Bài giảng số 5: Một số dạng hệ phương trình bậc hai cơ bản lớp 10

Phương pháp điều kiện cần và đủ: Được áp dụng rất tốt cho hệ với yêu cầu: “ Tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất”.. Khi đó ta thực hiện theo các bước..[r]

BÀI GIẢNG SỐ 05: CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CƠ BẢN

A CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Dạng 1: Hệ gồm phương trình bậc bậc hai

Phương pháp: Để giải hệ phương trình Ax2 20 (1)

ax (2)

By C

bxy cy dx ey f

  

 

     



Ta lựa chọn cách sau:

Cách 1: (phương pháp thế)

Bước 1: Từ phương trình (1) rút x y vào phương trình (2) Khi ta phương trình bậc theo x y, giả sử: f(x, m) = (3)

Bước 2: Giải (3) theo yêu cầu toán

Cách 2: (phương pháp đồ thị) Ta thực theo bước

Bước 1: Ta có:

- Tập hợp điểm thỏa mãn (1) thuộc đường thẳng (d): Ax + By + C =

- Tập hợp điểm thỏa mãn (2) với b = thuộc đường cong

(S): 2

ax cy dx ey  f 0

Bước 2: Khi số nghiệm hệ số giao điểm đường thẳng (d) với đường (S)

Chú ý: Khi sử dụng phương pháp em học sinh cần nhớ lại điều kiện tiếp xúc đường thẳng (d) với đường tròn, elip, hypebol, parabol

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

a) x2 2y 25

x 2y 2xy

 

 

  



b) 2x2 y2

x y 5xy

  



  



Giải:

2 x 2y

x 2y 2xy

 

 

  

  2  

5

10 30 20

5 2 5

x y x y

y y

y y y y

                    1 2 x x y y y x y y                        

Vậy nghiệm hệ x y ;  3;1 , 1; 2  

b) Ta có:

2 2x y

x y 5xy

  



  

  2  

1 2

15

1

y x y x

x x

x x x x

                   

1 1

1 2

2 5

5

5 x

y x y

x x x y                                 

Vậy nghiệm hệ  ;  1; , 9; 5 x y    

 

Ví dụ 2: Tìm m để hệ mx2 (m 1)y2

x y

        có nghiệm Giải:

Ta có: 2 (2 1) (1)

4 (2)

mx m y

x y        

Phương trình (1) đường thẳng (d): mx + (m + 1)y =

Để hệ có nghiệm (d) cắt (C)

2

2

( , )

( 1)

d O d R

m m

   

 

2 2

( 1) 2 1 2

1 m

m m m m m m

m  

            

   Vậy m     ; 1 0;

Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng kiểu I

Phương pháp chung:

Bước 1: Đặt  

4

x y S

S P

xy P   

 

  

Bước 2: Xác định S P Khi x, y nghiệm phương trình

0 (*) t StP Bước 3: Ta giải biện luận phương trình (*)

Chú ý 1: Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại I trình bày trên, nhiều trường hợp ta sử dụng phương pháp:

a) Phương pháp thế: nhiều hệ đối xứng loại I “ Hệ gồm phương trình bậc hai 1 phương trình bậc hai ẩn”

b) Phương pháp đồ thị

c) Phương pháp điều kiện cần đủ: áp dụng tốt cho hệ với yêu cầu “ Tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm nhất” Khi ta thực theo bước:

Bước 1: Điều kiện cần:

- Nhận xét rằng, hệ có nghiệm x y0; 0thì y x0; 0cũng nghiệm hệ, hệ có nghiệm x0  y0 (**)

- Thay (**) vào hệ ta giá trị tham số Đó điều kiện cần để hệ có nghiệm

Bước 2: Điều kiện đủ: Thay giá trị m vừa tìm vào hệ cho giải

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình

2

6

x y m

x y

  



 

a) Giải hệ với m = 26

b) Xác định m để hệ vô nghiệm

c) Xác định m để hệ có nghiệm nhất, xác định nghiệm

d) Xác định m để hệ có nghiệm phân biệt

Giải:

Cách 1: (Sử dụng phương pháp chung) Biến đổi hệ phương trình dạng

 2

x y xy m

x y

   

 

   

6

36

x y m xy

 

 

  

  

Khi x, y nghiệm phương trình 36

6

2

m

t  t   (1)

a) Với m = 26, ta được:

  1&

1 12 10

5 &

t x y

t t

t x y

  

 

     

  

 

Vậy với m = 26 phương trình có nghiệm x y ;  1;5 , 5;1  

b) Hệ vô nghiệm  1 vô nghiệm '

(1) m 18 m 18

       

Vậy với m 18 hệ phương trình vơ nghiệm

c) Hệ có nghiệm nhất 1 có nghiệm '

(1) m 18 m 18

       

Vậy với m = 18 hệ phương trình có nghiệm x = y =

d) Hệ có nghiệm phân biệt  1 có nghiệm phân biệt

'

(1) m 18 m 18

       

Vậy với m 18 hệ có nghiệm phân biệt

 2 2

2 12 36 (*)

6

6

x x m

x x m

y x

y x

        





 

   

 



a) Với m = 26, ta

2

(*)2x 12x100 1&

5 &

x x y

x x y

  

 

 

  

 

Vậy với m = 26 hệ có nghiệm x y ;  1;5 , 5;1  

b) Hệ vô nghiệm 2 vô nghiệm '

(*) m 18 m 18

       

c) Hệ có nghiệm nhất 2 có nghiệm '

(*) m 18 m 18

       

Khi hệ có nghiệm x = y =

d) Hệ có nghiệm phân biệt  2 có nghiệm phân biệt

'

(*) m 18 m 18

       

Cách 3: (Sử dụng phương pháp đồ thị để thực yêu cầu b, c, d toán) Nhận xét m 0, hệ vơ nghiệm, ta xét m >

Ta có:

- Phương trình (1) đường trịn (C) tâm O(0; 0), bán kính R = m

- Phương trình (2) đường thẳng (d)

b) Hệ vô nghiệm  ;( ) 18

1

d O d R  m m

     



c) Hệ có nghiệm (d) tiếp xúc với (C)

 ; ( ) 18

1

d O d R  m m

     



Khi hệ có nghiệm x = y =

 ;( ) 18 1

d O d R  m m

     



Cách 4: (Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ) Thực yêu cầu c) toán

Điều kiện cần: Nhận xét rằng, hệ có nghiệm x y0; 0thì y x0; 0cũng nghiệm hệ,

hệ có nghiệm x0  y0 Khi hệ có dạng 0

18

2

x m

m x

 



 

    Đó điều kiện cần để hệ có nghiệm

Điều kiện đủ: Với m = 18 ta

2 6

18

3

6

x y

x y

x y

xy x y

 

   

   

 



  



nghiệm

Vậy với m = 18 hệ có nghiệm

Nhận xét: Thơng qua ví dụ thấy phương pháp khác để giải hệ đối xứng loại I Trong trường hợp lựa chọn phương pháp tổng qt mục đích xác định cho

x y S

xy P    

 

từ chuyển hệ thành phương trình

0 t StP

Chú ý 2: Một số hệ phương trình cần sử dụng vài phép biến đổi đơn giản để đưa dạng đối xứng loại I Thông thường ta sử dụng phép biến đổi

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

2

1

3

x xy y

x y xy

   



  



Giải:

Nhận xét rằng, hệ ko đối xứng

 2

2

1

3

x tx t x t xt

x t xt x t xt



       



 

      

 

Đặt

,

x t S

S P

xt P   

 

  

Khi hệ trở thành

2

3

3 10

2

3

S P

S P

S S

S P

S P

  

    

     

  

 

   



Với

4 25 32

8 S

S P

P   

      

  

nên pt vô nghiệm

Với 2 ,

1

S x t

x t

P xt

  

 

 

 

 

 

là nghiệm phương trình

2

2 1

1 x

z z z x t

y  

         

   Vậy hệ có nghiệm x y ;  1; 1 

Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng kiểu II

Phương pháp chung:

Bước 1: Trừ vế hai phương trình thu phương trình tích

( ) ( , )

( , ) x y x y f x y

f x y  

   

 

Bước 2: Giải hệ cho trường hợp

Chú ý: Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại II trình bày trên, nhiều trường hợp ta sử dụng phương pháp:

- Bước 1: Nhận xét rằng, hệ có nghiệm x y0; 0thì y x0; 0cũng nghiệm hệ, hệ có nghiệm x0  y0 (**)

- Thay (**) vào hệ ta giá trị tham số Đó điều kiện cần để hệ có nghiệm

Bước 2: Điều kiện đủ: Thay giá trị m vừa tìm vào hệ cho giải

2 Phương pháp đồ thị

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

1

2 (1)

1

2 (2)

x

y x

y

x y



 

  

  

 

Giải:

Đk: x0,y0

Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta được:

1 1 1

2(x y) (x y) (x y) x y

y x y x y x xy

      

                 

     

2

( )

2 x y x y

xy xy



  

     

 

  

+ Với x = y Thay vào (1) ta 2

2x 2x 2x x x

x x x

            

1 y   

+ Với xy y x



    Thay vào (1) ta 2

2 6

2

x

x x x x x

x

          

2

y

  

 

 

2 2 2

2 (1)

2 (2)

x y m

x y m

   

 

  

 

Giải:

Cách 1: (Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ)

Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm x y0; 0thì y x0; 0cũng nghiệm hệ Vậy để hệ có nghiệm điều kiện cần x0  y0

Khi    2 2

0 0

1  x 2 x m2x 4x  4 m0 (3)

Do x0 nên phương trình (3) có nghiệm   ' 2m 4 0m2

Điều kiện đủ: Với m = hệ có dạng

 

     

2 2

2 2 2

2

2

2

2

x y

x y x y

x y

   



      



  

 

x 12 y 12 x y

       

Vậy hệ có nghiệm m =

Cách 2: (Sử dụng phương pháp đồ thị)

Phương trình (1) đường trịn (C1) tâm I1(2; 0), bán kính R1 = m

Phương trình (2) đường trịn (C2) tâm I2(0; 2), bán kính R2 = m

Hệ có nghiệm (C1) tiếp xúc với (C2)

1 2 2 2

I I R R m m

      

Dạng 4: Hệ phương trình đồng bậc (Đẳng cấp bậc 2, bậc 3)

Dạng Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai

Phương pháp:

Cách 1: Thực theo bước sau:

Bước 1: Khử số hạng tự để dẫn đến phương trình 2

Bước 2: Đặt x = ty,   2   y At BtC 0 - Xét y = thay vào hệ

- Xét

0

At BtC , có nghiệm t0 x = t0y vào hệ để xét hệ với ẩn y

Cách 2: Thực theo bước sau:

Bước 1: Từ hệ khử số hạng x2 (hoăc y2) để dẫn tới phương trình khuyết x2 (hoặc y2), giả sử:

2

Ex (4)

Ex

Dx F

Dx  yF   y 

Bước 4: Thế (4) vào phương trình hệ ta phương trình trùng phương ẩn x

Vi dụ 7: Giải hệ phương trình

a)

2

y 3xy

x 4xy y

  



  



b)

2

2

2 15

2

x xy y

x xy y

   

 

  

 

Giải:

a) Cách 1: Khử số hạng tự từ hệ ta được: 2

4x 13xy3y 0 (3)

Đặt x = ty, đó:   2 

0

3 13 3

1 y

y t t t

t    

     

    Với y = hệ có dạng 02

1

x

  

 

vô nghiệm

Với t = ta x = 3y   2

1

2

y y y

       ( vô nghiệm)

Với 1   2

1 16

4 4

t x y  y  y   y   y  x 1

b)

2

2

2 15 (1)

2 (2)

x xy y

x xy y

   

 

  

 

Cách 2: Nhận xét x y;  nghiệm hệ x0,y0

Khử số hạng x2 từ hệ ta

2

2

3 y

xy y x

y 

     (3)

Thay (3) vào (2) ta

14y 15y  1

Đặt

t y t 0 ta

1

14 15 1

14

t

t t

t

  

   

  

Với t = 1, ta có: 2

1

y x

y

y x

 

 

  

   

 

Với

14

t  , ta có

1 11

1 14 14

1 11

14

14 14

y x

y

y x



 

 

 

 

  

 

  

 

 

Vậy hệ có nghiệm  ;  2;1 ,  2; , 11; , 11 ;

14 14 14 14

x y          

   

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình

3

3 2

3 12

3

y x y x x

x xy y

   

 

 

  Giải:

Đặt y = tx, ta viết hệ dạng:

3

3

3 2

2

0,

( 12)

3 12

(*) (1 )

1

x y

x t t x

t t

x t t x

t t

 



   

 



   



 



 

5

4 2 2

1

3

4 4 ( 1) ( 2) ( )

t t

t t

t t t t t t t t t VN

 

 

     

          

 

Với t =

x y 

Vậy nghiệm hệ (0, 0) 1;

2

 

 

 

 

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm m để hệ (2m 1)x2 2 my m

x y

    

 

 



có hai nghiệm (x , y ), (x , y )1 2 cho

2

2

A(x x ) (y y ) sau đạt giá trị lớn

ĐS: m =

Bài 2: Cho hệ phương trình

2

0

0

x y x

x ay a

   



  



a) Tìm a để hệ cho có nghiệm phân biệt

b) Gọi x y1; 1 , x y2; 2là nghiệm hệ Chứng minh    

2

2 1

x x  y y 

ĐS: a)

a

  b) HD: AB2Rđpcm

Bài 3: Cho hệ phương trình 2

2

x y m

y x m

  

 

   



a) Giải hệ với m =

b) Tìm m để hệ có cặp nghiệm phân biệtx y1; 1 , x y2; 2 thỏa mãn 2 2

1 2

x y x y

ĐS: a) x y ;  2;1 ,  2; 3 b) m =

Bài 4: Cho hệ phương trình

2

9x 16y 144

x y m

  



 



ĐS: m   Bài 5: Giải hệ phương trình

a)         5 2 y x xy y x b)          2 xy y x xy y x c)         2 x y y x xy y x d)          17 3 3 y x y x xy y x

ĐS a) x y ;  1; , 2;1   b) x y ;  1; , 2;1   c) x y ;  1; , 2;1   d) x y ;  1; , 2;1  

Bài 6: Giải hệ phương trình:

2 2 1 1 x y x y x y x y               

ĐS: 1

2 ; , ;

     

   

   

   

Bài 7: Cho hệ phương trình : 2 2 2

2

x y m

x y xy m m

  

 

   

 a) Giải hệ với m =

b) Chứng minh với m hệ phương trình ln có nghiệm ĐS: a) x y ;  1;3 , 3;1  

Bài 8: Giải hệ phương trình           y x y x 2

ĐS: 1 2;  , 2;1.

Bài 9: Giải hệ phương trình xy2 x2 y

x y x y xy

    



    



Bài 10: Giải hệ phương trình

2

3

2x y xy 15

8x y 35

  



 



ĐS: (1, 3), ( , 2)3

Bài 11: Tìm m để hệ x y

x x y y 3m

  

 

  

 

có nghiệm

ĐS:

4 m

0 

Bài 12: Cho hệ phương trình:

    

  

 

a xy y x

a y x

a) Giải hệ phương trình a = b) Tìm a để hệ có nghiệm

ĐS: a)(0, –3), (3, 0) b) 0a4

Bài 13: Cho hệ phương trình

  

 

 

1 mx y

1 my x

2

a) Giải hệ với m2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

ĐS: a) x y ;   1;1 b) m 2

Bài 14: Giải hệ phương trình

      

 

 

2

2

y x x

x y y

ĐS: (1; 1)

Bài 15:Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất:

2

( 1)

( 1)

xy x m y

xy y m x

   



  



Bài 16: Giải hệ phương trình

a)

  

  

  

17 y xy x

11 y xy x

2

2

b)     

  

   

13

3

1

2

2

y xy x

y xy x

ĐS: a)  1; 2, ;

3

 



 

  