CHUYÊN đề hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

MINH HIẾU {CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC} CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ∆ABC Cho có a =12, b =15, c =13 a Tính số đo góc b Tính độ dài đường trung tuyến ∆ABC ∆ABC c Tính S, R, r d Tính , hb , hc Cho có AB = 6, AC= 8, A=120 ∆ABC a Tính diện tích ∆ABC b Tính cạnh BC bán kính R Cho có a = 8, b =10, c =13 ∆ABC a co góc tù hay không? b Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ∆ABC c Tính diện tích 0 ∆ABC cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp Cho có A=60 , B=45 , b=2 Tính độ dài ∆ABC ∆ABC diện tích tam giác Cho AC = 7, AB = tính BC, S, , R ∆ABC h Cho có a = tính độ dài cạnh AB, cos Aa = ABC mb =∆4, mc 5= AC Cho có AB = 3, AC = diện tích S∆=ABC 3 Tính cạnh BC Tính bán kính đường tròn nội tiếp biết AB = 2, AC = 3, BC = ∆ ABC Tính có cạnh a, b, c thỏa µA b ( b − a 2∆)ABC = c ( a − c2 ) hệ thức 10 Cho CMR ∆ABC tan A c + a − b = tan B c + b − a a b c = ( a − b ) + 4S c S = R sin A sin B sin C d e a = b cos C + c cos B f 11 Gọi G trọng tâm M điểm tùy ý S= CMR sin A = ∆ABC MA2 + MB + MC = GA2 + GB + GC + 3GM 12 Cho có b + c =2a CMR ( ma + mb + mc ) = ( a + b + c ) ∆ABC sin B + sin C = 2sin A ( ) ( A 3, −1 ,∆BABC ( 0,3) , C 3,3 r uuur uuuruuur uuu AB AC − AB AC ( p ( p − a) ( p − b) ( p − c) a a a ) 1 = + hb hc a Tính cạnh góc lại b Tính chu vi diện tích 14 Cho biết Tính , cạnh b,c ∆ABC µ ∆=ABC µA 20 ', C µ = 730 a = 40, 6; B 36 Nguồn: ST ) b b 13 Cho biết bc − cos C sin C Trang ∆ABC MINH HIẾU {CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC} tam giác 15 Cho biết ; ; Tính cạnh c µ010 abµ =∆ 36, 42, 64m' 16 Để lắp đường dây cao từ vị trí A đến C =µAABC 33 ,B vị trí B phái tránh núi , người 75 ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km Biết góc tạo bời đoạn dây AC CB Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê m dây ? 17 vị trí A B cách 500m · · = 87 , CBA = 620 bên bờ sông từ vị trí C bên CAB bờ sông Biết Hãy tính khoảng cách AC BC Bài 18 Cho tam giác ABC có BC = a, hai µAS ∆=ABC α đường trung tuyến BM, CN vuông góc với Tính Hướng dẫn giải: Hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với 2  2   mb ÷ +  mc ÷ = a 3  3  ⇔ 5a = b + c ⇔ a = 5a − 2bc cos A ⇒ bc = Bài 19 Cho tam giác ABC Gọi góc A, B, C Chứng minh lA = ⇔ a + b2 c2 a + c b2 ( − )+ ( − ) = a2 9 Mặt khác a = b + c − 2bc cos A 2a 2a = cos A cos α l A , lB , lC độ dài đường phân giác 2bc A cos b+c a b c S ∆ABC = bc sin A = a tan α A B C cos cos 12 21 1 2+ ++ + = > + + lA lBl A lB lC lC a b c cos Hướng dẫn giải: a Trước hết chứng minh công sử dụng tam giác cân đỉnh α α sin α = 2sin cos 2 A có thông qua công thức diện tích để đến kết luận 11 A SS∆∆ACD cl sin A = bl bcA sin ABD ABC = 22 ,, Mà b B C cos = + , = + lB 2a 2c lC 2a 2b cos A B C cos cos 2+ 2+ < 1+1+1 lA lB lC l A lB lC cos 2bc A S ∆ABC = S∆ABD + S ∆ACD ⇒ l A = cos A b+c cos b + c 1   = Tương tự +  ÷= lA  bc  2b 2c A B C cos cos cos 2+ 2+ = 1+1+1 ⇒ lA lB lC a b c c Ta có ⇒ Nguồn: ST µA = 2α 1 1 1 + + > + + l A lB lC a b c Trang {CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC} + m, m+ m mm , m Bài 20 Cho tam giác ABC Gọi m = aa b b c c độ dài đường trung tuyến qua A, MINH HIẾU B, C, Chứng minh S ∆ABC = m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) Hướng dẫn giải: Gọi D điểm đối xứng A qua trọng tâm G Ta có tứ giác GBDC hình bình hành S ∆GBD = S ∆GBC = S ∆AGB = S ∆AGC Dễ thấy Mà có ba cạnh = S ∆ABC ⇒ S ∆GBD 2 = ÷ 3 2 2∆GBD ma , mb , mc 3 m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) B ⇒ S ∆ABC = 3S∆GBD = m ( m − ma ) ( m − mb ) ( m − mc ) a b C x c Bài 21 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn A d có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Chứng minh SWABCD = ( p − a )( p − b)( p − c)( p − d ) P= a+b+c+d D Với Hướng dẫn giải: Do ABCD nội tiếp nên sin ·ABC = sin ·ADC S ABCD = S ABC + S ADC = ( ab + cd ) sin B AC = a +ABC b − 2ab cos B 2 cos ·ABC = − cos ·ADC Trong tam giác có Trong tam giác có = ( ab + cd ) − cos B ADC AC = c + d − 2cd cos D 2 ⇒ a + b − 2ab cos a B+ =b 2c) −+( dc +− d2cdcocD ( ) ⇔ cos B = 2(ab + cd ) Do 2 = S ABCD =  ( ab a + bcd2 ) − (1c−2 cos + d 2B ) ÷ ( ab + cd ) −2 ÷ 2( ab + cd ) 22 11 2   = = (4a( +abb )+ cd − ( )c −− d() a2 +( bc 2+) d− )( c−2 +( ad−2 )b)      44   a + b + c − d  a + b − c + d  a − b + c + d   − a + b + c + d  =  ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2      ⇒ SWABCD = ( p − a)( p − bp)(=pa−+cb)(+pc−+dd) Nguồn: ST Trang MINH HIẾU {CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC} Với Bài 22 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c chứng minh a + b + c cos A cos B cos C = + + 2abc a b c Hướng dẫn giải: Ta có uuur uuu r u uu uu r uuur2 uuu ruur u rur uuur uuu ⇔ AB + BC + CA + AB BC + BC CA + AB.CA AB + BC + CA = ⇔ a + b2 + c = 2ac cos B + 2bc cos A + 2ab cos C ( ⇔ Bài 23 Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c chứng minh tam giác có góc ) a + b + c cos A cos B cos C = + + 2abc a b c 2 a = x + x + 1, b120 = x + 1, c = x − Hướng dẫn giải: x −1 >  ⇔ x >1 2 x + >  x2 −1 + 2x + > x2 + x +  Điều kiện a, b, c cạnh tam giác Với a > b a > c nên a cạnh lớn Tính cos A = − ⇒ µA = 1200 Bài 24 Chứng minh với tam giác ABC ta có cot A + cot B + cot C = a b Hướng dẫn a + b2 + c2 R abc giải: a Sử dụng định lí sin cosin b Gọi O tâm đường tròn noi tiếp S ∆ABC A A = pr = bc sin A =bc sin cos 2 ( 1) sin A ( p − b)( p − c) = 2A bc Ta có Từ hình vẽ: O S A A r = ( p − a) tan ⇒ ∆ABC = ( p − a) tan p B ( S∆ABC ) p Nguồn: ST (2) C Từ (1) (2) = ( p − a ) tan A A A bc sin cos p ( p − a)( p − b)( p − c) A 2 ⇔ = bc ( p − a ) sin p A ( p − b)( p − c) = bc = ( a + b − c) ( a + c − b) ⇒ sin Bài 25 Tam giác ABC có tính chất x >1 S ∆ABC Trang {CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC} MINH HIẾU Hướng dẫn giải: Theo Hê rong S ∆ABC  a + b + c  a + b − c  a − b + c  −a + b + c  =  ÷ ÷ ÷ ÷ 2    2  2  ⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) = ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a − b + c ) ( −a + b + c ) ⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) = ( a + b + c ) ( −a + b + c ) ⇔ b + c = a Bài 26 Cho tam giác ABC Gọi R, r giác Chứng minh rằng: Tam giác ABC vuông A r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam ≤ R Hướng dẫn giải: Ta có p ( p − a ) ( p −S b ) ( p −abc c p − a) ( p − b) ( p − c) r S2 r = ,R = ) = ( ⇒ = = 2p −a −b c 4S R pabc pabcp abc ( p − a )( p − b) ≤ = 2 Mà ( p − a )( p − c) ≤ 2p−a −c b = 2 ( p − b)( p − c) ≤ Bài 27 Cho tam giác ABC Chứng minh r abc ⇒ ( p − a ) (⇒ p − b≤ ) ( p − c) ≤ R a cos A + cos B ≤ ( cot A + cot B ) 2 sin A + sin B p< 3S ≥ R ( sin A + sin B + sin C ) b p − a + p −b + p − c ≤ 3p c d Hướng dẫn giải: ⇔ − s in A + sin B  1  ≤  + ÷− 2 sin A + sin B  sin A sin B  ⇔ 2   ⇔ ≤  + ÷( sin A + sin B )  sin A sin B  ⇔ 3abc2 ≤ aa33 + b3 b+3 c c3  3abc ⇔ ≤ 2R  + + ÷ 4R  R R 8R  2p −b −c a = 2 a BĐT S2 ≤ a + b4 + c4 ) ( 16 1 1  ≤  + ÷ sin A + sin B  sin A sin B  b 3S ≥ R ( sin A + sin B + sin C ) ( x + y + z) = x + y + z + xy + yz + zx c Từ ⇒ ( x + y + z ) > x2 + y2 + z 2 Nên x, y,z dương áp x + y + z > x2 + y + z dung vào CM Nguồn: ST Trang {CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC} MINH HIẾU p −a + p −b + p −c > p−a + p−b+ p−c = ( + + p p −a + p −b + p −c ) ≤ 3( p − a + p − b + p − c ) = p =ap+(bp −−ca )( pa−−bb)(+pc−c )−a + b + c   a + b + cS  d = ÷ ÷ ÷ ÷ 2 2      1 =  (b + c) − a   a − (b − c )  ≤  (b + c) − a  a 16 16 = 2 b + c + 2bc − a ) a ≤ ( 2b + 2c − a ) a ( 16 16 1 = ( 2b a + 2c a − a ) ≤ (a + b + c ) 16 16 Bài 28 Cho tam giác ABC Chứng minh S ∆ABC = ( a sin B + b2 sin B ) Hướng dẫn giải: Dựng tam giác ABC’ đối xứng với ABC qua AB B A C C C A B C’ A B C’ Xét trường hợp + B góc nhọn hay vuông, C’ + B góc tù Bài 29 Cho tam giác ABC Chứng a + b + c < 2ab + 2bc + 2ca minh Hướng dẫn giải: Ta có a − b < c ⇔ ( a − b ) < c ⇔ a + b − c < 2ab Bài 30 Trong tam giác ABC có chu vi 2p không đổi tam giác có tổng lập phương cạnh bé Hướng dẫn giải: ( a + b + c) Nguồn: ST ≤ 3(a + b + c ) Trang {CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC} MINH HIẾU ⇒ ( a + b + c ) ≤ ( a + b2 + c2 ) = ( a a b b3 c c ≤ ( a + b + c ) ( a + b3 + c ) tam giác ) ( a + b + c) ≥ 19 ( a +1b + c1) ⇒ a +b +c Bài 31 Cho tam giác ABC Chứng minh 3 = ( a + b + c )3 = p 91 + + ≤ a b c 4r Hướng dẫn giải: 1 ≤ 2 a a − (b − c ) 1 1 ≤ , 2≤ 2 b b − (c − a ) c c − (a − b) 1 1 1 + 2+ 2≤ + + 2 2 a b c a − (b − c) b − (c − a) c − (a − b) 1 = + + ( a − b + c) ( a + b − c) ( b − c + a) ( b + c − a) ( c − a + b) ( c + a − b) 1 = + + ( p − b) ( p − c) ( p − c) ( p − a ) ( p − a ) ( p − b) p p2 p2 = = = = 4( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) 4S 4r a ≥ a − (b − c) ⇒ Tương tự Nên Bài 32 Cho tam giác ABC Chứng minh a b c Hướng dẫn giải: a Mà b c Ta có Nguồn: ST a b c + + ≥3 b+ c −a a +c −b a +b−c 1 1 + + = hb hc r hb hc + + > ha2 hb2 hc2 r b+c−a+c+a−b =c c+a −b+ a +b−c (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a b+c−a+b+a−c (b + c − a )(b + a − c) ≤ =b abc ⇒ ( a + b − c ) ( a + c − b ) (b + c − a ) ≤ abc ⇔ ≥1 ( a + b − c ) ( a + c − b ) (b + c − a ) a b c a b c + + ≥ 33 =3 (b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) b+c −a a +c −b a +b−c p a b c p = ( a + b + c) ⇒ = + + S 2S 2S 2S 1 1 11 11 ⇔ = + ++ =+ ⇔ S 2Shb 2hSc r2S 2 2 S  a p 2aS  b b 2cS  c  ⇔  ÷ +  ÷ +  ÷ ≥ b2  22S  c  S  a 2 2S 2 r a b c 2S a b c ⇔ + + ≥ ⇔ + + ≥ 2p b c a r b c a a2 a2 2 a + b ≥ 2ab ⇒ + b ≥ 2a ⇔ ≥ 2a − b b b (b + c − a )(c + a − b) ≤ Trang {CHUYÊN ĐỀ VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC} MINH HIẾU Tương tự , bc ≥ 2cb − ac a c a b2 c ⇔ + + ≥ a+b+c = 2p b c a2 sin B + sin A≤C 60= 2sin A Công lại ta có Bài 33 Cho tam giác ABC có Chứng minh Hướng dẫn giải: sin B + sin C = 2sin A ⇔ b + c = 2a cos A = b +c −a 2 = b2 + c2 2 = b + c ≥ = cos 600 4 4bc 2bc a + b = c3 b2 + c2 − Bài 34 Cho tam 2bc giác ABC có Chứng minh có góc tù Hướng dẫn giải: 4 4  43   43  4 3 a + b = c ⇔ c =  a + b ÷ = a + b + 3a b  a + b ÷  4 4 4 2   ≥ a + b + a b  a + b ÷ ≥ a + b + 2a b a b   Mà a 2⇒ + bc22 −>ca22 +2 b2 cos C = = a + b + 2a 2b = 2( ab a + b