Bài giảng số 3: Tính chất đường phân giác trong tam giác

phân giác của góc AMC cắt AC tại E. Chứng minh I là trung điểm của DE. Tính BD, DC.. b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC[r]

BÀI GIẢNG SỐ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định lí: Trong tam giác đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn

thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn

AD phân giác góc A DB AB

DC AC

 

2 Chú ý: Định lí đường phân giác ngoài

AD phân giác ngồi góc A DB AB

DC AC

 

3 Các dạng toán thường gặp:

 Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng

 Dạng 2: Tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, phân giác BD Tính độ dài cạnh AC AB BC : :

1

DCDA dm

Vì BD phân giác góc B, nên ta có:

7 7

AD AB DC AD DC DA

DC BC



     



1

.7 1, ( )

1

.2 0, ( )

DC dm

AD dm

  

 

ACADDC1,8dm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Biết BD15cm DC, 20cm Tính độ dài AB AC AD, ,

Giải

AD phân giác góc A nên 15 3 ,  

20

AB BD

AB t AC t t

AC  DC      

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác ABC vng A, ta có:

   

2 2

2 2

2

3 35

49

AB AC BC

t t

t

t

 

  

 

 

21 , 28

AB cm AC cm

  

Kẻ DH  ACDH / /AB nên theo định lí Ta-lét ta có: 20

12

21 35

DH DC DH

DH cm

AB  BC    

Tam giác AHD vuông cân H nên ADDH 12 cm

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB4cm BC; 6cm CA; 5cm, đường phân giác BD, CE cắt I

a) Tính độ dài AD, DC; ĐS: AD2cm DC, 3cm

b) Tính tỉ số diện tích tam giác DIE ABC ĐS: 55 DIE

ABC S

Giải

a) Vì BD phân giác góc B, nên ta có:

4

6

2

.5

2

5

AD AB

DC BC

AD AC cm

DC AC AD cm

  

   



     

b) Ta có:

DEC AEC

DIE DIE

ABC DEC AEC ABC

S S

S S EI CD AE

S  S S S  EC AC AB

Do CE đường phân giác góc C nên

AE AC

BE  BC 

20 24

5 11 11 11

AE AB cm BE cm

     



Do BI tia phân giác BEC nên EI BE EC  BEBC

24

11 .

24 6 15

11 EI EC

  



Mặt khác: 3; CD AC  20 11 . 11 AE

AB  

Vậy 15 11 55 DIE

ABC S

S  

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC a AC, b AB, c Các đường phân giác AD, BE, CF cắt I Chứng minh rằng:

a) DI a

DA a b c;

b) DI EI FI

a) Vì BI phân giác ABD nên DI BD

DA ABBD

DA AB BD AB

DI BD BD



   

Ta có:

1

BD AB AB AB AC c b

BC AB AC BD BC a

DA c b a b c

DI a a

DI a

DA a b c

 

   



  

   

 

 

b) Chứng minh tương tự ta có: EI b ;

EB a b c 

FI c

FC  a b c 

1

DI EI FI a b c

DA EB FC a b c a b c a b c

      

     

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Mức độ

1 Cho tam giác ABC, phân giác AD Biết BD7,5cm CD, 5cm Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E Tính AE EC DE, , biết AC10dm ĐS:

6 ,

AEDE dm CE dm

2 Tam giác ABC có AB6dm AC, 9dm BC, 7, 5dm Đường phân giác ngồi góc A cắt BC theo thứ tự D E Tính BD BE ED, ,

ĐS: BD3dm BE, 15dm ED, 18dm

3 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt AB D, đường

phân giác góc AMC cắt AC E a) Chứng minh rằng: DE/ /BC ;

b) Gọi I giao điểm DE AM Chứng minh I trung điểm DE 4 Cho tam giác ABC vuông A, biết AB20cm AC, 21cm

b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F Tứ giác AEDF hình gì? Tính diện tích tứ giác ĐS: AEDF hình chữ nhật , có diện tích 106,1cm

5 Tam giác ABC có chu vi 27cm, BC cạnh lớn tam giác Đường phân giác

góc B chia cạnh AC thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 1:2 Đường phân giác góc C chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 3:4 Tính độ dài cạnh tam giác ABC

ĐS: AB6cm AC, 9cm BC, 12cm

6 Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD Biết AD4cm DC, 5cm Tính AB, BC ĐS: AB12cm BC, 15cm

7 Cho tam giác ABC có AB30cm AC, 45cm BC, 50cm, đường phân giác AD Tính độ dài BD, DC ĐS: BD20cm DC, 30cm

Mức độ nâng cao

8 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH có AB15cm AC, 20cm Tia phân giác góc HAB cắt HB D, tia phân giác góc HAC cắt HC E Tính độ dài đoạn AH, HD HE

ĐS: AH 12cm DH, 4cm HE, 6cm

9 Cho tam giác ABC, đường phân giác BD CE Biết 2;

3

AD EA

DC  EB Tính cạnh tam giác ABC biết chu vi tam giác 45cm ĐS: AB12cm BC, 18cm CA, 15cm

10 Cho tam giác ABC, có AB8cm AC, 12cm, đường phân giác AD Trên đoạn AD lấy

điểm E cho

AE

AD Gọi K giao điểm BE AC Tính tỉ số AK KC ĐS:

9 10

11 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Tia phân giác góc AMB cắt AB E, tia

phân giác góc AMC cắt AC F Biết MEMF , chứng minh ABC tam giác cân ĐS: Cân A

12 Cho tam giác ABC cân, ABAC5cm BC, 6cm, đường phân giác AD, BE, CF

b) Tính diện tích tam giác DEF ĐS: 360 121 cm

13 Cho tam giác ABC có AB12cm BC, 15cm AC, 18cm Gọi I giao điểm đường phân giác G trọng tâm tam giác ABC

a) Chứng minh rằng: IG / / BC; b) Tính độ dài IG ĐS: IG1cm

14 Cho tam giác ABC, đường phân giác AD, BE, CF thỏa mãn EDF90 

a) Đường thẳng qua A song song với BC cắt DF DE theo thứ tự M N Chứng minh rằng: AM AN

b) Tính số đo góc BAC. ĐS:

120

15 Cho tam giác ABC vuông A, AB6cm AC, 8cm, đường phân giác BD CE cắt nhau I Gọi S diện tích tam giác ABC Tính theo S:

a) Diện tích tam giác DBE ĐS: 24S

b) Diện tích tam giác DIE ĐS: 72S

16 Cho tam giác ABC Các điểm D, E, F theo thứ tự trung điểm cạnh BC, AC, AB Các

điểm G, H, K theo thứ tự thuộc đoạn EF, DF, DE cho GE HD AB KD, AC GF  HF  AC KE  BC Chứng minh đường thẳng DG, EH, FK đồng quy

17 Cho tam giác ABC , đường phân giác AD chia cạnh đối diện thành đoạn

2 ,

BD cm DC cm Đường trung trực AD cắt BC K Tính độ dài KD ĐS: 4cm 18 Tính diện tích tam giác ABC, biết AB14cm AC, 35cm, đường phân giác AD

12cm ĐS: