Đang tải... (xem toàn văn)
Trong quá trình giải các bài toán về căn thức bậc hai ta cần chú ý các điều sau đây: 1.. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA[r]
(1)Bài giảng số 5: CÁC DẠNG TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI
A TÓM TẮT KIẾN THỨC
Trong q trình giải tốn thức bậc hai ta cần ý điều sau đây: 1 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa A0
2 Ta ln có
A A với điều kiện A0 (định nghĩa bậc 2)
3 Ta có đẳng thức A khi A A A
A A
Do
2
0 A A A
4 Ta có AB A B A0,B0.
Tuy nhiên 0,
0,
A B khi A B AB A B
A B A B
Tương tự cho quy tắc khai thương
5 Ta có A2 B2 A B A B
Do đó, để A2 B2 A B ta cần phải có điều kiện AB0 (điều kiện dấu hai vế)
Tức
2
A B A B
AB
Chú ý Có trường hợp thường gặp
2 0 A
A B B
A B
(điều kiện dấu hai vế)
Tuy nhiên, từ điều kiện AB2 ta suy A0.
Do A B B 02 A B
B CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Dạng 1: Giải phương trình chứa
(2)- Phá dấu cách vận dụng đẳng thức A = A bình phương hai vế đẳng thức
- Sau tìm nghiệm, đối chiếu với ĐKXĐ rút kết luận
Ví dụ 1: giải phương trình
a) x 1 b) x24x 4
Giải
a) x 1 (ĐK: x 1)
2
1 ( 1)
x x x x
3
x thỏa mãn ĐKXĐ phương trình có nghiệm x3 b) x24x 4
2
2
4 4 4
x x x x (1) + Trường hợp 1: x 2
(1) x x (thỏa mãn ĐK) + Trường hợp 2: x 2
(1) x x 6(thỏa mãn ĐK)
KL: Vậy phương trình có nghiệm x 6; x2
Ví dụ 2: 2x22 2x3 2x138 2x3 5
Giải
2 2
(2 3) 2 (2 3) 2 3.4 16
2 3
2 3 5; (*)
x x x x
x x
x x
Cách 1:
Nhận xét: 2x310 ta xét dấu 2x34
Nếu
2 19
3 16
2
x
x x x
Thì 2x31 2x3452 2x38 2x34 Giải
2
(3)+ Nếu 19
2x x
Thì 2x31 2x3450x0 vô số nghiệm với x thỏa mãn
2 19
3 x
Kết luận:
2 19
3 x
Cách 2:
Áp dụng BĐT A B AB Dấu “=” xảy A.B0) Giải: (*) 5 3 x x x x
Ta có 2x31 4 2x3 2x314 2x3 5 Vậy 2x31 4 2x3 5 Khi 2x314 2x30
3 x x Kết luận: 19 x
Dạng 2: Căn bậc ba
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức
3 3
) 125
a
3
) 7
b
Lời giải mẫu:
3 3 3
3 3 3
) 125 3
a
3
) 7
b
Đặt 3
7
x
3
3
3
3 3
3
3
3
7
7 7 7
(4)Dạng 3: Tìm Max, Min - Đánh giá biểu thức - Sử dụng bất đẳng thức Cô si
+ a b 2 ab với a, b hai số không âm + Dấu xảy a = b - Làm trội, đánh giá qua biểu thức trung gian
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
a) M x26x12 b) P
1 x
x
Giải
a) M x26x12
2
2
M x 6x12 x 6x 9 x3 3
Vậy giá trị nhỏ M đạt x 3 x
b) P
1 x
x
(x1)
3 4
P
1 1 1
x x x
x
x x x x x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x1 x có
4
1 2 2.2
1
x x
x x
Vậy giá trị nhỏ P đạt 4
x x x
x
Dạng 4: Tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức, chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
Ví dụ 5: Cho x
Tính giá trị biểu thức A = 1+ 2x + 1- 2x 1+ 1+ 2x 1- 1- 2x
(5)3
1+ 1-
4
A = +
3
1+ 1+ 1- 1-
4
3
1
2
3
1+ 1+
1-2
2 3
2 4
2 3
2 3
2 3
3 3
6 3 3 3 3
6
Ví dụ 6: Cho xy + yz + zx = x + y + z =
Chứng minh biểu thức
2 2 2
2 2
1 1 1
A =
1 1
x y z y x z
z x y
không phụ
thuộc vào biến
(6)
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
1 1 1
A =
1 1
x y z y x z
z x y
xy yz zx x xy yz zx y xy yz zx z xy yz zx y
xy yz zx z xy yz zx x
xy yz zx x xy yz zx z xy yz zx y
x y x z y z x y x z y z x y y z x y x z x z y z
x z y z x z x y x y
2 2.2
y z x y y z x z
x y z
Ví dụ 7: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c ab bc bc Chứng minh a = b = c Cách 1: Biến đổi tương đương
2 2 2
2 2 2
2 2
0
0
a b c ab bc ac
a b c ab bc ac
a ab b b bc c c ca a
a b b c c a
a b
b c a b c
c a
C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm x, thỏa mãn
)
a x
)
b x x
2
) 4 4
c x x x x x
) 16 25 24
d x x x
) 4 9 12
) 2 10
e x x x
f x x x x
Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau
a) C = 1
x b) D =
2
1 x x
c) 2
x
(7)a) A = 2 x
x
b)
2
x x Bài 4: Chứng minh rằng:
1
2 2
4
2 2
a x a x a a
x x
a x a x
với x a
2
2
2, a a
a a a
3 3
182 33125 182 33125 7
4
2
x x y x x y
x y
2
5
3
x
5
nghiệm phương trình
x 3x 14 0
6 P 16
2
2
Q :
6
số vơ tỉ
Bài 5: Tìm GTNN BT sau
a)A x2 x 1 x2 x 1 b)
2
3 B
2 x 2x
Bài 6: Tìm giá trị lớn (bé nhất) có của:
2
x -4
1
D
2004 2003
-2x x
E
Bài 7: Rút gọn a)
512 ; 729
b)
3 3 135
54
5
c) 3
20 14 2 20 14 2 d) 35 + + -5 + 73
Bài 8: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a) x22x 1 x với x1
(8)c) x42x2 1 x x 1 x
Bài 9: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến
a)
2
x y x y
A xy x xy y
b) 2
1
2
x x x x x x
B
x
x x x
Bài 10: Chứng minh a) số vô tỉ