BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10

1 BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10 THPT Hà Nội: 2006 ( ) Cho đường tròn O , đường kính AB = 2R , C trung điểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN 1) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp 2) Tính tích AH AK theo R 3) Xác định vị trí điểm K để tổng K M + K N + K B đạt GTLN tính giá trị 2007 ( ) Cho đường tròn O;R , tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH < R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B (E nằm B H) 1) Chứng minh góc ÐABE = ÐEAH tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH 2) Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp 3) Xác định vị trí điểm H để AB = R 2008 Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R E điểm đường tròn (E khác A B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K 1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA 2) Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn tâm I bán kinh IE tiếp xúc với đường tròn (O) E tiếp xúc với AB F 3) Chứng minh MN song song với AB, M N giao điểm thức hai AE, BE với đường tròn (I ) 4) Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động đường tròn (O) , với P giao điểm NF AK, Q giao điểm MF BK 2009 Cho đường tròn (O; R ) điểm A nằm bên đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) 1) Chứng minh AOBC tứ giác nội tiếp 2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vuông góc với OA OE OA = R 3) Trên cung nhỏ BC đường tròn (O; R ) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đường tròn (O;R ) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi K chuyển động cung nhỏ BC 4) Đường thẳng qua O vuông góc OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM + QN ³ MN 2010 Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B ) Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B,C ) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E , tia AC cắt tia BE điểm F 1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh DA.DE = DB DC · · 3) Chứng minh CFD = OBC Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) · 4) Cho biết DF = R, chứng minh tan AFB = 2 2011 Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R Gọi d1 d2 tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A, B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn (O) ( E không trùng với A, B ) Đường thẳng d qua E vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 d2 M , N 1) Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp · · · 2) Chứng minh EIN = EBI , MIN = 90 3) Chứng minh AM BN = IA.IB » không chứa điểm E đường tròn (O) Hãy tính diện tích tam 4) Gọi F điểm cung AB giác MIN theo R ba điểm E , I , F thẳng hàng Chuyên ngoại ngữ: 2006 Cho đường tròn tâm O, bán kính R AB đường kính cố định đường tròn (O) Đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn (O) B MN đường kính thay đổi đường tròn (O) MN không vuông góc với AB M ¹ A, N ¹ B Các đường thẳng AM AN cắt đường thẳng d tương ứng C D Gọi I trung điểm đoạn thẳng CD, H giao điểm AI MN Khi MN thay đổi, chứng minh a) Tích AM AC không đổi b) Bốn điểm C , M , N , D thuộc đường tròn 2007 c) Điểm H thuộc đường tròn cố định d) Tâm J đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB thuộc đường thẳng cố định Cho đường tròn tâm O đường tròn tâm I hai đường tròn cố định cắt hai điểm A B, biết đường tròn (I ) qua điểm O Vẽ hai đường kính AE BF đường tròn (O) Gọi » đường tròn (O) (cung EF » không chứa điểm A ) với C C điểm di động cung EF khác E F Đường thẳng CO cắt đường tròn (O) đường tròn (I ) K D ( K khác C , D khác O ) · · a) Chứng minh CAD + OBK = 1800 b) Chứng minh K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD » cho diện tích tứ giác ABCD lớn c) Xác định vị trí điểm C cung EF 2008 » Gọi K trung Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB C điểm cung AB điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng qua hai điểm A K cắt đường tròn (O) điểm M ( M khác A ) Kẻ CH vuông góc với AM (với H chân đường vuông góc) Đường thẳng OH cắt đường thẳng BC N , đường thẳng MN cắt đường tròn (O) điểm D ( D khác M ) a) Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành b) Chứng minh hai tam giác OHC OHM c) Chứng minh ba điểm B, H , D thẳng hàng 2009 Trên đường tròn tâm O, bán kính R ta lấy hai điểm A, B tùy ý Giả sử C điểm nằm phía đoạn thẳng AB (C khác A B ) Kẻ đường kính AD đường tròn (O) Cát tuyến qua C vuông góc với đường kính AD H , cắt đường tròn (O) M N Đường thẳng qua M D cắt AB E Kẻ EG vuông góc với AD G a) Chứng minh BDHC AMEG tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AM = AB.AC c) Chứng minh AE AB + DE DM = 4R 3 2010 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC Vẽ đường cao AD đường phân giác AO tam giác ABC ( D,O thuộc BC ) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC M , N a) Chứng minh điểm M , N ,O, D, A thuộc đường tròn 2011 · · b) Chứng minh BDM = CDN c) Đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt MN I Đường thẳng AI cắt đường thẳng BC K Chứng minh K trung điểm cạnh BC Cho tam giác nhọn ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O Cho P điểm đoạn BC cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB N khác B đường tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC M khác C · · a) Chứng minh OPM = OAC · · · · b) Chứng minh MPN OBC + BAC = 900 = BAC c) Chứng minh O trực tâm giác PMN Chuyên Sư phạm (Vòng 1): 2006 Cho đường tròn (C ) tâm O, đường kính AB E điểm nằm đoạn OA; M điểm nằm đoạn EA;CD dây cung vuông góc với đường kính AB điểm E Đường thẳng DM cắt (C ) điểm N (khác điểm D ) Đường tròn (C 1) tâm O1, bán kính r tiếp xúc với (C ) điểm J thuộc cung nhỏ CN tiếp xúc với đường thẳng CM DN điểm I , K tương ứng Biết AM = a, ME = b, EB = c a) Chứng minh tam giác O1K M đồng dạng với tam giác MEC b) Tính độ dài đoạn thẳng OO1, K M O1M theo a,b,c r 1 = + r a b Cho tam giác ABC cân A Một đường tròn (O) có tâm O nằm tam giác, tiếp xúc với AB, AC X ,Y cắt BC hai điểm, hai điểm ký hiệu Z Gọi H c) Chứng minh 2007 hình chiếu vuông góc O AZ Chứng minh a) Tứ giác HXBZ, HY CZ nội tiếp b) HB, HC theo thứ tự qua trung điểm XZ,Y Z 2008 Cho tam giác ABC vuông C Trên cạnh AB lấy điểm M tùy ý ( M ¹ A, M ¹ B ) Ký hiệu O,O1,O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , AMC , BMC a) Chứng minh bốn điểm C ,O1, M ,O2 nằm đường tròn (C ) b) Chứng minh điểm O nằm đường tròn (C ) c) Xác định vị trí điểm M để đường tròn (C ) có bán kính nhỏ 2009 Cho tam giác ABC với AC = 5, BC = 10, AC = Đường phân giác BK · ABC (K Î AC ) cắt đường cao AH (H Î BC ) cắt đường trung tuyến AM (M Î BC ) tam 2010 giác ABC điểm O T a) Tính AH b) Tính diện tích tam giác AOT Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh a Trong hình vuông lấy điểm K cho tam giác ABK Các đường thẳng BK AD cắt P a) Tính độ dài đoạn thẳng K C theo a 4 b) Trên đoạn thẳng AD lấy điểm I cho DI = a đường thẳng CI BP cắt , H Chứng minh tứ giác CHDP nội tiếp đường tròn a c) Gọi M , L trung điểm đoạn thẳng CP K D Chứng minh LM = 2011 ( O ) ( O ) Bài Cho đường tròn đường kính AB = 10 Dây cung CD đường tròn vuông góc với AB điểm E cho AE = Các tiếp tuyến B đường tròn (O) cắt K , AK CE cắt M a) Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với OBK Tính BK b) Tính diện tích tam giác CK M · Bài Cho hình thoi ABCD có BAD = 1200 Các điểm M N chạy cạnh BC CD · tương ứng cho MAN = 300 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN thuộc đường thẳng cố định Chuyên KHTN (Vòng 1): 2006 Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a Trên cạnh AB, BC ,CD, DA lấy điểm · M , N , P ,Q cho MN / / AC , PQ / / AC AMQ = 300 a) Gọi A ¢ điểm đối xứng với A qua đường thẳng MQ,C ¢ điểm đối xứng với C qua đường thẳng NP Giả sử đường thẳng QA ¢ cắt đoạn thẳng NP E , đường thẳng PC ¢ cắt đoạn thẳng 2007 MQ F Chứng minh năm điểm E , F ,Q, D, P nằm đường tròn b) Biết AC = 3MN , tính diện tích hình thang MNPQ theo a Cho đường tròn tâm O hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn ( AB đường » Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm C , D phân biệt kính) Gọi M trung điểm cung nhỏ AB không nằm đường tròn Các đoạn thẳng MC , MD cắt đường tròn cho tương ứng E , F khác M a) Chứng minh bốn điểm C , D, E , F nằm đường tròn b) Gọi O1, O2 tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE BDF Chứng minh 2008 C , D thay đổi đoạn AB đường thẳng AO1 BO2 cắt điểm cố định Cho tam giác ABC vuông A Gọi H chân đường cao tam giác ABC hạ từ A xuống cạnh · · cắt BH điểm M Đường phân giác góc CAH cắt BC Đường phân giác góc BAH CH điểm N a) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b) Ký hiệu d1 d2 đường thẳng vuông góc với BC điểm M N Chứng minh d1 d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC 2009 Cho hình thoi ABCD Gọi H giao điểm hai đường chéo AC BD Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD b AH a = BH b b) Tính diện tích hình thoi ABCD theo bán kính a,b a) Chứng minh 2010 Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R Trên đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) A · ta lấy điểm C cho ACB = 300 Gọi H giao điểm thứ hai đường thẳng BC với đường tròn (O) a) Tính độ dài đoạn thẳng AC , BC khoảng cách từ A đến đường thẳng BC theo R b) Với điểm M đoạn thẳng AC , đường thẳng BM cắt đường tròn (O) điểm N (khác B ) Chứng minh bốn điểm C , M , N , H nằm đường tròn tâm đường tròn chạy đường thẳng cố định M thay đổi đoạn thẳng AC 2011 · · Cho hình bình hành ABCD với BAD cắt đường tròn ngoại < 900 Đường phân giác góc BCD tiếp tam giác BCD O khác C Kẻ đường thẳng d qua A vuông góc với CO Đường thẳng d cắt đường thẳng CB,CD E , F a) Chứng minh D OBE = D ODC b) Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF c) Gọi giao điểm OC BD I , chứng minh IB BE EI = ID.DF FI