Bài giảng số 6: Các dạng bài tập về tứ giác nội tiếp trong đường tròn

i) Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn. - Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện. - Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc chung [r]

BÀI GIẢNG SỐ 6: TỨ GIÁC NỘI TIẾP

I Tóm tắt lý thuyết

i) Tứ giác nội tiếp tứ giác có đỉnh nằm đường trịn

ii) Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ta chứng minh tứ giác thỏa mãn một điều kiện sau:

- đỉnh A B C D, , , thuộc đường tròn

- Tổng hai góc đối 1800

- Góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Hai đỉnh kề nhìn cạnh góc chung 

iii) Nếu tứ giác nội tiếp đường trịn có tính chất sau đây: - Tổng hai góc đối 1800

- Góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Hai đỉnh kề nhìn cạnh góc chung 

II Bài tập mẫu

Bài tập mẫu 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn ( )O Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn M , N , P Chứng minh rằng:

1 Tứ giác CEHD nội tiếp điểm B, C , E, F nằm đường tròn AE EC AH AD AD BC ; BE AC H M đối xứng với qua BC

Giải:

1 Xét tứ giác CEHD có:



90

CEH  ; 

90

CDH  ( BE vàAD đường cao)

Nên  

180

CEHCDH 

Mà CEH  CDH hai góc đối tứ giác CEHD Do  CEHD tứ giác nội tiếp

2 Theo giả thiết:

BE đường cao nên 

90

BEACBEC 

CF đường cao nên 

90

CF  ABBFC

Như E F nhìn BC góc 900 Nên E F

cùng nằm đường trịn đường kính BC Vậy bốn điểm , , ,

B C E F nằm đường tròn

H

( ( 2

2

1 1

1 P

N

F

E

M

D C

B

A

3 Xét hai tam giác AEH ADC có: AEH ADC90 ;0 A góc chung

AE AH

AEH ADC AE AC AH AD

AD AC

      

Xét hai tam giác BEC ADC có: BEC ADC90 ;0 C góc chung

BE BC

BEC ADC AD BC BE AC

AD AC

      

4 Ta có C1 A1 ( phụ với ABC );  C2 A1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BM )

 

1

C C CB

   tia phân giác góc HCM Lại có CBHM  CHM cân CB đường trung trực HM Vậy H M đối xứng với qua BC

Bài tập mẫu 2: Cho tam giác ABC có ba góc nội tiếp đường tròn ( )O với trực tâm H Giả sử M điểm cung BC không chứa A( M khác B, M khác C ) Gọi N P, theo thứ tự điểm đối xứng M qua AB AC,

1) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp 2) Chứng minh ba điểm N H P, , thẳng hàng 3) Tìm vị trí M để độ dài đoạn NP lớn

Giải:

1) Gọi I giao điểm CH AB, K giao điểm

của AH BC Ta thấy IBK AHC1800 (1) Mặt khác IBKAPC (2)

Từ (1) (2) ta thấy tứ giác AHCP nội tiếp

2) Do tứ giác AHCP nội tiếp nên AHPACP (

chắn cung AP) Có ACPACM (tính chất đối xứng)

Suy AHPACM (3)

Tương tự ta chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp,

nên AHNABN ( chắn cung AP)

Có ABN ABM (t/c đối xứng) Suy raAHN ABM (4)

Tứ giácABMC nội tiếp nên  ACM ABM 1800 (5) Thay (3), (4) vào (5) ta  AHPAHN 1800 Vậy điểm H N P, , thẳng hàng

3) Từ MAN 2BAM MAP , 2MAC suy NAP2(BAM MAC)2BAC (không đổi)

Ta có NP2AP.sinBAC2AM.sinBAC Do NP lớn AM lớn nhất, lúc

AM đường kính đường trịn ( )O Vây NP lớn M điểm đối xứng A qua O

Bài tập mẫu 3: Cho tam giác cân ABC AB( AC A, 90 )0 , đường cao BD Gọi M N I, , theo thứ tự trung điểm đoạn BC BM BD, , Tia NI cắt cạnh AC K Chứng minh rằng:

1) Các tứ giác ABMD ABNK, nội tiếp

j H I

K N

P A

B C

2)

BC  CA CK

Giải:

1) Do tam giác ABC cân A nên AM BM

Lại có AD BD, tứ giác ABMD nội tiếp đường trịn đường kính AB

Mặt khác NI đường trung bình tam giác ABC

nên NI/ /MD Do KNCDMC

Hơn DMCKAB( tính chất tứ giác nội tiếp

ABMD) Suy KNCKAB(1) Từ ta thấy tứ giác ABNK nội tiếp

2) Ta có NKCABC(tứ giác nội tiếp)

Kết hợp với (1) ta có ABC NKC BC CA

CK NC

   

Mặt khác, dễ thấy

NC  BC,

3

BC  BC NC  CA CK

Bài tập mẫu 4: cho tam giác nhọn ABC AB(  AC), hai đường cao BD CE cắt H (D

thuộc cạnh AC , E thuộc cạnh AB) Gọi I trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp BEI đường tròn ngoại tiếp CDI cắt K (K khác I)

1) Chứng minh BDK CEK

2) Đường thẳng DE cắt BC M Chứng minh ba điểm M H K, , thẳng hàng 3) Chứng minh tứ giác BKMD nội tiếp

Giải:

1) Vì      AB C EKDEKIIKD5400, mà B EKI C IKD1800 nên

 

180

A EKD 

Suy tứ giác AEKD nội tiếp

Mặt khác, tứ giác AEHD nội tiếp Vậy năm điểm , , , ,

A E H K D nằm đường trịn

đường kính AH, dẫn đến BDKCEK

2) Ta có: ADE ABC, AKE ADE suy

 

ABC AKE Từ  

180

AKEAKI  , nghĩa điểm A K I, , thẳng hàng

Lại có: IKC IDCICD, IKC KACACK,

I

N

D

M

B C

A

K

j H

I K E

A

M

D

B

  

ICDICKKCD

Vậy tứ giácMEKC nội tiếp

Tứ giác MEKC nội tiếp nên MECMKC

Vì IKC AEDMEB; MECMEB900; MKCMKI IKCMKI 900 Do A E H K D, , , , nằm đường trịn đường kính AH, nên HKA  900 Vậy K H M, , thẳng hàng

3) Do tứ giác DEHK nội tiếp nên HEK HDK (1)

Tứ giác MEKC nội tiếp nên KECKMC (2)

Từ (1) (2) suy KMBHDK, hay tứ giác MBKD nội tiếp

Bài tập mấu 5: cho hình thang vng ABCD A( D) Gọi Elà trung điểm AD Kẻ AH vng góc với BE, DI vng góc với CE , K giao điểm AH DI

1) Chứng minh BHIC nội tiếp 2) Chứng minh EK BC

Giải:

1) Sử dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông AEB BEC ta thấy

2

EA EH EB (1)

2

ED EI EC (2)

Vì EAED(gt) nên từ (1) (2) suy

EH EBEI EC

Dẫn đến tứ giác BHIC nội tiếp đường tròn 2) Giả sử F giao điểm EK BC

Từ câu 1) tứ giác BHIC nội tiếp nên EHI BCI (3)

Mà tứ giác EHKI nội tiếp (EHK EIK900) nên

 

EHI EKI (4)

Từ (3) (4) suy BCI EKI, hay tứ giác FKIC

nội tiếp, dẫn tới KFC KIC 1800

Theo giả thiết KIC 900, suy KFC  900 Nghĩa EK BC

III Bài tập tự luyện

Bài tập 1: cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AD CE hai đường cao cắt H, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M điểm đối xứng B qua O , I giao điểm BM

và DE, K giao điểm AC HM

F

I

K H

E

D

A B

1) Chứng minh tứ giác AEDC DIMC tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh OK AC

3) Cho số đo góc AOK 600 Chứng minh tam giác HBO cân Hướng dẫn:

1) Chứng minh BDIBMC

2) Chứng minh K trung điểm AC 3) Chứng minh BH BO

Bài tập 2: cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai cạnh AD CD lấy điểm M N

sao cho MBN  450 BM BN cắt AC theo thứ tự E F

1) Chứng minh tứ giác BENC BFMA nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh MEFN tứ giác nội tiếp

3) Gọi H giao điểm MF NE , I giao điểm BH MN Tính độ dài BI

Hướng dẫn:

1) Chứng minh EBN ECN FBM FAM

2) Chứng minh 

90

MEN  

90

MFN 

3) Chứng minh BCN  BIN nên BI  a

Bài tập 3: giả sử tứ giác lồi ABCD có điểm M cho tứ giác ABMD hình bình hành

 

CBM CDM Dựng hình bình hành BMCN

1) Chứng minh tứ giác ABNC nội tiếp

2) Chứng minh ACDBCM

Hướng dẫn:

1) Chứng minh BCN BAN

2) Chứng minh BCMCBN; CBNCAN; CANACD

Bài tập 4: cho đoạn thẳng AB điểm C nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phằng bờ chứa đường thẳng AB, kẻ tam giác ACD BCE Gọi I giao điểm AE BD Chứng minh rằng:

1) Các tứ giác ACID BCIE nội tiếp đường tròn

2) IA IB IC, , tia phân giác góc   CID CIE AIB , ,

3) Khi C chuyển động đoạn thẳng AB điểm I ln chuyển động cung tròn cố định Hướng dẫn:

1) Chứng minh IACIDC IECIBC

2) Chứng minh AID AIC; BIC BIE AICBIC 3) Khi C chuyển động đoạn thẳng AB điểm I

chuyển động cung trịn AB chứa góc AB

Bài tập 5: cho tam giác nhọn ABC Về phía ngồi tam giác ta dựng tam giác vuông cân đỉnh A '

1) Các tứ giác ADBC , ' ADCB nội tiếp đường tròn ' 2) Tứ giác BA CD nội tiếp '

3) Ba đường thẳng AA BB CC', ', ' đồng quy D Hướng dẫn:

1) Chứng minh AC D' ABD AB D' ACD

2) Chứng minh BDC'BA C' 900 3) Chứng minh A D A, , ' thẳng hàng

Bài tập 6: cho hình vng ABCD Các điểm M N, thuộc cạnh BC CD, cho



45

MAN  Gọi P Q, giao điểm BD với AN AM Chứng minh rằng:

1) Các tứ giác ABMP ADNQ MNPQ, , nội tiếp đường tròn

2) PAPM QA, QN

Hướng dẫn: