Bài soạn Chuyên đề PT bậc 2 ôn thi vào 10 (hay)

Chuyên đề 5 : Phơng trình bậc hai Phần II. kiến thức cần nắm vững 1. Công thức nghiệm: Phơng trình ax 2 +bx+c = 0 (a 0) có = b 2 - 4ac +Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm +Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = a b 2 +Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = a b 2 + ; x 2 = a b 2 2. Công thức nghiệm thu gọn: Phơng trình ax 2 +bx+c = 0 (a 0) có =b 2 - ac ( b =2b ) +Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm +Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = a b +Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = a b ' + ; x 2 = a b ' 3. Hệ thức Vi-ét a) Định lí Vi-ét: Nếu x 1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình ax 2 +bx+c = 0 (a0) thì : S = x 1 +x 2 = a b ; P = x 1 .x 2 = a c b) ứng dụng: +Hệ quả 1: Nếu phơng trình ax 2 +bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì ph- ơng trình có nghiệm: x 1 = 1; x 2 = a c +Hệ quả 2: Nếu phơng trình ax 2 +bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì ph- ơng trình có nghiệm: x 1 = -1; x 2 = a c c) Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số x 1 ; x 2 có x 1 +x 2 = S ; x 1 .x 2 = P thì x 1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình : x 2 - S x+P = 0 (x 1 ; x 2 tồn tại khi S 2 4P 0) Chú ý: + Định lí Vi-ét chỉ áp dụng đợc khi phơng trình có nghiệm (tức là 0) + Nếu a và c trái dấu thì phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu Phần II. bài tập rèn luyện I. Toán trắc nghiệm (Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết) Bài 1: Điền vào chỗ . để có mệnh đề đúng a) Phơng trình mx 2 +nx+p = 0 (m 0) có = . Nếu . thì phơng trình vô nghiệm Nếu . thì phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = . Nếu . thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = . ; x 2 = . b) Phơng trình px 2 +qx+k = 0 (p 0) có = .(với q = 2q ) 1 Nếu . thì phơng trình vô nghiệm Nếu . thì phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = . Nếu . thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = . ; x 2 = . Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai A. Nếu x 1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì: S = x 1 + x 2 = a b ; P = x 1 .x 2 = a c B. Nếu x 1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì: S = x 1 + x 2 = a c ; P = x 1 .x 2 = a b C. Nếu phơng trình ax 2 +bx+c = 0 (a 0) có a+b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm: x 1 = 1; x 2 = a c D. Nếu phơng trình ax 2 +bx+c = 0 (a 0) có: a-b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm: x 1 = 1; x 2 = a c E. Nếu phơng trình ax 2 +bx+c = 0 (a 0) có: a- b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm: x 1 = -1; x 2 = a c F. Nếu phơng trình ax 2 +bx+c = 0 (a 0) có: a+b+c = 0 thì phơng trình có nghiệm: x 1 = -1; x 2 = a c G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phơng trình : x 2 - S x+P = 0 H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phơng trình : x 2 - P x+S = 0 Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau: A.Nếu phơng trình ax 2 +bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm: x 1 = 1; x 2 = a c B.Nếu phơng trình ax 2 +bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phơng trình có 2 nghiệm: x 1 = -1; x 2 = a c C.Phơng trình ax 2 +bx+c=0 có tổng hai nghiệm là a b và tích hai nghiệm là a c D.Phơng trình 2x 2 -x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là 2 1 và tích hai nghiệm là 2 3 Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao? GV:cần khắc sâu hơn về a 0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK: 0) II. Toán tự luận 2 Loại toán rèn kỹ năng áp dụng công thức vào tính toán Bài 1: Giải phơng trình a) x 2 - 49x - 50 = 0 b) (2- 3 )x 2 + 2 3 x 2 3 = 0 Giải: a) Giải phơng trình x 2 - 49x - 50 = 0 + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50) = (- 49) 2 - 4.1.(- 50) = 2601; = 51 Do > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 51)49( 1 = = x ; 50 2 51)49( 2 = + = x + Lời giải 2: ứng dụng của định lí Viet Do a b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 Nên phơng trình có nghiệm: x 1 = - 1; x 2 = 50 1 50 = + Lời giải 3: = (- 49) 2 - 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có : = = === +==+ 50 1 50).1(5049. 50)1(49 2 1 21 21 x x xx xx Vậy phơng trình có nghiệm: x 1 = - 1; x 2 = 50 1 50 = b) Giải phơng trình (2- 3 )x 2 + 2 3 x 2 3 = 0 Giải: + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = 2 3 ) = (2 3 ) 2 - 4(2- 3 )( 2 3 ) = 16; = 4 Do > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt: 1 )32(2 432 1 = + = x ; )347( )32(2 432 2 += = x + Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- 3 ; b = 3 ; c = 2 3 ) = ( 3 ) 2 - (2- 3 )( 2 3 ) = 4; = 2 Do > 0 nên phơng trình có hai nghiệm phân biệt: 1 32 23 1 = + = x ; )347( 32 23 2 += = x + Lời giải 3: ứng dụng của định lí Viet Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0 Nên phơng trình có nghiệm: x 1 = 1; x 1 = )347( 32 32 += *Yêu cầu: + Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức + áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót) + Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán * Bài tập tơng tự: Giải các phơng trình sau: 1. 3x 2 7x - 10 = 0 2. x 2 3x + 2 = 0 3. x 2 4x 5 = 0 4. 3x 2 2 3 x 3 = 0 5. x 2 (1+ 2 )x + 2 = 0 6. 3 x 2 (1- 3 )x 1 = 0 7.(2+ 3 )x 2 - 2 3 x 2 + 3 = 0 8. x 2 x 6 = 0 3 Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441 Giải Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phơng trình x 2 42x + 441 = 0 (*) Ta có: = (- 21) 2 - 441 = 0 Phơng trình (*) có nghiệm x 1 = x 2 = 21 Vậy u = v = 21 *Bài tập t ơng tự: 1. Tìm hai số u và v biết: a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24 c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10 2. Tìm kích thớc mảnh vờn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m 2 Bài 3: Giải các phơng trình sau (phơng trình quy về phơng trình bậc hai) a) x 3 + 3x 2 2x 6 = 0 b) )4)(1( 8 1 2 2 + + = + xx xx x x c) 5x 4 + 2x 2 -16 = 10 x 2 d) 3(x 2 +x) 2 (x 2 +x) 1 = 0 Giải a) Giải phơng trình x 3 + 3x 2 2x 6 = 0 (1) (1) (x 2 - 2)(x + 3) = 0 (x + 2 )(x - 2 )(x + 3) = 0 x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3 Vậy phơng trình (1) có nghiệm x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3 b) Giải phơng trình )4)(1( 8 1 2 2 + + = + xx xx x x (2) Với ĐK: x -1; x 4 thì (2) 2x(x- 4) = x 2 x + 8 x 2 7x 8 = 0 (*) Do a b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phơng trình (*) có nghiệm x 1 = -1(không thoả mãn ĐK) ; x 2 = 8 (thoả mãn ĐK) Vậy phơng trình (2) có nghiệm x = 8 c) Giải phơng trình 5x 4 + 2x 2 -16 = 10 x 2 (3) Ta có: (3) 5x 4 3x 2 26 = 0 Đặt x 2 = t (t 0) thì (3) 5t 2 3t 26 = 0 Xét = (-3) 2 4.5.(-26) = 529. = 23 Nên: t 1 = 5 13 5.2 23)3( = + (thoả mãn t 0) ; t 2 = 2 5.2 23)3( = (loại) Với t = 5 13 x 2 = 5 13 x = 5 13 Vậy phơng trình (3) có nghiệm x 1 = 5 13 ; x 2 = 5 13 d) Giải phơng trình 3(x 2 +x) 2 (x 2 +x) 1 = 0 (4) Đặt x 2 +x = t . Khi đó (4) 3t 2 2t 1 = 0 Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t 1 = 1; t 2 = 3 1 t 1 = 1 x 2 +x = 1 x 2 + x 1 = 0 1 = 1 2 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x 1 = 2 51 ; x 2 = 2 51 + t 2 = 3 1 x 2 +x = 3 1 3x 2 + 3x + 1 = 0 (*) 2 = 3 2 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm Vậy phơng trình (4) có nghiệm x 1 = 2 51 ; x 2 = 2 51 + * Bài tập tơng tự: Giải các phơng trình sau: 4 1. x 3 +3x 2 +3x+2 = 0 2. (x 2 + 2x - 5) 2 = (x 2 - x + 5) 2 3. x 4 5x 2 + 4 = 0 4. 0,3 x 4 + 1,8x 2 + 1,5 = 0 5. x 3 + 2 x 2 (x - 3) 2 = (x- 1)(x 2 -2 6. 3 1 .10 1 = + + x x x x 7. (x 2 4x + 2) 2 + x 2 - 4x - 4 = 0 8. 03 1 4 1 2 =+ + + x x x x 9. xx x =+ + 2 6 3 5 2 Bài 4: Cho phơng trình x 2 + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x 1 và x 2 . Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = 22 11 xx + ; B = x 1 2 + x 2 2 ; C = 2 2 2 2 11 xx + ; D = x 1 3 + x 2 3 Giải Do phơng trình có 2 nghiệm là x 1 và x 2 nên theo định lí Viet ta có: x 1 + x 2 = 3 ; x 1 .x 2 = 5 A = 15 5 1 5 3 . 11 21 21 22 = = + =+ xx xx xx ; B = x 1 2 + x 2 2 = (x 1 +x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 523)5(2)3( 2 += C = )523( 5 1 )5( 523 . 2 2 2 2 1 2 2 2 1 += + = + xx xx ; D = (x 1 +x 2 )( x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2 ) = )15333()]5(523)[3( +=+ * Bài tập tơng tự: Cho phơng trình x 2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x 1 và x 2 . Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = 22 11 xx + ; B = x 1 2 + x 2 2 ; C = 2 2 2 2 11 xx + ; D = x 1 3 + x 2 3 E = 2 3 1 3 21 2 221 2 1 55 6106 xxxx xxxx + ++ ; F = 2 2 1 2 21 2 221 2 1 44 353 xxxx xxxx + ++ Loại toán rèn kỹ năng suy luận (Phơng trình bậc hai chứa tham số) Bài 1: (Bài toán tổng quát) Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax 2 +bx+c = 0 (a 0) có: 1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0 2. Vô nghiệm < 0 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0 5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0 7. Hai nghiệm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0 9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S < 0 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn a.c < 0 và S > 0 (ở đó: S = x 1 + x 2 = a b ; P = x 1 .x 2 = a c ) 5 * Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại toán này Bài 2: Giải phơng trình (giải và biện luận): x 2 - 2x+k = 0 ( tham số k) Giải = (-1) 2 - 1.k = 1 k Nếu < 0 1- k < 0 k > 1 phơng trình vô nghiệm Nếu = 0 1- k = 0 k = 1 phơng trình có nghiệm kép x 1 = x 2 =1 Nếu > 0 1- k > 0 k < 1 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 = 1- k 1 ; x 2 = 1+ k 1 Kết luận: Nếu k > 1 thì phơng trình vô nghiệm Nếu k = 1 thì phơng trình có nghiệm x=1 Nếu k < 1 thì phơng trình có nghiệm x 1 = 1- k 1 ; x 2 = 1+ k 1 Bài 3: Cho phơng trình (m-1)x 2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó? c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)? Giải a) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x = 2 3 (là nghiệm) + Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: =1 2 - (- 3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm = 3m-2 0 m 3 2 + Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m 3 2 thì phơng trình có nghiệm b) + Nếu m-1 = 0 m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 x = 2 3 (là nghiệm) + Nếu m 1. Khi đó (1) là phơng trình bậc hai có: = 1- (- 3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm duy nhất = 3m-2 = 0 m = 3 2 (thoả mãn m 1) Khi đó x = 3 1 3 2 1 1 1 = = m +Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2 3 với m = 3 2 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3 c) Do phơng trình có nghiệm x 1 = 2 nên ta có: (m-1)2 2 + 2.2 - 3 = 0 4m 3 = 0 m = 4 3 Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 = 4 3 -1= 4 1 0) Theo đinh lí Viet ta có: x 1 .x 2 = 612 4 1 3 1 3 2 == = x m Vậy m = 4 3 và nghiệm còn lại là x 2 = 6 * Giáo viên cần khắc sâu trờng hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc sinh thờng hay sai sót) 6 Bài 4: Cho phơng trình: x 2 -2(m-1)x 3 m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x 1 , x 2 với mọi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm d) Tìm m sao cho nghiệm số x 1 , x 2 của phơng trình thoả mãn x 1 2 +x 2 2 10. e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 và x 2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x 1 qua x 2 Giải a) Ta có: = (m-1) 2 ( 3 m ) = 4 15 2 1 2 + m Do 0 2 1 2 m với mọi m; 0 4 15 > > 0 với mọi m Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm) b) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 3 m < 0 m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x 1 + x 2 = 2(m-1) và P = x 1. x 2 = - (m+3) Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0 3 3 1 0)3( 0)1(2 < < < >+ < m m m m m Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x 1 + x 2 = 2(m-1) và P = x 1. x 2 = - (m+3) Khi đó A = x 1 2 +x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 4(m-1) 2 +2(m+3) = 4m 2 6m + 10 Theo bài A 10 4m 2 6m 0 2m(2m-3) 0 7 0 2 3 2 3 0 2 3 0 032 0 032 0 m m m m m m m m m m Vậy m 2 3 hoặc m 0 e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: = =+ += =+ 62.2 22 . )3(. )1(2 21 21 21 21 mxx mxx mxx mxx x 1 + x 2 +2x 1 x 2 = - 8 Vậy x 1 +x 2 +2x 1 x 2 + 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x 1 và x 2 không phụ thuộc m f) Từ ý e) ta có: x 1 + x 2 +2x 1 x 2 = - 8 x 1 (1+2x 2 ) = - ( 8 +x 2 ) 2 2 1 21 8 x x x + + = Vậy 2 2 1 21 8 x x x + + = ( 2 1 2 x ) Bài 5: Cho phơng trình: x 2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số) a) Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn 3x 1 +2x 2 = 1 c) Lập phơng trình ẩn y thoả mãn 2 11 1 x xy += ; 1 22 1 x xy += với x 1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình ở trên Giải a) Ta có = 1 2 (m-1) = 2 m Phơng trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau 2 2 2 11 02 1 0 ' = = = = m m m m m P 8 Vậy m = 2 b) Ta có = 1 2 (m-1) = 2 m Phơng trình có nghiệm 0 2 m 0 m 2 (*) Khi đó theo định lí Viet ta có: x 1 + x 2 = -2 (1); x 1 x 2 = m 1 (2) Theo bài: 3x 1 +2x 2 = 1 (3) Từ (1) và (3) ta có: = = =+ = =+ =+ =+ =+ 7 5 2 5 123 422 123 2 2 1 21 1 21 21 21 21 x x xx x xx xx xx xx Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 là giá trị cần tìm d) Với m 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x 1 + x 2 = -2 (1) ; x 1 x 2 = m 1 (2) Khi đó: m m mxx xx xx xx xxyy = += + ++=+++=+ 1 2 1 2 2 11 21 21 21 21 2121 (m1) 1 2 1 1 12 1 ) 1 )( 1 ( 2 21 21 1 2 2 121 =+ +=++=++= m m m m xx xx x x x xyy (m1) y 1 ; y 2 là nghiệm của phơng trình: y 2 - m m 1 2 .y + 1 2 m m = 0 (m1) Phơng trình ẩn y cần lập là: (m-1)y 2 + 2my + m 2 = 0 *Yêu cầu: + HS nắm vững phơng pháp + HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi + Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải khác * Bài tập tơng tự: 1) Cho phơng trình: (m 1)x 2 + 2(m 1)x m = 0 ( ẩn x) a) Định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. 2) Cho phơng trình : x 2 4x + m + 1 = 0 a) Định m để phơng trình có nghiệm. b) Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: x 1 2 + x 2 2 = 10 3) Cho phơng trình: x 2 (2m 3)x + m 2 3m = 0 a) Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 1 < x 1 < x 2 <6 9 4) Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x 2 2mx + 2m 1 = 0 a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x 1 , x 2 với mọi m. b) Đặt A = 2(x 1 2 + x 2 2 ) 5x 1 x 2 a) Chứng minh A= 8m 2 18m + 9 b) Tìm m sao cho A=27 c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia 5) Cho phơng trình ; x 2 -2(m + 4)x + m 2 8 = 0. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: a) A = x 1 + x 2 3x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất. b) B = x 1 2 + x 2 2 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. c) Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào m 6) Cho phơng trình : x 2 4x (m 2 + 3m) = 0 a) Chứng minh rằng phơng trình luông có 2 nghiệm x 1 , x 2 với mọi m b) Xác định m để: x 1 2 + x 2 2 = 4(x 1 + x 2 ) c) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y 1 và y 2 thoả mãn: y 1 + y 2 = x 1 + x 2 và 3 11 1 2 2 1 = + y y y y 7) Cho phơng trình : x 2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn : 2 1 2 2 2 1 + x x x x > 7 8) Cho phơng trình : (m 1)x 2 2(m + 1)x + m = 0 (1) a) Giải và biện luận phơng trình (1) theo m b) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 : * Tìm một hệ thức giữa x 1 , x 2 độc lập đối với m * Tìm m sao cho 2 21 xx Bài 174 Cho phơng trình có ẩn số x : x 2 -2(m-1)x 3 m = 0 1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m 2) Tìm m sao cho nghiệm số x 1 , x 2 của phơng trình thoả mãn điều kiện x 1 2 +x 2 2 10. Bài 175 Cho phơng trình bậc hai có ẩn x: x 2 2mx + 2m 1 = 0 1) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x 1 , x 2 với mọi m. 2) Đặt A = 2(x 1 2 + x 2 2 ) 5x 1 x 2 a) Chứng minh A= 8m 2 18m + 9 b) Tìm m sao cho A=27 3) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia Bài 176 Cho phơng trình: (m 1)x 2 + 2(m 1)x m = 0 ( ẩn x) a) Định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm. Bài 177 Cho phơng trình: x 2 (2m 3)x + m 2 3m = 0 a) Chứng minh rằng, phơng trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi b) Định m để phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn: 1 < x 1 < x 2 <6 Bài 178 10 [...]... m, biểu thức R= 2 x1 x 2 + 3 2 2 x1 + x 2 + 2( 1 + x1 x 2 ) (x1 1)(x2 1) = 1 a+ 1 (2) Bài 24 5 Cho a 0 Giả sử x1 và x2 là nghiệm của phơng trình 1 =0 2a 2 X2 ax - Chứng minh rằng: x14 + x24 2 + 2 Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào Bài 24 6 Cho a 0, giả sử x1, x2 là nghiệm của phơng trình: x2 ax 1 =0 a2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x14 + x24 Bài 24 7 Cho phơng trình bậc 2: x2 + 2( a + 3)x + 4(a... 0 của phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0, a,b,c R) Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là : 1 x1 2 , 1 x2 2 Bài 21 0 Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 Hãy việt phơng trình bậc hai nhân x13 và x23 làm hai nghiệm Bài 21 1 Bài 20 5 Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x2 - cx +2c - 1 = 0 13 Cho f(x) = x2 2( m+ 2) x + 6m + 1 a) CMR:... t1 > 0 thoả mãn: x1 + t1 2 Bài 22 8 Cho 2 phơng trình : ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) (a, b, c 0 ) Chứng minh rằng nếu (1) có hai nghiệm tơng đơng x1, x2 thì (2) cũng có hai 2 nghiệm tơng đơng x3, x4 Ngoài các nghiệm đó thoả mãn x1 + x2 + x3 + x4 4 Bài 22 9 Không giải phơng trình: 3x2 + 17x 14 = 0 (1) x2 1 x1 = x + 1 , x2 = x + 1 1 2 Bài 22 2: Cho phơng trình: x2 + (m+1) + m = 0 a) Chứng... ; x2 -2( m + 4)x + m2 8 = 0 Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: a) A = x1 + x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất b) B = x 12 + x 22 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m 11 Bài 189 Cho phơng trình : x2 4x (m2 + 3m) = 0 a) Chứng minh rằng phơng trình luông có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m b) Xác định m để: x 12 + x 22 = 4(x1 + x2) c) Lập phơng trình bậc. .. Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm phân x1, x2 thoả mãn: -1 < x1 < x2 . .x 2 = 5 A = 15 5 1 5 3 . 11 21 21 22 = = + =+ xx xx xx ; B = x 1 2 + x 2 2 = (x 1 +x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 523 )5 (2) 3( 2 += C = ) 523 ( 5 1 )5( 523 . 2 2 2. + ++=+++=+ 1 2 1 2 2 11 21 21 21 21 21 21 (m1) 1 2 1 1 12 1 ) 1 )( 1 ( 2 21 21 1 2 2 121 =+ +=++=++= m m m m xx xx x x x xyy (m1) y 1 ; y 2 là nghiệm