Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm

Dùng phép tịnh tiến để giải số toán tìm tập hợp điểm Phương pháp:  Từ giả thiết chọn điểm E di động cho uuuu r r EM = v không đổi (tức phải tìm hình bình hành có EM cạnh cạnh đối diện phải cố định)  Xác định hình (H) quỹ tích điểm E  Khi tập hợp điểm M (H’) - ảnh (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ r v Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định ( BC đường kính ) đường tròn (O), điểm A di động (O) Chứng minh A di động (O) trực tâm tam giác ABC di động đường tròn Giải A D O H B M C Gọi H trực tâm tam giác ABC, M trung điểm BC Tia BO cắt đường tròn (O) D Ta có ADCH hình bình hành ∠BCD = 900 nên DC // AD, AH // CH suy tứ giác uuur uuur uuuu r ⇒ AH = DC = 2OM Vì uuuu r OM không đổi suy uuuur ( A) = H T2OM Vậy A di chuyển đường tròn (O) H di chuyển đường tròn (O’) ảnh (O) qua phép tịnh tiến theo uuuu r 2OM Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định đáy CD thay đổi Biết AB = a CD = b (với a, b không đổi) Tìm quỹ tích điểm C trường hợp sau ∠ADB = 900 a b DA = DB Giải: D a Gọi I trung điểm AB suy I cố C định Giả thiết suy ⇒ ID = IA = IB = ∆ADB AB a = 2 vuông D A A' I I' Do điểm D chạy đường tròn (C) tâm R= I bán kính ( (C) cố đinh ) a bỏ hai điểm A B Gọi A’ thuộc canh AB cho với uuur AA ' AA ' b = ⇒ AB a AA’CD hình bình hành cố định Từ theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có: uuu r :D a C TuAA ' I a I' (C ) a (C ') uuur uuur ⇒ DC = AA ' B Mà điểm D chạy đường tròn (C) nên điểm C chạy đường tròn (C’) I ' = TuAAuuur' ( I ) Vậy tập hợp tất điểm C đường tròn (C’) tâm R= a bán kính bỏ hai giao điểm (C’)và đường thẳng AB b Gọi d trung trực AB suy D cố định (vì A, B cố định), theo giả thiết ta có DA = DB ⇒D chạy d (bỏ qua trung điểm AB) Gọi A’ thuộc cạnh AB cho: ⇒ AA ' CD AA ' b = AB a hình bình hành A d d' D C A' B suy DC = AA’ (với AA’ cố định) Từ theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có: uuu r :D a C TuAA ' d →d' Mà điểm D chạy đường thẳng d nên điểm C chạy đường thẳng d’ Vậy tập hợp điểm C đường thẳng thẳng AB uuu r (d ) d ' = TuAA ' , bỏ giao điểm d’ đường Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B Gọi d đường thẳng thay đổi qua A cắt (O), (O’) M N Lấy điểm P tia AM, điểm Q AP = AQ = tia AN cho AM a Tìm tập hợp tất điểm P b Tìm tập hợp tất điểm Q Giải: M P A H H' N Q O K I I' O' B Gọi H, H’ hình chiếu O, O’ lên đường thẳng d Gọi I’ hình chiếu O lên O’H’, I hình chiếu O’ lên OH, K trung điểm OO’ Khi ta có: ∠OIO ' = 900 ⇒ I ' ∠OIO ' = 900 ⇒ I chạy đường tròn (K) chạy đường tròn (K) Với (K) đường tròn cố định (vì (K) có đường kính OO’ cố định) ⇒ OI ' = HH ' = a Ta có OI’H’H hình chữ nhật (vì có góc vuông) AQ = mà theo giả thiết ta lại có MN ⇒ AQ = OI ' ⇔ AOI ' Q ⇔ I ' Q = OA hành Lại có hai điểm O A cố định nên ta có phép tịnh tiến sau: uuu r OA MN hình bình cố định Do uuur : I ' → Q TOA ( K ) → ( K ') Lại có I’ chạy đường tròn (K) nên điểm Q chạy đường tròn uuur [( K )] ( K ') = TOA Vậy quỹ tích Q đường tròn uuuur uuu r KK ' = OA uuur [( K )], ( K ') = TOA R= với tâm K’ OO ' xác định công thức bán kính b Hoàn toàn tương tự câu a ta có quỹ tích P đường tròn tâm ( K '') = TOuuu'uAr [( K )], R= bán kính với tâm K’’ xác định công thức OO ' KK '' = O ' A có ... (O) (O’) cắt hai điểm A, B Gọi d đường thẳng thay đổi qua A cắt (O), (O’) M N Lấy điểm P tia AM, điểm Q AP = AQ = tia AN cho AM a Tìm tập hợp tất điểm P b Tìm tập hợp tất điểm Q Giải: M P A H H'... nghĩa phép tịnh tiến ta có: uuu r :D a C TuAA ' d →d' Mà điểm D chạy đường thẳng d nên điểm C chạy đường thẳng d’ Vậy tập hợp điểm C đường thẳng thẳng AB uuu r (d ) d ' = TuAA ' , bỏ giao điểm. .. nghĩa phép tịnh tiến ta có: uuu r :D a C TuAA ' I a I' (C ) a (C ') uuur uuur ⇒ DC = AA ' B Mà điểm D chạy đường tròn (C) nên điểm C chạy đường tròn (C’) I ' = TuAAuuur' ( I ) Vậy tập hợp tất điểm