Ung dung suy luan qui nap trong giai Toan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ================= BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ỨNG DỤNG SUY LUẬN QUY NẠP TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Người thực hiện : Nguyễn Xuân Nam Lớp : Toán K4 – Bắc Giang Giáo viên hướng dẫn : Th.S NGUYỄN VĂN HÀ PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN I) SUY LUẬN TOÁN HỌC 1) Suy luận là gì? Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của suy luận. Mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả. Ký hiệu: X 1 , X 2 , ., X n ⇒ Y Nếu X 1 , X 2, ., X n ⇒ Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay hệ quả logic Ký hiệu suy luận logic: 1 2 , , , n X X X Y 2) Suy diễn Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các qui tắc logic. - Quy tắc kết luận: ,X Y X Y ⇒ - Quy tắc kết luận ngược: ,X Y Y X ⇒ - Quy tắc bắc cầu: ,X Y Y Z X Z ⇒ ⇒ ⇒ - Quy tắc đảo đề: X Y Y X ⇒ ⇒ - Quy tắc hoán vị tiền đề: ( ) ( ) X Y Z Y X Z ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ - Quy tắc ghép tiền đề: ( ) X Y Z X Y Z ⇒ ⇒ ∧ ⇒ - X Y Z X Y ⇒ ∧ ⇒ X Y Z X Z ⇒ ∧ ⇒ 3) Suy luận quy nạp: Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy luận quy nạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểm tra để rút ra kết luận. Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng có thể sai, có tính ước đoán. Vd: 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 10 = 7 + 3 Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số nguyên tố. a) Quy nạp không hoàn toàn : Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số trường hợp cụ thể đã được xet đến. Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Sơ đồ: A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 . A n là B A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 . A n là 1 số phần tử của A Kết luận: Mọi phần tử của A là B b) Phép tương tự: Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tương đó. Kết luận của phép tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d B có thuộc tính a, b, c Kết luận : B có thuộc tính d . c) Phép khái quát hóa: Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào đó có chứa đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. c) Phép đặc biệt hóa: Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết. Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ giác khi một cạnh có độ dài bằng 0;Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của đường cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đền nó. II) Hai phương pháp chứng minh toán học 1) Phương pháp chứng minh tổng hợp: Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh. Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận Sơ đồ: A ⇒ B ⇒ C ⇒ . ⇒ Y ⇒ X Trong đó A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; B là hệ quả lôgíc của A; C là hệ quả lôgíc của B; . ; X là hệ quả lôgíc của Y. Vai trò và ý nghĩa: + Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn là đột ngột, không tự nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng nào đó thì nó phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh. + Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó. + Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. 2) Phương pháp chứng minh phân tích đi lên: Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho trước hoặc đã biết nào đó. Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận. Sơ đồ: X ⇐ Y ⇐ . ⇐ B ⇐ A Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề lôgíc của X ; . ; A là tiền đề lôgíc của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; Vai trò và ý nghĩa: + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận. + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rát dài dòng vì thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác nhau làm tiền đề logic của nó. + Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. Ví dụ: Bài toán “ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước sau 12 giờ thì đầy bể. Biết rằng lượng nước mỗi giờ chảy vào bể của vòi 1 gấp 1, 5 lần lượng nước của vòi 2 chảy vào bể. Hỏi sau mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?” 3) Phương pháp chứng minh phân tích đi xuống : Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi xuống là phương pháp chứng minh suy diễn đi từ điều cần tìm đến điều đã biết nào đó. Cơ sở: Quy tắc lôgíc kết luận. Sơ đồ: X ⇒ Y . ⇒ B ⇒ A Trong đó: X là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh; Y là hệ quả lôgíc của X ; . ; A là hệ quả lôgíc của B và A là mệnh đề đã biết nào đó. Nếu A sai thì X sai. Nếu A đúng thì X có thể đúng có thể sai. Lúc này chúng ta phải dùng phương pháp tổng hợp đi từ A tới X. Phần II: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC Ví dụ 1: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó: '' Cho đường tròn tâm O cố định. Điểm A cố định trên đường tròn. Dây BC có độ dài là a không đổi chạy trên đường tròn. Gọi M là trung điểm của dây BC và H là trực tâm của ∆ABC . Chứng minh rằng HM luôn đi qua 1 điểm cố định. Hd: Dự đoán: Xét vị trí đặc biệt khi dây BC vuông góc với AO. Khi đó ∆ABC là tam giác cân tại A và dễ thấy cả trực tâm H và trung điểm M của BC đều thuộc đường AO. Vậy điểm cố định phải thuộc AO. Ta gọi I là giao của AO và đường tròn tâm O. Ta dự đoán rằng I là điểm cố định cần tìm. Chứng minh: Gọi K là trung điểm của AH. Ta dễ dàng chứng minh được rằng OMHK là hình bình hành. Suy ra OK // MH. Mặt khác dễ thấy OK // HI ( vì OK là đường trung bình của ∆HAI ). Do đó suy ra H, M, I thẳng hàng. Ví dụ 2: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó: '' Cho ∆ABC vuông cân tại A. Điểm M chạy trên BC.Từ M kẻ ME, MF lần lượt song song với AB, AC. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định ''. Hd: - Dự đoán : Khi M ≡ B : EF trùng với AB. Suy ra d trùng với đường thẳng vuông góc với AB tại B. Khi M ≡ C : EF trùng với AC. Suy ra d trùng với đường thẳng vuông góc với AB tại B. Vậy ta có thể dự đoán rằng: Điểm cố định phải tìm là giao điểm D của hai đường thẳng này. Dễ thấy giao điểm D là điểm đối xứng với A qua BC, từ đó ta thấy ngay tứ giác ACDB là hình vuông. - Chứng minh: Ta chứng minh rằng đường thẳng d đi qua điểm D. Kéo dài EM cắt CD tại E', kéo dài FM cắt BD tại F'. Dễ thấy tứ giác MFCE' và MEBF' là 2 hình vuông và tứ giác ME'DF' là hình chữ nhật. Mà theo kết quả của 1 bài toán đã biết: Với 2 hình vuông MFCE' và MBEF' dựng trên 2 cạnh của ∆MEF, khi d vuông góc với EF thì d sẽ đi qua trung điểm của E'F'. Mặt khác ta đã biết ME'DF' lại là hình chữ nhật, do đó MD đi qua trung điểm của E'F'. Vậy suy ra đường thẳng d qua M và trung điểm của E'F' phải trùng với MD. Tức là đường thẳng d đi qua điểm cố định D. K A B C H M O I A B D C F M E'E F' d Ví dụ 3: Dự đoán kết quả bài toán và cho lời giải của nó: " Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Điểm M chạy trên cung nhỏ BC. Lấy M 1 , M 2 đối xứng của M qua AB, AC. Chứng minh rằng M 1 M 2 luôn đi qua 1 điểm cố định." Hd: Khi M ≡ B: M 1 M 2 trùng với đường cao hạ từ B xuống AC. Khi M ≡ C: M 1 M 2 trùng với đường cao hạ từ C xuống AB. Vậy dự đoán điểm cố định phải tìm là trực tâm H của ∆ABC. Chứng minh: Ta đã biết 1 tính chất hình học là lấy đối xứng trực tâm H qua 3 cạnh của tam giác được 3 điểm H 1 , H 2 , H 3 đều thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Mà ta lại có A, H 2 , C, M cùng thuộc 1 đường tròn nên suy ra A, H, C, M 2 cũng thuộc 1 đường tròn. Suy ra CHM 2 ∧ = CAM 2 ∧ . Mặt khác ta có CAM 2 ∧ = CAM ∧ , suy ra CAM ∧ = CHM 2 ∧ .Tương tự như vậy ta có BAM ∧ = BHM 1 ∧ . Do đó suy ra: BHM 1 ∧ + CHM 2 ∧ = BAM ∧ + CAM ∧ = BAC ∧ . Dễ thấy BAC ∧ + BHC ∧ = 180 0 nên suy ra BHM 1 ∧ + CHM 2 ∧ + BHC ∧ = 180 0 . Vậy 3 điểm M 1 , M 2 , H thẳng hàng. Ví dụ 4: Dự đoán kết quả và cho lời giải bài toán sau: '' Cho góc nhọn x yO ∧ cố định, 2 điểm A, B lần lượt chạy trên Ox, Oy sao cho luôn có OA - OB = k - không đổi. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn AB luôn đi qua 1 điểm cố định '' Hd: - Dự đoán : A B C H 2 H 3 H M B 1 C 1 M 1 M 2 A B O x y y' K I E F Khi B ≡ O: A ≡ E với E ∈ Ox và OE = k. Vậy điểm cố định nằm trên đường trung trực của OE. Khi A ≡ O: Ta có OA – OB = k ⇒ OB = - k < 0. Mở rộng theo quan điểm của số âm ta có thể suy ra: B ≡ F với F ∈ Oy’ là tia đối của Oy sao cho OE = k. Dễ thấy ∆ OEF là cân tại O nên suy ra điiểm cố định nằm trên đường phân giác của góc bù với góc đã cho. Dự đoán điểm cố định chính là giao điểm K của 2 đường thẳng trên. - Chứng minh: Ta dễ thấy ∆KOB = ∆KEA (c.c.c) ⇒ KOB ∧ = KEA ∧ Mà KEA ∧ + KEO ∧ = 180 0 ⇔ KEA ∧ + KOE ∧ = 180 0 . Do đó KOB ∧ + KOE ∧ = 180 0 . Mặt khác ta có KOB ∧ + KOy' ∧ = 180 0 . Do đó OK phải là phân giác của góc x y'O ∧ . Hơn nữa như trên ta đã biết K thuộc trung trực của đoạn OE. Vậy điểm K là cố định. Ví dụ 5: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó: '' Cho 2 đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O . Hai động tử M, N lần lượt chuyển động trên xx', yy' với cùng vận tốc. Chứng minh rằng ở mọi thời điểm thì đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định '' Hd: - Xét trường hợp đặc biệt: Tại 1 thời điểm t 0 nào đó, khi đó M ≡ A, N ≡ B và OA = OB. Có 2 trường hợp xảy ra: Nếu M, N cùng chuyển động cùng trong nửa mặt phẳng có bờ AB: Dễ thấy O là điểm cần tìm. Nếu M, N chuyển động ở 2 nửa mặt phẳng khác nhau có bờ AB: Dễ thấy giao điểm của trung trực AB và đường vuông góc với yy' tại B là điểm cần tìm. - Xét trường hợp tổng quát: Tại 1 thời điểm t 0 nào đó khi đó ta có M ≡ A, N ≡ B và OA > OB. Ta có bài toán sau: '' Có 2 điểm M, N lần lượt chạy trên xx', yy' sao cho AM = BN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định ''. Tương tự như trên ta cũng xét 2 truờng hợp xảy ra của bài toán ( M, N chuyển động ở cùng trong 1 nửa mặt phẳng hoặc ở 2 nửa mặt phẳng khác nhau có bờ AB). Ta đặt AE = OB, dựng đường trung trực của OE và AB. A B M N O x x' y y' A B M N O x x' y y' E C Ta chứng minh rằng điểm C là giao của 2 đường trung trực này là điểm cố định cần tìm: Lấy M, N bất kỳ thuộc xx', yy' sao cho AM = BN và chứng minh rằng ∆MCN cân tại đỉnh C. Ví dụ 6: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó: '' Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. Điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Hạ CD ⊥ AB. Gọi O 1 , O 2 lần lượt là tâm của 2 đường tròn nội tiếp ∆ACD và ∆BCD. Chứng minh rằng đường thẳng d đi qua điểm C và vuông góc với O 1 O 2 luôn đi qua 1 điểm cố định. '' Hd: Dự đoán : Khi C ở vị trí chính giữa của cung AB thì đường thẳng d là đường trung trực của đoạn AB.Vậy điểm cố định phải nằm trên đường trung trực của đoạn AB. Chứng minh: Dễ thấy: AO 1 ⊥ CO 2 và BO 2 ⊥ CO 1 , mà d lại đi qua C và vuông góc với O 1 O 2 suy ra: Ba đường thẳng d, AO 1 , BO 2 là 3 đường chứa 3 đường cao của ∆CO 1 O 2 . Vậy 3 đường thẳng d, AO 1 , BO 2 đồng qui tại điểm I. Nhưng xét trong ∆ACB thì 3 đường thẳng d, AO 1 , BO 2 đồng qui tại I, trong đó lại có AO 1 , BO 2 là 2 đường phân giác của 2 góc đỉnh A, B. Vậy suy ra d phải là đường phân giác của góc ở đỉnh C. Do đó đường thẳng d luôn đi qua 1 điểm cố định là điểm giữa của nửa đường tròn đối xứng với nửa đường tròn đã cho qua AB. Ví dụ 7: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó: '' Cho điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định cho trước. Dựng 2 hình vuông liên tiếp cạnh MA, MB: AMPQ và BMEF ở về cùng 1 phía nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi N là giao điểm thứ 2 của các đường tròn ngoại tiếp 2 hình vuông nói trên. Chứng minh rằng: a) Ba điểm A, N, E thẳng hàng. b) Ba điểm B, P, N thẳng hàng. c) Đường MN luôn đi qua 1 điểm cố định. '' Hd: A B C D O 1 O 2 d I a) Ba điểm A, N, E thẳng hàng: Ta có: ANM ∧ = 45 0 ( Vì góc nội tiếp chắn 1 4 đường tròn thứ nhất ) ENM ∧ = 135 0 ( Vì góc nội tiếp chắn 3 4 đường tròn thứ hai ) ⇒ ENA ∧ = ANM ∧ + ENM ∧ = 45 0 + 135 0 = 180 0 . Vậy 3 điểm A, N, E thẳng hàng. b) Ba điểm B, P, N thẳng hàng : Ta có: ANP ∧ = 90 0 ( Vì góc nội tiếp chắn 1 2 đường tròn thứ nhất ) ⇒ PN ⊥ AN ANM ∧ = 45 0 , MNB ∧ = 45 0 ⇒ ANM ∧ + MNB ∧ = 90 0 ⇒ BN ⊥ AN. Vậy 3 điểm B, N, P thẳng hàng. c) Đường MN luôn đi qua 1 điểm cố định: Dễ thấy ANM ∧ = 45 0 , MNB ∧ = 45 0 , suy ra NM là phân giác của góc ANB ∧ và điểm N chạy trên nửa đường tròn đường kính AB ( Vì góc ANB ∧ = 90 0 ). Do đó MN sẽ đi qua điểm cố định là điểm giữa của nửa đường tròn đối xứng với nửa đường tròn trên qua AB. Ví dụ 8: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó: '' Cho trước 2 đường tròn tâm O 1 và O 2 bán kính khác nhau cắt nhau tại 2 điểm A, B. Cát tuyến d quay quanh B cắt 2 đường tròn tâm O 1 , O 2 lần lượt tại M, N. Xác định vị trí của cát tuyến d có: a) Diện tích của ∆AMN đạt giá trị lớn nhất ? b) Chu vi của ∆AMN đạt giá trị lớn nhất ? Hd: A B O 1 O 2 M N A B M N E F P Q - Xét vị trí đặc biệt d // O 1 O 2 : Khi đó ta thấy rằng diện tích và chu vi của ∆AMN đạt giá trị lớn nhất. - Chứng minh: Ta dễ dàng thấy rằng ∆AMN ∼ ∆AO 1 O 2 , nên suy ra: cv( AMN) cv( AO 1 ∆ ∆ O 2 ) = AM AO 1 = AN AO 2 = MN O O 1 2 dt( AMN) dt( AO 1 ∆ ∆ O 2 ) = AM AO 2 1 2 = AN AO 2 2 2 Từ các tỷ số trên ta suy ra rằng diện tích và chu vi của ∆AMN đạt giá trị lớn nhất khi AM đạt giá trị lớn nhất - Tức là khi AM, AN là đường kính đường kính của 2 đường tròn đã cho. Ví dụ 9: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó: '' Cho trước 2 đường tròn tâm O 1 và O 2 bán kính khác nhau cắt nhau tại 2 điểm A, B. Hai điểm M, N chuyển động cùng chiều lần lượt trên 2 đường tròn và cùng xuất phát từ A và cùng trở về A một lúc ( Hai điểm chuyển động với cùng vân tốc góc). Chứng minh rằng: a) Đường MN luôn đi qua 1 điểm cố định. b) Đường trung trực MN luôn đi qua 1 điểm cố định.'' Hd: a) Đường MN luôn đi qua 1 điểm cố định: - Dự đoán: Xét M là xuyên tâm đối của điểm A: Khi đó N cũng là xuyên tâm đối của điểm A ở đường tròn kia. Dễ thấy 3 điểm B, M, N thẳng hàng. Vậy dự đoán B là điểm cố định cần tìm. - Chứng minh: Vì cung AM ∩ = AN ∩ , suy ra: MAO 1 ∧ = NAO 2 ∧ ⇒ MAN ∧ = O AO 1 2 ∧ Mặt khác có: AMB ∧ = AO O 1 2 ∧ và ANB ∧ = AO O 2 1 ∧ ( Tính chất của góc nội tiếp chắn 1 cung có số đo bằng góc ở tâm chắn nửa cung đó). Do đó suy ra MAN ∧ + AMB ∧ + ANB ∧ = 180 0 . Vậy suy ra 3 điểm M, B, N thẳng hàng. N A B M O 1 O 2 E F P Q I J [...]... thời F, P đối xứng với A, B qua O2, nên suy ra MQ ⊥ MN và NP ⊥ MN Do đó tứ giác MNPQ là hình thang Khi đó trung trực của MN là đường trung bình của hình thang đó Vậy trung trực của MN đi qua điểm giữa J của PQ Ví dụ 10: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó: '' Trong mặt phẳng cho k đường thẳng đôi 1 cắt nhau, nhưng không có 3 đường thẳng nào đồng qui Tính số phần mặt phẳng mà k đường thẳng... đường trung I O bình của ∆CAB - Chứng minh: B A M + Phần thuận: Gọi I là trung điểm của đoạn nối tâm 2 hình vuông cạnh AM, BM Chứng minh rằng I thuộc đường trung bình EF của ∆CAB vuông cân tại C Dễ thấy tứ giác COMO’ là hình chữ nhật ta suy ra điều cần chứng minh + Phần đảo: Lấy I là điểm bất kỳ thuộc EF nối CI cắt AB tại M Qua I dựng đường thẳng cắt hai cạnh CA, CB tại O và O’ sao cho I là trung điểm... thêm k miền mới Do đó suy ra: N(k) = N(k-1) + k Ta đi tính N(k) theo k như sau: N(1) = 2 N(2) = [2] + 2 N(3) = [2 + 2] + 3 N(k) = [2 + 2 + 3 + + (k-1)] + k = 1 + k ( k + 1) 2 Ví dụ 11: Dự đoán kết quả bài toán sau và cho lời giải của nó: '' Tìm số giao điểm của các đường chéo trong 1 đa giác lồi n-cạnh Biết rằng không có 3 đường chéo nào đồng qui tại 1 điểm khác đỉnh nằm trong đa giác'' Hd: -... giao điểm của các đường chéo tăng lên 1 cách rất đột ngột Phải chăng không có qui luật ? Quay trở về suy nghĩ thêm trên trường hợp n = 4 ta thấy: Cứ 1 bộ 4 đỉnh của 1 đa giác lồi n-cạnh cho ta 1 giao điểm duy nhất của 2 đường chéo Ngược lại với mỗi giao điểm của 2 đường chéo trong đa giác vì không có 3 đường chéo nào đồng qui tại điểm đó, nên nó chỉ là giao điểm của 2 đường chéo nào đó Do đó có 1 bộ... điểm cố định b) Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ADE nằm ở đâu? '' Hd: a) DE luôn đi qua 1 điểm cố định: A - Nếu M ≡ B thì E ≡ B và D ≡ A Do đó trung trực của DE trùng với d1 là trung trực của AB E - Nếu M ≡ C thì E ≡ A và D ≡ C Do đó trung trực của DE trùng với d2 là trung trực của AC O D Vậy dự đoán điểm cố định I = d 1 × d2, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp O của ∆ABC B M Chứng minh: Ta chứng minh rằng... P M Q B C R Ví dụ 14: Cho cung tròn AmB cố định và điểm M di động trên cung đó Kéo dài AM về phía M và đặt MN = BN Tìm tập hợp những điểm N? Hd: D C M A N B » - Lấy C điểm chính giữa của cung lớn AB Kéo dài dây AC về phía C và lấy D sao cho CD = CB µ µ µ Do đó ∆CBD cân tại D Þ ACB = 2.ADB (1) và DBA = 90o µ µ - Dễ thấy ∆MBN cân tại M Þ AMB = 2.ANB (2) µ µ Từ (1) và (2) suy ra ADB = ANB Þ Bốn điểm... D cùng nằm trên µ µ một đường tròn Mà theo trên đã có DBA = 90o , nên suy ra DNA = 90o Vậy tập hợp điểm N nằm trên đường tròn qua A, B với đường kính AD Chú ý: µ µ Dễ thấy ∆MBN cân tại M Þ AMB = 2.ANB » Mà điểm M nằm trên cung lớn AB , tức là M nằm trên cung chứa góc vẽ trên đoạn AB với 1 góc không đổi α Vậy tập hợp N nằm trên cung chứa góc vẽ trên đoạn AB với 1 góc không đổi Ví dụ 15: Cho điểm M... suy ra 3 điểm B, N, P thẳng hàng Mà hai điểm A, B cố định nên tập điểm N chạy trên nửa đường tròn đường ∧ kính AB (Vì góc ANB = 900 ) b) ∧ ∧ ∧ Dễ thấy ANM = 450, MNB = 450, suy ra NM là phân giác của góc ANB và ∧ điểm N chạy trên nửa đường tròn đường kính AB (Vì góc ANB = 900) Do đó suy ra MN sẽ đi qua điểm cố định là điểm giữa của nửa đường tròn đối xứng với nửa đường tròn trên qua AB Ví dụ 16: Trong. .. điểm đối xứng với của B qua trung điểm I của dây MA Tìm quỹ tích của điểm N Hd M N I C O’ A O B - Dự đoán: Khi M ≡ A: N ≡ C (C đối xứng của B qua A) Khi M ≡ B: N ≡ A Vậy dự đoán tập hợp N là đường tròn tâm O’ với đường kính AC (O’ là điểm đối xứng của O qua A) - Chứng minh: Ta có tứ giác ABMN là hình bình hành suy ra tứ giác OMNO’ là hình bình hành Suy ra O’N = OM Ta suy ra được tập hợp cần tìm là... kính R Ví dụ 17: Trong mặt phẳng cho đoạn thẳng AB cố định và một điểm M di động trên đoạn AB Người ta dựng hai hình vuông liên tiếp cạnh MA, MB ở về cùng một phía của đoạn thẳng AB Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông trên? Hd: - Dự đoán: Khi M ≡ A: O ≡ A, O’ ≡ C (∆CAB vuông cân tại C) và I ≡ E (E trung điểm của AC) C Khi M ≡ B: O’ ≡ B, O ≡ C và I ≡ F (F trung điểm của BC) . logic hay hệ quả logic Ký hiệu suy luận logic: 1 2 , , , n X X X Y 2) Suy diễn Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng,. Suy luận quy nạp: Suy luận quy nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy