2 Ví dụ: VD1 Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh: BC2 a) AB + AC = 2AM + 2 b) AB − AC = 2BC.MH 2 VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vng góc với BD b) Tính diện tích hình thang VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ∠ ADC=700 Bài tập bản: GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 1.Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C BD, H hình chiếu I AC Chứng minh: AH = 3HI Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E cắt đường thẳng DC F Chứng minh: 1 + = 2 AE AF a II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN: Định nghĩa: Tính chất: - Một số hệ thức lượng giác bản: sin α + cos 2α = 1; tgα.cot gα = 1; tgα = sin α ; cosα cot gα = cosα sinα - Chú ý: +) < sin α < 1; < cosα AC nên AC AC < Suy sin α < tg α ; BC AB Chứng minh tương tụ ta cos α < cotg α Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần Cotg40o, sin50o, tan70o, cos55o HD: Theo định lí TSLG hai góc phụ nhau, ta có: cos55o= sin35o; Cotg40o = tg50o Vì sin35o< sin50o< tg50o < tg70o Nên cos55o< sin50o< Cotg40o< tg70o NX: Nhờ có tính chất sin α < tg α mà ta so sánh TSLG Bài 4: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin210o + sin220o + sin245o + sin270o + sin280o b) N = tg35o tg40o.tg45o.tg50o tg55o Bài 5: a) Biết sin α = , tính cos α , tg α , cotg α 13 b) Biết tg α = 12 , tính sin α , cos α , cotg α 35 GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bài 6: Cho biểu thức: A = − 2sin αcosα với α khác 45o sin α − cos α a) Chứng minh A = sin α − cosα sin α + cosα b) Tính giá trị A biết tgα = HD: a) A = sin α − sin αcosα + cos α (sin α − cosα)(sin α + cosα) b) A = sin α − cosα chia tử mẫu cho cos α sin α + cosα NX Nếu chi tg chia tử mẫu cho sin Bài Tìm x biết tgx + cotgx = HD Tìm tỉ số lượng giác góc sinx = cosx Suy tgx = = tg45o Vậy x = 45o Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 20; AC = 21 Tính TSLG góc B góc C Bài 2: a) Biết cos α = , tính sin α , tg α , cotg α b) Biết cotg α = , tính sin α , cos α , tg α 15 Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bài Sắp xếp TSLG sau theo thứ tự tăng dần: Sin49o, cotg15o, tg65o, cos50o, cotg41o Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau khơng phụ thuộc vào giá trị góc nhọn α a) (cos α - sin α )2 + (cos α + sin α )2 b) (cosα − sin α )2 − (cosα + sin α) cosα.sin α Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c = = sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG: Trong tam giác vng cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cos góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tg góc đối nhân với cotg góc kề b = a sin B = acosC = ctgB = ccot gC c = acosB = asinC = bctgB = btgC Bài tập: Bài 1: Cho hình thang ABCD có A = D = 90o , C = 50o Biết AB = 2; CD = 1,2 Tính A B diện tích hình thang 1,2 HD Vẽ BH ⊥ CD BH = AD = 1,2; DH = AB 50° D = H Xét tam giác HBC vng H, ta có: GV : Vâ Tr−êng Thµnh C Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! HC = HB.cotgC ≈ CD =CH + HD ≈ Diện tích hình thang ABCD là: S= (AB + CD).AD = (đvdt) Nhận xét: Vẽ BH ⊥ CD Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5 Tính diện tích tam giác ABC hai trường hợp: a) A = 40o b) A = 140o HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh rằng: Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh S= 1 a.b.sin C = b.c.sin A = c.a.sin B 2 Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác góc BAC AD Biết AB = 6, AC = A = 68o , tính độ dài AD Hướng dẫn giải Gọi diện tích tam giác ABD, ADC ABC lượt S1, S2, S Ta có: AB.AD.sin A1 S2 = AD.AC.sin A 2 S1 = S= A AB.AC.sin A C B D GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Vì: S = S1 + S2 Nên : 1 AB.AD.sin A1 + AD.AC.sin A = AB.AC.sin A 2 ⇔ AB.AD.sin A1 + AD.AC.sin A = AB.AC.sin A ⇔ AD = AB.AC.sin A 6.9.sin 68o = ≈6 AB.sin A1 + AC.sin A 6.sin 34o + sin 34o Bài Tam giác ABC vuông A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16 Tính góc B góc C KQ: B ≈ 53o Bài 5: Giải tam giác ABC vuông A biết: a) a = 18; b = b) b = 20; C = 38o Bài 6: Tam giác ABC cân A, B = 65o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vuông A, AB = 17cm; C = 62o Tính độ dài đường trung tuyến AM Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = A = 127o Tính diện tích hình thang Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 D = 64o Tính diện tích hình bình hành Bài 4: Độ dài hai đường chéo tứ giác 13 Góc nhọn hai đường chéo 48o Tính diện tích tứ giác Bài 5: Giải tam giác ABC vng A biết: a) a = 12; B = 42o GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! b) b = 13; c = 20 Bài 6: Giải tam giác ABC biết: AB = 6,8; A = 70o ; B = 50o Bài 7: Giải tam giác ABC biết: AB= 4,7; BC = 7,2; A = 66o TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN MỚI NHẤT-2019 GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com C BÀI TẬP BỔ SUNG: Bài Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB M, cắt AC N Gọi I, J trung điểm MN BC a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng b/ Gọi P, Q, H hình chiếu M, N, A lên BC, O = MP ∩ NQ, R trung điểm AH Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng Hướng dẫn giải a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có: MN AN MN / AN IN AN = ⇔ = ⇔ = BC AC BC / AC JC AC Nên: A, I, J thẳng hàng A R M I N O B P H S J Q C b/ Gọi S trung điểm PQ ⇒ I, O, S thẳng hàng O trung điểm IS, AH // IS ⇒ theo câu a ta có J, O, R thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vng A, phân giác AD, phân giác ngồi GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! AE Cho biết AB < AC Chứng minh hệ thức sau: a/ 1 + = AB AC AD b/ 1 − = AB AC AE Hướng dẫn giải A Vẽ DH ⊥ AB, DK ⊥ AC ⇒ DH = DK = AD E a/ Áp dụng định lý Talét cho ∆ABC ta có: K H B D DK CD AD 1 = = ⇔ = ⇔ = AB CB AB 2AB 2AD HD CD AD 1 1 2 = = ⇔ = ⇔ = ⇒ + = = AC CB AC AB AC 2AC 2AD 2AD AD Cách khác: Chú ý: SABC = AB.ADsin∠(AB;AC) a/ Ta có: SABC = ⇒ AB.AC = 1 AB.AC = SABD + SACD = AB.ADsin450 + AC.ADsin450 2 2 (AB+AC)AD ⇒ AB.AC 2AD AB + AC = ⇔ = AB + AC AB.AC AD ⇔ 1 + = AB AC AD b/ Ta có: SABC = 1 AB.AC = SAEC - SABE = AE.ACsin1350 - AB.AEsin450 2 ⇒ AB.AC = ⇒ AE (AC - AB) AB.AC AE = AC − AB GV : Vâ Tr−êng Thµnh C Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! ⇔ AC − AB = AB.AC AE ⇔ 1 − = AB AC AE Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức sau: MH  BM  a/ = 2  −1 BH  AB  b/ AB + AC = 2AM + BC 2 Hướng dẫn giải A a/ Do tam giác ABC vng A nên ta có: BH = AB AB = BC 2BM MH = MB − BH = BM − B H M C AB 2BM − AB = 2BM 2BM MH 2BM − AB 2BM 2BM − AB  BM  ⇒ = = = 2  −1 2 BH 2BM AB AB  AB  2  AB = AH + HB b/ Ta có:  2  AC = AH + HC Suy ra: AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+ MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 + BC2/2 Bài 4: Cho tam giác ABC, O trung điểm BC, góc xOy = 600 có cạnh Ox, Oy ln cắt AB, AC M N a/ Chứng minh OB2 = BM.CN b/ Chứng minh tia MO, NO ln phân giác góc BMN GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! CMN c/ Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường trịn cố định góc xOy quay quanh O hai cạnh Ox, Oy cắt hai cạnh AB AC tam giác ABC Hướng dẫn giải A a/ Ta có: ∠B = ∠C = 600 ∠O1 + ∠O2 = 1200; ∠O1 + ∠M1 = 1200 N H ⇒ ∠M1= ∠O2 ⇒ ∠N1 = ∠O1 ⇒ ∆BOM M B O C ∆CNO ⇒BO/CN = BM/CO ⇔ BO.CO = BM.CN ⇔ BO2 = BM.CN b/ Từ (a) ta có: OM BM OM ON OM ON = ⇔ = ⇔ = NO CO BM CO BM OB Mặt khác: ∠MBO = ∠MON = 600 ⇔ ∆BOM ∆ONM ⇔ ∠M1 = ∠M2 ⇒ OM tia phân giác ∠BMN c/ Do O giao điểm hai tia phân giác ∠BMN ∠MNC ⇒ O cách AB, MN AC Gọi H hình chiếu O lên AB Nên: OH = OB.sinB = a a = 2 Suy ra: MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định có tâm O bán kính GV : Vâ Tr−êng Thµnh a Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bài 5: Cho tam giác ABC, cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm O, M, N cho O khác B, C ∠MON = 600 Chứng minh rằng: BM.CN ≤ BC2/4 Dấu xảy nào? Hướng dẫn giải A Ta có: ∠BOM =1800 - ∠B - ∠BMO = 1200 - ∠BMO Mà: ∠BOM = 1800 - ∠MON - ∠CON = 1200 - ∠CON N M ⇒ ∠BMO = ∠ CON B ⇒ ∆BOM ∆CNO C O ⇒ BM/CO = BO/CN BO + CO  BC ⇔ BM.CN = BO.CO ≤  =    Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC, K chân đường cao vẽ từ A ∆ABC Chứng minh rằng: KH.KA ≤ BC Giải Xét ∆AKB ∆CKH có: ∠AKB = ∠CKH = 900 ∠BAK = ∠HCK (hai góc nhọn cạnh tương ứng vng góc) A ⇒ ∆AKB ⇒ ∆CKH KA KC = KB KH H KB + KC  BC ⇒ KA.KH = KB.KC ≤  =    ⇒ KH.KA ≤ B K C BC Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! tg ∠ABC AC = AB + BC Hướng dẫn giải a/ Xét ∆ABD có ∠A = 900 ⇒ tg∠ABD = AD ∠ABC AD ⇔ tg = AB AB A Vẽ đường phân giác BD ta có: DA BA DA DC DA + DC AC = ⇔ = = = DC BC BA BC AB + BC AB + BC ⇒ tg D E O C B ∠ABC AC = AB + BC Bài 8: Cho hình thoi ABCD Gọi R1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABD ∆ABC Gọi a độ dài cạnh hình thoi a/ Chứng minh rằng: 1 + = 2 R1 R a b/ Tính diện tích hình thoi theo R1 R2 Hướng dẫn giải a/ Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC O1 cắt BD O2 ⇒ O1 O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD ∆ABC ⇒ O1A = R1 O2B = R2 ∆O1AK ∆O2BK ∆ABO ⇒ ∆ABO ⇒ O1A AK R a = ⇒ 1= AB AO a 2AO O A BK R a = ⇒ = AB BO a 2BO (1) A K (2) B a O O2 O1 C a4 a4 (1) (2) Từ ⇒ 4AO = , 4BO = R1 R2   1   1 +  ⇔ 4a = a  +  ⇔ + = R1 R a  R1 R2   R1 R  ⇒ ( AO2 + BO2 ) = a  b/ Ta có: SABCD = 2OA.OB GV : Vâ Tr−êng Thµnh D Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! ∆AOB ∆AKO2 ⇒ ∆AOB ∼ ∆O1KB ⇒ OA AB AB = ⇒ OA = AK AO 2R OB AB AB AB = ⇒ OB = ⇒ OA.OB = KB O1B 2R1 4R1R  AB4 AB4  Xét ∆AOB ta có: AB = OA + OB ⇔ AB = + = AB4  +  4R2 4R1  4R1 4R2  ⇒ = AB2 2 (R12 + R22 ) 4R12 R22 ⇔ AB = 4R12 R22 R12 + R22 16R 14 R 24 8R 13 R 32 Vậy: OA.OB = ⇒ S ABCD = 4R R (R 12 + R 22 )2 (R + R 22 ) Bài 9: Chứng minh tam giác ta có: b+c−a b+c < ma < 2 Hướng dẫn giải A Xét ∆ABC có: AM > AB - BM M B Xét ∆ACM có: AM > AC - MC b+c−a Cộng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC ⇔ m a > C D Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD ⇒ AB = CD Xét ∆ACD có: AD < AC + CD = AC + AB ⇒ 2AM < AC + AB ⇒ m a < b+c Bài 10 CMR tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD Hướng dẫn giải Gọi O giao điểm hai đường chéo Ta có: B A AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) = = (OA + OB) + (OC + OD) GV : Vâ Tr−êng Thµnh O D C Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! ⇒ AC + BD > AB + CD BTVN Bài 1: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C1 điểm đối xứng H qua AB, B1 điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B1C1 với AC AB I K Chứng minh đường BI, CK đường cao tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC cân A H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vng góc H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh hai tam giác BIC AOH đồng dạng với AO vng góc với BI TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN MỚI NHẤT-2019 GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com GV : Vâ Tr−êng Thµnh ... tập: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 4cm; BC = cm Tính TSLG góc B góc C GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Nhận xét: Tam giác vuông biết... tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c = = sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC khơng ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM. .. Nhận xét: Vẽ BH ⊥ CD Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5 Tính diện tích tam giác ABC hai trường hợp: a) A = 40o b) A = 140o HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác Nhận xét: Một cách

Ngày đăng: 24/12/2020, 23:01

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w