Ứng dụng phép biến hình để giải toán quỹ tích

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH 1. BÀI TOÁN QUỸ TÍCH BÀI TOÁN: TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM M CÓ TÍNH CHẤT T, KÝ HIỆU M(T) Sơ đồ giải quyết bài toán: + Tìm phép biến hình F biến biến điểm N(T') thành điểm M(T) + Tìm quỹ tích điểm N(T') (thông thường quỹ tích điểm N(T') là đã cho hoặc là quỹ tích cơ bản). Giả sử quỹ tích N(T') là hình (H) + Phép biến hình F biến hình (H) thành hình (H') + Kết luận quỹ tích điểm M(T) là hình (H') CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O) có tâm là O. Điểm A di động trên (O). Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC (giải bằng 3 phép biến hình khác nhau) Bài 2: Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định và đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm quỹ tích trực tâm của tam giác MNQ (giải bằng 2 phép biến hình khác nhau) Bài 3: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (O). Tìm quỹ tích điểm M' sao cho Bài 4: Cho hai điểm A, B và đường tròn (O) không có điểm chung với đường thẳng AB. Qua mỗi điểm M thay đổi trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN. Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định. Bài 5: Cho đường thẳng a và điểm G cố định, không nằm trên a. Điểm A chạy trên a, ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai đỉểm B và C. MỞ RỘNG BÀI TOÁN: 1) Dựng hình vuông ABCD có tâm G 2) Thay đường thẳng a bằng đường tròn (O) Bài 6: Cho đường tròn (O) và điểm I không nằm trên (O). Với mỗi điểm A thay đổi trên (O), ta dựng hình vuông ABCD có tâm I. Tìm quỹ tích các điểm B, C, D Bài 7: Cho nữa đường tròn (O) đường kính AB cố định, điểm C chạy trên nữa đường tròn đó. Trên tia AC lấy điểm M sao cho AM=BC. Tìm quỹ tích điểm M. Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và đỉểm M thay đổi trên (O). Gọi M 1 là điểm đối xứng với M qua A, M 2 là điểm đối xứng với M 1 qua B, M 3 là điểm đối xứng với M 2 qua C. a) Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành điểm M 3 là một phép đối xứng tâm b) Tìm quỹ tích điểm M 3 Bài 9: Cho đường tròn (O) và hai điểm cố định A,B thuộc (O). Một điểm M chạy trên (O). Xác định hình bình hành AMBN. Tìm quỹ tích điểm N. Bài 10: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và một vecto cố định. Với mỗi điểm M thay đổi trên mặt phẳng, ta lấy điểm M 1 là điểm đối xứng với M qua d và M' là điểm sao cho . Tìm quỹ tích trung điểm I của MM'. Ứng dụng của phép biến hình trong bài toán quỹ tích Phương pháp giải toán Để tìm quỹ tích của điểm M bằng công cụ phép biến hình , ta có thể tiến hành như sau Cách 1: • Phân tích bài toán để chọn hoặc xác định điểm N thỏa các điều kiện sau: • Tồn tại một phép biến hình f biến điểm N thành điểm M (M = f(N)) • Quỹ tích của điểm N là xác định được • Giả sử điểm N đã được xác định, khi đó ta tiến hành tìm quỹ tích của điểm N, giả sử là hình (H) • Khi đó, do M = f(N) , vậy nên điểm N (H) thì điểm M hình (H’) là ảnh của hình H qua phép biến hình f nói trên • Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất việc giải toán Cách 2 • Bằng phương pháp thực nghiệm, ta tìm cách đưa ra dự đoán về đường cong quỹ tích như sau: • Dựng một số hữu hạn các điểm M là điểm lưu động mà ta cần tìm quỹ̉ tích • Dựa vào vị trí của các điểm M vừa dựng, ta dự đoán đường cong quỹ̉ tích là đường cong nào , giả sử là đường cong (C) • Xác định đường cong (C’) sao cho tồn tại một phép biến hình f, biến (C’) thành (C) • Xét điểm M (C) , ta thử xác định điểm N là tạo ảnh của điểm M qua phép biến hình f , nếu thành công thì bài toán coi như là đã được giải quyết, ngược lại ta lại thử một dự đoán khác • Giả sử mọi yêu cầu đều được đáp ứng, công việc còn lại là trình bày lời giải của bài toán để hoàn tất việc giải toán Các ví dụ minh họa Ví dụ 1 Xét đường tròn (C) có tâm O, đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi, các đường thẳng AM và AN cắt tiếp tuyến của đường tròn (C) tại B theo các điểm P, Q. Tìm quỹ tích trực tâm của tam giác MPQ Hướng dẫn Cách 1 Phân tích: Tìm điểm thay thế: Ta chứng minh được kết quả : , suy ra H là ảnh của điểm M theo phép tịnh tiến theo vectơ , vậy nên ta tìm quỹ̉ tích của điểm M để từ đó suy ra quỹ̉ tích của điểm H Tìm quỹ tích của điểm M: Theo đề toán, điểm M chạy trên (C) vậy nên H chạy trên đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến nói trên Cách 2 Phân tích Tìm điểm thay thế :Ta chứng minh được A là trung điểm của đoạn MN, suy ra H là ảnh của điểm N qua phép đối xứng tâm A vậy ta có thể chọn điểm N để tìm quỷ tích rồi từ đó suy ra quỹ̉ tích của điểm H Tìm quỹ tích của điểm N: Do điểm N chạy trên đường tròn (C) nên điểm H chạy trên đường tròn là ảnh của (C) qua phép đồi xứng tâm A . ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH VÀO GIẢI TOÁN QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH 1. BÀI TOÁN QUỸ TÍCH BÀI TOÁN: TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM M CÓ TÍNH CHẤT T, KÝ HIỆU M(T) Sơ đồ giải quyết bài toán: + Tìm phép biến hình F biến. biến điểm N(T') thành điểm M(T) + Tìm quỹ tích điểm N(T') (thông thường quỹ tích điểm N(T') là đã cho hoặc là quỹ tích cơ bản). Giả sử quỹ tích N(T') là hình (H) + Phép biến. xứng với M 1 qua B, M 3 là điểm đối xứng với M 2 qua C. a) Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành điểm M 3 là một phép đối xứng tâm b) Tìm quỹ tích điểm M 3 Bài 9: Cho đường tròn