bất đẳng thứcBài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng phơng pháp chuyển về tổng dạng bình phơng: a... Chứng minh các bất đẳng thức sau: a.. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a... Chứ
Trang 1bất đẳng thức
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng phơng pháp chuyển về tổng dạng bình phơng:
a a2 +b2 ≥2ab;(a+b)2 ≥4ab;2(a2 +b2)≥(a +b)2;a2 ±ab+b2 ≥0; 2a2 +b2 +c2 ≥2a(b+c)
b
b 1 b
a 1
; a
1 b
2 b
a
; b a 2 b
a
; b a
4 ab
1
; b a
4 b
1 a
1
; 2 a
b
b
a
2
2
+
+
−
≥
−
≥ +
≥ +
≥ +
≥ +
c b a 3 c b a ca bc ab
+ +
≥ +
+
e a2 +b2 +c2 ≥a(b+c) f a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e)
g a2 +b2 +4≥ab+2(a +b) h 3ab≤(a +b−2)2 +6(a+b)
i 4a2 +b2 +c2 ≥4a(c−b) −2bc k a2 +4b2 +4c2 ≥4(ab−ac+2bc)
Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng:
a a3 b3 a2b b2a; 4(a3 b3) (a b)3; 3a3 (2a b) (a2 ab b2) a,b 0
>
∀ + +
−
≥ +
≥ + +
≥ +
b a4 +b4 ≥ab3 +ba3; a6 +b6 ≥ab5 +ba5;a8 +b8 ≥a3b5 +b5a3; a10 +b10 ≥a3b7 +b7a3
c (a +b) (a3 +b3) (≤2 a4 +b4) (; a2 +b2)(a4 +b4) (≥ a3 +b3) (2; a5 +b5)(a3 +b3) (≤2a8 +b8)
d ( )2 ( 2 2)( 2 2) 2 2 2 2 ( ) (2 )2
y x b
a y
b x
a
; y x b a by
a
b b
a
; ab b 2 a b 3 a 2
b 7 a 3
; b a 2 ab a
5
b a 19
; b a 2 ab
a
3
b
a
2
3 2
3 2
2 3 3
2
3 3 2
3 3
> +
≥ +
− +
≥ +
+
−
≤ +
−
−
≤ +
−
f 8(a4 b4) (a b)4;(a2 b2)2 ab(a b)2;a4 b4 2 4ab;(a b c d) (2 a c)(b d)
+ +
≥ + + +
≥ + + +
≥ +
+
≥ +
g
9 b
a
2 a
4
1
; 3
2 b a 2
b a b
a 2
ab 2 a
; 2
b a 2
b
a
2 2
2 3
3
2 2
2
2 3 2 2 2
3 3
>
∀ +
≥ + +
≤ +
− +
+
≥
+
c
ab b
ca a
bc
; b
c a
b c
a 2 a
c c
b b
a
; a
c c
b b
a 2 3 a
c c
b
b
a
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
+ +
≥ + +
≥ + +
≥ + + +
b (a +b)(b+c)(c+a)≥8abc c (a b c)3 a3 b3 c3 24abc
+ + +
≥ + +
d ( )
2
c b a b a
ab a
c
ca c
b
bc
; 2
3 b a
c a c
b c b
a
; 9 c
1 b
1 a
1 c b
+
+ +
+ +
≥ +
+ +
+ +
≥
+ +
2 2
b a 2 8 b a 7 c
b
b
c b a
c b a 3 a c
a c c b
c b b a
b
+ +
+ +
≤ +
+ + +
+ + +
+
b a
b
+
+
Bài 4: Chứng minh rằng ∀a,b,c,d>0 ta có:
abcd 1
4 d
1
1 c
1
1 b
1
1 a
1
1
; 1 ab ab 1
2 b
1
1 a
1
1
2 2
2 2
2
+
≥ +
+ +
+ +
+ +
≥ +
≥ +
+ +
ab 1
2 b
1
1 a
1
1
; 1 abc abc 1
3 c
1
1 b
1
1 a
1
1
2 2
2 2
+
≤ +
+ +
≥ +
≥ +
+ +
+ +
abc 1
6 c
1
3 b
1
2 a
1
1
; 6 c
1
b a 2 b
1
a c 2 a
1
c b
2
2 3
+
≥ +
+ +
+ +
≥ +
+ + + +
+ + + +
+
+
ca 1
1 bc
1
1 ab
1
1 c
1
1 b
1
1 a
1
1
2 2
2 3
3
+
+ +
+ +
≤ +
+ +
+ +
4 d
1
1 c
1
1 b
1
1 a
1
1
; ab 1
1 b
1
1 a
1
1
2 2
2 2
2
+
≥ +
+ +
+ +
+ + +
≥ +
+ +
n a 1 a 1 n
; 4 a 1 a 27
; 1 na 1 a 1 n
; 1 a 2 1 a 27 : 1
; 0
Trang 2b ∀a∈[ ]0;1 :3 3a(1−a2)≤2;43 4a(1−a3) ≤3;(n+1)n n+1a(1−an)≤n
c 2a−1;3 3a −2;n na−n+1≤a;∀a.b.c=1:3 3b−2 5 5c−4 7 7c−6≤1
d 3 (1+x)(1+y)(1+z) ≥1+3 abc;(1+a3)(1+b3)(1+c3) (≥ 1+ab2)(1+bc2)(1+ca2)
e x x x y y y n (x y )(x y ) ( x y ) xi; yi 0(i 1;n)
n n 2 2 1 1 n
n 2 1 n
n 2
3
1 a
3 1
b b
3 1
a
; c b a 2
3 3 b a
c a
c
b c
b
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
+
+ +
+ +
≥ +
+ +
+ +
b 2 a
b 9 b
a
; 1 c b a 3
4 4 c 1
c b
1
b a
1
3 3
2 3
2 3
3 3 3 3
2 3
2 3
2
= +
≥ +
+
= + +
≥
−
+
−
+
−
c
1 b
1 a
1
; 1 c , b , a 0 2
3 3 c b a 2
3 3 c
1 b
1
a
1
3 3 3 2
2
+ + +
≥
−
+
−
+
1 c , b , a 0
&
64
3 c b a 12 c 3 1
1 b
3 1
1 a
3
1
a a3 +b3 +c3 ≥ab2 +bc2 +ca2;a4 +b4 +c4 ≥abc(a +b+c);a5 +b5 +c5 ≥a2b3 +b2c3 +c3a3
b
b
a c a
c b c
b a ab
c ca
b bc
a
; b
ca a
bc c
ab ab
c ca
b bc
a
; a
b b
c c
a a
c c
b
b
2
2 2
2 2
2
+ +
≥ + + +
+
≥ + + +
+
≥ + +
2
5 2
5 2
5 2 2 2
3 3 3
2 2 2 3
3 3
3 3
3
c b a a
c c
b b
a
; a c
1 c b
1 b a
1 c
1 b
1 a
1
; ab
c ca
b bc
a a
c c
b
b
b a
c a c
b c b
a
; ab
c ca
b bc
a
; b 4
a c a
4
c b c
4
b a
; a
c c
b
b
a
2
4 2
4 2
4 3 3 3 2 2
2 2
2 2
+ +
≥ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+
e
3
c b a a 2 c
c c 2 b
b b
2 a
a
; 2
c b a a c
c c b
b b a
a
; b a
c a c
b c
b
+
+ +
+ +
+ +
≥ +
+ +
+ + +
+ +
+
+
Bài 8: Cho x,y,z >0 và a,b,c>0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a
Bài 8: Cho x,y,z >0 và a,b,c>0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a
+
+ +
+ + +
+
+
+ +
+ +
≥ + + +
≥ +
x 2 z
3 z
2 y
3 y
2 x
3
; z y x
9
; x z
1 z
y
1 y x
1 2 z
1 y
1 x
1
; y x
4 y
1
x
1
z y x
9 xy
z
2 zx
y
2 yz
x
2
; z y x
9 xy
2 z
1 zx
2 y
1 yz
2
x
1
+ +
≥ +
+ +
+ + +
+
≥ +
+ +
+ +
≤ + +
+ + +
+ + +
≤ +
1 b
1 a
1 4
1 b a 2 c
1 a
c 2 b
1 c
b 2 a
1 c
b
a
4
9
d
3
12 b a 2
a 3 c a c 2
c 3 b c b 2
b 3 a
; 5
12 b 3 c 2
a 3 c a 3 b 2
c 3 b c 3 a 2
b 3 a
; 3 a b 2
a c 2 c a 2
c b 2 b
c
2
b
a
2
≥ +
+ + +
+ + +
+
≥ +
+ + +
+ + +
+
≥ +
+ + +
+ +
+
+
a xy≤1;x2 +y2 ≥2;x3 +y3 ≥2;x4 +y4 ≥2;xn +yn ≥2;xy(x2 +y2)≤2;xnyn(x2 +y2) ≤2
xy
3 x y y x
; 10 y
4 x
4 y x
; 6 y
2 x
2 y x
; 2 y
1 x
1
; 2 y
1
x
2
≥ +
y x
4 xy
3
; 25 x
4 y y
4 x
; 9 x
2 y y
2 x
; 9 y
2 y x
2
2 2 2
+ +
≥
+
≥
+
≥
+
+
Trang 3Bài 10: Cho x,y>0& x+y≤1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
y x
n xy
m
; 14 y x
3 xy
2
; 6 y x
1 xy
1
; 8
1 y x
+ +
≥ + +
≥ + +
≤ +
y x
c xy
b a
; 11 xy 4 y x
1 xy
2
2 2 2
+ +
+
≥ +
+ +
x
1 y 4 y
1 x 4
; 64 y
1 4 x
1 4
; 9 y
1 1 x
1
2
2 2
2 2
≥
+
+
≥
−
−
125 x
1 y 125 y
1 x
2
Cho x,y,z>0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a x +y+z≥33 xyz +( x − y)2 ≥33 xyz
a
2
15 z
1 y
1 x
1 z y
8
99 z
1 y
1 x
1 z y
x3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 2 ≥
x
1 z 2 z
1 y 2 y
1 x
2
2 2
2
≥
+ +
+
x
1 z 8 z
1 y 8 y
1 x 8
2 3
2 3
2
+
+
e 3+2x + 3+2y + 3+2x ≤6 f 3 9x+7y +3 9y+7z +3 9z+7x ≤6
g 4 13+3 2x +4 13+3 2y +4 13+3 2z ≤6 h.
2
17 3 x
1 z z
1 y y
1
2
2 2
Bài 4: Chứng minh rằng∀a,b,c>0 ta có:
0 b a
b c a c
a b
c
b
c
≥ +
− + +
− +
+
ca 2 b
ca bc
2 a
bc ab
2 c
ab
2 2
+
+ +
+ +
2
2 3 ba bc
c ac
ab
b cb
ca
a
≥ +
+ +
+
+
Bài 6: Cho a,b,c∈R & x,y,z>0 Chứng minh rằng:
y x
b a y
b
x
+
+
≥
z y x
c b a z
c y
b x
+ +
+ +
≥ + +
x 2 z
z z
2 y
y y
2
x
+
+ +
+
1 y 3 x 2 z
z x
3 z 2 y
y z
3 y 2 x
+ +
+ + +
+ + +
e
6 z y x
36 3
z
9 2 y
4 1
x
1
+ + +
≥ +
+ +
+
z y
zx x
y x
yz z
x
2 2
2 2
2
2 2
2
2
≥ + +
+ + +
+ + +
g 7(19x 2y 14)
9 y 2
81 5
x
19
+
+
3 y z x z
z x
y z y
y z
x y x
≥ + +
+ + +
+ +
+
Bài 7: Cho a,b,c>0&a +b+c=1.
1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
8 2
2 2
8 2
2 2
8 3
a c
c c
b
b b
a
a T
+
+ +
+ +
ca
1 bc
1 ab
1 c b a
1
+ +
=
2 Tìm giá trị lớn nhất của:
Trang 4c 3 2 2 2
b 3 1
ca a
3 1
bc c
3 1
ab S
+
+ +
+ +
b 2 a c
ca a
2 c b
bc c
2 b a
ab
S4
+ +
+ + +
+ + +
=
2 c
1 2 b
1 2
a
+
+ +
+
3 1 a 1 c
c 1
c 1 b
b 1
b 1 a
a
≥ + +
+ + +
+ +
+
Bµi 9: Cho x,y,z∈(0;1] Chøng minh r»ng:
xy z 1
z zx
y 1
y yz
x
1
+ +
+ + +
+ +
1 4 y x
z 4
x z
y 4
z y
x
2 2 2
2 2
+ +
+ + +
+ + +
3
4 c
1 b
1 a
1 c , b ,
16
225 c
1 b
1 a
1 c b
+ +
Bµi 13: Cho a, b, c lµ 3 c¹nh tam gi¸c:
a (a+b−c)(b+c−a)(c+a −b) ≤abc b n a +b−c +n b+c−a +n c+a −b≤n a +n b +n c
c
c
1 b
1 a
1 b a c
1 a
c b
1 c
b
a
− +
+
− +
+
−
c b
a c
b a
c b
+ +
≥
− +
+
− +
+
−
+
Bµi 15: Cho a,b,c>0&a +b+c=1 CMR:
a ( 3 3 3 ) ( )2
b a 3 abc 3 c b a
4 + + − ≥ − b 5(a2 +b2 +c2) (≤6a3 +b3 +c3)+1
2 2 2
c b a 3 a
c c
b
b
a
+ +
≥ +
abc 12 c
b a 2 c b a
(b c a) b (c a b) c (a b c) 3abc a;b;c 0
ca bc ab b
a
c a
c
b
c
b
a
2 2
6 2
2
6
2
2
6
+ +
≥ +
2
5 2
5 2
5
c b a a
c c
b b
a
+ +
≥ + +
a
c c
b b
a a
c c
b b
2
3 2
3 2
3
+ +
≥ + +
a c c b b a a
c
c
b
b
2
5 2
5
2
5
+ +
≥ +
a
c c
b b
+ +
≥ +
+ +
≥
c
1 b
1 a
1 c b a a
c c
b b
c b a 2
27 a
c a
1 c
b c
1 b
a
b
1
+ +
≥ +
+ +
+
9 ca
1 bc
1 ab
1
2 3
+ + +
≥ + +
; 24 xy 16 y x
4 xy
3
2
+ +