Ứng dụng phép nghịch đảo để giải toán hình học phẳng

Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng I. CƠ SỞ LÍ LUẬN LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán phổ thông thì phần hình học phẳng là một phần rất hay và quan trọng của môn toán bên cạnh những vấn đề về giải tích, đại số, bất đẳng thức, số học…Phần hình học phẳng là một trong những mảng kiến thức mà học sinh được làm quen từ những năm tiểu học như về những khái niệm cơ bản ban đầu về hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn… Khi lên cấp Trung học cơ sở thì học sinh dần làm quen với những vấn đề phức tạp hơn của hình học phẳng chẳng hạn như những bài toán về chứng minh song song, thẳng hàng, đồng qui, các định lí nổi tiếng của hình học phẳng như Talet, Pitago, Men nê lê uyt, Xê Va…những vấn đề rất hay và khó của hình học phẳng như những bài toán về chứng minh thẳng hàng, đồng qui, quĩ tích, dựng hình là những dạng bài tập mà học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong khi học, vì không có nhiều công cụ cũng như định lí để giải đối với cấp Trung học cơ sở. Khi lên cấp Trung học phổ thông thì học sinh cũng được tiếp tục học một phần về hình học phẳng nhưng chủ yếu là sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Nhưng Trong các kì thi học sinh giỏi ở cấp Trung học phổ thông thì thường không thể thiếu bài tập hình học phẳng, bài tập này thường gây không ít khó khăn cho học sinh vì dạng bài tập rất phong phú và đa dạng. Nhưng khó nhất vẫn là những dạng bài tập về sự thẳng hàng, đồng qui, quĩ tích. Học sinh thường lúng túng, khó khăn khi gặp những dạng bài tập này. Để làm tốt những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết nhiều định lí, đặc biệt là không thể thiếu các kiến thức về phép biến hình, các phép biến hình mà trong chương trình mà các em thường được học là phép tịnh tiến, phép đối xứng, trục, đối xứng tâm, phép vị tự, phép quay. Đó là những phép biến hình rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Nhưng sẽ có một thiếu sót rất lớn nếu như không nói tới những ứng dụng của phép nghịch đảo, phép biến hình này có nhiều ứng dụng rất hay và thú vị nhưng rất ít học sinh biết đến phép biến hình này vì trong chương trình phổ thông đại trà không có dạy. Cho nên qua một thời gian tìm tòi, nghiên cứu và tham khảo các tài liệu khác nhau, tôi đã phát hiện ra những ứng dụng rất hay của phép biến hình này và đã đem vào ứng dụng cho đội tuyển học sinh giỏi của trường và thu được một số kết quả khả quan. Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 1 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng II. NỘI DUNG CỤ THỂ Các vấn đề trong bài viết được trình bày theo hai phần: Phần thứ nhất: Là hệ thống lí thuyết liên quan đến phép nghịch đảo: Định nghĩa;các định lí, hệ quả…được trình bày một cách chi tiết. Phần thứ hai: Là một số bài tập về nhiều thể loại của hình học phẳng được giải bằng phép nghịch đảo. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC ĐỊNH LÍ Định nghĩa Cho một điểm O cố định và một số 0k ≠ . Nếu ứng với mỗi điểm M của mặt phẳng khác với điểm O ta tìm được điểm 'M trên đường thẳng OM sao cho . 'OM OM k= thì phép biến hình ( ) 'f M M= gọi là phép nghịch đảo cực O, phương tích k. Ta thường kí hiệu phép nghịch đảo đó là ( , )f O k . Phép nghịch đảo f hoàn toàn được xác định nếu biết cực O và phương tích k của nó. Các tính chất a) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp vì . ' '.OM OM OM OM k= = nghĩa là nếu ' ( )M f M= thì ta cũng có ( ')M f M= . Do đó ( )f f M M=o hay 2 f là phép đồng nhất. b) Nếu 0k > thì hai điểm M và ' ( )M f M= cùng nằm về một phía đối với điểm O. Khi đó tập hợp những điểm kép của phép nghịch đảo ( , )f O k là đường tròn tâm O và có bán kính bằng k . Ta gọi đường tròn này là đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo ( , )f O k . Ta có ( ) 2 . 'OM OM k k= = . Cần lưu ý rằng nếu điểm M nằm ở miền trong của đường tròn nghịch đảo thì điểm ' ( )M f M= sẽ nằm ở miền ngoài đường tròn nghịch đảo và ngược lại. c) Nếu 0k < thì hai điểm M và ' ( )M f M= nằm về hai phía đối với điểm O. Khi đó ta không có điểm kép và do đó không có đường tròn nghịch đảo vì 0k < . Vì . 'OM OM k= không đổi nên nếu điểm M tiến lại gần điểm O thì điểm 'M càng di xa điểm O. Ta vẽ đường tròn đường kính 'MM và từ O vẽ vẽ đường thẳng vuông góc với 'MM cắt đường tròn đó tại A và B. Ta có . . 'OAOB OM OM k= = . Nếu ' ( )N f N= qua phép nghịch đảo với 0k < đã cho thì ta cũng có . '. . ' OM OMOAOB ON ON= = . Khi đó bốn điểm , ', ,N N A B cùng nằm trên một đường tròn. Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 2 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Các định lí Định lí 1 Nếu phép nghịch đảo ( , )f O k có phương tích 0k > thì mọi đường tròn đi qua hai điểm tương ứng M và ' ( )M f M= đều trực giao với đường tròn nghịch đảo của phép nghịch đảo đó. Chứng minh Theo giả thiết ta có . 'OM OM k= . Giả sử (C) là một đường tròn bất kì qua M và ' ( )M f M= . Khi đó: ( ) 2 . ' ( )/( ) P OM OM k O C = = (1). Nếu đường tròn nghịch đảo tâm O có bán kính R k= thì hệ thức (1) chứng tỏ rằng đường tròn (C) trực giao với đường tròn (O) . Suy ra mọi đường tròn qua M và 'M (tạo nên một chùm đường tròn) đều trực giao với đường tròn nghịch dảo tâm O bán kính R k= . Hệ quả: Qua phép nghịch đảo với phương tích 0k > , mọi đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo đều biến thành chính nó. Định lí 2. Cho phép nghịch dảo ( , )f O k với 0k > . Nếu có hai đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo tâm O và cắt nhau tại M, 'M thì hai điểm này là hai điểm tương ứng của phép nghịch đảo ( , )f O k đã cho. Chứng minh Giả sử hai đường tròn ( ) ( ) 1 2 ,C C trực giao với đường tròn nghịch đảo (O) và chúng cắt nhau tại M và 'M . Trục đẳng phương 'MM của hai đường tròn ( ) ( ) 1 2 ,C C đi qua tâm O của đường tròn nghịch đảo và điểm O nằm ngoài đoạn 'MM vì O phải nằm ngoài hai đường tròn ( ) ( ) 1 2 ,C C . Đường tròn (O) trực giao với hai đường tròn ( ) ( ) 1 2 ,C C nên ta có: Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 3 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng ( ) 2 1 2 ( )/( ) ( )/( ) P P k O C O C = = . Do đó . 'OM OM k= suy ra đpcm. Định lí 3. Đối với một phép nghịch đảo ( , )f O k bất kì , hai điểm A, B không thẳng hàng với cực nghịch đảo, cùng với ảnh của chúng là ' ( ), ' ( )A f A B f B= = củng nằm trên một đường tròn. Chứng minh Vì . ' . 'OAOA OBOB k= = nên bốn điểm , ', , 'A A B B Cùng nằm trên một đường tròn. Định lí 4. Tích của hai phép nghịch đảo có cùng cực là ( , )f O k và '( , ')f O k là một phép vị tự tâm O tỉ số 'k k . Chứng minh Nếu phép nghịch đảo ( , )f O k biến M thành 'M và phép nghịch đảo '( , ')f O k biến 'M thành "M thì: . ' , '. " 'OM OM k OM OM k= = . Do đó suy ra " ' ' OM k k OM = . Vậy tích của hai phép nghịch đảo đó là phép vị tự tâm O tỉ số 'k k . Nói chung tích của hai phép trên không có tính chất giao hoán trừ trường hợp 'k k= . Hệ quả. Hình dạng ảnh của một hình H trong một phép nghịch đảo không phụ thuộc vào phương tích nghịch đảo mà chỉ phụ thuộc vào vị trí cực nghịch đảo. Thật vậy giả sử 1 H là ảnh của H trong phép nghịch đảo 1 1 ( , )f O k và 2 H là ảnh của hình H trong phép nghịch đảo 2 2 ( , )f O k , khi đó: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ), ( ) ( ) ( )H f H H f H H f H f H − = = ⇒ = = . Do đó: ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( )H f f H f f H V H     = = =o . Với V là một phép vị tự . Do đó 1 H và 2 H là hai hình đồng dạng. Định lí 5. Cho hai điểm A, B và ảnh ', 'A B của chúng trong một phép nghịch đảo cực O, phương tích k. Độ dài các đoạn thẳng AB và ' 'A B lien hệ với nhau bởi hệ thức. ' ' . AB A B k OAOB = ' ' . AB A B k OAOB = Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 4 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Chứng minh Ta xét hai trường hợp: a) Ba điểm O, A, B không thẳng hàng Ta có . ' . 'OAOA OBOB= hay ' ' OA OB OB OA = . Vậy hai tam giác OAB và ' 'OB A đồng dạng nên: ' ' ' '. . . A B OA OA OA k AB OB OAOB OAOB = = = Do đó: ' ' . AB A B k OAOB = ' ' . AB A B k OAOB = . b) Ba điểm O, A, B thẳng hàng: Khi đó ta có ( ) ' ' ' ' ; ' ' . . . OA OB k k AB A B OB OA A B k k OB OA OAOB OAOB − − = − = − = = Lấy trị số tuyệt đối hai vế ta có: ' ' . AB A B k OAOB = . SỰ BẢO TỒN GÓC QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 5 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng 1. Định nghĩa. Cho hai đường cong ( ) 1 C và ( ) 2 C cắt nhau tại một điểm A và tại đó chúng có các tiếp tuyến. Ta gọi góc giữa hai tiếp tuyến đó là góc của hai đường cong đã cho tai điểm A. 2. Bổ đề. Cho phép nghịch đảo ( , )f O k biến đường cong ( ) C thành đường cong ( ) 'C . Nếu A, 'A là hai điểm tương ứng trên ( ) C , ( ) 'C và tại đó chúng có các tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực của đoạn thẳng 'AA . Chứng minh Ta lấy trên ( ) C , ( ) 'C hai điểm tương ứng M và 'M khá gần A và 'A sao cho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M tiến dần tới A. Bốn điểm A, M, 'M , 'A luôn luôn thuộc một đường tròn (K) và theo hệ thức: ' ' . MA M A k OAOM = Khi điểm M đến trùng với A thì điểm 'M đến trùng với 'A . Khi đó các cát tuyến AM và ' 'A M của Các đường tròn ( ) C và ( ) 'C đến trùng với các tiếp tuyến At và ' 'A t của chúng ở A và 'A . Gọi (K 0 ) là đường tròn đi qua bốn điểm A, M, 'M , 'A ở vị trí tiếp xúc , thì (K 0 ) sẽ tiếp xúc với ( ) C và ( ) 'C tại A và 'A . Khi đó các tiếp tuyến At và ' 'A t đồng thời cũng là tiếp tuyến của đường tròn (K 0 ) đi qua A, 'A nên các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua đường trung trực của dây 'AA . 3. Định lí. Phép nghịch đảo bảo tồn góc. Chứng minh Giả sử qua phép nghịch đảo f, hai đường cong (C) và (D) cắt nhau tại một điểm A biến thành các đường cong ( ')C và ( ')D cắt nhau tại điểm ' ( )A f A= . Theo bổ đề các tiếp tuyến At và ' 'A t của (C) và ( ')C tại A và 'A đối xứng với nhau qua đường trung trực D của đoạn 'AA . Tương tự các tiếp tuyến Au và ' 'A u của (D) và ( ')D tại A và 'A cũng đối xứng nhau Qua d . Vậy hai góc ( , )At Au và ( ' ', ' ')A t A u đối xứng nhau qua d nên chúng có độ lớn hình học bằng nhau nhưng ngược hướng. Ta có ( ' ', ' ') ( , )A t A u At Au= − . ẢNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN QUA PHÉP NGHỊCH ĐẢO Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 6 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Từ định nghĩa, ta suy ra rằng phép nghịch đảo biến mỗi đường thẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính đường thẳng đó. Còn đối với đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo thì ảnh của nó được xác định bởi các định lí sau đây. 1. Định lí 1. Phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo O thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo trừ điểm O. Ngược lại một đường tròn đi qua cực nghịch đảo O (trừ điểm O) thì có ảnh là một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo đó. Chứng minh Giả sử d là một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo O. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d và 'H là ảnh của H qua phép nghịc đảo ( , )f O k . Ta có: . 'OH OH k= Ta lấy một điểm M khác với H và giả sử ' ( )M f M= . Vì bốn điểm , ', , 'M M H H cùng thuộc một đường tròn nên: ( , ') ( ' , ' ')HM HH M M M H= Vì ( , ') 2 HM HH π = nên ( ' , ' ') 2 M M M H π = . Do đó 'M nằm trên đường tròn tâm I đường kính 'OH . Khi M chạy trên đường thẳng d thì điểm ' ( )M f M= chạy trên đường tròn tâm I nói trên, trừ điểm O. Vậy ảnh của d là đường tròn (I) trừ điểm O. Phần ngược lại của định lí được chứng minh tương tự. Chú ý. Gọi 'I là ảnh của tâm I của đường tròn đường kính OH ta có : . ' . ' .2OI OI OH OH OH OI= = . Do đó ' 2OI OH= . Hệ quả. Nếu đường tròn tâm I biến thành đường thẳng d thì tâm I của nó biến thành điểm đối xứng 'I của cực nghịch đảo O qua d. 2. Định lí 2. Một đường thẳng và một đường tròn có thể xem là ảnh của nhau trong hai phép nghịch đảo, nếu đường thẳng không tiếp xúc với đường tròn. Chứng minh Cho đường tròn (I) và đường thẳng d không tiếp xúc với (I). Kẻ đường kính AB của đường tròn (I) vuông góc với d tại H. Ta có hai phép nghịch đảo: Với phép nghịch đảo cực A ta có .AH AB k= Với phép nghịch đảo cực B ta có . 'BH BA k= Cả hai phép nghịch đảo này đềubiến đường thẳng d thành đường tròn tâm I và ngược lại . Chú ý. Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm I, giả sử d tiếp xúc với đường tròn tai B. ( nghĩa là H Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 7 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Trùng với B ) thì ta chỉ có một phép nghịch đảo cực A với phương tích 2 . 'AM AM AB= biến đường tròn thành đường thẳng và ngược lại. 3. Định lí 3. Qua một phép nghịch đảo, một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo O biến thành một đường tròn không đi qua điểm O đó. Chứng minh Cho phép nghịch đảo ( , )f O k và một đường Tròn tâm I không đi qua O, ta hãy tìm ảnh của đường tròn (I) qua phép nghịch đảo f đã cho. Lấy một điểm M trên đường trỏn tâm I và giả sử ' ( )M f M= . Ta có . 'OM OM k= (1) Gọi p là phương tích của điểm O đối với đường tròn tâm I ta có: .OM ON p= (2) Chia (1) cho (2) ta có 'OM k p ON = hay ' k OM ON p = . Hệ thức trên chứng tỏ rằng 'M là ảnh của N qua phép vị tự V tâm O, tỉ số vị tự k p λ = . Khi điểm M vạch nên đường tròn (I) thì điểm N cũng vạch nên đường tròn đó, còn điểm 'M là ảnh của M trong phép vị tự O V λ vạch nên đường tròn ( ')I . Vậy đường tròn ( ')I là ảnh của đường tròn (I) trong phép vị tự O V λ . Do đó ảnh của đường tròn (I) qua phép nghịch đảo ( , )f O k là đường tròn ( ')I . Vì điểm O không thuộc đường tròn (I) nên điểm O cũng không thuộc đường tròn ( ')I . Vậy ảnh của đường tròn (I) trong phép vị tự O V λ trùng với ảnh của đường tròn đó trong phép nghịch đảo ( , )f O k . Tuy nhiên nếu xét từng điểm, thì không phải ảnh của một điểm M qua phép vị tự O V λ và phép nghịch đảo ( , )f O k đều như nhau. Ví dụ như hình trên ta có: ( ) 'V M N= và ( ) 'V N M= Còn ( ) 'f M M= và ( ) 'f N N= PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỐI VỚI HAI ĐƯỜNG TRÒN Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 8 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Ta biết rằng qua một phép nghịch đảo ( , )f O k một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo O có ảnh là một đường tròn và cực nghịch đảo là tâm vị tự của hai đường tròn đó. Ngược lại nếu cho trước hai đường tròn ( , )C I R và '( ', ')C I R , ta hãy xét xem chúng có thể là ảnh của nhau qua một phép nghịch đảo nào đó hay không. Ta hãy xét các trường hợp sau: 1. Trường hợp tổng quát Trường hợp hai đường tròn ( )C và ( ')C không bằng nhau và không tiếp xúc nhau, có hai phép vị tự 'R R O V và ' ' R R O V − biến đường tròn ( )C thành đường tròn ( ')C . Các tâm vị tự O và 'O không nằm trên hai đường tròn đó. Khi đó có hai phép nghịch đảo biến ( )C thành ( ')C . a) Phép nghịch đảo tâm O với phương tích 'R k p p R λ = = trong đó p là phương tích của điểm O đối với đường tròn (C). b) Phép nghịch đảo tâm 'O với phương tích ' ' ' R k p R = − trong đó 'p là phương tích của điểm 'O đối với đường tròn (C). 2. Các trường hợp đặc biệt a) Nếu hai đường tròn (C) và ( ')C không bằng nhau và không tiếp xúc nhau thì có một phép vị tự tâm 'O biến đường tròn này thành đường tròn kia . Do đó ta chỉ có một phép nghịch đảo cực 'O với phương tích ' '' R p R k = − , trong đó 'p là phương tích của điểm 'O đối với đường tròn (C) (bằng phương tích của điểm 'O đối với đường tròn ( ')C ). b) Nếu hai đường tròn (C) và ( ')C tiếp xúc nhau tại điểm A nhưng không bằng nhau thì tiếp điểm là tâm vị tự nhưng không phải là cực nghịch đảo và chỉ có tâm vị tự còn lại là cực O của phép nghịch đảo. Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 9 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng c) Nếu hai đường tròn (C) và ( ')C bằng nhau và tiếp xúc với nhau thì không có phép nghịch đảo nào biến đường tròn này thành đường tròn kia. Chú ý. Giả sử phép nghịch đảo ( , )f O k biến đường tròn (C) thành đường tròn ( ')C thì tâm I của đường đường tròn (C) không biến thành tâm 'I của đường tròn ( ')C . Gọi ( )J f I= , muốn tìm J ta vẽ qua I một đường thẳng d bất kì và như vậy d vuông góc với (C) . Vì d không đi qua cực O nên ' ( )d f d= là đường tròn đi qua O và trực giao với đường tròn ( ') ( )C f C= . Đường kính AB của đường tròn ( ')C đi qua O cắt đường tròn d’ tại J và O. Ta có A, B, J, O là một hàng điểm điều hòa vì 'd trực giao với đường tròn ( ')C . Vậy ta có ( ) 1ABJO = − và O, J là hai điểm lien hợp đối với đường tròn ( ')C . ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 10 [...]... 17 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng -Đề tài: Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng -Tác giả: Trương Thái Ngọc Nội dung -Đặt vấn đề -Biện pháp -Kết quả phổ biến, ứng dụng -Tính khoa học -Tính sáng tạo Xếp loại chung: Ngày tháng năm Tổ trưởng Xếp loại Nội dung -Đặt vấn đề -Biện pháp -Kết quả phổ biến, ứng dụng -Tính khoa học -Tính sáng tạo Xếp...Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Do phép nghịch đảo có khả năng biến đường tròn thành đường thẳng nên người ta khai thác khả năng này của phép nghịch đảo để giải toán Muốn vậy, trong các bài toán người ta thường chọn cực nghịch đảo là giao điểm của một số đường tròn và các tính chất được đề cập đến phải là các bất biến của phép nghịch đảo như độ lớn của góc,... Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Đã trình bày được một hệ thống lí thuyết về phép nghịch đảo tương đối đầy đủ và rõ ràng Và đã áp dụng được phép biến hình này để giải một số bài tập khó một cách nhanh chóng và hiệu quả Đối với học sinh, đã cung cấp cho các em một phương pháp mới, một hướng giải mới đối với một số dạng bài tập hình học phẳng Giúp các em tự tin,... thành đường thẳng KH vì nó đi qua cực nghịch đảo A Mặt khác qua phép nghịch đảo f này biến tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua cực nghịch đảo A nên biến thành chính nó Do đó tiếp tuyến này song song với KH vì phép nghịch đảo bảo tồn góc Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 11 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Ví dụ 3 Cho một đường tròn... hiện được những lí thuyết của phép nghịch đảo, cũng như cung cấp cho học sinh một số kĩ năng cần thiết khi vận dụng phép biến hình này để giải toán Trong thời gian tới, tôi tiếp tục nghiên cứu phép biến hình này và tìm nhiều hơn nửa những dạng bài tập có thể áp dụng phép biến hình nghịch đảo để giải Rất mong quí đồng nghiệp tham khảo và cho tôi những ý kiến đóng góp, để bài viết được hoàn chỉnh hơn... 14 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng B, C và (C1 ) , (C2 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại D Tiếp tuyến chung trong của (C1 ) và (C2 ) cắt (C ) tại hai điểm A và E Đường thẳng AB cắt (C1 ) tại điểm thứ hai M, đường thẳng AC 1 1 2 + = cắt (C2 ) tại điểm thứ hai N Chứng minh rằng: DA DE MN Giải Do AD 2 = AM AB = AN AC Nên phép nghịch đảo f cực A phương tích AD... Trong đó có một học sinh được chọn vào đội tuyển học sinh giỏi thi vòng quốc gia của tỉnh IV KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỀ TÀI Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 16 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Do năng lực bản thân còn hạn chế, do không có nhiều nguồn tư liệu tham khảo cho nên tôi cũng chưa khai thác thật sâu, nhiều vấn đề của phép nghịch đảo Tuy nhiên... nằm trong đường tròn (O, R) Một dây AB đi động quanh I Tìm tập hợp giao điểm M của hai tiếp tuyến tai A, B với đường tròn Giải Đặt k = R 2 Xét phép nghịch đảo cực O Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 12 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Phương tích k Ta có: Đường tròn (O, R) biến thành chính nó Hai tiếp tuyến tại A và B biến thành hai đường tròn đường... Giải Gọi I và O là tâm vòng tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 13 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng ABC D, E, F là tiếp điểm của vòng tròn nội tiếp với BC, CA, AB Thực hiện phép nghịch đảo qua đường tròn nội tiếp Thì A, B, C biến thành A ', B ', C ' là trung điểm các dây Cung EF, FD, DE Đường tròn A ', B ', C ' có bán... hơn khi học phần hình học phẳng Từ đó làm tăng thêm khả năng sáng tạo, tự tìm tòi học tập đối với học sinh Qua một thời gian giảng dạy cho đội tuyển Học sinh giỏi của trường, kết quả đạt được tương đối khả quan Trong kì thi Học sinh giỏi vòng tỉnh nằm 2012-2013 Đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường do tôi phụ trách đã đạt được kết quả tương đối cao: Có hai giải khuyến khích, hai giải ba và một giải . ')C . ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NGHỊCH ĐẢO ĐỂ GIẢI TOÁN Trường THPT Trần Văn Thời Trương Thái Ngọc 10 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Do phép nghịch đảo có. Trương Thái Ngọc 17 Sáng kiến kinh nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng -Đề tài: Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng -Tác giả: Trương Thái Ngọc Nội dung. nghiệm Ứng Dụng Phép Nghịch Đảo Để Giải Toán Hình Học Phẳng Đã trình bày được một hệ thống lí thuyết về phép nghịch đảo tương đối đầy đủ và rõ ràng. Và đã áp dụng được phép biến hình này để giải