Nếu k < 0, thì đường tròn tâm O bán kính R k được gọi là đường tròn nghịch đảo ảo Khi đó, mọi điểm trên đường tròn nghịch đảo là các điểm bất động đối vớiphép nghịch đảo đó.. Ta nhận t
Trang 1THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
**********
1 Tên sáng kiến:
SỬ DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI
2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Chương trình Toán lớp 10 THPT chuyên, 11 THPT chuyên
- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Quốc gia
3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ 9 - 2014 đến 5 - 2015
Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định
Điện thoại: 0914521894
5 Đồng tác giả (nếu có): không
6 Đơn vị áp dụng sáng kiến
Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định
Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định
Điện thoại: 0350640297
Trang 2NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN
I ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì,phép vị tự và đồng dạng là các phép biến hình bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa haiđiểm bất kì Chúng đều biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thànhđường tròn Ngoài các phép dời hình, phép vị tự và đồng dạng, còn một phép biếnhình khác với những tính chất rất thú vị Đó là phép nghịch đảo Phép nghịch đảocũng có thể biến đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn,nhưng có thể biến một đường thẳng thành một đường tròn, còn 1 đường tròn thànhmột đường thẳng Đặc biệt hơn là nó bảo toàn góc giữa hai hình
Trong các kì thi học sinh giỏi của các tỉnh, các nước, kì thi chọn học sinh giỏiQuốc gia, có rất nhiều bài toán hình học phẳng khó giải quyết được bằng cácphương pháp thông thường Đặc biệt là những bài toán hình học phẳng xuất hiệnnhiều đường tròn, hình vẽ rối, nhiều học sinh không biết vẽ hình Bên cạnh đó,nhiều bài toán yêu cầu chứng minh tính đồng quy, thẳng hàng nhưng không thể vẽhình được Nếu học sinh biết áp dụng phép nghịch đảo để làm bài toán với ảnh củachúng rồi suy ra tính chất của tạo ảnh sẽ giải quyết bài toán được gọn gàng hơn
Phép nghịch đảo cũng có một số ứng dụng rất quan trọng trong việc giải cácbài toán hình học phẳng
II CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Trang 3Khi M O thì M’ là điểm vô cực và kí hiệu và khi M là điểm vô cực
2 Các khái niệm khác liên quan:
a) Xét phép nghịch đảo f O, k với k > 0 Đường tròn tâm O, bán kính
k
R được gọi là đường tròn nghịch đảo thực Nếu k < 0, thì đường tròn tâm O
bán kính R k được gọi là đường tròn nghịch đảo ảo
Khi đó, mọi điểm trên đường tròn nghịch đảo là các điểm bất động đối vớiphép nghịch đảo đó
b) Cho hai đường tròn (O 1 ) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B Gọi d1 và d2
lần lượt là các tiếp tuyến của hai đường tròn tại A Góc tạo bởi d1 và d2 được gọi là
góc tạo bởi hai đường tròn (O1) và (O2) Nếu góc đó vuông thì ta nói hai đường
tròn (O1) và (O2) trực giao (hoặc hai đường tròn vuông góc với nhau) tại điểm A
Ta nhận thấy góc tạo bởi hai tiếp tuyến của hai đường tròn tại B bằng góc đó tại A.
Góc tạo bởi một đường thẳng và một đường tròn là góc tạo bởi đường thẳng
đó với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm chung của chúng
B Các tính chất:
Cho phép nghịch đảo f O, k với k 0
1 Tính chất 1: Phép nghịch đảo f O, k là phép biến đổi 1 - 1
2 Tính chất 2: Phép biến đổi f fO, kfO, k là phép đồng nhất
3 Tính chất 3: Nếu A’, B’ là ảnh của A, B qua phép f O,k thì AB
OB OA
k B
A
'
'
4 Tính chất 4: Ảnh của một đường thẳng d đi qua tâm nghịch đảo là đường thẳng
d.
Trang 45 Tính chất 5: Ảnh của một đường thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O là
một đường tròn đi qua tâm nghịch đảo O.
6 Tính chất 6: Ảnh của một đường tròn (C) đi qua tâm nghịch đảo O là một
đường thẳng d không đi qua tâm nghịch đảo O và song song với tiếp tuyến của đường tròn (C) tại O.
7 Tính chất 7: Ảnh của đường tròn không đi qua tâm nghịch đảo O là một
đường tròn ' Đường tròn ' cũng là ảnh của đường tròn qua phép vị tự
O,
V với k p, p là phương tích của O đối với đường tròn
8 Tính chất 8: Góc tạo bởi đường thẳng d và đường tròn cùng đi qua tâm
nghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó.
9 Tính chất 9: Góc tạo bởi hai đường tròn và ' cùng đi qua tâm nghịch
đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó.
10 Tính chất 10: Nếu đường thẳng d và đường tròn không đi qua tâm nghịch
đảo O, thì góc tạo bởi d và có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phépnghịch đảo đó
11 Tính chất 11: Góc tạo bởi hai đường tròn và ' không cùng đi qua tâm
nghịch đảo O có số đo bằng góc tạo bởi ảnh của chúng qua phép nghịch đảo đó.
Trang 5- Hình nghịch đảo của mặt phẳng (P) đi qua tâm nghịch đảo là (P) Hình nghịch đảo của mặt phẳng (P) không đi qua tâm nghịch đảo là mặt cầu đi qua tâm
nghịch đảo
- Hình nghịch đảo của mặt đi qua tâm nghịch đảo là mặt phẳng
- Hình nghịch đảo của một mặt cầu không đi qua tâm nghịch đảo là một mặtcầu, vị tự của mặt cầu đã cho, tâm vị tự là tâm nghịch đảo
- Phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa các mặt phẳng và mặt cầu
C Các bài toán áp dụng:
I Dạng toán: Chứng minh các tính chất hình học
Bài 1: Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn, điều kiện
cần và đủ là:
AC.BD = AB.CD + AD.BC.
Phân tích: Qua phép nghịch đảo có
tâm trên một đường tròn (C) nó biến
tưởng này ta quy điều kiện các điểmtrên đường tròn về điều kiện cho cácđiểm thẳng hàng Từ đó ta có lời giải:
Xét phép nghịch đảo tâm D, phương tích k > 0 Phép nghịch đảo này biến các đường tròn đi qua biến D thành một đường thẳng không qua D.
Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó trên cùng một đường tròn khi và chỉ khi A’, B’, C’, D’ cùng trên một đường thẳng (ảnh của đường tròn qua phép nghịch đảo)
O D
Trang 6Bài 2: Cho đa giác A1A2 A n nội tiếp đường tròn (C) M là một điểm bất kì trên
cung A1A n (cung không chứa đỉnh nào của đa giác) Gọi d1,d2, ,d n lần lượt làkhoảng cách từ M đến các đường thẳng A1A2 , A2A3 , , A n A1 Chứng minh rằng:
n
d
a d
có lời giải:
Gọi R là bán kính của đường tròn (C) Xét phép nghịch đảo tâm M phương tích k
Khi đó phép nghịch đảo f M,k biến đường tròn (C) thành đường thẳng d không
đi qua M
Trên đường thẳng d ta gọi A i' f A i
1 '
3 ' 2 ' 2 ' 1 ' '
1A n A A A A A n A n
Do đó ta có i 1 ,n
1 1
1 1
1
1 '
1 '
sin
sin
i i
i i i
i i i
i
i i i
i
MA A d
MA MA
MA A d
A A k MA MA
A A k A A
i i i
i i i
i i i
A MA
i i A
MA
Rd
a k d
MA A k
d
MA A k
d S
MA A S
k
i
i i
2
sin sin
2
sin
n
Rd
a k Rd
a k
n
i i i n
n
d
a d
Trang 7Bài 3: Cho 4 điểm: A, B, C, D nằm trên mặt phẳng hay không gian
Chứng minh rằng: AD.BC + AB.CD AC.BD
Khi nào xảy ra đẳng thức (Tính các cặp cạnh đối của tứ diện tạo thành 3cạnh của một tam giác)
Lời giải: Xét phép nghịch đảo tâm D, phương tích k = 1.
a) Nếu 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng Với 3 điểm A’, B’, C’ (ảnh của A, B, C
qua phép nghịch đảo ta có)
Ta có: A’C’ A’B’ + B’C’ AC AB + BC
DA.DC DA.DB DB.DC AC.BD AB.CD + BC.AD (Đpcm) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A’, B’, C’ thằng hàng và B’ nằm giữa hai điểm A’ và C’ 4 điểm A, B, C, D trên cùng một đường thẳngg theo thứ tự đó (cùng
chiều hoặc ngược chiều kim đồng hồ)
b) Nếu A, B, C, D không cùng trên một mặt phẳng Tồn tại một mặt cầu (V)
đi qua A, B, C, D Qua phép nghịch đảo trên mặt cầu (V) biến thành mặt phẳng (P) không đi qua D và A’, B’, C’ nằm trên (P)
Ta có: A’C’ A’B’ + B’C’ AC AB + BC
DA.DC DA.DB DB.DC AC.BD AB.CD + BC.AD (Đpcm) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A’, B’, C’ trên cùng một đường thẳng theo thứ
tự đó Điều này không xảy ra vì A, B, C, D không đồng phẳng.
Bài 4: Trên một mặt phẳng cho n + 1 điểm A0, A1, …, A n
Khi nào xảy ra dấu bằng
(Xét phép nghịch đảo tâm A0, phương tích k = 1)
Bài 5: Cho hai đường tròn (C1) có tâm O1 và bán kính R1, đường tròn (C2) có tâm O2
và bán kính R2 Điểm I không nằm trên cả hai đường tròn Gọi f là phép nghịch đảo
Trang 8cực I phương tích k 0, f C1 ; f C2 là các đường tròn ảnh của C1 ; C2 Đặt:
2 1
2 2 2 1 2 2
1
2
,
R R
R R d C
2 2
2 1
2 2 1 2 1
2
,
r
r r I I C f C
Vì f C1 I1,r1; f C2 I2,r2 nên: I1 V 1 O1 và I2 V p2 O2
k I p
k
2 2 2 1
1
p
k II và IO
2 2 /
2
2 1
2 1 /
2 1 2 2
k II
II I
2 2
2 2 2
1
2 1
p p p
IO p
IO k
2 2 1
2 2
2 1 2
2
2 2 2 2
1
2 1 1 2
p p
O O IO IO p
R p p
R p k
2 2 1
2 2
2 1 2 1 2 2
2 2 2 1
2 1 2
1
2 1 1
p p
O O R R p p p
R p
R p
2 2 1
2 2
2 1 2 2
2 2 2 1
2 1 2
p p
O O R R p
R p
R k
Vì I1 V 1 O1 và I2 V p2 O2
k I p
1
p
k r và R p
k
Do đó:
Trang 92 2 1
2 2
2 1 2
2 2 2
O O R R k
r k
2 2
2 1
2 2 1 2 2 2
2 1
2 2 1
p p
R R O O k r r I
2 2
2 1
2 2 1
2 1
2
2 1
2 2
2 1
2 2 1 2
2
,
p p
R R O O r r
k r
r
r r I I C f
2 2
2 1
2 2 1 2 1
2 2 1 1 2 1
2 2
2 1
2 2 1 2 1 2 1
.2
12
1
p p
R R O O R
R
p r p r r r R
R O O p p
k k r
r
=
2 1
2 2
2 1
2 2 1
2 1
2
1
R R
R R O O p
2
1 C , C p
p
p p
Bài 6: Gọi I, r là tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp Còn O, R là tâm và bán
kính của đường tròn ngoại tiếp của cùng một tam giác ABC.
Chứng minh rằng: OI2 + R2 – 2Rr (Công thức Euler).
Đây là kết quả rất quen biết với học sinh, công thức này có nhiều cách chứngminh Ở đây ta chứng minh bằng cách sử dụng phép nghịch đảo, ý tưởng của nólà: Ta đã biết cách tính bán kính của đường tròn ảnh qua 1 phép nghịch đảo Vậynếu bằng cách khác, ta cũng tính bán của đường tròn ảnh này (theo các đại lượngkhác) thì ta cũng suy ra được một đẳng thức hình học
Lời giải:
Trang 10C' B'
A' M
L
K I A
Gọi A’, B’, C’, là giao của IA, IB, IC với ML, MK, KL (K, M, L là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh BC; AB; AC của tam giác; (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Xét phép nghịch đảo tâm I, phương tích r2 Vì r =IA'.IA=IB'.IB= IC'.IC 2
Nên A’, B’, C’ là ảnh của A, B, C qua phép nghịch đảo này.
Vậy qua phép nghịch đảo trên, đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC biến thành đường tròn (C’) ngoại tiếp tam giác A’B’C’ có bán kính R’.
Vì A’, B’, C’ là trung điểm của ML, MK, KL nên R'= r
Bài 7: Cho tam giác ABC không cân Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC
tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A’, B’, C’ Gọi M, N, E lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng: B’C’ và BC; C’A’ và CA; A’B’ và AB Chứng minh rằng 3 điểm M, N, E thẳng hàng.
Trang 11P A' I A
B
N
M
B' C'
C
E
Giải: Gọi (C1), (C2) lần lượt là đường tròn đường kính AI và A 1 I
Khi đó: B1C1 là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (C1) và; BC là trục đẳng phương của hai đường tròn (I) và (C2)
Mà BC B1C1 = M
nên PM/ C1 PM/ C2
Gọi M’ là giao điểm thứ hai (khác I) của hai đường tròn (C1) và (C2) thì MIM’
Ta có: IM’ AM’ và IM’ A1M’ nên 3 điểm A, A 1 , M’ thẳng hàng.
Theo định lý Ceva ta có 3 đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy tại P
Suy ra IM P ' 900 hay M’ thuộc đường tròn (C) đường kính IP
Tương tự nếu gọi
N’ là giao điểm thứ hai của đường tròn (C1) và đường tròn đường kính B1I E’ là giao điểm thứ hai của đường tròn (C1) và đường tròn đường kính C1I thì N’ và E’ cũng thuộc đường tròn (C) đường kính IP
IM.IM’ = IN.IN’ = IE.IE’ = R (với R là bán kính đường tròn đường kính IP)
Trang 12Xét phép nghịch đảo cực I, phương trình R2 : fI , R2 ta có:
I , R2
f biến các điểm M’, N’, E’ thành các điểm tương ứng là M, N, E
I , R2
f biến đường tròn (C) đường kính IP thành đường thẳng d không qua I
Do các điểm M’, N’, E’ thuộc đường tròn (C) nên các điểm M, N, E thuộc đường thẳng d hay M, N, E thẳng hàng.
Bài 8: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A Một tiếp tuyến
của (O) tại điểm M bất kì trên đường tròn cắt (O’) tại B và C Chứng minh rằng
AM là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB và AC.
Giải:
B'
d d'
M'
I
B
A O
f : (O) d là tiếp tuyến với (I) tại M’; d OA
(O’) d’ qua B’, C’ và d’ O’A
Vì d // d’ và M’ là tiếp điểm của tiếp tuyến d với (I) M B ' 'M C ' '
Gọi N là điểm đối xứng với M’ qua I N (I) NB'NC'
AN là phân giác của góc BAC AM là phân giác của góc BAC
Vậy AM là phân giác của góc tạo bởi AB và AC.
Bài 9: (Thi Olympic Bungari - vòng 4 - 1995)
Trang 13Cho tam giác ABC có chu vi 2p cho trước Các điểm E, F nằm trên đường thẳng AB sao cho CE = CF = p Chứng minh rằng đường tròn bàng tiếp (k1) ứng với cạnh AB của tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn (k2) ngoại tiếp tam giác EFC.
C
Q P
Vì CP = CQ = CE = CF = p nên suy ra 4 điểm P, Q, E, F cùng thuộc đường tròn (C, p) Xét phép nghịch đảo cực C phương tích p2 ta có:
Mà k1 tiếp xúc với EF nên k1 tiếp xúc với k2
Bài 10: (Dự tuyển toán Quốc tế)
Cho hai đường tròn C1 , C tiếp xúc với nhau tại A Một đường thẳng 2 l
qua A cắt các đường tròn C1 , C tương ứng tại 2 C C khác A Một đường tròn1, 2
C qua C C cắt lại hai đường tròn 1, 2 C1 , C tại 2 B B tương ứng Gọi 1, 2 x là
đường tròn ngoại tiếp tam giác AB B Đường tròn 1 2 k tiếp xúc với đường tròn x
tại A , cắt C1 , C lần lượt tại 2 D D khác A Chứng minh rằng:1, 2
1 Các điểm C C D D hoặc cùng thuộc một đường tròn hoặc cùng thuộc1, ,2 1, 2
Trang 14l
C' 2 C' 1
D' 1
D' 2
B' 2 B' 1
Suy ra f biến các điểm B B C C D D tương ứng thành các điểm1, 2, 1, 2, 1, 2
Trang 15giao với nhau
đường thẳng l và đường tròn C trực giao với nhau2
AC AC lần lượt là đường kính của đường tròn 1, 2 C1 , C tương ứng.2
Bài 11: (Đề thi Olympic 30/4 năm 2009)
Cho đường tròn O có đường kính AB và một điểm C trên O ,
CA C B, Tiếp tuyến với O tại A cắt đường thẳng BC tại M Gọi N làgiao điểm của các tiếp tuyến với O tại B và tại C Đường thẳng AN cắt lạiđường tròn O tại D khác A và cắt đường thẳng BC tại F Đường thẳng qua M ,
song song với AB cắt đường thẳng OC tại I Đường thẳng qua N, song song với
AB cắt đường thẳng OD tại J Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng MD NC,
và E là giao điểm của hai đường thẳng MN IJ ,
1 Chứng minh rằng hai đường tròn MCE và NDE tiếp xúc với nhau.
2 Chứng minh rằng K là tâm đường tròn đi qua các điểm , , , C D E F
A
C
1 Gọi P là giao điểm của AM và NC thì PA PM PC
Trang 16Ta có OPN vuông tại O, đường cao OC nên suy ra
Do đó MD là tiếp tuyến của O KC KD
Vì OBCICM và OADJDN nên suy ra IC IM và JD JN
Mặt khác ta có OM AN tại X và ON BM tại Y nên F là trực tâm của OMN Gọi E là giao điểm của ' OF và MN thì OE'MN Ta chứng minh E' E
Ta có MA2 MD2 MX MO ME MN MB MC '
Xét phép nghịch đảo f cực M , phương tích k MA 2 ta có: f biến các điểm , B N
thành các điểm , 'C E tương ứng
Suy ra f biến đường thẳng BN thành đường tròn MCE '
Vì BN tiếp xúc với O tại B và BN AM nên đường tròn || MCE tiếp xúc với'
O tại C và tiếp xúc với AM tại M Do đó I là tâm đường tròn MCE '
Chứng minh tương tự ta có J là tâm đường tròn NDE '
Khi đó ta suy ra hai đường tròn MCE và ' NDE tiếp xúc nhau tại '' E
'
E
là giao điểm của IJ và MN nên E'E
Vậy hai đường tròn MCE và NDE tiếp xúc với nhau tại E
2 Vì KC là tiếp tuyến chung của O và I ; KD là tiếp tuyến chung của O và
J nên ta suy ra P K I/ P K O/ P K J/ , do đó K là tâm đẳng phương của 3 đường tròn
Từ (1) và (2) suy ra K là tâm đường tròn đi qua 4 điểm , , , F C D E
Bài 12: (Đề đề nghị thi Duyên hải đồng bằng Bắc Bộ năm 2013)