Chuyen de he thuc luong va ti so luong giac trong tam giac

Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A KIẾN THỨC: I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: Một số hệ thức: 1) c2 = ac’, b2 = ab’ A b c 2) h2 = b,c, B 3) ah = bc H c, 4) C a b, 1 = 2+ 2 h b c 5) a2 = b2 + c2 -Với tam giác cạnh a, ta có: h = a ; S= a2 Ví dụ: VD1 Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh: BC2 a) AB + AC = 2AM + 2 b) AB − AC = 2BC.MH 2 VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vng góc với BD b) Tính diện tích hình thang VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ∠ ADC=700 Bài tập bản: GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! 1.Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C BD, H hình chiếu I AC Chứng minh: AH = 3HI Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E cắt đường thẳng DC F Chứng minh: 1 + = 2 AE AF a II TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN: Định nghĩa: Tính chất: - Một số hệ thức lượng giác bản: sin α + cos 2α = 1; tgα.cot gα = 1; tgα = sin α ; cosα cot gα = cosα sinα - Chú ý: +) < sin α < 1; < cosα AC nên AC AC < Suy sin α < tg α ; BC AB Chứng minh tương tụ ta cos α < cotg α Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, xếp cã TSLG sau theo thứ tự tăng dần Cotg40o, sin50o, tan70o, cos55o HD: Theo định lí TSLG hai góc phụ nhau, ta có: cos55o= sin35o; Cotg40o = tg50o Vì sin35o< sin50o< tg50o < tg70o Nên cos55o< sin50o< Cotg40o< tg70o NX: Nhờ có tính chất sin α < tg α mà ta so sánh TSLG Bài 4: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin210o + sin220o + sin245o + sin270o + sin280o b) N = tg35o tg40o.tg45o.tg50o tg55o Bài 5: a) Biết sin α = , tính cos α , tg α , cotg α 13 b) Biết tg α = 12 , tính sin α , cos α , cotg α 35 GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bài 6: Cho biểu thức: A = − 2sin αcosα với α khác 45o sin α − cos α a) Chứng minh A = sin α − cosα sin α + cosα b) Tính giá trị A biết tgα = HD: a) A = sin α − sin αcosα + cos α (sin α − cosα)(sin α + cosα) b) A = sin α − cosα chia tử mẫu cho cos α sin α + cosα NX Nếu chi tg chia tử mẫu cho sin Bài Tìm x biết tgx + cotgx = HD Tìm tỉ số lượng giác góc sinx = cosx Suy tgx = = tg45o Vậy x = 45o Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 20; AC = 21 Tính TSLG góc B góc C Bài 2: a) Biết cos α = , tính sin α , tg α , cotg α b) Biết cotg α = , tính sin α , cos α , tg α 15 Bài 3: Không dùng MTBT bảng số, tính nhanh gí trị biểu thức sau: a) M = sin242o + sin243o + sin244o + sin245o + sin246o + sin247o+ sin248o b) N = cos215o- cos225o+ cos235o - cos245o + cos255o - cos265o + cos275o GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bài Sắp xếp TSLG sau theo thứ tự tăng dần: Sin49o, cotg15o, tg65o, cos50o, cotg41o Bài Chứng minh giá trị biểu thức sau khơng phụ thuộc vào giá trị góc nhọn α a) (cos α - sin α )2 + (cos α + sin α )2 b) (cosα − sin α )2 − (cosα + sin α) cosα.sin α Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC Gọi a, b, c lượt độ dài cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh răng: a b c = = sin A sin B sin C b) Có thể xảy đẳng thức sinA = sinB – sinC không ? III HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG: Trong tam giác vng cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cos góc kề b) Cạnh góc vng nhân với tg góc đối nhân với cotg góc kề b = a sin B = acosC = ctgB = ccot gC c = acosB = asinC = bctgB = btgC Bài tập: Bài 1: Cho hình thang ABCD có A = D = 90o , C = 50o Biết AB = 2; CD = 1,2 Tính A B diện tích hình thang 1,2 HD Vẽ BH ⊥ CD BH = AD = 1,2; DH = AB 50° D = H Xét tam giác HBC vng H, ta có: GV : Vâ Tr−êng Thµnh C Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! HC = HB.cotgC ≈ CD =CH + HD ≈ Diện tích hình thang ABCD là: S= (AB + CD).AD = (đvdt) Nhận xét: Vẽ BH ⊥ CD Bài 2: Tam giác ABC có AB = 4; AC = 3,5 Tính diện tích tam giác ABC hai trường hợp: a) A = 40o b) A = 140o HD Tính đường cao CH Tính diện tích tam giác Nhận xét: Một cách tổng quát ta chứng minh rằng: Diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh S= 1 a.b.sin C = b.c.sin A = c.a.sin B 2 Bài 3: Cho tam giác ABC với đường phân giác góc BAC AD Biết AB = 6, AC = A = 68o , tính độ dài AD Hướng dẫn giải Gọi diện tích tam giác ABD, ADC ABC lượt S1, S2, S Ta có: AB.AD.sin A1 S2 = AD.AC.sin A 2 S1 = S= A AB.AC.sin A C B D GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Vì: S = S1 + S2 Nên : 1 AB.AD.sin A1 + AD.AC.sin A = AB.AC.sin A 2 ⇔ AB.AD.sin A1 + AD.AC.sin A = AB.AC.sin A ⇔ AD = AB.AC.sin A 6.9.sin 68o = ≈6 AB.sin A1 + AC.sin A 6.sin 34o + sin 34o Bài Tam giác ABC vuông A, đường cao AH, biết HB = 9; HC = 16 Tính góc B góc C KQ: B ≈ 53o Bài 5: Giải tam giác ABC vuông A biết: a) a = 18; b = b) b = 20; C = 38o Bài 6: Tam giác ABC cân A, B = 65o , đường cao CH = 3,6 Hãy giải tam giác ABC Bài tập tự luyện: Bài 1: Tam giác ABC vuông A, AB = 17cm; C = 62o Tính độ dài đường trung tuyến AM Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD), AB = 2, CD = A = 127o Tính diện tích hình thang Bài 3: Hình bình hành ABCD có AD = 4,3; CD = 7,5 D = 64o Tính diện tích hình bình hành Bài 4: Độ dài hai đường chéo tứ giác 13 Góc nhọn hai đường chéo 48o Tính diện tích tứ giác Bài 5: Giải tam giác ABC vng A biết: a) a = 12; B = 42o GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! b) b = 13; c = 20 Bài 6: Giải tam giác ABC biết: AB = 6,8; A = 70o ; B = 50o Bài 7: Giải tam giác ABC biết: AB= 4,7; BC = 7,2; A = 66o TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN MỚI NHẤT-2019 GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com C BÀI TẬP BỔ SUNG: Bài Cho tam giác ABC, đường thẳng d// BC cắt AB M, cắt AC N Gọi I, J trung điểm MN BC a/ Chứng minh rằng: A, I, J thẳng hàng b/ Gọi P, Q, H hình chiếu M, N, A lên BC, O = MP ∩ NQ, R trung điểm AH Chứng minh rằng: J, O, R thẳng hàng Hướng dẫn giải a/ áp dụng định lý Talét cho tam giác ABC ta có: MN AN MN / AN IN AN = ⇔ = ⇔ = BC AC BC / AC JC AC Nên: A, I, J thẳng hàng A R M I N O B P H S J Q C b/ Gọi S trung điểm PQ ⇒ I, O, S thẳng hàng O trung điểm IS, AH // IS ⇒ theo câu a ta có J, O, R thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC vng A, phân giác AD, phân giác ngồi GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! AE Cho biết AB < AC Chứng minh hệ thức sau: a/ 1 + = AB AC AD b/ 1 − = AB AC AE Hướng dẫn giải A Vẽ DH ⊥ AB, DK ⊥ AC ⇒ DH = DK = AD E a/ Áp dụng định lý Talét cho ∆ABC ta có: K H B D DK CD AD 1 = = ⇔ = ⇔ = AB CB AB 2AB 2AD HD CD AD 1 1 2 = = ⇔ = ⇔ = ⇒ + = = AC CB AC AB AC 2AC 2AD 2AD AD Cách khác: Chú ý: SABC = AB.ADsin∠(AB;AC) a/ Ta có: SABC = ⇒ AB.AC = 1 AB.AC = SABD + SACD = AB.ADsin450 + AC.ADsin450 2 2 (AB+AC)AD ⇒ AB.AC 2AD AB + AC = ⇔ = AB + AC AB.AC AD ⇔ 1 + = AB AC AD b/ Ta có: SABC = 1 AB.AC = SAEC - SABE = AE.ACsin1350 - AB.AEsin450 2 ⇒ AB.AC = ⇒ AE (AC - AB) AB.AC AE = AC − AB GV : Vâ Tr−êng Thµnh C Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! ⇔ AC − AB = AB.AC AE ⇔ 1 − = AB AC AE Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức sau: MH  BM  a/ = 2  −1 BH  AB  b/ AB + AC = 2AM + BC 2 Hướng dẫn giải A a/ Do tam giác ABC vng A nên ta có: BH = AB AB = BC 2BM MH = MB − BH = BM − B H M C AB 2BM − AB = 2BM 2BM MH 2BM − AB 2BM 2BM − AB  BM  ⇒ = = = 2  −1 2 BH 2BM AB AB  AB  2  AB = AH + HB b/ Ta có:  2  AC = AH + HC Suy ra: AB2+ AC2 = 2AH2+ HB2+ HC2 = 2AH2+ (BM - HM)2+ (MC + HM)2 = 2AH2 + BM2+ MC2+2HM2- 2BM.HM + 2MC.HM = 2(AH2+ HM2) + (BC/2)2+ (BC/2)2 = 2AM2 + BC2/2 Bài 4: Cho tam giác ABC, O trung điểm BC, góc xOy = 600 có cạnh Ox, Oy ln cắt AB, AC M N a/ Chứng minh OB2 = BM.CN b/ Chứng minh tia MO, NO ln phân giác góc BMN GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! CMN c/ Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định góc xOy quay quanh O hai cạnh Ox, Oy cắt hai cạnh AB AC tam giác ABC Hướng dẫn giải A a/ Ta có: ∠B = ∠C = 600 ∠O1 + ∠O2 = 1200; ∠O1 + ∠M1 = 1200 N H ⇒ ∠M1= ∠O2 ⇒ ∠N1 = ∠O1 ⇒ ∆BOM M B O C ∆CNO ⇒BO/CN = BM/CO ⇔ BO.CO = BM.CN ⇔ BO2 = BM.CN b/ Từ (a) ta có: OM BM OM ON OM ON = ⇔ = ⇔ = NO CO BM CO BM OB Mặt khác: ∠MBO = ∠MON = 600 ⇔ ∆BOM ∆ONM ⇔ ∠M1 = ∠M2 ⇒ OM tia phân giác ∠BMN c/ Do O giao điểm hai tia phân giác ∠BMN ∠MNC ⇒ O cách AB, MN AC Gọi H hình chiếu O lên AB Nên: OH = OB.sinB = a a = 2 Suy ra: MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định có tâm O bán kính GV : Vâ Tr−êng Thµnh a Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bài 5: Cho tam giác ABC, cạnh BC, AB, AC lấy ba điểm O, M, N cho O khác B, C ∠MON = 600 Chứng minh rằng: BM.CN ≤ BC2/4 Dấu xảy nào? Hướng dẫn giải A Ta có: ∠BOM =1800 - ∠B - ∠BMO = 1200 - ∠BMO Mà: ∠BOM = 1800 - ∠MON - ∠CON = 1200 - ∠CON N M ⇒ ∠BMO = ∠ CON B ⇒ ∆BOM ∆CNO C O ⇒ BM/CO = BO/CN BO + CO  BC ⇔ BM.CN = BO.CO ≤  =    Bài 6: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC, K chân đường cao vẽ từ A ∆ABC Chứng minh rằng: KH.KA ≤ BC Giải Xét ∆AKB ∆CKH có: ∠AKB = ∠CKH = 900 ∠BAK = ∠HCK (hai góc nhọn cạnh tương ứng vng góc) A ⇒ ∆AKB ⇒ ∆CKH KA KC = KB KH H KB + KC  BC ⇒ KA.KH = KB.KC ≤  =    ⇒ KH.KA ≤ B K C BC Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! tg ∠ABC AC = AB + BC Hướng dẫn giải a/ Xét ∆ABD có ∠A = 900 ⇒ tg∠ABD = AD ∠ABC AD ⇔ tg = AB AB A Vẽ đường phân giác BD ta có: DA BA DA DC DA + DC AC = ⇔ = = = DC BC BA BC AB + BC AB + BC ⇒ tg D E O C B ∠ABC AC = AB + BC Bài 8: Cho hình thoi ABCD Gọi R1, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABD ∆ABC Gọi a độ dài cạnh hình thoi a/ Chứng minh rằng: 1 + = 2 R1 R a b/ Tính diện tích hình thoi theo R1 R2 Hướng dẫn giải a/ Giả sử trung trực cạnh AB cắt AC O1 cắt BD O2 ⇒ O1 O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD ∆ABC ⇒ O1A = R1 O2B = R2 ∆O1AK ∆O2BK ∆ABO ⇒ ∆ABO ⇒ O1A AK R a = ⇒ 1= AB AO a 2AO O A BK R a = ⇒ = AB BO a 2BO (1) A K (2) B a O O2 O1 C a4 a4 (1) (2) Từ ⇒ 4AO = , 4BO = R1 R2   1   1 +  ⇔ 4a = a  +  ⇔ + = R1 R a  R1 R2   R1 R  ⇒ ( AO2 + BO2 ) = a  b/ Ta có: SABCD = 2OA.OB GV : Vâ Tr−êng Thµnh D Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! ∆AOB ∆AKO2 ⇒ ∆AOB ∼ ∆O1KB ⇒ OA AB AB = ⇒ OA = AK AO 2R OB AB AB AB = ⇒ OB = ⇒ OA.OB = KB O1B 2R1 4R1R  AB4 AB4  Xét ∆AOB ta có: AB = OA + OB ⇔ AB = + = AB4  +  4R2 4R1  4R1 4R2  ⇒ = AB2 2 (R12 + R22 ) 4R12 R22 ⇔ AB = 4R12 R22 R12 + R22 16R 14 R 24 8R 13 R 32 Vậy: OA.OB = ⇒ S ABCD = 4R R (R 12 + R 22 )2 (R + R 22 ) Bài 9: Chứng minh tam giác ta có: b+c−a b+c < ma < 2 Hướng dẫn giải A Xét ∆ABC có: AM > AB - BM M B Xét ∆ACM có: AM > AC - MC b+c−a Cộng vế ta có: 2AM > AB + AC - BC ⇔ m a > C D Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MA = MD ⇒ AB = CD Xét ∆ACD có: AD < AC + CD = AC + AB ⇒ 2AM < AC + AB ⇒ m a < b+c Bài 10 CMR tứ giác lồi ABCD ta có bất đẳng thức: AB + CD < AC + BD Hướng dẫn giải Gọi O giao điểm hai đường chéo Ta có: B A AC + BD = (AO + OC) + (BO + OD) = = (OA + OB) + (OC + OD) GV : Vâ Tr−êng Thµnh O D C Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! ⇒ AC + BD > AB + CD BTVN Bài 1: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH, gọi C1 điểm đối xứng H qua AB, B1 điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B1C1 với AC AB I K Chứng minh đường BI, CK đường cao tam giác ABC Bài 2: Cho tam giác ABC cân A H trung điểm cạnh BC Gọi I hình chiếu vng góc H lên cạnh AC O trung điểm HI Chứng minh hai tam giác BIC AOH đồng dạng với AO vng góc với BI TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN MỚI NHẤT-2019 GV : Vâ Tr−êng Thµnh Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com GV : Vâ Tr−êng Thµnh