Dùng phép tịnh tiến để giải toán

Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI TOÁN Giảng viên hướng dẫn Sinh viên thực Lớp : Th.S PHAN THỊ QUẢN : Trần Ngọc Anh Huy : 15ST Đà Nẵng Tháng năm 2019 Trang Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, tri ân sâu sắc đến Cô Ths Phan Thị Quản - Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tạo điều để em nghiên cứu thực đề tài khóa luận Cơ giáo viên nghiêm khắc tận tâm với học trò mà em gặp Em xin cảm ơn cô Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến q thầy, khoa Tốn phịng Đào Tạo trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng tạo điều kiện giúp đỡ em trình làm khóa luận Mặc dù cố gắng biên soạn rà sốt lỗi song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy sửa lỗi, dánh giá, góp ý để khóa luận kiến thức em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, ngày 20 tháng 01 năm 2018 Trần Ngọc Anh Huy Trang Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản Mục Lục MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 PHÉP BIẾN HÌNH 1.2 PHÉP DỜI HÌNH 1.3 PHÉP TỊNH TIẾN CHƯƠNG II: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ DESCARTES 11 2.1 BÀI TỐN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM ( QUỸ TÍCH) 11 2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ 18 2.3 MỘT SỐ BÀI TỐN DỰNG HÌNH 21 CHƯƠNG III: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TOÁN 28 GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ 28 3.1 XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ QUA PHÉP TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ 29 3.2 ỨNG DỤNG CHUYỂN HỆ TỌA ĐỘ 30 3.3 XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH 37 3.4 MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN 41 3.5 DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 47 3.6 MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 52 Trang Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến hình cơng cụ quan trọng tốn học nói chung hình học nói riêng Các phép biến hình đóng góp lớn khơng ý nghĩa ban đầu hình học mà có có tầm ảnh hưởng đến lĩnh vực đại số giải tích Trong chương trình mơn Tốn phổ thơng nước ta nay, vai trị tầm quan trọng phép biến hình ngày thể rõ ràng sâu sắc không lý thuyết, mà thực hành giải tập Các phép biến hình cơng cụ đơn giản đầy hiệu lực việc giải toán Trong phép biến hình, phép tịnh tiến đóng góp phần khơng nhỏ việc phơi thai ý tưởng hình thành nên móng ban đầu hình học tọa độ Phép tịnh tiến vận dụng để giải hình học quỹ tích, dựng hình, chứng minh tính chất hình học đồng thời tảng ý tưởng để giải vấn đề giải tích đại số Tuy nhiên, việc vận dụng phép tịnh tiến để giải tốn khơng phải việc dễ dàng học sinh sinh viên Vì em định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Dùng phép tịnh tiến để giải tốn.” Trong khn khổ khóa luận tốt nghiệp, em xin trình bày kiến thức phép tịnh tiến ứng dụng việc giải lớp tốn hình học phẳng, hình học tọa độ, giải tích đại số Mục đích nghiên cứu - Hệ thống, tóm tắt kiến thức phép tịnh tiến - Hệ thống lớp tập liên quan đến phép tịnh tiến phương pháp chung để giải chúng - Phục vụ công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu phép tịnh tiến - Phạm vi nghiên cứu: + Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 9/2018 đến tháng 1/2019 + Nội dung nghiên cứu: hình học phẳng, hình học tọa độ Descartes, hàm số đồ thị, phương trình, bất đẳng thức Trang Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản Phương pháp nghiên cứu - Phân tích tổng hợp - Hệ thống phân loại tập Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dưng hệ thống tập quỹ tích, dựng hình, hình học tọa độ, đồ thị hàm số số toán đại số xử lý phép tịnh tiến Từ giúp người đọc có nhìn đa dạng ứng dụng phép tịnh tiến giải toán Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương sau: Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ DESCARTES Chương DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TỐN GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ Trang Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Trong mặt phẳng, có quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, ta xác định điểm M′ thuộc mặt phẳng quy tắc gọi Phép biến hình M’ gọi ảnh M qua phép biến hình  Nếu gọi phép biến hình f M′ ảnh M qua f ta viết là: M '  f (M ) f (M )  M ' Khi ta cịn nói: Phép biến hình f biến điểm M thành điểm M′  Xét hình  , ta gọi  ' gồm điểm: M '  f (M ) với M  Ta nói  ' ảnh  qua phép biến hình f Kí hiệu:  '  f (  ) 1.1.2 Điểm bất động phép biến hình Định nghĩa 1.1.2 Cho điểm M nằm mặt phẳng Một phép biến hình f biến M thành M gọi điểm bất động phép biến hình f  Kí hiệu: M  f (M ) 1.1.3 Tích phép biến hình Định nghĩa 1.1.3 Trong mặt phẳng cho hai phép biến hình f g Với điểm M, qua phép biến hình f : M  M ' g : M '  M '' Phép biến trực tiếp điểm M  M '' phép biến hình mặt phẳng, lúc ta gọi phép biến hình tích hai phép biến hình cho Kí hiệu : g f : M  M '' g  f  : M  M '' Gọi phép biến hình h biến điểm M thành M′′, tích hai phép biến hình f g Vậy ta có: M ''  h  M   g  f  M   , M  M ''   g f  M  1.1.4 Tính chất tích phép biến hình i Kết hợp, tức là: Trang Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp f3 ii  f2 GVHD: Th.S Phan Thị Quản f1    f f  f1  f f f1 Tích phép biến hình khơng giao hốn Tức là: f f1  f1 f Tích hai phép biến hình (nếu phép biến hình song ánh) nghịch đảo phép đồng Tức là: iii f11 f1  f1 f11  Id 1.1.5 Xác định ảnh hình Định nghĩa 1.1.5  Hình tập hợp điểm mà điểm xếp theo quy định  Định nghĩa ảnh hình qua phép biến đổi hình học: Trong mặt phẳng cho phép biến đổi f hình  Tập hợp ảnh điểm thuộc  phép biến đổi lập thành hình  ′, gọi ảnh hình  Và kí hiệu là: f :    ' (đọc f biến  thành  ′) Ví dụ Một điểm tập hợp gồm n điểm xếp theo quy tắc hình Đa giác đường gấp khúc phẳng khép kín, nghĩa gồm đoạn thẳng nối tiếp (mỗi điểm nối đầu mút vừa hai đoạn thẳng) nằm mặt phẳng khép kín (điểm nối đầu trùng với điểm nối cuối) Tia nửa đường thẳng có chiều xác định hình Ngồi ra: đường tròn, đường cong miền phẳng bao bọc đường cong kín hình Hoặc tập hợp rỗng xem hình i ii iii 1.2 PHÉP DỜI HÌNH 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Phép dời hình phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm Tức là: Cho phép biến hình f Nếu với cặp điểm A, B thuộc mặt phẳng, khoảng cách hai điểm A B khoảng cách điểm ảnh qua phép biến hình f Vậy phép biến hình phép dời hình Khi đó, f : A  A ' B  B ' AB  A ' B ', A, B Trang Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản 1.2.2 Tính chất i Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự ba điểm ii Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó, biến tia thành tia, biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính iii Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động khơng thẳng hàng f phép đồng 1.3 PHÉP TỊNH TIẾN 1.3.1 Định nghĩa Định ngĩa 3.1.1 Cho véc-tơ u  Với điểm M mặt phẳng ta dựng điểm M’ cho: MM '  u Khi ta nói M’ ảnh M qua phép tịnh tiến theo véc-tơ u Kí hiệu: Tu : M  M ' , u gọi véc-tơ tịnh tiến 1.3.2 Tính chất  Tính chất Phép biến đổi Tu với u  khơng có điểm bất động  Tính chất Phép biến đổi Tu song ánh có phép nghịch đảo Đó phép tịnh tiến T u    Tính chất Nếu A’, B’ ảnh hai điểm A B phép tịnh tiến Tu A ' B '  AB (bảo tồn khoảng cách hai điểm bất kỳ.)  Tính chất Phép biến đổi Tu biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho, biến tam giác thành tam giác tam giác cho, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính  Tính chất Tích hai phép biến đổi Tu Tv với u v khác phép tịnh tiến mà véc-tơ tịnh tiến u  v  Tính chất Tích hai phép đối xứng tâm với hai tâm phân biệt phép tịnh tiến  Tính chất Tích phép đối xứng tâm DA phép tịnh tiến Tu  u   phép đối xứng tâm tâm M phép biến đổi xác định hệ thức: 2.AM  u  Chứng minh tính chất 7: Trang Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản Gọi A tâm đối xứng Véc-tơ tịnh tiến véc-tơ u  DF Ta chứng minh với điểm B mặt phẳng Phép biến hình đối xứng tâm DA biến điểm B thành điểm B’: DA : B  B ' ( B ' B  AB ) Phép tịnh tiến Tu biến điểm B ' thành điểm B '' : Tu : B '  B '' ( B ' B ''  DF ) Ta phải chứng minh AM  u  DF  B ' B '' Thật vậy: M tâm phép đối xứng tâm DM biến điểm B thành điểm B '' , M trung điểm đoạn thằng BB '' ( BB ''  2.BM ) Ta có: B ' B ''  DF  B ' B  BB ''  DF  AB  2.BM  DF    AB  BM  DF  AM  DF  dpcm  1.3.3 PHÉP TỊNH TIẾN TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ DESCARTES 1.3.3.1 Trang Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp Phép tịnh tiến Tu GVHD: Th.S Phan Thị Quản với u  (a; b) biến điểm M ( x; y) thành điểm M '( x '; y ') : Tu : M  M ' Khi đó, biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Tu điểm M x '  x  a M '  Tu  M    y'  y  b 1.3.3.2 Phép tịnh tiến hệ tọa độ công thức chuyển hệ tọa độ Gọi I điểm mặt phẳng ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm I hệ tọa độ Oxy Gọi IXY hệ tọa độ có gốc điểm I trục IX, IY theo thứ tự có véc-tơ đơn vị i , j với hai trục Ox, Oy Giả sử M điểm mặt phẳng Gọi ( x; y) tọa độ điểm M hệ tọa độ Oxy ( X ;Y ) tọa độ điểm M hệ tọa độ IXY OM  OI  IM  x  X  x0   y  Y  y0 Hệ thức gọi công thức chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo véc-tơ OI 1.3.4 PHÉP TỊNH TIẾN ĐỐI VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ Tịnh tiến đồ thị Trên hệ trục tọa độ Descartes Oxy với véc-tơ đơn vị i  (1;0) j  (0,1) Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) Cho hàm số g ( x)  f ( x  p)  q có đồ thị (C’) Khi (C’) ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo véc-tơ u  p.i  q j , tức là: Tu  (C )    C ' Trang 10 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản Hình chữ nhật ABCD có AC = a + 1; AD  a nên: Bài toán Cho hai phương trình đường elip ( F1 ) : ( x  7)2 ( y  5) ( x  7) ( y  5) ( F ) :     1 502 482 302 282 Tính phần diện tích bị giới hạn hai đường elip Ta tiến hành tịnh tiến hai hình elip theo véc-tơ u   7;5  để tâm hai elip trùng với gốc tọa độ Như thuận tiện cho việc tính tốn hơn, đó, hai phương trình elip trở thành: ( x) ( y ) ( x) ( y ) ( E1 ) :   ( E2 ) :   48 28 50 30 Trang 42 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản Gọi S diện tích phần hình bị giới hạn hai hình elip, đó: Trang 43 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản 3.4.2 Tính thể tích khối trịn xoay Cơng thức cho ta cơng cụ tính tốn miền (D) xoay quanh trục tung trục hoành Khi xử lý tốn tính thể tích khối trịn xoay hình phằng quay xung quanh trục Ta dùng phép tịnh tiến đưa trục trục tung trục hoành để thuận tiện cho việc tính tốn 3.4.2.1 Bài tập Bài tốn 2 x  x2  Tính thể ; y  l ( x )   x2 tich khối tròn xoay thu tạo thành quay D xoay quanh đường thẳng y  2 ? Cho D miền phẳng giới hạn đường: y  h( x)  Ta sử dụng véc-tơ tịnh tiến u  (0;2) biến đường thẳng y  2 trở thành đường thằng y  0. x      y  , trục hồnh (ta tịnh tiến hai đồ thị lên đơn vị) Trang 44 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp Ảnh h(x) l(x) qua phép tịnh tiến GVHD: Th.S Phan Thị Quản Tu  2 x   2 x  1 f ( x)  Tu  h( x)   Tu   2   x2  1 x  1 x  x2   x2  x2 g ( x)  Tu  l ( x)   Tu  2  2   Bây ta tính thể tích miền phẳng D giới hạn đường f(x) g(x) quay quanh trục hồnh Trang 45 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản Bài toán 2 Cho D miền phẳng giới hạn đường: y  h( x)  x  ; y  l ( x)  x  x  16 Tính thể tich khối trịn xoay thu tạo thành quay D xoay quanh đường thẳng x  ? Ta sử dụng véc-tơ tịnh tiến u  (4;0) biến đường thẳng x   y   x  trở thành đường thằng y  1. x   4     x  , trục tung (Ta tịnh tiến hai đồ thị sang bên trái đơn vị) Ảnh h(x) l(x) qua phép tịnh tiến Tu f ( x)  Tu  h( x)   Tu  x    x    x g ( x)  Tu  l ( x)   Tu  x  x  16    x     x    16  x 2 Bây ta tính thể tích miền phẳng D giới hạn đường f(x) g(x) quay quanh trục tung Trang 46 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 3.5 Phương pháp Đối với nhiều tốn phương trình, việc tịnh tiến ẩn ban đầu thành ẩn thu toán đơn giản tốn gốc, từ việc giải dễ dàng X  x  a Y  y  b Tịnh tiến ẩn:  Bài tốn Giải hệ phương trình sau tập R x  y     y  12 y  12  xy  12 xy  18 y  12 x  82 y  78  y   x   Điều kiện: x  7 Phương trình tương đương x   y    3 y     3xy  xy  y  x  28 y  28    y    y   x7  x   y    3 y    3 x    y  y     y    y   x7  x   y    3 y     x   y     y    y   x7  X  x  , X  , phương trình trở thành Y  y  Đặt  Trang 47 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản X  Y X  Y     X 3Y 3Y 2  XY  Y   XY  Y   X  Y   X  X  X  Y  X  Y X  Y    2  X  X Y  XY  Y   X  Y   Y  X X  X   Y  X   X   x  6   Y    y  1    X  1  x  8   Y      y  3   x; y    6; 1   x; y    8; 3  Vậy  Bài toán Giải hệ phương trình sau tập R  x2  x  y     x y7 log  x  14   12 x  y  42    Điều kiện: x  2, x y7 0 x  14 Phương trình tương đương  x  2  y     x  2   y  4    log   12  x     y    10  2 x       X  x  , X  , phương trình trở thành Y  y  Đặt  Trang 48 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản Y  X X  Y     X2  X 5   X Y 5   2 X  12 X  10   12 X  2Y  10 log  log  X 7X       Y  X  2 log  X  X  5  log  X   2 X  12 X  10( X  X   0, X ) Y  X  2 log  X  X  5  2. X  X  5  log  X   2. X  (*) Xét hàm số f (t )  log t  2t , D   0;   Có đạo hàm f '(t )  Do hàm số f (t )   0, t   0;   t.ln đồng biến  0;    Phương trình (*) tương đương f X  X   f  X  , Nên: X  X   7X  X  6X    X  x      Y  X   y  3  X 5 x       Y  X  25  y  21 Thử lại cặp nghiệm (x; y) vào hệ phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn   x; y   3; 3    x; y    7;21  Vậy  Bài toán Giải hệ phương trình sau tập R  x  y   x  y  4 x  12 x  x   xy  y Phương trình tương đương Trang 49 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản  x  12   y  2   4 x  12 x  x   xy  y  x   x  12   y  2   4  x  3x  3x  1   x  1  y  x  1   x  1  x  12   y  2   4  x  1   x  1   x  1 y   X  x 1 Y  y  Đặt  Phương trình trở thành  X  Y   4 X  X  XY Đến đây, ta tìm cách ẩn Y ẩn X phương trình vào phương trình hai rắc rối Để ý phương trình một, X  Y  1, cho ta ý tưởng lượng giác hóa  X  cos t , t  0;2  , phương trình trở thành Y  sin t  Tiến hành đặt:  cos t  sin t   4cos t  3cos t  2.cos t.sin t cos t  sin t  2 cos t  sin t       cos3 t  cos  t cos3 t  sin t     2      k 2  t   t  k  t  10      t     k 2 3t    2t  k 2   2 Vì t   0;2  nên Trang 50 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp  0.2   t     10 10  t    1.2    10  t3    2.2  9 10 10    3.2 13  t   10 10    4.2 17 t   10   10  t     1.2  3  2 GVHD: Th.S Phan Thị Quản     X  cos x  cos 1   10  10     Y  sin  y  sin      10 10      X  cos  x  cos 1         y  sin    Y  sin  2    9 9    X  cos x  cos 1    10 10    9  y  sin 9   Y  sin  10 10    13 13  x  cos 1   X  cos   10 10   13    y  sin 13  Y  sin    10 10  17 17   X  cos x  cos 1    10 10   17   Y  sin  y  sin 17     10 10  3    X  cos 3 x  cos 1       3   y  sin 3   Y  sin  2   Thử lại cặp nghiệm (x; y) vào hệ phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn Trang 51 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp 3.6 GVHD: Th.S Phan Thị Quản MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp Một số toán bất đẳng thức cho ẩn thuộc đoạn  a, b  đó, ta tiến hành tịnh tiến ẩn cách đặt ẩn phụ t  x  a, u  y  b Khi ta đưa tốn biểu thức dễ dàng thao tác 3.6.1 Bài tập Bài toán  x2  y  z    a  b2  c2  Dấu đẳng thức có x  1, y  1, z  hay a  2, b  0, c  trường hợp hoán vị Vậy, ta chứng minh xong bất đằng thức ban đầu Nhận xét: Ở toán này, giữ nguyên ẩn a, b, c ban đầu để tiến hành giải tốn hồn tồn thu kết quả, song việc chứng minh lằng nhằn Đặc biệt đẳng thức (1  x)(1  y )(1  z )  (1  x)(1  y )(1  z )    xy  yz  zx  dễ sử dụng nhiều x, y, z   1;1 Trang 52 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản Bài toán Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x  1, y  2, z  y  z  Chứng minh rằng:  x  1 y  1 z  1  xyz Đề cho ta kiện nên dấu đẳng thức xảy trường hợp ba biến dù biểu thức đối xứng Dự đoán dấu xảy (x, y, z) = (1, 2, 3) Ta tiến hành tịnh tiến ẩn Bài tốn Ta khơng thiết phải tịnh tiến ẩn x, y, z ẩn phụ x’ = x – 1, y’ = y – 2, z’ = z – Song ý tưởng việc tịnh tiến ẩn cho ý tưởng giải toán cách đơn giản Dấu xảy x = 1, y = 2, z = Trang 53 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp Trang 54 GVHD: Th.S Phan Thị Quản Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản KẾT LUẬN Khóa luận đạt số kết sau: Khai thác phép tịnh tiến ứng dụng để giải tốn quỹ tích, dựng hình, hình học tọa độ, đồ thị hàm số số toán đại số Tạo niềm đam mê tìm tịi sáng tạo giải toán Đã hệ thống phân loại dạng toán từ dễ đến khó với nhiều ví dụ minh họa áp dụng phương pháp giải toán phong phú kèm tập tiêu biểu Kết đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán trường phổ thông Trang 55 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy Khóa Luận Tốt Nghiệp GVHD: Th.S Phan Thị Quản TÀI LIỆU THAM KHẢO      Bộ sách giáo khoa lớp 10, 11 Bộ sách tập lớp 10, 11 Tài liệu chun tốn hình học lớp 11 Đoàn Quỳnh (chủ biên), nxb giáo dục 500 tốn chọn lọc hình học đại số Lê Hồnh Phò, nxb đại học Quốc Gia Một số tài liệu tham khảo diễn đàn toán học Việt Nam Trang 56 Sinh Viên: Trần Ngọc Anh Huy ... Phép tịnh tiến vận dụng để giải hình học quỹ tích, dựng hình, chứng minh tính chất hình học đồng thời tảng ý tưởng để giải vấn đề giải tích đại số Tuy nhiên, việc vận dụng phép tịnh tiến để giải. .. số toán đại số xử lý phép tịnh tiến Từ giúp người đọc có nhìn đa dạng ứng dụng phép tịnh tiến giải toán Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương sau: Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương DÙNG PHÉP TỊNH... hai phép biến đổi Tu Tv với u v khác phép tịnh tiến mà véc-tơ tịnh tiến u  v  Tính chất Tích hai phép đối xứng tâm với hai tâm phân biệt phép tịnh tiến  Tính chất Tích phép đối xứng tâm DA phép