Nhắc đến “bất đẳng thức”, đa số giáo viên và học sinh đều lắc đầu ngao ngán. Cũng đúng thôi, khi mà không ít giáo viên hiện nay không làm nổi câu bất đẳng thức ở đề thi đại học thì học sinh “đọc đề xong, giơ tay hàng” âu cũng là điều dễ hiểu. Xin chia sẻ một chút, trước đây, chúng tôi cũng như các bạn, đến mùa thi là phải cố gắng “chạy sô”, đi học đủ hết các trung tâm uy tín, đôi khi chỉ để “bằng bạn bằng bè”. Nhưng có một điều thú vị mà chúng tôi nhận ra, đó là những “bậc thầy luyện thi” đều có một điểm chung, họ thường tự nhận mình không giỏi bất đẳng thức và từ chối dạy phần này. Cũng có vài vị mà chúng tôi biết kiến thức tuy hạn chế nhưng lại tuyên bố rất hùng hồn “Tôi có dạy các em cũng không làm được, thôi thì không dạy nữa”. Lại có một số ít “bậc thầy” cao thủ hơn, đó là thủ sẵn, hay nói cách khác là học thuộc vài bài bất đẳng thức rồi đi dạy lại cho học sinh mà không hiểu được vì sao lời giải lại như vậy. Và thế là chỉ còn rất ít người giải thích, hệ thống được các dạng bất đẳng thức và định hướng cho học sinh con đường tự nhiên nhất để đến được với lời giải. Thực ra, nghệ thuật giảng dạy chính là cách biến những vấn đề phức tạp trở nên đơn giản. Và chúng tôi là những người yêu nghệ thuật. Cuộc hành trình khám phá chủ đề “Bất đẳng thức và cực trị luyện thi đại học” sẽ bắt đầu ngay sau đây.
Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Chắc hẳn bạn đọc đồng ý nhiều khi, ta giải vấn đề khó điều góp phần củng cố niềm tin tự tin giải vấn đề bình thường Đây lí khiến chọn phần mở đầu chuyên đề “Bất đẳng thức cực trị” chuyên đề hàm số nhiều sách tham khảo loại khác Nhắc đến “bất đẳng thức”, đa số giáo viên học sinh lắc đầu ngao ngán Cũng thôi, mà không giáo viên không làm câu bất đẳng thức đề thi đại học học sinh “đọc đề xong, giơ tay hàng” âu điều dễ hiểu Xin chia sẻ chút, trước đây, bạn, đến mùa thi phải cố gắng “chạy sô”, học đủ hết trung tâm uy tín, để “bằng bạn bè” Nhưng có điều thú vị mà nhận ra, “bậc thầy luyện thi” có điểm chung, họ thường tự nhận không giỏi bất đẳng thức từ chối dạy phần Cũng có vài vị mà biết kiến thức hạn chế lại tuyên bố hùng hồn “Tôi có dạy em không làm được, không dạy nữa” Lại có số “bậc thầy” cao thủ hơn, thủ sẵn, hay nói cách khác học thuộc vài bất đẳng thức dạy lại cho học sinh mà không hiểu lời giải lại Và người giải thích, hệ thống dạng bất đẳng thức định hướng cho học sinh đường tự nhiên để đến với lời giải Thực ra, nghệ thuật giảng dạy cách biến vấn đề phức tạp trở nên đơn giản Và người yêu nghệ thuật Cuộc hành trình khám phá chủ đề “Bất đẳng thức cực trị luyện thi đại học” bắt đầu sau Dựa vào kinh nghiệm tổng hợp phân tích nhiều năm, khẳng định gần chắn rằng: bất đẳng thức (hoặc cực trị) kì thi đại học luôn rơi vào hai dạng: sử dụng ý tưởng “giảm biến” sử dụng trực tiếp bất đẳng thức cổ điển Trước vào chi tiết hai dạng toán ta cần “trang bị” cho công cụ thông dụng giải bất đẳng thức, tìm cực trị (lưu ý thi, bạn học sinh áp dụng mà không cần chứng minh lại kết này) - Bất đẳng thức Côsi cho hai số ba số với dạng: 1) Với x + y ≥ xy x + y ≥ xy x, y ≥ ( x + y ) ≥ xy x, y ∈ ¡ 2) Với x+ y xy ≤ ÷ x + y + z ≥ 3 xyz x, y , z ≥ 3) Với - Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho ba số x+ y+z xyz ≤ ÷ a, b, c, x , y , z Với bất kì, ta có, (ax + by + cz ) ≤ (a + b + c )( x + y + z ) Đây gọi dạng “nguyên thủy” bất đẳng thức Bunhiacôpxki - Bất đẳng thức cộng mẫu số (hệ trực tiếp bất đẳng thức Bunhiacôpxki) a , b, c ∈ ¡ Với x, y , z > , ta có: a b c ( a + b + c) + + ≥ x y z x+ y+z Có nhiều giáo viên gọi bất đẳng thức Schwarz (Svac) Nhưng thực ra, cách gọi xác theo chuẩn quốc tế phải Cauchy Schwarz Tuy nhiên, tính mục đích sách nên sử dụng cách gọi đơn giản dễ nhớ bất đẳng thức cộng mẫu số * Độc giả tham khảo thêm lịch sử bất đẳng thức hai sách - Sử dụng phương pháp Cauchy Schwarz để chứng minh bất đẳng thức - Sử dụng phương pháp AM-GM để chứng minh bất đẳng thức (Tác giả: Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh, Nhà xuất ĐHSP) Chúng không làm thời gian bạn đọc chứng minh cho bất đẳng thức “cơ bản” trên, điều “quen thuộc” “tràn ngập” sách tham khảo khác Để nhớ hiểu ứng dụng kết trên, bước vào phần tập minh họa cho dạng Dạng Những toán sử dụng ý tưởng “giảm biến” Thế giới bất đẳng thức tồn quy luật quan trọng, “Trong dạng cụ thể bất đẳng thức nhiều biến khó” Điều đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán trở nên đơn giản ta đưa bất đẳng thức nhiều biến dạng biến hơn” Sau đây, nhóm tác giả chia sẻ với độc giả hướng giải gặp phải dạng toán này, mấu chốt là: “Quan sát, chọn ẩn, tìm điều kiện cho ẩn, và… quy ẩn” Cụ thể, cần làm ba bước sau, - Bước Quan sát đề kiện cho để xem toán có khả thi để đưa biến hay không, có biến phải - Bước Sau dự đoán được, khai thác kiện toán, kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc để thiết lập điều kiện cho biến Lưu ý: Bất đẳng thức thường dùng bước bất đẳng thức Côsi - Bước Sử dụng đẳng thức, bất đẳng thức phụ biến đổi tương đương để quy đại lượng cần đánh giá theo ẩn (chúng thường gọi vui “quy ẩn”) x + y =1 x, y Bài tập Cho hai số thực không âm nhỏ biểu thức thỏa mãn Tìm giá trị lớn giá trị S = (4 x + y )(4 y + x ) + 25 xy (Trích đề thi Đại học khối D năm 2009) Lời giải y y x x Với toán đối xứng chứa hai biến (tức vai trò nhau), cách giải tự nhiên nhanh chóng quy chúng biến để kết thúc việc khảo sát hàm biến sử dụng đánh giá đơn giản x + y =1 Ở ví dụ này, dễ thấy với thì, S = 12( x + y ) + 16 x y + 34 xy = 12( x + y ) x − xy + y + 16 x y + 34 xy = 12( x + y ) ( x + y ) − xy + 16 x y + 34 xy = 12(1 − xy ) + 16 x y + 34 xy 191 = 16.( xy ) − xy + 12 = xy − ÷ + 4 16 S≥ Từ đó, ta có 191 16 Dấu đẳng thức xảy 2+ 2− , ) x + y = x + y = ( x, y ) = ( 4 ⇔ ⇔ 2− 2+ xy = xy = 16 , ) ( x, y ) = ( 4 Do đẳng thức xảy nên ta kết luận giá trị nhỏ S x + y =1 x, y Mặt khác, không âm nên ta có x+ y ≤ xy ≤ ÷ = Suy − Từ dẫn đến 1 ≤ xy − ≤ 4 191 16 2 191 191 25 S = xy − ÷ + ≤ ÷ + = 4 16 16 Dấu đẳng thức xảy x + y = 1 ⇔x= y= xy = S Vậy ta kết luận giá trị lớn 25 Nhận xét Ta quy toán việc khảo sát, tìm cực trị hàm biến 1 0, t = xy S = f (t ) = 16t − 2t + 12 đoạn , Bài tập Cho hai số thực biểu thức xy ( x + y) = x − xy + y xy ≠ x, y thỏa mãn A= Tìm giá trị lớn 1 + x3 y (Trích đề thi Đại học khối A năm 2006) Hướng dẫn giải Bài toán có nhiều cách giải, với học sinh chuyên toán họ có nhiều phương pháp, kinh nghiệm hay nói vui “vũ khí hạng nặng” để giải vấn đề Thế câu hỏi đặt làm để học sinh trung bình (thiếu kinh nghiệm, thiếu công cụ, thiếu kĩ năng) tìm lời giải thật đơn giản, tự nhiên cho ? Câu trả lời thực đề cập phần lời dẫn đầu chương, là: “Những toán S, P đối xứng hai biến thường quy dạng (tức tổng – tích) trở nên thật đơn giản biến” Hãy chiêm nghiệm câu nói đối chiếu với lời giải sau Lời giải S = x+ y Nếu đặt P.S = S − 3P xy ( x + y) = x − xy + y P = xy từ giả thiết , ta suy Để thực mục tiêu quy toán biến, ta cần tìm phép P S S theo theo giản nhiều P P.S = S − 3P Từ hệ thức P.S = S − 3P ⇒ P (3 + S ) = S ⇒ P = Thật vậy, , ta thấy rút S2 3+ S P theo S đơn Mặt khác, kết hợp với giả thiết ta suy 1 x + y ( x + y )( x − xy + y ) A= + = 3 = x y x y ( xy )3 ( x + y ).xy ( x + y ) S S2 (3 + S ) = = = = = 1 + ÷ ( xy )3 P S 2 S2 S ÷ 3+ S Vậy để tìm giá trị lớn x+ y A , ta cần tìm giá trị nhỏ S tức giá trị nhỏ xy ( x + y ) = x − xy + y Từ giả thiết , sử dụng bất đẳng thức Côsi hai số, xy ( x + y ) = x + y − xy ≥ xy − xy = xy xy ( x + y ) ≥ xy ⇒ x + y ≥ ⇒ S ≥ Hay Suy 3 A = + ÷ ≤ 1 + ÷ = 16 S 1 Dấu đẳng thức xảy x + y = x − xy + y ⇔ ⇔x= y= x = y A= Vậy ta kết luận giá trị lớn biểu thức x= y= 1 + x3 y 16 , đạt *Nhận xét Đây cách làm ngắn cách làm tự nhiên “dễ nghĩ ra” nhất, kể với toán tương tự, bề khác chút ta hoàn toàn sử dụng ý tưởng “định hướng tổng tích – quy biến” x( x + y + z ) = yz x, y , z Bài tập Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh ( x + y )3 + ( x + z )3 + 3( x + y )( y + z )( z + x) ≤ 5( y + z )3 (Trích đề thi Đại học khối A năm 2009) Hướng dẫn giải Đây coi bất đẳng thức “khó nhất” kì thi đại học nước ta từ trước đến Chúng ta thử xem liệu lần này, ý tưởng “giảm biến” phát huy tác dụng hay không Lời giải x+ y+z =3 Do tính đồng bậc toán nên ta hoàn toàn giả sử x = yz - Khi đó, giả thiết toán trở thành Nhận xét bất đẳng thức đề đối y x = yz z xứng với Quan sát điều kiện , cách tự nhiên ta dự đoán yz x = yz x muốn quy toán ẩn ẩn Do nên thực ta x x chọn ẩn tương đương Tuy nhiên, ta chọn với lí nhìn “nhỏ gọn”, “dễ yz viết” so với - Chọn ẩn rồi, ta tiến hành bước thứ hai, khai thác kiện toán, kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc để thiết lập điều kiện cho ẩn Để ý rằng, sử dụng bất đẳng thức Côsi hai số, ta có (3 − x ) x+ y x = yz ≤ = ÷ x≤ Từ suy (3 − x) ⇔ ( x − 1)( x − 9) ≥ x+ y+ z =3 x, y , z Mặt khác, (1) số thực dương x Bài tập Cho , ta suy xyz = P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 ( y + z) y ( z + x) z ( x + y) + + y y + 2z z z z + 2x x x x + y y (Trích đề thi Đại học khối A năm 2007) Lời giải x, y , z > Với toán ba biến mà , dấu thường xảy xyz = Min P = x= y=z Do đó, toán này, kết hợp điều kiện , ta dự đoán x = y = z =1 Sau đây, ta chứng minh nhận định này, tức x2 ( y + z ) y ( z + x) z (x + y) + + ≥2 y y + 2z z z z + 2x x x x + y y Sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta có x yz x ( y + z) 2x x x ≥ = = y y + z z y y + z z y y + 2z z y y + 2z z x2 2 Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự cộng lại, ta quy toán việc chứng minh a b c + + ≥1 b + 2c c + 2a a + 2b a = x x, b = y y , c = z z Với Quả thực, bất đẳng thức hiển nhiên theo bất đẳng thức cộng mẫu số, a b c a2 b2 c2 + + = + + b + 2c c + 2a a + 2b a(b + 2c) b(c + 2a) c(a + 2b) Để ý , suy a b c ( a + b + c) a + b2 + c2 2 + + ≥ = + ≥ + = b + 2c c + 2a a + 2b 3(ab + bc + ca) ab + bc + ca 3 Min P = Vậy ta kết luận ⇔ x = y = z = Dấu đẳng thức xảy a, b, c, d Bài tập Cho số thực dương Chứng minh a b c d + + + > b +c +d c +d +a d +a +b a +b +c Lời giải xy £ Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x +y , ta có a a a 2a = ³ = b +c +d a +b + c + d a +b + c + d a(b + c + d) Hoàn toàn tương tự, ta có b 2b ³ , c +d +a a +b +c +d c 2c ³ , d +a +b a +b +c +d d 2d ³ a +b+c a +b+c +d Cộng bốn bất đẳng thức lại theo vế, ta a b c d + + + ³ b+c +d c +d +a d + a +b a +b + c Đẳng thức xảy ìï a = b + c + d ïï ïï b = c + d + a ïí ïï c = d + a + b ïï ïïî d = a + b + c Thế nhưng, hệ nghiệm dương Và đẳng thức xảy Bài toán chứng minh hoàn toàn x, y , z Bài tập Cho ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z P = x + ÷+ y + ÷+ z + ÷ zx xy yz (Trích đề thi Đại học khối B năm 2007) Hướng dẫn giải x= y=z Trước hết, ta phân tích toán Dự đoán dấu xảy Khi đó, x y z 3x P = x + ÷+ y + ÷+ z + ÷ = + x zx xy yz x2 1 x2 1 = 3 + + ÷ ≥ 3.3 = 2x 2x 2x 2x Ở đây, dấu xảy x2 = ⇔ x =1 2x x = y = z = Min P Vậy ta dự đoán đạt Từ đó, dẫn đến lời giải sau Lời giải Để ý 1 x2 + y + z x2 + y + z P= + = ( x2 + y + z ) + ÷ xyz xyz = 1 ( x + y + z ) 1 + + ÷ xyz xyz Tới đây, sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi ba số (sao cho dấu bảo toàn), ta có 1 2 P = ( x + y + z ) 1 + + ÷ ≥ x y z 2 = x y z xyz xyz Bài tập Xét hình vuông hình tam giác Nếu chúng có diện tích hình có chu vi lớn hơn? Lời giải Ta chứng minh chu vi tam giác không nhỏ chu vi hình vuông a, b, c, Gọi độ dài ba cạnh tam giác x vuông Ta cần chứng minh đường cao ứng với cạnh Gọi độ dài cạnh hình a + b + c ³ 4x aha với = x2 aha = 2x2 , hay (do theo giả thiết hai hình có diện tích nhau) b ³ ha, c ³ Áp dụng định lí quan hệ đường xiên hình chiếu, dễ thấy nên suy b + c ³ 2ha Bài toán quy chứng minh a + 2ha ³ 4x Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi, ta có a + 2ha ³ a ×2ha = 2aha = 2×2x2 = 4x Đây điều phải chứng minh Bài toán giải hoàn toàn [...]... ứng với cạnh a ha là Gọi độ dài cạnh hình a + b + c ³ 4x aha với 2 = x2 aha = 2x2 , hay (do theo giả thiết thì hai hình này có diện tích bằng nhau) b ³ ha, c ³ ha Áp dụng định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, dễ thấy ra nên suy b + c ³ 2ha Bài toán quy về chứng minh a + 2ha ³ 4x Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi, ta có a + 2ha ³ 2 a ×2ha = 2 2aha = 2 2×2x2 = 4x Đây chính là điều phải... ÷ 2 xyz 2 xyz = 1 2 1 1 ( x + y 2 + z 2 ) 1 + + ÷ 2 xyz xyz Tới đây, sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi bộ ba số (sao cho dấu bằng được bảo toàn), ta có 1 1 1 1 3 2 2 2 1 9 P = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 + + ÷ ≥ 9 x y z 3 2 2 2 = 2 x y z 2 xyz xyz 2 Bài tập 5 Xét một hình vuông và một hình tam giác Nếu chúng có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn? Lời giải Ta chứng