skkn p dụng phép biến hình để giải toán tỉnh đồng nai

Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương ThiÁP DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN Hơn nữa, học sinh được học phép biến hình với những điểm, những hình,liên hệ giữa ảnh và tạo ả

Trang 1

Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi

ÁP DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN

Hơn nữa, học sinh được học phép biến hình với những điểm, những hình,liên hệ giữa ảnh và tạo ảnh, nghiên cứu các quan hệ biến thiên trong mối liên hệnhân quả, nghiên cứu hình học trong trạng thái động Điều đó góp phần bồi dưỡngquan điểm duy vật biện chứng cho học sinh

Các phép biến hình còn mang lại một công cụ hiệu quả để giải quyết bàitoán, đặc biệt là loại toán dựng hình, tìm quỹ tích Kiến thức về phép biến hình cầnthiết cho nhiều hoạt động thực tế cũng như cho một số ngành khoa học khác nhưhội họa, kiến trúc và các ngành kĩ thuật

II NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận:

Lịch sử hình thành khái niệm phép biến hình gắn liền với những giai đoạn khácnhau của sự tiến triển trong quan niệm về các đối tượng hình học Như chúng ta đãbiết, lí thuyết nhóm ra đời từ những nghiên cứu của Galois(1811-1832) về vấn đềgiải các phương trình đại số Với khái niệm nhóm, Galois đã phân loại các phươngtrình đại số và thiết lập nên những điều kiện để chúng có thể giải được bằng cănthức Chính từ công trình của Galois mà nhà toán Đức Felix Klein (1849-1925) đãnghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình Trong tác phẩm

“chương trình Erlangen” xuất bản năm 1872 ông đã trình bày mỗi nhóm biến hìnhtrong hình học gắn liền với hình học của nhóm đó Ở bậc trung học cơ sở học sinh

đã học các phép biến hình: đối xứng trục, đối xứng tâm, tuy nhiên chương trìnhkhông giới thiệu các phép đối xứng trục, đối xứng tâm như các phép biến hình màchỉ được giới thiệu gắn với một số hình hình học: hình thang cân, hình bình hành,hình chữ nhật, hình thoi, đường tròn, ở bậc trung học cơ sở biến hình không phải

Trang 2

là kiến thức trọng tâm, chưa được xem là công cụ giải toán Ở bậc trung học phổthông, các phép biến hình trong mặt phẳng được trình bày ở lớp 11 gồm: các phépdời hình (phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến), các phépbiến hình đồng dạng (phép vị tự, phép đồng dạng) với những định hướng chính:loại những kiến thức không cơ bản, giảm những yếu tố kinh viện, học thuật vàtăng cường yếu tố thực hành, bỏ qua những chứng minh phức tạp, phương pháptiếp cận khái niệm đơn giản hơn, không dùng thuật ngữ biến hình định nghĩa kháiniệm mà sử dụng các thuật ngữ như ”phép đặt tương ứng, quy tắc…”

Khi nghiên cứu tính chất của phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến,quay, vị tự, đồng dạng cần phải hình thành cho học sinh một số tri thức về phươngpháp để ứng dụng vào giải toán Trong quá trình giải bài tập cần củng cố những trithức đó, đúc kết thành những phương pháp chung cho từng lớp bài toán Chẳnghạn:

- Muốn chứng minh sự bằng nhau của hai hình, thì có thể tìm một phép dờibiến hình này thành hình kia Nếu chỉ cần chứng minh hai góc bằng nhau thì có thểnghĩ đến cả phép đồng dạng

- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng có thể chứng minh chúng là ảnhcủa ba điểm thẳng hàng đã biết qua một phép biến hình nào đó, hoặc chứng minh

có một điểm là ảnh của điểm thứ hai qua một phép vị tự (mà đối xứng tâm đượcxem là trường hợp đặc biệt) nhận điểm thứ ba làm tâm

- Muốn chứng minh sự đồng quy của ba đường thẳng có thể tìm một phépbiến hình thích hợp nhận chúng làm ảnh của các đường thẳng đồng quy đã biếthoặc tìm một phép vị tự có ba cặp điểm tạo ảnh -ảnh thuộc ba đường thẳng đangxét

- Muốn chứng minh sự song song của hai đường thẳng có thể tìm một phéptịnh tiến hay phép vị tự biến đường thẳng này thành đường thẳng kia

- Muốn tìm tập hợp các điểm M có tính chất nào đó ta tìm mối quan hệ tạo ảnh qua một phép biến hình giữa M với điểm A nào đó mà tập hợp các điểm A

ảnh-đã biết (hoặc dễ tìm hơn) Tập hợp các điểm M sẽ là ảnh của tập hợp các điểm Aqua phép biến hình đã chọn

Trang 3

- Để dựng hình H có thể dựng hình H’ thỏa mãn các điều kiện của bài toán,trừ một điều kiện nào đó, rồi tìm phép biến hình biến hình H’ thành một hình Hthỏa mãn thêm điều kiện này

Khi giải một bài toán bằng công cụ biến hình thì khâu khó nhất là lựa chọnphép biến hình có thể sử dụng Chính ở khâu này ta có thể rèn luyện tư duy logic

và tư duy hàm cho học sinh Xuất phát từ giả thiết đã cho và yêu cầu của bài toán,

ta hướng dẫn học sinh tìm cách trả lời cho các câu hỏi: những yến tố nào có thể làảnh và tạo ảnh của nhau qua một phép biến hình nào đó, phép biến hình ấy cónhững bất biến gì, trong bài toán cần giải các bất biến ấy được thể hiện ra sao,chúng có quan hệ thế nào với điều cần giải quyết? Những câu hỏi đó sẽ giúp họcsinh tìm ra phép biến hình có thể sử dụng để giải toán

Trang 4

a) Phép đối xứng trục:Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm

M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’, được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d Kí hiệu Đd , d gọi là trục đối xứng

- Biểu thức tọa độ: Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho Ox trùng với đường thẳng d

b) Phép đối xứng tâm : Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành

chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn

thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I Kí hiệu ĐI , I gọi là tâm đối xứng

- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ O : Trong hệ tọa độ

Oxy cho M=(x ; y), M' Đ M O( ) ( ; )  x y' ' Khi đó : x y''x y

được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v

- Biểu thức tọa độ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v ( ; )a b ,

(OM; OM’) bằng  được gọi là phép quay tâm O góc 

2.4.Khái niệm hai hình bằng nhau

Hai hình gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thànhhình kia

2.5.Định nghĩa phép đồng dạng:

Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với hai điểmM,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có:M’N’=kMN

Trang 5

2.6.Tính chất:

- Bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm

- Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng Biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song hoặc trùng với d

- Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’, A’B’=kAB

- Biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’: ABC∽ A B C' ' '

- Biến đường tròn (O, r) thành (O’, kr) với O’ là ảnh của O

được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k

3 Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán hình học

3.1 Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình

a) Phép tịnh tiến theo vectơ v  (3; 2) 

b) Phép đối xứng tâm I với I(2; 1) 

Thay(*) vào phương trình của  ta được x' 3 2( ' 2) 3 0   y    x' 2 ' 2 0  y 

Vậy phương trình đường thẳng  ' :x 2y 2 0 

Trang 6

Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi Cách 3:Lấy hai điểm A, B phân biệt trên đường thẳng , ta tìm tọa độ các ảnh A’, B’ tương ứng của chúng qua T v, khi đó  ' là đường thẳng A’B’

b)  'là ảnh của qua ĐI nên phương trình  'có dạng x 2y c  0 Lấy M(1;1)  

.Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua ĐI , khi đó

' 1

2 ' 1 ' 3 1

Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua d, suy ra H là trung điểm MM1 M1 (4; 2) 

Đường thẳng  ' đi qua I(3;0) và M1 (4; 2)  có phương trình 2x  y 6 0 

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( )C có phương trình:

Gọi I1 là ảnh của I qua phép quay tâm O, góc quay 450 thì I1 (0; 2)

Gọi I' là ảnh của I1 qua phép vị tự tâm O, tỉ số k  2 khi đó               '                2 1  '(0; 2)

Cách 1: Phép quay tâm O, góc quay 900 biến đường thẳng d thành đường thẳng d’

có phương trình3x 5  y c  0 Lấy M(0;5) d Khi đó đường thẳng d’ đi qua ảnh

Trang 7

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình2x+y  4 0 Hãy viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép vị tự tâm I (-1;2), tỷ số

3.2 Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán quỹ tích

Giả sử cần tìm quỹ tích những điểm M có tính chất  Từ các dữ kiện của bài toán ta cần xem xét điểm M là ảnh của một điểm chuyển động N nào đó qua một phép biến hình f (M= f (N)) Nếu N thuộc vào một hình H thì MH' là ảnh của H qua phép biến hình đó

Sử dụng phép biến hình giải bài toán quỹ tích cần chú ý hướng dẫn học sinh lựa chọn các phép biến hình

Phép biến hình được sử dụng để giải toán quỹ tích khi trong giả thiết của bàitoán quỹ tích điểm cần tìm thuộc vào điểm chuyển động trên một tập hợp xác

định

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Trang 8

C

R

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O, R), đường kính AB cố định Điểm C di động

trên nửa đường tròn Dựng về phía ngoài đường tròn (O, R) hình vuông BCDE Tìm quỹ tích điểm E

Bài 2: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên

đường tròn đó Dựng hình vuông ABCD Tìm quỹ tích điểm B và điểm D

GiảiTrên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho AM=AB=AD

Bài 3: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) (R>R’) tiếp xúc trong tại A

Đường kính AB của (O) cắt (O’) tại điểm C khác A Đường thẳng d di động qua Acắt (O) tại M và cắt (O’) tại N Tìm tập hợp các giao điểm I của CM và BN

Giải

Trang 9

K S

O E

N

D

A

C B

M

I N

M

Ta có ANC AMB 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CN//MB

'

R k

R R



 Ta lại có tập hợp điểm M là đường tròn (O) (bỏ điểm A),

nên tập hợp điểm I là đường tròn (O1) là ảnh

của (O) qua VC k; , bỏ đi điểm A' V( ; )C k ( )A

Bài 4:Cho hai điểm M và N chuyển động trên đường thẳng chứa cạnh AB của tam

giác ABC sao cho MN=AB, tia MN và tia AB cùng chiều Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M lên BC và của N lên CA Gọi S là trung điểm của AN và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE Chứng minh rằng

a/ OS có độ dài không đổi

b/ O thuộc một đường thẳng cố định

GiảiGọi H là trực tâm của tam giác ABC

Do đó T v biến H thành giao điểm K

của MD và NE Vậy              HK v                              AM                             MK AH

Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE có đường kính CK nên có tâm O là trung điểm của đoạn CK

Mà S là trung điểm của AN nên cũng là trung điểm của BM Vậy

Trang 10

2 1 1

O '

H '

H O

B

C A

Bài 5: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định Tìm tập hợp trực tâm H của

tam giác khi đỉnh A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Có thể hướng dẫn học sinh giải bằng những câu hỏi như: H thuộc ba đường cao của tam giác vậy H có quan hệ gì với các đỉnh của tam giác ABC? B,C cố định nên vị trí của H phụ thuộc vào vị trí của A Quỹ tích của điểm A đã biết(là đường tròn tâm O) Vậy để giải bài toán cần phải tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh giữa H và

A H và A có thể liên hệ với nhau qua phép biến hình nào?

Đối với bài tập này, ta có các cách giải sau

Từ đây suy ra H là ảnh của H’ qua phép đối xứng trục BC

Khi A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp ABCthì H’

cũng di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp ABC

Suy ra tập hợp các điểm H là đường tròn (O’) là ảnh của

đường tròn (O) ngoại tiếp ABC qua phép đối xứng trục BC

Từ những yếu tố cố định đã cho có thể tìm thêm những yếu tố cố định nào khác để tìm mối liên hệ giữa A và H? Trả lời cho câu hỏi này sẽ dẫn đến chỗ kẻ các đường kính BB’ (hoặc CC’), AA’ và lấy trung điểm I của đoạn thẳng BC Các yếu tố mới tạo nên có cho biết gì về mối liên hệ giữa H và A không? Và từ đường kính AA’ sẽ có thêm một số góc vuông mà giả thiết ban đầu đã có ba đường cao,

vì thế còn có thêm những cặp đoạn thẳng song song , rồi còn có hai trung điểm I

và O Trong các yếu tố mới vẽ thêm chỉ có A’ thay đổi khi A thay đổi Nhưng quỹ tích điểm A’ là đường tròn nên còn có thể tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh giữa H và A’ Cứ phân tích như vậy sẽ dẫn đến chỗ tìm ra phép đối xứng tâm I biến A’ thành

Trang 11

H (I là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành A’BHC) và phép tịnh tiến theo vectơ 2OI

biến A thành H Như thế đã có thể giải bài toán bằng hai cách nữa:

- Sử dụng phép đối xứng tâm

Kẻ đường kính AA’ Dễ thấy A’B//HC, BH//A’C nên tứ giác A’BHC là hình bìnhhành, suy ra H và A’ đối xứng với nhau qua trung điểm I của đoạn thẳng BC Khi

A di chuyển trên đường tròn (O) thì A’ cũng di chuyển trên đường tròn (O) và do

đó H di chuyển trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm I

- Sử dụng phép tịnh tiến

Kẻ đường kính AA’, gọi I là trung điểm đoạn thẳng BC

Tứ giác A’BHC là hình bình hành nên I là

trung điểm đoạn A’H

TrongAHA’ thì OI là đường trung bình nên OI//AH

chuyển trên đường tròn ngoại tiếp ABC thì H di chuyển

trên (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ 2OI

Qua bài toán trên, ta thấy tập hợp của trực tâm H cũng là

đường tròn ngoại tiếpHBC Như vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp ABC hoặc qua phép đối xứng trục BC, hoặc qua phép đối xứng tâm I là trung điểm cạnh BC hoặc qua phép tịnh tiến theo vectơ 2OI Tương tự, ta có đường tròn ngoại tiếp HAB là ảnh của đường tròn ngoại tiếp 

ABC qua phép đối xứng trục AB, hoặc qua phép đối xứng tâm J là trung điểm của

AB và đối với đường tròn ngoại tiếp HCA cũng tương tự

Bài 6: Cho ABC đều Tìm tập hợp các điểm M nằm trong tam giác sao cho

Trang 12

M '

B A

AMB=CM’B, suy ra AMB 150 0 Chứng tỏ

M thuộc cung chứa góc 1500 dựng trên dây AB

Tập hợp các điểm M là cung 1500 nằm trong

ABC dựng trên dây AB, trừ hai điểm A,B

Nếu M là điểm thuộc cung đó, thì phép quay QB; 60 0

 biến M thành M’ và cung AMB thành cung CM B ' có số đo 1500 Vì tam giác BMM’ đều, do đó

 ' 150 0 60 0 90 0

MM C    Tam giác MM’C vuông tại M’, do đó M M' 2 M C' 2 MC2

Do MA=M’C, MM’=MB nên MA2 MB2 MC2

3.3 Sử dụng phép biến hình để giải bài toán dựng hình

Giả sử trong một bài toán dựng hình cần dựng một điểm M nào đó Trong bước phân tích ta xem xét M là ảnh của một điểm N qua một phép biến hình , do

đó việc dựng điểm M đưa về dựng ảnh của điểm N trong phép biến hình đó Cách thứ hai xác định điểm M thuộc một đường (C ) và thỏa mãn một tính chất T nào

đó Khi đó ta cần dựa vào tính chất T để thấy rằng M sẽ là ảnh của một điểm N nào đó qua một phép biến hình f hoàn toàn xác định, trong khi đó N thuộc một đường (H) hoàn toàn xác định Vậy điểm M thuộc đường (H ‘ ) là ảnh của (H ) qua f , do đó M là giao điểm của (H ’ ) và (C )

Bài 1: Cho hai đường tròn đồng tâm (O, R) và (O, r) với r<R và một điểm A

cho trước trên (O, r) Hãy dựng qua A một đường thẳng xy cắt (O, r) tại B, cắt (O,R) tại C,D, theo thứ tự C,A,B,D sao cho CA=AB=BD

Trang 13

y B

O'

O A x

A

C O

- Cách dựng:

 Dựng O' VA;2  ( )O

 Vẽ (O’; 2r)

 Dựng DO R;   O'; 2r

 Dựng đường thẳng xy qua A, D Ta có đường thẳng xy cần dựng

- Chứng minh: Gọi B ( ; )O r xy,C ( ; )O R xy C( D) Chứng minh

 Nếu OO’=R-2r 3r R , bài toán có một nghiệm hình

 Nếu R<3r, bài toán có hai nghiệm hình

 Nếu R>3r, bài toán không có nghiệm

Bài 2: Cho đường thẳng d và hai đường tròn (O), (O’) nằm về hai phía đối

với d Hãy dựng hình vuông ABCD sao cho đường chéo BD nằm trên d, đỉnh A nằm trên đường tròn (O), đỉnh C nằm trên đường tròn (O’)

- Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vuông thỏa yêu cầu, A và C đối xứng nhau qua đường thẳng d, xét phép đối xứng trục d biến A thành C và biến đường tròn (O) thành đường tròn (O’’) đi qua C Vì vậy C là điểm chung của hai đường tròn (O’) và (O’’) Mặt khác AC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông, do đó B,D là giao điểm của đường tròn đường kính AC và đường thẳng d

- Cách dựng:

 Dựng đường tròn (O’’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng trục d

Gọi C là giao điểm của (O’’) và (O’)

 Dựng ảnh của C qua phép đối xứng trục d Đó chính là điểm A

 Dựng đường tròn đường kính AC

13

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	883,5 KB