BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10

d Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định.. H Chứng minh tứ giác CHDP nội tiếp một đường tròn.. Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm C D , phân biệt v

BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI VÀO 10 THPT Hà Nội:

2006 Cho đường tròn ( ) O , đường kính AB =2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN

1) Chứng minh rằng tứ giác BCHK nội tiếp

2) Tính tích AH AK theo R

3) Xác định vị trí của điểm K để tổng KM +KN +KB đạt GTLN và tính giá trị đó

2007 Cho đường tròn ( O R ; ), tiếp xúc với đường thẳng d tại A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A

và AH <R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và

B (E nằm giữa B và H)

1) Chứng minh góc ÐABE = ÐEAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH

2) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp

3) Xác định vị trí điểm H để AB = R 3.

2008 Cho đường tròn ( ) O có đường kính AB =2R và E là điểm bất kỳ trên đường tròn đó (E khác A và

B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn ( ) O tại điểm thứ hai K.

1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA

2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn tâm I bán kinh IE tiếp xúc với đường tròn ( ) O tại E và tiếp xúc với AB tại F.

3) Chứng minh MN song song với AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thức hai của AE, BE với đường tròn ( ) I

4) Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn ( ) O , với P là

giao điểm của NF và AK, Q là giao điểm của MF và BK

2009 Cho đường tròn ( ; ) O R và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường

tròn (B, C là các tiếp điểm)

1) Chứng minh AOBC là tứ giác nội tiếp

2) Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA và OE OA = R2.

3) Trên cung nhỏ BC của đường tròn ( ; ) O R lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C) Tiếp tuyến tại K của đường

tròn ( ; ) O R cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P, Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi

khi K chuyển động trên cung nhỏ BC

4) Đường thẳng qua O và vuông góc OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N Chứng minh PM + QN ³ MN

2010 Cho đường tròn ( ) O có đường kính AB =2R và điểm C thuộc đường tròn (C khác A B , ) Lấy

điểm D thuộc dây BC (D khác B C , ) Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E , tia AC cắt tia BE tại điểm F

1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh DA DE =DB DC

3) Chứng minh CFD · = OBC · . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

4) Cho biết DF = R , chứng minh tan AFB = · 2.

2011 Cho đường tròn ( ) O có đường kính AB =2 R Gọi d1 và d2 lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn

( ) O tại hai điểm A B , Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn ( ) O (E không trùng

với A B , ) Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng

1

d và d2 lần lượt tại M N ,

1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh EIN · = EBI MIN · , · = 90 0

3) Chứng minh AM BN =IA IB

4) Gọi F là điểm chính giữa cung »AB không chứa điểm E của đường tròn ( ) O Hãy tính diện tích tam

giác MIN theo R khi ba điểm E I F , , thẳng hàng.

Chuyên ngoại ngữ:

2006 Cho đường tròn tâm O , bán kính R và AB là đường kính cố định của đường tròn ( ) O Đường

thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại B. MN là đường kính thay đổi của đường tròn ( ) O

sao MN không vuông góc với AB và M ¹ A N , ¹ B Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d tương ứng tại C và D Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng CD H , là giao điểm của AI và

MN Khi MN thay đổi, chứng minh rằng

a) Tích AM AC không đổi

b) Bốn điểm C M N D , , , cùng thuộc một đường tròn.

c) Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định

d) Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng cố định

2007 Cho đường tròn tâm O và đường tròn tâm I là hai đường tròn cố định cắt nhau tại hai điểm A và

,

B biết rằng đường tròn ( ) I đi qua điểm O. Vẽ hai đường kính AE và BF của đường tròn ( ) O Gọi

C là một điểm di động trên cung »EF của đường tròn ( ) O (cung »EF không chứa điểm A) với C

khác E và F Đường thẳng CO cắt đường tròn ( ) O và đường tròn ( ) I lần lượt tại K và D (K

khác C D , khác O)

a) Chứng minh rằng CAD OBK · + · = 180 0

b) Chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD

c) Xác định vị trí điểm C trên cung »EF sao cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất

2008 Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB và C là điểm chính giữa cung AB » Gọi K là trung

điểm của đoạn thẳng BC Đường thẳng đi qua hai điểm A và K cắt đường tròn ( ) O tại điểm M (

M khác A) Kẻ CH vuông góc với AM (với H là chân đường vuông góc) Đường thẳng OH cắt đường thẳng BC tại N , đường thẳng MN cắt đường tròn ( ) O tại điểm D (D khác M ).

a) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành

b) Chứng minh hai tam giác OHC và OHM bằng nhau

c) Chứng minh ba điểm B H D , , thẳng hàng.

2009 Trên đường tròn tâm O , bán kính R ta lấy hai điểm A B , tùy ý Giả sử C là một điểm nằm phía

trong đoạn thẳng AB (C khác A và B ) Kẻ đường kính AD của đường tròn ( ) O Cát tuyến đi qua

C và vuông góc với đường kính AD tại H , cắt đường tròn ( ) O tại M và N. Đường thẳng đi qua

M và D cắt AB tại E Kẻ EG vuông góc với AD tại G

a) Chứng minh BDHC và AMEG là các tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AM2= AB AC

c) Chứng minh AE AB + DE DM = 4 R2

2010 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB <AC Vẽ đường cao AD và đường phân giác trong AO

của tam giác ABC (D O , thuộc BC ) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB AC , lần lượt tại M N , a) Chứng minh các điểm M N O D A , , , , cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh BDM · = CDN · .

c) Đường thẳng qua O và vuông góc với BC cắt MN tại I Đường thẳng AI cắt đường thẳng BC

tại K Chứng minh K là trung điểm của cạnh BC

2011 Cho tam giác nhọn ABC với tâm đường tròn ngoại tiếp O Cho P là một điểm bất kỳ trên đoạn

BC sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB tại N khác B và đường tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC tại M khác C

a) Chứng minh rằng OPM · = OAC · .

b) Chứng minh rằng MPN · = BAC · và OBC · + BAC · = 90 0

c) Chứng minh O là trực tâm giác PMN

Chuyên Sư phạm (Vòng 1):

2006 Cho đường tròn ( ) C tâm O , đường kính AB. E là một điểm nằm trong đoạn OA M ; là một điểm

nằm trong đoạn EA CD ; là dây cung vuông góc với đường kính AB tại điểm E. Đường thẳng DM cắt ( ) C tại điểm N (khác điểm D) Đường tròn ( ) C1 tâm O1, bán kính r tiếp xúc với ( ) C tại điểm

J thuộc cung nhỏ CN và tiếp xúc với các đường thẳng CM và DN tại các điểm I K , tương ứng. Biết AM = a ME , = b EB , = c

a) Chứng minh rằng tam giác O KM1 đồng dạng với tam giác MEC.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng OO KM1, và O M1 theo a b c , , và r

c) Chứng minh 1 1 1 .

r = + a b

2007 Cho tam giác ABC cân tại A Một đường tròn ( ) O có tâm O nằm trong tam giác, tiếp xúc với

,

AB AC lần lượt tại X Y , và cắt BC tại hai điểm, một trong hai điểm này ký hiệu là Z. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AZ Chứng minh rằng

a) Tứ giác HXBZ HY CZ , nội tiếp.

b) HB HC , theo thứ tự đi qua trung điểm của XZ Y Z ,

2008 Cho tam giác ABC vuông tại C Trên cạnh AB lấy điểm M tùy ý (M ¹ A M , ¹ B ) Ký hiệu

1 2

, ,

O O O lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AMC BMC , ,

a) Chứng minh bốn điểm C O M O , , ,1 2 cùng nằm trên một đường tròn ( ). C

b) Chứng minh điểm O cũng nằm trên đường tròn ( ) C

c) Xác định vị trí của điểm M để đường tròn ( ) C có bán kính nhỏ nhất.

2009 Cho tam giác ABC với AC = 5, BC = 10, AC = 3 5. Đường phân giác BK của

ABC K Î AC cắt đường cao AH H ( Î BC ) và cắt đường trung tuyến AM M ( Î BC ) của tam giác ABC lần lượt tại các điểm O và T

a) Tính AH

b) Tính diện tích tam giác AOT

2010 Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trong hình vuông lấy điểm K sao cho tam giác

ABK đều Các đường thẳng BK và AD cắt nhau tại P

a) Tính độ dài đoạn thẳng KC theo a

b) Trên đoạn thẳng AD lấy điểm I sao cho 3

, 3

a

DI = các đường thẳng CI và BP cắt nhau tại

H Chứng minh tứ giác CHDP nội tiếp một đường tròn

c) Gọi M L , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CP và KD. Chứng minh .

2

a

LM =

2011 Bài 1 Cho đường tròn ( ) O đường kính AB =10. Dây cung CD của đường tròn ( ) O vuông góc với

AB tại điểm E sao cho AE =1 Các tiếp tuyến tại B và của đường tròn ( ) O cắt nhau tại K AK ,

và CE cắt nhau tại M

a) Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với OBK Tính BK

b) Tính diện tích tam giác CKM

Bài 2 Cho hình thoi ABCD có BAD = · 120 0 Các điểm M và N chạy trên các cạnh BC và CD

tương ứng sao cho MAN = · 30 0 Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN thuộc một đường thẳng cố định

Chuyên KHTN (Vòng 1):

2006 Cho hình vuông ABCD có cạnh AB =a Trên các cạnh AB BC CD DA , , , lấy lần lượt các điểm

, , ,

M N P Q sao cho MN / / AC PQ , / / AC và AMQ = · 30 0

a) Gọi A¢ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng MQ C ¢ , là điểm đối xứng với C qua đường thẳng NP Giả sử đường thẳng QA¢ cắt đoạn thẳng NP tại E , đường thẳng PC ¢ cắt đoạn thẳng

MQ tại F. Chứng minh rằng năm điểm E F Q D P , , , , nằm trên cùng một đường tròn.

b) Biết AC = 3 MN , tính diện tích hình thang MNPQ theo a

2007 Cho đường tròn tâm O và hai điểm A B , cố định thuộc đường tròn đó (AB không phải là đường

kính) Gọi M là trung điểm của cung nhỏ AB » Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm C D , phân biệt và không nằm trên đường tròn Các đoạn thẳng MC MD , cắt đường tròn đã cho tương ứng tại E F , khác M

a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , C D E F nằm trên một đường tròn.

b) Gọi O O tương ứng là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác 1, 2 ACE và BDF. Chứng minh rằng khi , C D thay đổi trên đoạn AB các đường thẳng AO và 1 BO luôn cắt nhau tại một điểm cố định.2

2008 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi H là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ A xuống cạnh

BC Đường phân giác trong góc ·BAH cắt BH tại điểm M Đường phân giác trong góc ·CAH cắt

CH tại điểm N

a) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b) Ký hiệu d1 và d2 lần lượt là các đường thẳng vuông góc với BC tại các điểm M và N. Chứng

minh rằng d1 và d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

2009 Cho hình thoi ABCD Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Biết rằng bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD bằng

b

a) Chứng minh rằng AH a

BH = b

b) Tính diện tích hình thoi ABCD theo các bán kính a b ,

2010 Cho đường tròn ( ) O với đường kính AB =2 R Trên đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( ) O tại

A ta lấy điểm C sao cho ACB = · 30 0 Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thẳng BC với đường tròn ( ) O

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC BC , và khoảng cách từ A đến đường thẳng BC theo R.

b) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC , đường thẳng BM cắt đường tròn ( ) O tại điểm N (khác

B ) Chứng minh rằng bốn điểm C M N H , , , nằm trên cùng một đường tròn và tâm của đường tròn

đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên đoạn thẳng AC

2011 Cho hình bình hànhABCD với BAD < · 90 0 Đường phân giác của góc ·BCD cắt đường tròn ngoại

tiếp tam giác BCD tại O khác C Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO Đường thẳng

d lần lượt cắt các đường thẳng CB CD , tại E F ,

a) Chứng minh rằng DOBE = DODC

b) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF

c) Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng IB BE EI. . =ID DF FI. .