Bài giảng số 3: Các phương pháp tính tích phân

Dưới đây là phương pháp giải một số dạng cụ thể:.. Loại 1[r]

130 gõ 128 oàng ăn hái, hanh Xuân, ội Hotline: 0968 58 28 38 - 0987 708 400

Ấ ĐỀ CÁC P Ơ P ÁP Í ÍC P

I Phương pháp tích phân phần

Phương pháp: Ta có cơng thức tính tích phân phần:

b b

b a

a a

udvuv  vdu

  Dưới phương pháp giải số dạng cụ thể:

Loại ( ){ lg} ( ) ( )

b b

a a u dv

f x bt dx f x d bgth 

  Loại ( ) ( ) ( )

b b

ax b ax b

a a u dv

f x e dx f x d e a

   

 

Loại ( ) ln ln ( ( ))

b b

u

a a dv

f x xdx x d F x 

 

1 Tính tích phân sau:

a) x xdx

2

0

cos



b) x xdx

2

0

sin



c) 

1

0 x

dx

xe d) 

e

1

xdx ln

x e) dx

x x 3

4

cos 



g) e cosxdx

2

0 x





2 Tính tích phân sau:

a) (x 1)cosxdx

2

0





 b) (2 x)sin3xdx

6

0





 c) xe dx

1

0 x

 d) xln(x 1)dx

5

2

 

e)

3

2

4

xdx sin x





 g) x e dx

1

0 x

 

h) dx

x x ln

2

e

1

 i) ln xdx

e

1

 k) xln(1 x )dx

2

1

2

 

3 Tính tích phân sau

a) x  x xdx

2

0

sin ) (



b) (x 1)e dx

1

0

x 2

  c) (2x 1)lnxdx

2

1

  d) e x xdx

2

0

3 cos



e)  

1

2 x

0

x 2x e dx

 g)  

0

2x

1

x e x dx



 

 h)

2

1

x

ln xdx x



 i)

2

x

0

e s inxdx



 k)

4

0

xdx cos2x



  * Tính tích phân sau

a)

1

2

0

x 1dx

 b) sin xdx

4

0

2





c) dx

x x 3

6

cos ) ln(sin 



d) ln( x x)dx

2

0

2

   e) cos(lnx)dx

2

1

 f)

3

2

3 sin cos

x x

dx x



 



II Phương pháp đổi biến số

Phương pháp 1: Lượng giác hoá (đặt x =f(t), f(t) hàm số lượng giác)

130 gõ 128 oàng ăn hái, hanh Xuân, ội Hotline: 0968 58 28 38 - 0987 708 400 a) x dx

1

0

2

  b) dx x

1

1

0

  c) dx

x 2 

1

0

2

1

d) dx x

1

3

3

  e)

1

2

3

2

4

dx x x 



g) dx

1 x x

1

1

0

   h) dx x a a

2 

0

2

1

i)

1

2

1

x

dx x  

 k)

2 2

2

0

x dx x 



Phương pháp 2: Đặt t =f(x)

6 Tính tích phân sau đây:

a)

2

3

x dx 3x

 

 b)

ln 2x

x ln

e dx 25)

e 1

 c)

1

3 ln ln

e

x dx

x x

 



d)

2

3

6

0

1 cos x.sin x cos xdx

 

 e)

ln x

x

e dx (1 e )

 f)

4

1

ln(1 x) dx

x x

 

 g)

2

0

sin sin 3cos

x x

dx x



 



Một số cách đặt ẩn phụ khác

7 Tính tích phân sau

a)

2

x

sin xdx

3



  

b)

 

1

x

1

dx (e 1) x

  

 c)

1

1

ln(1 ) x

x dx e

 



 d)

6

0

cos sin cos

xdx

x x



 

Đáp số:

 1a) 



, 1b) 1, 1c) 1, 1d)

1 e2 

, 1e) ln

4 3

   

, 1g)

1 e2 



 2a)

2

 

, 2b)

9

, 2c)

1 e 3

, 2d)

4 27 ln

24  , 2e) 9 3 1ln3

36 2

  

, 2g)

e e 

, 2h) 4, 2i) e – 2, 2k)

2

3 ln ln

5  

 3a) 1, 3b)

3 e 

, 3c)

2

ln  , 3d) 13

2 e 

 

, 3e) e

  , 3g) 32

4e 7, 3h)

3

e

4



, 3i)1 2

1 e



 , 3k)

1

ln

8 2



 4a) 1 ln 1

2   , 4b) 2, 4c)

3 ln

3



 , 4d) 2ln( 52) 51, 4e)

2 ) cos(ln )

2

sin(ln  

 5a)

4

 , 5b)

4

 , 5c)

6

 , 5d)

3 12



, 5e)

6

 , 5g)

9



, 5h)

6

 , 5i)

a

 , 5k)

5 16 44 

, 5m)

4