Tìm hiểu về phép tịnh tiến ở chương trình phổ thông

A Mở đầu Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng, mơn địi hỏi học sinh phải tư trừu tượng, lập luận cách chặt chẽ logic Trong chương trình hình học lớp 11, chương “Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng” chiếm vị trí quan trọng cơng cụ hữu ích tốn hình học phẳng hình học khơng gian Trong chương trình mơn Tốn phổ thơng nước ta nay, vai trị tầm quan trọng phép biến hình ngày thể rõ ràng sâu sắc không lý thuyết mà thực hành giải tập Các phép biến hình cơng cụ đơn giản đầy hiệu lực việc giải tốn hình học Phép tịnh tiến phép biến hình sơ cấp vận dụng để giải tốn dựng hình, tốn quỹ tích, tốn chứng minh tích chất hình học, Tuy nhiên, việc vận dụng phép tịnh tiến để giải toán hình học mặt phẳng khơng gian khơng phải việc dễ dàng B, Nội dung I Nhắc lại kiến thức Phép biến hình 1.1 Định nghĩa: Phép biến hình (trong mặt phẳng) quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định điểm M’ thuộc mặt phẳng Điểm M’ gọi ảnh điểm M qua phép biến hình Ví dụ 1: M Cho đường thẳng d Với điểm M nằm đường thẳng d, ta xác định M’ hình chiếu (vng góc) M d (h.1) ta phép biến hình Phép biến hình gọi phép chiếu (vng góc) M lên đường thẳng d Ví dụ 2: Cho vectơ tắc r u uuuuur r MM ' = u d M' , với điểm M ta xác định điểm M’ theo quy (h.2) M' M Như ta có phép biến hình Phép biến hình gọi phép tịnh tiến theo vectơ r u Ví dụ 3: Với điểm M, ta xác định điểm M’ trùng với M ta phép biến hình Phép biến hình gọi phép đồng 1.2 Kí hiệu thuật ngữ Nếu ta kí hiệu phép biến hình F điểm M’ ảnh điểm M qua phép biến hình F ta viết M’=F(M) F(M)=M’ Khi đó, ta cịn nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M’ ∈ Với hình H, ta gọi hình H’ gồm điểm M’=F(M), M H, ảnh H qua phép biến hình F, viết H’ =F(H) Phép tịnh tiến 2.1 Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo vectơ thành M’ cho uuuuur r MM ' = u r u phép biến hình biến điểm M r u r u Tur Phép tịnh tiến theo vectơ thường kí hiệu T Vectơ gọi vectơ tịnh tiến 2.2 Các tính chất phép tịnh tiến Định lí 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N thành hai điểm M N’ M’N’=MN Người ta diễn tả tính chất phép tịnh tiến là: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách hai điểm Định lí 2: Phép tịnh tiến biến ba điểểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Chứng minh Giả sử phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, C thành ba điểm A’, B’, C’ Theo định lí 1, ta có A’B’=AB, B’C’=BC A’C’=AC Nếu A, B, C thẳng hàng, B nằm A C AB+BC=AC Do ta có W A’B’+B’C’=A’C’, tức A’, B’, C’ thẳng hàng, B’ nằm A’ C’ ( ) Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, tam giác thành tam giác nó, biến đường trịn thành đường trịn có bán kính, biến góc thành góc => Phép tịnh tiến phép dời hình 2.3 Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến r Trong mặt phẳngr với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ Biết tọa độ u (a;b) Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M u ' (x’,y’) (h.3) Khi ta có r u ( a; b ) Cơng thức gọi biểu thức tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ II, Một số b phài toán tịnh tiến HÌNH HỌC Các tốn tọa độ 1.1 Xác định ảnh (d’) đường thẳng (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ Phương pháp 1: r  Chọn điểm M(x0;y0) cụ thể thuộc đường thẳng d vectơ pháp tuyến n ( A; B ) thẳng d ’ ’  Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x ; y0 ) ảnh M qua phép tịnh tiến Tvr r v ( a; b) đường  Đường thẳng d’ đường thẳng qua M’ có vectơ pháp tuyến r n ( A; B) =>(d’): A(x - x0’) +B(y - y0’)=0 Phương pháp 2:  Chọn hai điểm M(x0;y0), N(x1;y1) cụ thể thuộc đường thẳng (d)  Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x0’; y0’) N’(x1’; y1’) ảnh M N qua phép tịnh r v tiến T  Đường thẳng (d’) đường thẳng qua điểm M’ N’ => (d’): x − x1' y − y1' = ' x0' − x1' y0 − y1' Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x−3y+3=0, đường thẳng d1 có phương trình: 2x−3y−5=0 Tìm tọa độ vectơ đường thẳng d để d1 ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ r v r v có giá vng góc với Phân tích tốn: Đường thẳng d1 ảnh d qua  Vectơ  d Hay  r v r v Tvr nên d//d1 có giá vng góc với đường thẳng d nên r v vectơ pháp tuyến vectơ phương đường thẳng d2 vng góc với đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng d2bằng cách: qua điểm M thuộc d nhận VTPT d làm VTCP Tìm giao d2 với d1 điểm N Khi  r v = uuuu r MN Giải: Vì đường thẳng d1 ảnh d qua r v Tvr nên d//d1 Mặt khác vectơ đường thẳng d nên vectơ pháp tuyến d Hay đường thẳng d2 vng góc với đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng d2: r v r v có giá vng góc với vectơ phương  uu r nd Vectơ pháp tuyến dường thẳng d: đường thẳng d2 =(2;−3) ⇒ uu r nd vectơ phương Lấy điểm M(3;3) thuộc d  Phương trình đường thẳng d2 qua M nhận uu r nd làm VTCP:  x = + 2t   y = − 3t (t ∈R) Giao điểm d2 với d1 điểm N: Thỏa mãn hệ phương trình: N( Ta có tọa độ N là:  t = 13  x = + 2t  55   ⇔ x =  y = − 3t 13 2 x − y − =   15   y = 13  55 15 ; ) 13 13 Tọa độ vectơ MN là: uuuu r 16 −24 MN = ( ; ) 13 13 1.2 Xác định phương trình ảnh (C’) đường trịn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ r v ( a; b)  Xác định tâm O(x0;y0) bán kính R đường trịn (C)  Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O’(x0’; y0’) tâm O qua phép tịnh tiến  Đường trịn (C’) đường trịn có tâm O’ bán kính R: ( x − xo' ) + ( y − yo' ) = R Tvr =>(C’): Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn (C ) có phương trình: Tìm ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ Giải Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) R=3 r v(−2;5) x2 + y − 2x + y − = r v Gọi I’= T (I)=(-1;3) (C’) ảnh (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ tâm I’ bán kính R’=3 có phương trình: (x+1)2+(y-3)2=9 r v (C’) có 1.3 Xác định phương trình ảnh (H’) đường (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ r v ( a; b)  Gọi M(x;y) điểm tùy ý đường (H): f(x,y)=0 r v  x = x '− a => M ( x '− a; y '− b)   y = y '− b  Gọi M’(x’;y’) ảnh M qua phép tịnh tiến T =>  M ∈ (H) => f(x’- a; y’-b)=0 r v  (H’) ảnh (H) qua phép tịnh tiến T =>(H’) tập hợp tất điểm M’ =>(H’): f(x-a;y-b)=0 Ví dụ: Cho tam giác ABC có G trọng tâm Xác định ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ thành A uuur AG Xác định điểm D cho phép tịnh tiến theo vectơ uuur AG biến D Giải Xác định ảnh tam giác ABC : uur TuAG (A) = A’ ta có : uuur uuur AA ' = AG Hay A’ trùng G uur TuAG uur TuAG (B) = B’ ta có : (C) = C’ ta có : Vậy : uur TuAG uur TuAG uuur uuur BB ' = AG uuuu r uuur CC ' = AG (ABC) = A’B’C’ (D) = A ta có : A G C B uuur uuur DA = AG B' Hay A trung điểm DG * Bài tập tổng hợp: C' Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (Oxy) cho trường hợp sau: r u (1; −2) Viết phương trình ảnh đường a Đường thẳng a có phương trình: 3x-5y+1=0 Đường thẳng a có phương trình: 2x+y+100=0 b Viết phương trình đường trịn ảnh đường tròn (C ): x2 y + =1 c Viết phương trình đường (E’) ảnh (E): x2 y − =1 16 d Viết phương trình ảnh (H): x2 + y − x + y − = Giải a Gọi ∀ M(x;y) ∈ a Xét tịnh tiến Tvr : M ( x; y ) → M '( x '; y ') a a Theo biểu thức tọa độ ta có: a’ x ' = 1+ x  x = x '− ⇔ ⇒ M ( x '− 1; y '+ 2)   y ' = −2 + y  y = y '+ Ta có: M(x’-1;y’+2)∈ a  3(x’-1)-5(y’+2)+1=0  3x’-5y’-7=0 => M’∈ a’:3x-5y-7=0 r v Vậy T (a)=a’ a’: 3x-5y-7=0 Tương tự ta có: M(x’-1;y’-2) ∈ b 2(x’-1)+(y’+2)+100=0  2x’+y’+100=0 ( x '− 1) + ( y '+ 2) − 4( x '− 1) + y '+ − = b ( x '− 1) ( y '+ 2) ( x − 1) ( y + 2) + = ⇒ ( E ') : + =1 9 c d hay (c’): x + y − x + y + 10 = 2 ( x '− 1) ( y '+ 2)2 ( x − 1)2 ( y + 2) − = ⇒ ( H ') : − =1 16 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v⃗=(−1;2), hai điểm A(3;5) B(-1;1) đường thẳng d có phương trình: x−2y+3=0 a Tìm tọa độ điểm A'; B' theo thứ tự ảnh A; B qua phép tịnh tiến theo b Tìm tọa độ điểm C cho A ảnh C qua phép tịnh tiến theo r v r v c Tìm phương trình đường thẳng d' ảnh d qua phép tịnh tiến theo r v Giải a Gọi tọa độ điểm A'(x';y'), ta có:  x′ = x + a  x′ = −  x′ = Tvr (A) = A' ⇒  ⇔ ⇔  y′ = y + b  y′ = +  y′ = Vậy tọa độ điểm A' A'(2;7) Gọi tọa độ điểm B'(x';y'), ta có:  x′ = x + a  x′ = −1 −  x′ = −2 Tvr (B) = B' ⇒  ⇔ ⇔  y′ = y + b  y′ = +  y′ = Vậy tọa độ điểm B' B'(-2;3) b Tìm tọa độ điểm C Điểm C điểm vật, tọa độ A(3;5) tọa độ điểm ảnh hay A(3;5)=A(x';y') Gọi tọa độ điểm C(x;y), áp dụng biểu thức tọa độ ta có:  x′ = x + a 3 = x − x = Tvr (C) = A ⇒  ⇔ ⇔  y′ = y + b 5 = y + y = Vậy tọa độ điểm C C(4;3) c Tìm phương trình đường thẳng d’ Cách 1: Tìm phương trình đường thẳng d’ theo biểu thức tọa độ Gọi M(x;y) điểm thuộc đường thẳng d M'(x';y') điểm thuộc đường thẳng d' Ta có: Tv⃗ (M)=M′⇔ x ' = x + a x ' = x −1  x = x '+ ⇔ ⇔  y' = y +b y' = y +  y = y '− Vì điểm M∈ d nên ta có tọa độ M thỏa mãn phương trình đường thẳng d: Ta có: (x′+1)−2(y′−2)+3=0⇔x′−2y′+8=0 Như điểm M' thuộc đường thẳng d' có phương trình là: x−2y+8=0 Cách 2: Vì đường thẳng d' cần tìm ảnh đường thẳng d nên đường thẳng d' song song trùng với đường thẳng d Khi đường thẳng d' có phương trình là: x−3y+c=0 Lấy điểm D(−3;0) ∈ d Gọi D′(x′;y′)∈d′ ảnh điểm D qua phép tịnh tiến theo vectơ r v Ta có: Tv⃗ (D)=D′⇔ x ' = x + a  x ' = −3 −  x ' = −4 ⇔ ⇔  y' = y +b y' = 0+ y' = Vậy tọa độ điểm D' là: D′(−4;2) Vì điểm D' thuộc đường thẳng d' nên tọa độ D' thỏa mãn phương trình d', tức là: −4−2.2+c=0⇔c=8 Từ ta có phương trình đường thẳng d' là: x−2y+8=0 Cách 3:  Lấy điểm M; N thuộc đường thẳng d  Tìm ảnh điểm M; N qua phép tịnh tiến theo vectơ v⃗  Đường thẳng d' ảnh đường thẳng d qua M'; N'  Viết phương trình đường thẳng M'N' Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ a Tìm ảnh A(2;1) qua phép tịnh tiến r u (1; −2) Tur b Tìm ảnh đường thẳng d1: x-3y+4=0 qua phép tịnh tiến Tur c Tìm đường thẳng ∆ ảnh đường thẳng d: 2x+y+3=0 qua phép tịnh tiến 2 d Tìm ảnh đường trịn (C): (x-2) +(y+3) =4 qua phép tịnh tiến Giải Tur Tur a, Gọi Tur (A)=A’, A’(x’,y’) x ' = x + a x ' = +1 = ⇔ ⇒ A '(3; −1)  y' = y +b  y ' = − = −1 Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến b Cách Chọn điểm M(-1;1)∈ d1: x-3y+4=0 Đường thẳng d1 qua M(-1;1) có vectơ pháp tuyến Gọi Tur (M)=M’, M’(x’;y’) Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Gọi r n(1; −3) Tur ( d1 ) = (d1 ') x ' = x + a  x ' = −1 + = Tur :  ⇔ ⇒ M '(0; −1) y' = y +b  y ' = − = −1 Đường thẳng d1’ qua M’(0;-1) có vectơ pháp tuyến => d1’: x - 3y - = Cách 2: Gọi Tur ( d1)= d1’ Gọi M(x;y)∈ d1 , M’(x’;y’) ∈ d1’ cho Biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Tur (M)=M’ x ' = x + a  x = x '− a  x = x '− ⇔ ⇒  Tur  y ' = y + b  y = y '− b  y = y '+ : M(x’-1;y’+2)∈ d1: x-3y+4=0=> (x’-1)-3(y’+2)+4=0 => x’-3y’-3=0 Vậy d1’: x-3y-3=0 c, Cách Chọn điểm M(-1;-1)∈ d: 2x+y+3=0 Đường thẳng d qua M(-1;-1) có vectơ pháp tuyến Gọi Tur (M)=M’, M’(x’;y’) 10 r n(2;1) r n = (1; −3) Giải: B Phân tích : Nếu uuuuur uuu r MM ' = AB M’ ảnh M qua phép tinh tiến tròn (O1) ảnh đường tròn (O) qua phép tịnh tiến giao điểm (O1) (O’) uur TuAB uur TuAB nên M’ thuộc đường Vì M’ thuộc (O’) nên M’ Cách dựng: - Dưng đường tròn (O1) ảnh (O) qua uur TuAB - Gọi M’ giao điểm (O1) (O’) Dựng vectơ thỏa mãn uuuuuu r uuu r M ' M = BA uuuuur uuu r MM ' = AB , M thuộc (O) Hai điểm M, M’ nằm (O), (O’) Biện luận: Bài tốn có số nghiệm hình số giao điểm (O1) (O’) TH1 Vô nghiệm 23 B TH2 Một nghiệm A TH3 Hai nghiệm 24 B TH4 Vô số nghiệm ĐẠI SỐ 1, Một số kiến thức liên quan 25 Kiến thức phép tịnh tiến giáo dục khéo léo đưa vào phần đại số lớp 9, 10, 12 phần vẽ đồ thị hàm số, mà ta không để ý khơng nhận Đây nói phần phép tịnh tiến hình học phẳng Ở lớp học vẽ đồ thị hàm số đơn giản, hàm số bậc xen kẽ vào có chút phép tịnh tiến Ví dụ như: Cho hàm số y = 2x + 2, y + = 2x + y = 2(x + 2) + tìm quan hệ chúng 1 Thực chất hai hàm số y + = 2x + y = 2(x + 2) + tịnh tiến từ hàm số gốc r v ur v' ban đầu y = 2x + theo vectơ vectơ hình vẽ có độ dài 2, đại số họ khơng nói vậy, mà học nói di chuyển theo trục hồnh, di chuyển theo trục tung mà 2*x+6 Lên lớp 10, lớp 12 đồ thị hàm số phức tạp hơn, vài trường hợp ta dễ 2*x+2 2*x dàng tìm phép tịnh tiến Ví dụ đơn giản như: đồ thị hai hàm số y = ax + y0 nhận từ phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = ax2 theo vectơ r v có độ dài y0 Thật vậy, xem hình vẽ minh họa: 26 1 Đây trường hợp y0 > 0, nhiều trường hợp khác ta minh họa tương tự Cơng thức chuyển hệ trục: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm I (x 0,y0), lấy I làm gốc ta dựng hệ trục tọa độ IXY cho IX song song, hướng đơn vị với Ox, IY song song, hướng đơn vị với Oy Gọi M điểm mặt phẳng , M có tọa độ (x,y) hệ Oxy (X,Y) hệ IXY , mối liên hệ cặp tọa độ (x,y) (X,Y) là: uuuur uur uuur OM = OI + IM x^2+2 Chiếu vectơ lên trục Ox, Oy ta được:  x = x0 + X   y = y0 + Y (1/2)*x^2 Phương trình đường cong y=f(x) hệ IXY Giả sử y=f(x) phương trình đường cong (C) hệ trục Oxy Khi đó, phương trình (C) hệ trục Oxy Y = f (X + a) - b Một số hàm qua phép đối hệ trục ≠ a, Hàm số y = ax2 + bx + c (a 0) Đỉnh  −b − a  I ; ÷  2a 4a  Tịnh tiến hệ trục theo uur OI đưa hàm số dạng Y=mX2 ≠ b, Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) 27 Điểm uốn  −b  −b   I  ;f  ÷÷  2a  3a   Tịnh tiến hệ trục theo y= c, Hàm số  −c b 2ac  I ; − ÷  d d d  Tịnh tiến hệ trục theo d, Hàm số đưa hàm số dạng Y = mX3 + mX ax + b cx + d Giao hai tiệm cận y= uur OI uur OI đưa hàm số dạng Y = mX + n X ax + bx + c dx + e Giao hai tiệm cận Tịnh tiến hệ trục theo  −c b 2ae  I ; − ÷  d d d  uur OI đưa hàm số dạng Y = mX + m X * Một số nhận xét liên quan Nhận xét 1: Đồ thị hàm số bậc nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Nhận xét 2: Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Nhận xét 3: Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Nhận xét 4: Đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ nhận giao điểm đường tiệm cận làm tâm đối xứng 2, Một số dạng toán thường gặp Dạng 1: Biện luận nghiệm phương trình Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + (m+2)x + 2m2 = (1) có nghiệm x1 < -2 < x2 Giải: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị y = f(x) = x + (m+2)x + 2m2 với trục Ox 28 Giao đường thẳng x = -2 với Ox I (-2;0) Tịnh tiến hệ trục Oxy theo uur OI với công thức  x = −2tX  y = Y Ta có phương trình đồ thị với hệ IXY là: Y = G(x) = X2 + (m-2)X + 2(m2 - m) x1 < -2 < x2 ⇔ X1 < < X2 Bài tập tương đương với tìm m để đồ thị Y = G(x) cắt Ox điểm có hoành độ X 1, X2 thỏa mãn X1 < < X2 ⇒ ⇔ a.c = 2(m2 - m) < 0 phương trình Δ: Y=k(X-a) + b Để từ M kẻ tiếp tuyến tới (C) hệ phương trình sau có nghiệm ≠   X + X = k ( X − a ) + b  1 − = k  X (X ≠ 0) X +1 X −1 ⇒ = ( X − a) + b ⇔ (b − a) X − X + a = X X Yêu cầu toán (1) a ≠ b a ≠ b ⇔ ⇔ V' = − a(b − a) >  a − ab + > Với điều kiện (2) theo vectơ   X + X = b − a   X X = a  b − a Để tiếp tuyến vng góc k1k2 = (2) (3) X 12 − X 22 − = −1 X 12 X 22 ⇔ 2( X X ) − ( X + X )2 + X X + = Thay vào (3) ta có: 2a 2a − + + = ⇔ 2a − + 2ab − 2a + b − 2ab + a = 2 (b − a ) (b − a ) b − a ⇔ a + b2 = ⇒ phương trình đường tròn với hệ Oxy là: (a-1)2 + (b-2)2 = (4) Tập hợp M đường trịn có phương trình (4) 32 y= Ví dụ 3: Cho hàm số Và M ∈ 2x − x −1 (C) (C) Gọi giao điểm tiếp tuyến M với (C) tiệm cận A, B a Chứng minh M trung điểm AB b Chứng minh ΔIAB có diện tích khơng phụ thuộc M Giải: Giao điểm hai tiệm cận I(1;2) Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ uur OI với công thức x = 1+ X  y = 2+Y a M(X0;Y0) phương trình tiếp tuyến M là: Y =− 1 (X − X0) + ⇔Y =− X + X0 X0 X0 X0 Tiệm cận đứng X=0 => giao điểm Δ với tiệm cận đứng   A  0; ÷  X0  Tiệm cận ngang Y=0 => giao điểm Δ với tiệm cận ngang B(2X0;0) Giao hai tiệm cận I(0;0) Dễ thấy  X A + X B = 2X = 2X M   YA + YB = X = 2YM  ⇒ M trung điểm AB b ΔIAB vuông I ⇒ SVIAB = 1 IA IB = X = 2 X0 Ví dụ 4: Cho hàm số y = Gọi M ∈ (đơn vị diện tích) 2x + x + x +1 (C) (C) tiếp tuyến M cắt tiệm cận A, B a Chứng minh M trung điểm AB 33 b Chứng minh ΔIAB có diện tích khơng đổi c Tìm vị trí M để chu vi ΔIAB đạt giá trị nhỏ y = 2x-1+ Giải: x +1 (C) Giao điểm hai tiệm cận I(-1;-3) Tịnh tiến trục Oxy theo vectơ uur OI với cơng thức Y = 2X + Phương trình đồ thị hệ IXY 2− a Y’= X2 ⇒ Y '( X ) = − , M(X0;Y0) => Phương trình tiếp tuyến Δ M:  x = −1 + X   y = −3 + Y X X 02  X 02 − 2  Y =  − ÷( X − X ) + X + ⇔Y = X+ X0  X0 X0 X0  A(0; Tiệm cận đứng: X=0 => giao điểm Δ với tiệm cận đứng ) X0 Tiệm cận xiên: Y=2X => Giao điểm Δ với tiệm cận xiên B(2X0;4X0) Giao tiệm cận I(0;0) => XA + XB = 2X0 = 2XM YA + YB = X0 + 4X0 = 2Y0 = 2YM => M trung điểm AB b Dễ thấy tiếp tuyến tạo với góc 450 => SΔIAB = IA.IB.sin450 = X0 BX 02 + 16 X 02 = 10 c Chu vi ΔIAB P => P = IA + IB + AB = 16 + X + 20 X 02 + − 32 ≥ + 20.16 − 32 X0 X0 34 = 4 20 + 20 − 20 + 20 − => Min P = M1 X0 =   2  −1 + ; −3 + + ÷ ÷ 5   ± 2 ⇔ X 02 = ⇔ X = ⇔ x0 = −1 ± X0 5 M2   2  −1 − ; −3 − − ÷ ÷ 5   Dạng 3: Bài toán điểm cắt y= Ví dụ: Cho hàm số x − 2x + x −1 (C) đường thẳng (d): y = -x + m a Xác định m để (d) cắt (C) điểm phân biệt thuộc nhánh (C) b Xác định m để (d) cắt (C) điểm đối xứng qua Δ: y=x+3 Giải: y = x −1+ Có x −1 (C) Giao hai tiệm cận I(1;0) Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ uur OI Y=X+ Phương trình (C) với hệ với công thức x = 1+ X  y = Y X Phương trình (d) với hệ Y = X + m -1 Xét phương trình hồnh độ giao điểm X+ = X + m − 1( X ≠ 0) ⇔ X yêu cầu toán ⇔ 2X2 - (m-1)X +1 = (1) tìm m để pt (1) có nghiệm phân biệt dấu 35 V= (m − 1) − > m > + 2  m − 2m − >  ⇔ ⇔ ⇔ ∀m P = >  m < − 2  b Phương trình Δ với hệ Y = X + Dễ thấy d vng góc với Δ k1.k2 = -1 u cầu tốn => trung điểm I AB thuộc Δ Ta có: I ∈ X1 + X m −  =  X =  Y = Y1 + Y2 = −( X + X ) + 2( m − 1) = 3m −  2 ⇒ Δ 3m − m − = + ⇔ 2m = 18 ⇔ m = 4 (thỏa mãn 2) Kết luận: m=9 (d) cắt (C) điểm đối xứng qua Δ Dạng 4: Bài toán khoảng cách y= Ví dụ: Cho hàm số 2x − x−2 (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận (C) A, B cho độ dài AB ngắn Giải: Giao hai tiệm cận I(2;2) Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ Y= Phương trình (C) với hệ mới: Y'=− X2 Gọi M(X0;Y0) ∈ uur OI với công thức x = + X  y = 2+Y X (C) Y =− Phương trình tiếp tuyến Δ M −1 − X − X0 ) + = X+ ( X0 X0 X0 X0 36 (Δ) Tiệm cận đứng: X=0 => giao điểm với Δ   A  0; ÷  X0  Tiệm cận ngang: Y=0 => giao điểm với Δ B(2X0;0) X 02 + AB2 = Min AB = ≥ 16 = ⇒ AB ≥ 2 X 02 2 X 02 = ⇔ X 04 = ⇔ X = ±1 X 02 Với X0 =1 => Y0 =1 => M(3;3) với hệ Oxy Với X0 =-1 => Y0 =-1 => M(1;1) với hệ Oxy Dạng 5: Điểm đối xứng với đồ thị Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + m2x + m (C) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua Δ:y= x− 2 Giải: Có −b  b  = ⇒ f  ÷ = f (1) = m + m − ⇒ I (1; m + m − 2) 3a  3a  Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ uur OI với công thức  x = −1 + X  y = m + m − 2+Y Phương trình đường cong (C) với hệ Y = X3 + (m2 - 3)X Y= Phương trình đường thẳng Δ: X − m2 − m Có Y’ = 2X2 + m2 - = (1) Để hàm số có cực đại, cực tiểu, pt (1) có nghiệm phân biệt ⇔ − m2 > ⇔ − < m < (2) Với điều kiện (2), hàm số có cực đại, cực tiểu kí hiệu A, B 37 ... gọi vectơ tịnh tiến 2.2 Các tính chất phép tịnh tiến Định lí 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M N thành hai điểm M N’ M’N’=MN Người ta diễn tả tính chất phép tịnh tiến là: Phép tịnh tiến không... [(x+1)2 − 10(x+1) + 5] + = f(x+1) + Ở sử dụng phép tịnh tiến để biến (P1) thành (P2)  Phép tịnh tiến 1: Tịnh tiến sang trái đơn vị  Phép tịnh tiến 2: Tịnh tiến lên đơn vị 41 ... ảnh d qua phép tịnh tiến r v(1;3) Tur , tìm d” ảnh d’ qua phép tịnh tiến theo vectơ b Viết phương trình (C”) ảnh đường trịn (C) thưc liên tiếp có thứ tự hai phép r Tur Tvr v(1;3) tịnh tiến với