Bài giảng số 9: Chuyên đề hệ thức lượng: nhận dạng tam giác

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang - Trung tâm luyện thi Edufly-Hotline: 0987.708.400 Bài giảng số 9: NHẬN DẠNG TAM GIÁC.. A.[r]

(1)

http://edufly.vn Khóa học: Phương trình lượng giác ôn thi ĐH

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang - Trung tâm luyện thi Edufly-Hotline: 0987.708.400 Bài giảng số 9: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định lý hàm sin cosin: Cho ABC có a b c ba cạnh đối diện , ,   A B C, , , R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC, S diện tích ABC thì:

sin sin sin

a b c

R A B  C 

2 2 2

2 osA= cot

a b c  bc c b c  S A

2 2 2

2 osB=a cot

b a c  ac c c  S B

2 2 2

2 osC=a cot

c a b  ab c b  S C

 Định lý đường trung tuyến: m m m đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C a, b, c

Ta có:

2 2

2

a

b c a

m   

2 2

2

b

c a b

m   

2 2

2

c

a b c

m   

 Diện tích tam giác: Gọi S: diện tích ABC

R: bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC

r: bán kính đường trịn nội tiếp ABC

p: nửa chu vi ABC

thì:

1 1

2 a b c

S  a h  b h  c h

1 1

sin sin sin

2 2

S  ab C ac B bc A

   

4

abc

S pr p p a p b p c

R

     

(2)

http://edufly.vn Khóa học: Phương trình lượng giác ơn thi ĐH

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang - Trung tâm luyện thi Edufly-Hotline: 0987.708.400  Tam giác vng có góc 90

 Tam giác nhọn có tất góc nhỏ 90

 Tam giác có góc 60

 Tam giác cân có góc

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Tính góc tam giác

Ví dụ 1: Tính góc ABC nếu: sin  sin  os   1

B C  CA c AB 

Giải:

Do A B C nên  1 sin sin cos

A B C

   

2

2 sin os cos

2 2

A B A B C

c

   

   

 

2

2 os os cos

2 2

C A B C

c c 

  

2

4 cos cos os

2 2

C C A B

c 

   

2

2 cos os os

2 2

C A B A B

c  c 

 

     

 

2

2 cos os sin

2 2

C A B A B

c  

 

    

 

2 cos os

2

sin

2

C A B

c A B

 

 

  



 

 

2 cos os

0

C c A B



 

   



 

 

2

C

A B



    

  

2

6

C

A B

 

     

   

(3)

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang - Trung tâm luyện thi Edufly-Hotline: 0987.708.400

Ví dụ 2: Tính góc ABC nếu:  

 

2 2

2

sin sin sin 2

b c a

A B C

  

 



   

 

Giải:

Áp dụng định lý hàm cosin:

2 2

cos

2

b c a

A

bc

 



Do (2) nên cosA 0

2 A



  

4 2

A

 

   os os  *

2

A

c c 

  

Mặt khác: sin sin sin sin sin os

2

B C B C

A B C A  c  sin cos os

2

A B C

A c 

 

 

2

1 * os

2

B C

do v c

    

      

 

Mà sinAsinBsinC  1 do  2

Dấu ‘=’  2 xảy

sin

2 cos

2

os

2

A A B C c



 

 

 



 

 



2

4

A

B C

 

     

   



Ví dụ 3: Cho ABC không tù thỏa mãn cos2A2 cosB2 cosC3 3  Tính góc ABC

Giải:

Đặt M cos2A2 cosB2 cosC

Ta có: os2 cos cos

2

B C B C

M  c A   

2

2 os sin cos

2

A B C

M c A 

   

Do sin

A

 os

2

B C

c   nên cos2 sin

A

M  A 

Mặt khác: ABC không tù nên

2

A 

  0cosA1cos2 AcosA

Do đó: cos sin

A

M  A  sin2 sin

2

A A

M  

    

(4)

4sin sin

2

A A

M

    

2

2 sin

2

A

M  

      

 

Do giả thiết (3) ta có M 0

2

os cos

os

2 sin

2

c A A

B C c

A



 



 

 

 

 



90

45

A

B C

    

 

 



 Tam giác vng

Ví dụ 4: Cho ABC có cot

B a c b



 Chứng minh ABC vuông

Giải:

Ta có: cot

B a c b

 

os

2 sin sin sin sin

2 sin sin

sin

B c

R A R C A C

B R B B

 

  

os sin os

2 2

sin 2sin os

2 2

B A C A C

c c

B B B

c

 

 

2

os os os sin

2 2

B B A C B

c c c  do 

    

 

os os os

2 2

B A C B

c c  do c 

    

 

2

B A C

B C A

 

   

   

A B C

C A B

 

  

  

2

A C

 

    

   Vậy ABC vuông A hay ABC vng C

Ví dụ 5: Chứng minh ABC vuông 3 cos B2 sinC4 sin B2 cosC15

Giải:

(5)

và cosC8sinC 36 64 cos2Csin2C 10

nên cos B2 sinC4 sin B2 cosC15

Dấu ‘=’ xảy

cos sin

3

sin cos

6

B B

C C



 

  

 

 

4 tan

3 cot

3

B C



 

  

 

 

tanB cotC

 

2

B C 

  

Vậy ABC vuông A

 Tam giác cân

Ví dụ 6: Chứng minh ABC cân nếu: 3

sin os sin os

2 2

A B B A

c  c

Giải:

Ta có: sin os3 sin os3

2 2

A B B A

c  c

2

sin sin

1

2 . . do os 0 cos 0

2

os os os os

2 2

A B

c

A A B B

c c c c

 

     

 

2

tan tan tan tan

2 2

A A B B

      

   

3

tan tan tan tan

2 2

A B A B

    

2

tan tan tan tan tan tan

2 2 2

A B A B A B

   

       

   

2

tan tan tan tan tan tan

2 2 2

A B  A B A B 

       

 

A B

 

Vậy ABC cân C

 Nhận dạng tam giác

Ví dụ 7: Cho ABC thỏa mãn: acosB b cosAasinA b sinB  7 Chứng minh ABC vuông hay cân

(6)

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang - Trung tâm luyện thi Edufly-Hotline: 0987.708.400 Do định lý hàm số sin a2 sinR A, b2 sinR B nên

   2 

7 2 sinR AcosB2 sinR BcosA2R sin Asin B

2

sinAcosB sinBcosA sin A sin B

   

  1  1 

sin os2 os2

2

A B c A c B

     

  1 

sin os2 os2

2

A B c B c A

   

     

sin A B sin A B sin B A 

      

   

sin A B sin A B

    

 

sin

A B

A B

  

 

 

 2

A B

A B 

   

   

Vậy ABC vuông hay cân C

 Tam giác

Ví dụ 8: Chứng minh ABC

 

3 3

2

3

sin sin

4

8

B C

a b c

a

a b c



 

 

 

  

  



Giải:

Ta có:  8 a3a b2 a c2 a3b3c3a2bcb3c3

    

2 2

a b c b c b bc c

      2

a b bc c

   

2 2

2 cos

b c bc A b c bc

      (do định lý hàm cosin)

2bccosA bc

  cos

2

A

 

3

A 

 

Ta có:  8 4 sinBsinC 3 2cosB C cosB C 3

 

2cos B C cosA

    

   

2 cos

2

B C do  A  

       

 

 

os

c B C

(7)

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang - Trung tâm luyện thi Edufly-Hotline: 0987.708.400 Vậy ABC

Ví dụ 9: Chứng minh ABC cot cot cot tan tan tan  9

2 2

A B C

A B C  

Giải:

Ta có: cot cot sin  sin sin

A B



  sin

sin sin

C A B



2 sin

sin sin

C

A B





 

 

 

(do bất đẳng thức Cauchy)

2

2 sin os

2

sin os

2

C C

c

A B A B

c



 

2 sin

os os

2

C

C A B

c c



 tan  *

C



Tương tự: cot cot tan  **

B A C

 

cot cot tan ***

2

A B C

Từ (*)(**)(***) ta có: cot cot cot  tan tan tan

2 2

A B C

A B C     

 

Do dấu ‘=’ (9) xảy os os os sin sin sin

A B A C B C

c c c

A B C

  



  

  

  



A B C

  

Vậy ABC

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính góc ABC biết: a) os2 3 os2 os2 

2

c A c B c C   ĐS: A30 , BC75

b) cos sin sin

A B C ĐS: ,

6

BC A 

c) sin 6Asin 6Bsin 6C0 ĐS:

3

(8)

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang - Trung tâm luyện thi Edufly-Hotline: 0987.708.400 Bài 2: Chứng minh ABC có C 120 nếu:

sin sin sin 2sin sin 2sin

2 2

A B C

A B C 

Bài 3: Tính góc ABC biết số đo góc tạo thành cấp số cộng sin sin sin 3

A B C 

ĐS:

2

6

3

C

A

B

  

    

   

  

Bài 4: Chứng minh ABC:

a) Có góc 36

2 2

os os os

sin sin sin

c A c B c C

A B C

   



  



b) Có góc 60 sin sin sin

cos cos cos

A B C

 



 

Bài 5: Cho ABC V cos2A c os2Bcos2C Chứng minh: a) Nếu V 0 ABC có góc vng

b) Nếu V 0 ABC có góc nhọn

c) Nếu V 0 ABC có góc tù

Bài 6: Biết sin2Asin2Bsin2C m Chứng minh: a) m 2 ABC vng

b) m 2 ABC nhọn

c) m 2 ABC tù

Bài 7: Chứng minh ABC vuông A nếu:

cos cos sin sin

b c a

B C  B C

Bài 8: Chứng minh ABC vuông nếu: a) os os os sin sin sin

2 2 2 2

A B C A B C

c c c   b) cosB cosC b c

a



 

c) sin 2Asin 2B4 sinAsinB d)

cos cos sin sin

b c a

B C  B C

e) sinAsinBsinC 1 cosAcosBcosC f)    

2

2 os

1 os2

c B C

b c

b c B

   

  



(9)

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang - Trung tâm luyện thi Edufly-Hotline: 0987.708.400 Bài 9: Chứng minh ABC cân nếu:

a)  

2

os os

ot ot

sin sin

c A c B

A B



 

 b) tan tan cot

C A B

c) tan  tan tan 

2

C

a b  a A b B d)

2

1 cos

sin

B a c

 

 

e) sin sin sin cot cot

sin sin sin 2

A B C A B

A B C

 



  f)

2 tanA2 tanBtanAtan B

g) cot tan tan cot

2

C C

a  Ab B 

    h)  cot tan

C B

p b  p

i) tan  tan tan 

2

C

a b  a A b B

Bài 10: ABC tam giác nếu:

a) a2b2sinA B a2b2sinAB ĐS: ABC cân hay vuông C b)

2

sin sin cos sin

sin sin sin sin

a B b A ab A B

A B A B

  



 



ĐS: ABC vuông C

Bài 11: Chứng minh ABC nếu: a) bc 3R2b c a

b) sinAsinBsinC sin 2Asin 2Bsin 2C

c) 21 21 12

sin 2Asin 2Bsin 2C  cosAcosBcosC

d) cos cos cos

sin sin sin

a A b B c C p

a B b C c A R

 



 

e) 2acosA b cosBccosCa b c

f) 3S 2R2sin3Asin3Bsin3C

g) sinAsinBsinC 4 sinAsinBsinC

h)

2