Bài giảng số 3: Ứng dụng véc tơ trong chứng minh các bất đẳng thức hình học

Chứng minh rằng bình phương khoảng cách từ điểm M đến một trong các đỉnh của tứ diện không lớn hơn tổng bình phương khoảng cách từ điểm M đến 3 đỉnh còn lại. Gọi G là trọn[r]

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ứng dụng véc tơ

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân

Trung tâm gia sư VIP Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân Hà Nội

Bài giảng số 3: ỨNG DỤNG VECTƠ TRONG CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN KHƠNG GIAN

A CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có  

180

AOBBOC Gọi OD

đường phân giác góc AOC Tính góc BOD

Giải:

Trên OA OB OC lấy vectơ đơn vị , , e1, e2 e3 hình vẽ

Ta có e 1e3 nằm cạnh OD

Vậy ta có: e OD2 e k e2  1e3

    

    

2 cos 2, 2 cos cos

e OD e OD ke e k e e k AOB BOC

          

 

cos e OD,

    BOD900

Ví dụ 2: Gọi  1, 2, , độ lớn góc nhị diện cạnh tứ 6 diện ABCD Chứng minh rằng:

6

1

cos i

i

 





Giải:

Gọi O tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD Từ O dựng

 

1

OA  BCD , OB1ACD, A M1 CD OM CD,

1

B M CD

  

1 1

cosA MB cosCD cosAOB

   

Ta có: 

1 1 cos

OA OB  OA OB  r CD

   

Ta lại có: OA   1OB1OC1OD12 0

6

2

1

4 cos i

i

r r 



   

6

1

cos i

i

 

  (đpcm)

O

A C

B e1

e2 e3

D

A

B D

C

O B

A

M

1

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ứng dụng véc tơ

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân

Trung tâm gia sư VIP Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân Hà Nội

Ví dụ 3: Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Gọi G G G G trọng tâm a, b, c, d

tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Đặt ma AGa, mb BGb, mc CGc, md CGd Chứng minh

rằng:  

16 a b c d R m m m m

Giải: Gọi O tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD Ta có:

2 2 2

4R OA OB OC OD OG GA   2 OG GB 2  OG GC  2 OG GD2

2 2 2

4R 4OG GA GB GC GD

       2 2

16 a b c d

OG m m m m

    

 2

2

4

16 a b c d

R OG m m m m

      16R2 9ma mb mcmd2

 

3

16 a b c d

R m m m m

    

Dấu “=” xảy

a b c d

O G

ABCD

m m m m

 

 

   

tứ diện

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD với tam diện vuông đỉnh A Xác định vị trí điểm M để biểu thức sau

nhỏ nhất: 3MA MB MCMD

Giải:

Ta có: 3MA MB MC MD 3MA MB AB MC AC MD AD

AB AC AD

      

AB AC AD MB AB MC AC MD AD

MA

AB AC AD AB AC AD

     

   

AB AC AD MB AB MC AC MD AD

MA

AB AC AD AB AC AD

 

      

 

         

AM MB AB AM MC AC AM MD AD

AB AC AD

  

  

        

2 2

AB AC AD

AB AC AD

AB AC AD

     

  

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ M A

(Ở AB; AC; AD

AB AC AD

  

đơi vng góc nên AB AC AD

AB AC AD 

   )

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Ứng dụng véc tơ

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân

Trung tâm gia sư VIP Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân Hà Nội

Bài 1: Cho tứ diện gần ABCD, M điểm khơng gian Chứng minh bình phương khoảng cách từ điểm M đến đỉnh tứ diện khơng lớn tổng bình phương khoảng cách từ điểm M đến đỉnh lại

Bài 2: Giả sử r R tương ứng bán kính mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp tứ diện tích , V Chứng minh: 8R r2 3 3V

Bài 3: Cho tứ diện A A A A Gọi 1 S diện tích mặt đối diện đỉnh i A i ei



vectơ đơn vị vng góc

với mặt đối diện đỉnh A cho i ei không chứa điểm bên tứ diện i 1, 2, 3, 4 Chứng minh rằng: S e1 1S e22 S e3 3S e4 4 0 (định lý nhím)

Bài 4: Cho tứ diện ABCD với độ dài cạnh a b c , , , x y z, , nội tiếp hình cầu bán kính R Gọi G trọng tâm tứ diện Chứng minh rằng:

2 2 2

4

a b c x y z

GA GB GC GD

R

    

   

Bài 5: Cho hai tứ diện ABCD A B C D    Gọi G G trọng tâm hai tứ diện ABCD A B C D    Chứng minh rằng:

4

AA BB CC DD