Ứng dụng phép nghịch đảo để giải toán hình học phẳng

Nhưng sẽ có một thiếu sót rất lớn nếu như không nói tới những ứng dụng của phép nghịch đảo, phép biến hình này có nhiều ứng dụng rất hay và thú vị nhưng rất ít học sinh biết đến phép b

I CƠ SỞ LÍ LUẬN

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán phổ thông thì phần hình học phẳng là một phần rất hay và quan trọng của môn toán bên cạnh những vấn đề về giải tích, đại số, bất đẳng thức, số học…Phần hình học phẳng là một trong những mảng kiến thức mà học sinh được làm quen

từ những năm tiểu học như về những khái niệm cơ bản ban đầu về hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn…

Khi lên cấp Trung học cơ sở thì học sinh dần làm quen với những vấn đề phức tạp hơn của hình học phẳng chẳng hạn như những bài toán về chứng minh song song, thẳng hàng, đồng qui, các định lí nổi tiếng của hình học phẳng như Talet, Pitago, Men nê lê uyt,

Xê Va…những vấn đề rất hay và khó của hình học phẳng như những bài toán về chứng minh thẳng hàng, đồng qui, quĩ tích, dựng hình là những dạng bài tập mà học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong khi học, vì không có nhiều công cụ cũng như định lí để giải đối với cấp Trung học cơ sở

Khi lên cấp Trung học phổ thông thì học sinh cũng được tiếp tục học một phần về hình học phẳng nhưng chủ yếu là sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Nhưng Trong các kì thi học sinh giỏi ở cấp Trung học phổ thông thì thường không thể thiếu bài tập hình học phẳng, bài tập này thường gây không ít khó khăn cho học sinh vì dạng bài tập rất phong phú và đa dạng Nhưng khó nhất vẫn là những dạng bài tập về sự thẳng hàng, đồng qui, quĩ tích Học sinh thường lúng túng, khó khăn khi gặp những dạng bài tập này

Để làm tốt những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết nhiều định lí, đặc biệt

là không thể thiếu các kiến thức về phép biến hình, các phép biến hình mà trong chương trình mà các em thường được học là phép tịnh tiến, phép đối xứng, trục, đối xứng tâm, phép

vị tự, phép quay Đó là những phép biến hình rất quan trọng trong chương trình toán phổ

thông Nhưng sẽ có một thiếu sót rất lớn nếu như không nói tới những ứng dụng của phép

nghịch đảo, phép biến hình này có nhiều ứng dụng rất hay và thú vị nhưng rất ít học sinh

biết đến phép biến hình này vì trong chương trình phổ thông đại trà không có dạy

Cho nên qua một thời gian tìm tòi, nghiên cứu và tham khảo các tài liệu khác nhau, tôi đã phát hiện ra những ứng dụng rất hay của phép biến hình này và đã đem vào ứng dụng cho đội tuyển học sinh giỏi của trường và thu được một số kết quả khả quan

II NỘI DUNG CỤ THỂ

Các vấn đề trong bài viết được trình bày theo hai phần:

Phần thứ nhất: Là hệ thống lí thuyết liên quan đến phép nghịch đảo: Định nghĩa;các định

lí, hệ quả…được trình bày một cách chi tiết

Phần thứ hai: Là một số bài tập về nhiều thể loại của hình học phẳng được giải bằng phép

nghịch đảo

ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC ĐỊNH LÍ

Định nghĩa

Cho một điểm O cố định và một số k ≠0 Nếu ứng với mỗi điểm M của mặt phẳng khác với điểm O ta tìm được điểm M ' trên đường thẳng OM sao cho OM OM '=k thì phép biến hình ( )f M =M ' gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k Ta thường kí hiệu

phép nghịch đảo đó là ( , )f O k Phép nghịch đảo f hoàn toàn được xác định nếu biết cực O

và phương tích k của nó

Các tính chất

a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp vì OM OM '=OM OM k' = nghĩa là nếu

M = f M thì ta cũng có M = f M( ') Do đó f f Mo ( )=M hay f2 là phép đồng nhất

b) Nếu k >0thì hai điểm M và M '= f M( ) cùng nằm về một phía đối với điểm O

Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo ( , )f O k là đường tròn tâm O và có

bán kính bằng k Ta gọi đường tròn này là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo

( , )

f O k

OM OM = k =k

Cần lưu ý rằng nếu điểm M nằm ở miền trong của đường tròn nghịch đảo thì điểm

M = f M sẽ nằm ở miền ngoài đường tròn nghịch đảo và ngược lại.

c) Nếu k<0 thì hai điểm M và M'= f M( ) nằm về hai phía đối với điểm O Khi đó

ta không có điểm kép và do đó không có đường tròn nghịch đảo vì k <0

Vì OM OM '=k không đổi nên nếu điểm M tiến lại gần điểm O thì điểm M ' càng di

xa điểm O Ta vẽ đường tròn đường kính MM và từ O vẽ vẽ đường thẳng vuông góc với'

'

MM cắt đường tròn đó tại A và B Ta có OAOB OM OM = '=k

Nếu 'N = f N( ) qua phép nghịch đảo với k<0 đã cho thì ta cũng có

' OM OM

OAOB ON ON= = Khi đó bốn điểm , ', ,N N A B cùng nằm trên một đường tròn.

Các định lí

Định lí 1

Nếu phép nghịch đảo ( , )f O k có phương tích k >0 thì mọi đường tròn đi qua hai điểm tương ứng M và M '= f M( ) đều trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo đó

Chứng minh

Theo giả thiết ta có OM OM '=k

Giả sử (C) là một đường tròn bất kì qua M và

M = f M Khi đó:

( )/( )

P O C =OM OM = k (1)

Nếu đường tròn nghịch đảo tâm O có bán kính

R= k thì hệ thức (1) chứng tỏ rằng đường tròn (C)

trực giao với đường tròn (O) Suy ra mọi đường tròn qua M và M' (tạo nên một chùm

đường tròn) đều trực giao với đường tròn nghịch dảo tâm O bán kính R= k

Hệ quả: Qua phép nghịch đảo với phương tích k >0, mọi đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó

Định lí 2 Cho phép nghịch dảo ( , )f O k với k >0 Nếu có hai đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O và cắt nhau tại M, M ' thì hai điểm này là hai điểm tương ứng của phép nghịch đảo ( , )f O k đã cho

Chứng minh

Giả sử hai đường tròn ( ) ( )C1 , C trực giao với đường tròn nghịch đảo (O) và chúng cắt nhau2

tại M và M '

Trục đẳng phương MM' của hai đường tròn ( ) ( )C1 , C đi qua tâm O của đường tròn 2

nghịch đảo và điểm O nằm ngoài đoạn MM' vì

O phải nằm ngoài hai đường tròn ( ) ( )C1 , C 2

Đường tròn (O) trực giao với hai đường tròn ( ) ( )C1 , C nên ta có:2

( )2

OM OM =k suy ra đpcm

Định lí 3 Đối với một phép nghịch đảo ( , )f O k bất kì , hai điểm A, B không thẳng hàng

với cực nghịch đảo, cùng với ảnh của chúng là 'A = f A B( ), '= f B( ) củng nằm trên một

đường tròn

Chứng minh

Vì OAOA '=OB OB '=k nên bốn điểm , ', , 'A A B B

Cùng nằm trên một đường tròn

Định lí 4 Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực là ( , )f O k và '( , ') f O k là một phép vị

tự tâm O tỉ số k'

k .

Chứng minh

Nếu phép nghịch đảo ( , )f O k biến M thành ' M và phép nghịch đảo '( , ') f O k biến ' M

thành M" thì: OM OM '=k OM OM, ' "=k' Do đó suy ra " '

'

k

OM = Vậy tích của hai phép nghịch đảo đó là phép vị tự tâm O tỉ số k k'

Nói chung tích của hai phép trên không có tính chất giao hoán trừ trường hợp k = k'

Hệ quả Hình dạng ảnh của một hình H trong một phép nghịch đảo không phụ thuộc

vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí cực nghịch đảo

Thật vậy giả sử H là ảnh của H trong phép nghịch đảo1 f O k và 1( , )1 H là ảnh của 2

hình H trong phép nghịch đảo f O k , khi đó:2( , )2

1

1 1( ), 2 2( ) 2 ( 2) 2( 2)

H = f H H = f H ⇒ =H f − H = f H Do đó:

( )

1 1 2( 2) 1 2 ( 2) ( 2)

H = f f H = f fo H =V H Với V là một phép vị tự Do đó H và 1 H là hai 2

hình đồng dạng

Định lí 5 Cho hai điểm A, B và ảnh ', 'A B của chúng trong một phép nghịch đảo cực O,

phương tích k Độ dài các đoạn thẳng AB và ' 'A B lien hệ với nhau bởi hệ thức.

' '

AB

A B k

OAOB

AB

A B k

OAOB

=

Chứng minh

Ta xét hai trường hợp:

a) Ba điểm O, A, B không thẳng hàng

Ta có OAOA '=OB OB ' hay OA OB OB OA= ''

Vậy hai tam giác OAB và OB A đồng dạng nên:' '

AB = OB = OAOB =OAOB

Do đó: ' 'A B k AB.

OAOB

AB

A B k

OAOB

b) Ba điểm O, A, B thẳng hàng:

OA OB

Lấy trị số tuyệt đối hai vế ta có: ' 'A B k AB.

OAOB

SỰ BẢO TỒN GÓC QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO

1 Định nghĩa Cho hai đường cong( )C và 1 ( )C cắt nhau tại một điểm A và tại đó 2

chúng có các tiếp tuyến Ta gọi góc giữa hai tiếp tuyến đó là góc của hai đường cong đã cho

tai điểm A.

2 Bổ đề Cho phép nghịch đảo ( , )f O k biến đường cong ( )C thành đường cong ( )C'

Nếu A, A' là hai điểm tương ứng trên( )C , ( )C và tại đó chúng có các tiếp tuyến thì các ' tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực của đoạn thẳngAA '

Chứng minh

Ta lấy trên ( )C , ( )C hai điểm tương ứng '

M và M khá gần A và '' A sao cho khoảng cách

OM không bị triệt tiêu khi M tiến dần tới A Bốn

điểm A, M, M , '' A luôn luôn thuộc một đường

tròn (K) và theo hệ thức:

' '

MA

OAOM

=

Khi điểm M đến trùng với A thì điểm

'

M đến trùng vớiA' Khi đó các cát tuyến AM và A M' ' của

Các đường tròn ( )C và ( )C đến trùng với các tiếp tuyến At và ' '' A t của chúng ở A và ' A

Gọi (K0) là đường tròn đi qua bốn điểm A, M, M',A' ở vị trí tiếp xúc , thì (K0) sẽ tiếp xúc với ( )C và ( )C tại A và '' A Khi đó các tiếp tuyến At và ' ' A t đồng thời cũng là tiếp tuyến

của đường tròn (K0) đi qua A, A' nên các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực của dây AA'

3 Định lí Phép nghịch đảo bảo tồn góc.

Chứng minh

Giả sử qua phép nghịch đảo f, hai đường cong

(C) và (D) cắt nhau tại một điểm A biến thành các đường

cong ( ')C và ( ') D cắt nhau tại điểm ' A = f A( ).

Theo bổ đề các tiếp tuyến At và ' ' A t của (C) và

( ')C tại A và ' A đối xứng với nhau qua đường trung trực

D của đoạn AA' Tương tự các tiếp tuyến Au và

' '

A u của (D) và ( ') D tại A và ' A cũng đối xứng nhau

Qua d Vậy hai góc ( ,At Au và ( ' ', ' ')) A t A u đối xứng

nhau qua d nên chúng có độ lớn hình học bằng nhau nhưng ngược hướng Ta có

( ' ', ' ')A t A u = −( ,At Au).

ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO

Từ định nghĩa, ta suy ra rằng phép nghịch đảo biến mỗi đường thẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính đường thẳng đó Còn đối với đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo thì ảnh của nó được xác định bởi các định lí sau đây

1. Định lí 1 Phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo O

thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo trừ điểm O

Ngược lại một đường tròn đi qua cực nghịch đảo O (trừ điểm O) thì có ảnh là một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo đó

Chứng minh

Giả sử d là một đường thẳng không đi qua

cực nghịch đảo O Gọi H là chân đường vuông góc hạ

từ O xuống d và 'H là ảnh của H qua phép nghịc đảo

( , )

f O k Ta có: OH OH '=k

Ta lấy một điểm M khác với H và giả sử

M = f M Vì bốn điểm M M H H cùng thuộc, ', , '

một đường tròn nên: (HM HH, ') (= M M M H' , ' ')

2

HM HH =π nên ( ' , ' ')

2

M M M H =π .

Do đó M nằm trên đường tròn tâm I đường kính ' OH Khi M chạy trên đường thẳng d thì ' điểm M '= f M( ) chạy trên đường tròn tâm I nói trên, trừ điểm O Vậy ảnh của d là đường tròn (I) trừ điểm O.

Phần ngược lại của định lí được chứng minh tương tự

OI OI '=OH OH '=OH OI.2 Do đó OI' 2= OH

Hệ quả Nếu đường tròn tâm I biến thành đường thẳng d thì tâm I của nó biến thành

điểm đối xứng 'I của cực nghịch đảo O qua d

2 Định lí 2 Một đường thẳng và một đường tròn có thể xem là ảnh của nhau trong

hai phép nghịch đảo, nếu đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn

Chứng minh

Cho đường tròn (I) và đường thẳng d không tiếp

xúc với (I) Kẻ đường kính AB của đường tròn (I) vuông

góc với d tại H Ta có hai phép nghịch đảo:

Với phép nghịch đảo cực A ta có

AH AB k =

Với phép nghịch đảo cực B ta có

BH BA k = '

Cả hai phép nghịch đảo này đềubiến đường thẳng d thành

đường tròn tâm I và ngược lại

Chú ý Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm I,

giả sử d tiếp xúc với đường tròn tai B ( nghĩa là H

Trùng với B ) thì ta chỉ có một phép nghịch đảo cực A

với phương tích AM AM '=AB2 biến đường tròn

thành đường thẳng và ngược lại

3 Định lí 3 Qua một phép nghịch đảo, một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo

O biến thành một đường tròn không đi qua điểm O đó

Chứng minh

Cho phép nghịch đảo ( , )f O k và một đường

Tròn tâm I không đi qua O, ta hãy tìm ảnh của

đường tròn (I) qua phép nghịch đảo f đã cho.

Lấy một điểm M trên đường trỏn tâm I

và giả sử M '= f M( ) Ta có OM OM '=k (1)

Gọi p là phương tích của điểm O đối

với đường tròn tâm I ta có:

OM ON = p (2)

Chia (1) cho (2) ta có OM' k p

ON = hay OM ' k= p ON .

Hệ thức trên chứng tỏ rằng M là ảnh của N qua phép vị tự V tâm O, tỉ số vị tự'

k

p

λ = Khi điểm M vạch nên đường tròn (I) thì điểm N cũng vạch nên đường tròn đó, còn

điểm M ' là ảnh của M trong phép vị tự V Oλ vạch nên đường tròn ( ')I Vậy đường tròn ( ') I

là ảnh của đường tròn (I) trong phép vị tự V Oλ Do đó ảnh của đường tròn (I) qua phép

nghịch đảo ( , )f O k là đường tròn ( ') I Vì điểm O không thuộc đường tròn (I) nên điểm O

cũng không thuộc đường tròn ( ')I Vậy ảnh của đường tròn (I) trong phép vị tự V Oλ trùng với ảnh của đường tròn đó trong phép nghịch đảo ( , )f O k Tuy nhiên nếu xét từng điểm,

thì không phải ảnh của một điểm M qua phép vị tự V Oλ và phép nghịch đảo ( , )f O k đều như

nhau Ví dụ như hình trên ta có:

V M =N và ( )V N =M '

Còn ( )f M =M ' và ( )f N =N'

PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỐI VỚI HAI ĐƯỜNG TRÒN

Ta biết rằng qua một phép nghịch đảo ( , )f O k một đường tròn không đi qua cực

nghịch đảo O có ảnh là một đường tròn và cực nghịch đảo là tâm vị tự của hai đường tròn đó

Ngược lại nếu cho trước hai đường tròn ( , )C I R và '( ', ') C I R , ta hãy xét xem chúng

có thể là ảnh của nhau qua một phép nghịch đảo nào đó hay không Ta hãy xét các trường hợp sau:

1 Trường hợp tổng quát

Trường hợp hai đường tròn ( )C và ( ') C không bằng nhau và không tiếp xúc nhau, có

hai phép vị tự R R'

O

V và 'R R'

O

V− biến đường tròn ( )C thành đường tròn ( ') C Các tâm vị tự O và

'

O không nằm trên hai đường tròn đó Khi đó có hai phép nghịch đảo biến ( ) C thành ( ') C

a) Phép nghịch đảo tâm O với phương tích k p R' p

R

λ

= = trong đó p là phương tích của điểm O đối với đường tròn (C)

b) Phép nghịch đảo tâm 'O với phương tích k' R' p'

R

= − trong đó 'p là phương tích

của điểm 'O đối với đường tròn (C)

2 Các trường hợp đặc biệt

a) Nếu hai đường tròn (C) và ( ')C không bằng nhau và không tiếp xúc nhau thì có

một phép vị tự tâm 'O biến đường tròn này thành

đường tròn kia Do đó ta chỉ có một phép

nghịch đảo cực 'O với phương tích ' R' p'

R

k = − , trong đó 'p là phương tích của điểm ' O đối với

đường tròn (C) (bằng phương tích của điểm 'O

đối với đường tròn ( ')C ).

b) Nếu hai đường tròn (C) và ( ')C tiếp xúc nhau tại điểm A nhưng không bằng nhau

thì tiếp điểm là tâm vị tự nhưng không phải là cực nghịch đảo và chỉ có tâm vị tự còn lại là cực O của phép nghịch đảo

c) Nếu hai đường tròn (C) và ( ')C bằng nhau và tiếp xúc với nhau thì không có phép

nghịch đảo nào biến đường tròn này thành đường tròn kia

thì tâm I của đường đường tròn (C) không biến thành tâm I' của đường tròn ( ')C Gọi

( )

J = f I , muốn tìm J ta vẽ qua I một đường thẳng d bất kì và như vậy d vuông góc với (C) Vì d không đi qua cực O nên 'd = f d( ) là đường tròn đi qua O và trực giao với đường tròn ( ')C = f C( ) Đường kính AB của đường tròn ( ')C đi qua O cắt đường tròn d’ tại J và

O Ta có A, B, J, O là một hàng điểm điều hòa vì 'd trực giao với đường tròn ( ') C Vậy ta

có (ABJO)= −1 và O, J là hai điểm lien hợp đối với đường tròn ( ')C

ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI TOÁN

Do phép nghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳng nên người ta khai thác khả năng này của phép nghịch đảo để giải toán Muốn vậy, trong các bài toán người ta thường chọn cực nghịch đảo là giao điểm của một số đường tròn và các tính chất được đề cập đến phải là các bất biến của phép nghịch đảo như độ lớn của góc, tính trực giao của các đường, sự tiếp xúc của các đường,…

Ví dụ 1 Cho hai đường tròn ( )O và 1 ( )O trực nhau với nhau và cắt nhau ở A và B 2

Ta lấy các điểm C và D trên hai đường tròn đó sao cho đường thẳng CD không đi qua A và

B Chứng minh rằng các đường tròn (ACD) và (BCD) lúc đó trực giao với nhau

Giải

a) Cách giải thứ nhất: Dùng phép nghịch đảo

cực A biến các đường tròn trực giao ( )O và 1 ( )O2

thành các đường thẳng ( ' )O và 1 ( ' )O vuông góc2

với nhau tại một điểm 'B = f B( ).Ta có 'C = f C( )

, 'D = f D( ) là các điểm trên ( ' )O và 1 ( ' )O 2

Khi đó đường tròn (BCD) biến thành

Đường tròn ( ' ' ')B C D

Do ' 'B C vuông góc với ' ' B D nên ' ' C D là

Đường kính của đường tròn ( ' ' ')B C D , có nghĩa

là ' 'C D trực giao với đường tròn ( ' ' ') B C D Vì

' '

C D là ảnh của đường tròn (ACD) nên ta suy ra

Đường tròn này trực giao với đường tròn (BCD)

Do phép nghịch đảo bảo tồn góc

Nếu chọn B làm cực nghịch đảo thì ta cũng được cách giải tương tự như trên

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK Chứng minh rằng đường

thẳng HK song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải

Vì ∠BHC= ∠BKC=900 nên các điểm H và K nằm trên đường

Tròn đường kính BC Do đó ta có:

AB AK =AC AH

Với phép nghịch đảo f tâm A và phương tích

k AB AK= =AC AH Điểm B biến thành điểm K, điểm

C biến thành điểm H Khi đó đường tròn ngoại tiếp tam

Giác ABC biến thành đường thẳng KH vì nó đi qua

cực nghịch đảo A Mặt khác qua phép nghịch đảo f này

biến tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua

cực nghịch đảo A nên biến thành chính nó Do đó tiếp tuyến này song

song với KH vì phép nghịch đảo bảo tồn góc