Vận dụng quy trình giải toán của g pôlya đề bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua dạy học một số dạng bài tập về số phức lớp 12

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG KHOA TỐN - CƠNG NGHỆ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI TOÁN CỦA G.POLYA ĐỂ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TỐN CHO HỌC SINH THƠNG QUA MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC LỚP 12 PHÚ THỌ - 2014 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Đất nước ta đường cơng nghiệp hóa, đại hóa, để cơng thành cơng người nhân tố định Trong năm qua, với phát triển chung nước, lãnh đạo Đảng, nghiệp phát triển giáo dục đào tạo có vị trí chiến lược quan trọng việc xây dựng người mới, phát triển kinh tế xã hội, người có lực lao động sáng tạo, tích cực, chủ động, có lực giải vấn đề thường gặp, qua góp phần thực thắng lợi mục tiêu Đất nước Mục tiêu giáo dục đào tạo “nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, xây dựng người phát triển toàn diện”, việc đổi phương pháp dạy học nhu cầu cấp bách việc phát triển tư Toán học học sinh trung học phổ thông vấn đề quan trọng Định hướng đổi phương pháp dạy học xác định Nghị Trung ương khóa VII (1 - 1993), Nghị Trung ương khóa VIII (12 - 1996), thể chế hóa Luật Giáo dục (12 - 1998), cụ thể hóa thị Bộ Giáo dục Đào tạo, đặc biệt thị số 15 (4 – 1999) Luật Giáo dục, điều 24.2, ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Có thể nói cốt lõi việc đổi dạy học hướng tới hoạt động học tập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Luật giáo dục năm 2005 ghi: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo người học, bồi dưỡng lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” (Chương I, điều 5) Thực nhiệm vụ năm qua ngành Giáo dục tích cực tiến hành đổi nội dung phương pháp dạy học Quan điểm chung đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường trung học phổ thơng làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, chống lại thói quen học tập thụ động Trong việc đổi phương pháp dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thông, việc bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh đặc biệt quan trọng cần tiến hành thường xuyên em hệ nhân tài tương lai Đất nước Muốn giải tốn, ngồi việc nắm vững kiến thức tốn học cịn cần phải có phương pháp suy nghĩ khoa học với tốn chưa có sẵn thuật giải chiếm phần lớn mơn tốn, gây cho học sinh khơng khó khăn q trình giải tốn Do người giáo viên phải biết đề lúc, chỗ câu hỏi gợi mở, phù hợp với trình độ học sinh chừng mực sử dụng khéo léo linh hoạt bảng gợi ý G.Pôlya (G.Pôlya - Giải tập nào?) [12] Việc giải tốn khơng đơn cung cấp lời giải mà quan trọng dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm đường hợp lý để giải tốn Trong dạy học thầy thường cho học sinh biết có nhiều trường hợp từ tốn cụ thể lại minh họa nhiều cách giải khác nhau, điều góp phần lớn cho việc luyện tập tốn Vì thế, việc giải tập không nên thỏa mãn dừng lại với kết có, mà phải chịu khó tìm tịi, khám phá sở biết, qua rút phương pháp giải chung cho tốn có dạng tương tự Mặt khác, nội dung mơn tốn: Trong hệ thống kiến thức đưa vào chương trình dạy cho học sinh trung học phổ thơng, ngồi nội dung quen thuộc mơn tốn phép biến hình, Vectơ tọa độ, Tập hợp, Phương trình bất phương trình, Hàm số đồ thị, yếu tố phép tính vi phân tích phân, Đại số tổ hợp, số phức đưa vào chương trình mơn tốn trường trung học phổ thơng hồn thiện hệ thống số khai thác số ứng dụng khác số phức Đại số, Hình học Lượng giác Số phức xuất từ kỉ XIX nhu cầu phát triển tốn học giải phương trình Đại số Từ đời, số phức thúc đẩy toán học tiến lên mạnh mẽ giải nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật Số phức dùng cơng cụ hữu hiệu để giải nhiều toán Đại số, Hình học lẫn Lượng giác, Tổ hợp, Với trở lại số phức trường trung học phổ thơng nhiều vấn đề tốn sơ cấp trình bày rõ ràng cụ thể Trong chương trình giải tích 12 nay, chương Số phức đưa vào, gồm phần: Khái niệm số phức; Các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia hai số phức; Phương trình bậc hai với hệ số thực, phương trình bậc hai với hệ số phức (nâng cao) biểu diễn số phức dạng lượng giác (nâng cao) chiếm vị trí quan trọng thường có đề thi tốt nghiệp, Đại học Cao đẳng Tuy vậy, học sinh trung học phổ thơng số phức nội dung cịn mẻ, với thời lượng khơng nhiều, học sinh biết kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế, đặc biệt việc giải thành thạo dạng tập số phức vấn đề khó, địi hỏi học sinh phải có lực giải toán định, biết vận dụng kiến thức đa dạng toán học Xuất phát từ lí tơi chọn đề tài là: “Vận dụng quy trình giải tốn G.Pơlya để bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh thơng qua dạy học số dạng tập số phức lớp 12 ” Mục tiêu khóa luận Việc nghiên cứu đề tài nhằm mục tiêu vận dụng quy trình giải tốn G.Pơlya để bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh thơng qua dạy học số dạng tập số phức lớp 12 để rèn luyện cho học sinh tư quan sát dự đốn giải tốn, phân tích tìm tịi cách giải trình bày lời giải tốn, nhận biết quan hệ dạng tập số phức Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận quy trình giải tốn G.Pơlya, lực giải số dạng tập số phức lớp 12 trường trung học phổ thông Vận dụng quy trình giải tốn G.Pơlya giúp học sinh định hướng đường lối giải toán để giải số dạng tập số phức lớp 12 Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính đắn hiệu việc vận dụng quy trình giải tốn G.Pôlya Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận Đọc nghiên cứu tài liệu lí luận (triết học, lý luận giáo dục lý luận dạy học mơn tốn, …); nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài phân hóa, hệ thống hóa kiến thức để làm sáng tỏ phương pháp dạy học số dạng tập số phức lớp 12 thơng qua quy trình giải tốn G.Pơlya 4.2 Phương pháp quan sát, điều tra Qua tiết dự giáo viên dạy, trao đổi với giáo viên dạy tốn trung học phổ thơng, tìm hiểu tình hình học tập vận dụng quy trình giải tốn G.Pơlya vào giải số dạng tập số phức học sinh lớp 12 4.3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu 4.4 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giảng viên khác để hồn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Quá trình dạy học giải toán lớp 12 - Phạm vi: Trường THPT Thanh Ba, huyện Thanh Ba, tỉnh Phú Thọ Ý nghĩa khoa học Góp phần làm rõ sở lí luận lực, lực toán học, lực giải toán thực trạng việc bồi dưỡng lực giải tốn học sinh trung học phổ thơng Đưa số dạng tập số phức vận dụng quy trình giải tốn G.Pơlya từ bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thơng Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận chia thành chương: Chương 1: Cơ sở lí luận thực tiễn Chương 2: Vận dụng quy trình giải tốn G.Pơlya để bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh thông qua số dạng tập số phức lớp 12 Chương 3: Thử nghiệm sư phạm CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lý luận dạy học giải tập toán 1.1.1 Mục đích, vị trí, vai trị, ý nghĩa tập tốn trường phổ thơng G.Pơlya cho rằng: “Trong tốn học, nắm vững mơn tốn quan trọng nhiều so với kiến thức túy mà ta bổ sung nhờ sách tra cứu thích hợp Vì vậy, trường trung học trường chuyên nghiệp, ta không truyền thụ cho học sinh kiến thức định, mà quan trọng nhiều phải dạy cho họ đến mức độ nắm vững mơn học Vậy nắm vững mơn tốn ? Đó biết giải tốn !” [13, tr.82] Trên sở ta thấy rõ mục đích, vị trí, vai trị ý nghĩa tập tốn trường trung học phổ thơng sau: 1.1.1.1 Mục đích Để đào tạo người đáp ứng đòi hỏi xã hội ngày nay, người động sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có trí tuệ, có khả lao động kĩ thuật cao, … nhà trường phổ thông đặt nhiều mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo Tốn học có vai trị to lớn đời sống, khoa học công nghệ đại, kiến thức tốn học cơng cụ để học sinh học tập tốt môn học khác, giúp học sinh hoạt động có hiệu lĩnh vực Vì vậy, dạy học tốn nói chung, giải tập tốn nói riêng cần xác định mục đích cụ thể, sát thực Có thể thấy rõ số mục đích tập tốn trường phổ thơng là: - Phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh biết tri thức khoa học nhân loại tiếp thu thành kiến thức thân, thành công cụ để nhận thức hành động đắn lĩnh vực hoạt động học tập sau - Làm cho học sinh bước nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kỹ toán học phổ thông bản, đại, phù hợp với thực tiễn có lực vận dụng tri thức vào tình cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập môn khoa học khác - Thông qua việc giải tập, học sinh khắc sâu kiến thức học, biết xâu chuỗi kiến với nhau, kích thích tìm tịi, sáng tạo kiến thức Qua rèn luyện tư lơgic, sáng tạo, tính kiên trì, cần cù, chịu khó, người học sinh - Bồi dưỡng giới quan vật biện chứng, hình thành phẩm chất đạo đức người lao động 1.1.1.2 Vị trí vai trị tập toán Trong dạy học toán trường trung học phổ thơng, tập tốn có vai trị vơ quan trọng, theo Nguyễn Bá Kim: “Ở trường phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Các tập tốn trường phổ thơng phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực tốt nhiệm vụ dạy học tốn trường phổ thơng Vì vậy, tổ chức có hiệu việc dạy giải tập tốn học có vai trị định chất lượng dạy học toán” [6, tr.201] Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập tốn học có vai trị quan trọng mơn tốn Điều tập có vai trị giá mang hoạt động học sinh Thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến tốn học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngơn ngữ” [6, tr.388] Như tập tốn trường phổ thơng có vị trí, vai trị quan trọng hoạt động dạy, học toán trường trung học phổ thơng Vì thế, cần lựa chọn tập toán cho phù hợp với đối tượng lực học sinh, phát huy lực giải toán học sinh 1.1.1.3 Ý nghĩa tập tốn Ở trường phổ thơng, dạy toán dạy hoạt động toán học Đối với học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Việc giải toán có nhiều ý nghĩa, cụ thể là: - Đó hình thức tốt để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức rèn luyện kỹ Trong nhiều trường hợp, giải tốn hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự tìm kiếm tri thức - Đó hình thức vận dụng kiến thức học vào vấn đề cụ thể, vào thực tiễn vào vấn đề - Đó hình thức tốt để giáo viên kiểm tra học sinh học sinh tự kiểm tra lực, mức độ tiếp thu vận dụng kiến thức học - Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh, phát triển trí tuệ giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt 1.1.2 Chức tập toán Trong thực tiễn dạy học, tập toán học sử dụng với nhiều dụng ý khác Một tập tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố kiểm tra, … Mỗi tập cụ thể đặt thời điểm q trình dạy học chứa đựng cách tường minh hay ẩn tàng chức khác nhau, chức ảnh hưởng đến mục đích dạy học mơn tốn, hệ thống tập có chức sau: - Với chức dạy học, tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo giai đoạn khác trình dạy học Cụ thể như: Làm sáng tỏ khắc sâu vấn đề lý thuyết; thu gọn, mở rộng, bổ sung cho lý thuyết sở thường xuyên hệ thống hóa kiến thức nhấn mạnh phần trọng tâm lí thuyết Đặc biệt tập mang tác dụng giáo dục kĩ thuật, tổng hợp thể qua việc giúp học sinh rèn luyện kĩ tính tốn, kỹ đọc hình vẽ, kĩ sử dụng phương tiện học tập, kỹ thực hành toán học; phương pháp tư duy, thói quen đặt vấn đề cách hợp lí, ngắn gọn tiết kiệm thời gian, … Chẳng hạn, sau dạy cho học sinh phương pháp tam thức bậc hai để giải phương trình phức, đưa ví dụ sau đây: Ví dụ 1: (Đề thi khối A năm 2009) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: z  z  10  Tính giá trị biểu thức A  z1  z2 2 Để tính giá trị A học sinh phải giải phương trình để tìm z1 ; z2 mà để tìm z1 ; z2 cách dễ dàng sử dụng tam thức bậc hai, từ dẫn học sinh tới việc tính  ' Lời giải Ta có:  '     3i  Nên phương trình có nghiệm: z1 = - - 3i; z2 = - + 3i Vậy: z1  z2   1   3    1  32  20 2 2 Ví dụ 2: Tìm số phức m để phương trình: z  mz   2i  nhận z   i làm nghiệm giải phương trình với m tìm Để tìm m, học sinh cần ý giả thiết tốn, sau tìm m học sinh sử dụng tam thức bậc hai để giải phương trình dễ dàng Lời giải Ta có : z   i nghiệm phương trình khi: 10 (2 z  w)  2( z  iw)  3i  2.2  w  4  3i  2i w  (4  3i )(1  2i ) w   11i 11  w   i 5 Từ z   iw   (  11i )i    i 5 2 11 Vậy hệ có nghiệm ( z , w)  (  i;  i ) 5 5 - Kiểm tra lại lời giải, lập - Kiểm tra chỉnh sửa cần thiết luận trình giải - Có cách khác để giải - Cách khác: hệ không? 2 z  w  3i Hệ phương trình:  có:  z  iw  D  1  2i ; i D1  3i i D2  3i   3i z w  1; D1 1     i; D 1  2i 5 D2  3i 11    i D 1  2i 5 Nhận xét: Có thể dùng định Vậy nghiệm hệ là: 2 11 ( z , w)  (  i;  i ) 5 5 thức cấp để giải hệ phương trình tập số phức 144 Củng cố - Qua ví dụ ta thấy, để giải toán cần thực tốt bước giải - Cần có hướng tiếp cận khác để tìm nhiều cách giải cho toán khái quát hóa, tương tự hóa mở hướng giải chung cho dạng tốn Hướng dẫn nhà Làm tập sau: Bài 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thoả mãn điều kiện sau đây:  z  z  Bài 2: Tính: A  i n  i n1  i n  i n3  n  *  Bài 3: Giải hệ phương trình sau: (1)  z  w  3(1  i )  3  z  w  9(1  i ) (2) 145 Giáo án 4: Tiết 7, 8: Vận dụng quy trình giải tốn G.Pơlya vào dạng tập số phức (tiết 2) I Mục tiêu Kiến thức: Nắm bước quy trình giải tốn G.Pơlya Kĩ năng: Vận dụng thành thạo bước quy trình giải tốn G.Pơlya vào số dạng tập số phức phân chia Thái độ: Hăng say, tích cực lĩnh hội tri thức II Chuẩn bị Giáo viên: Giáo án Học sinh: Đồ dùng học tập, kiến thức số phức III Tiến trình dạy học Ổn định tổ chức lớp - Ổn định lớp - Kiểm tra sĩ số: vắng: Kiểm tra cũ: Kết hợp trình dạy Bài Hoạt động GV Hoạt động HS Dạng lượng giác số phức 3.1 Chuyển số phức sang dạng lượng giác Ví dụ 1: Viết dạng lượng giác tính: 1  i  2012 - u cầu tốn gì? - Bài toán yêu cầu viết dạng lượng giác tính 1  i  - Để làm điều 2012 ta - Sử dụng kiến thức số phức, chuyển thường sử dụng kiến thức số phức sang dạng lượng giác, công thức 146 nào? Moivre - Có thể viết  i sang dạng - Có theo lí thuyết: lượng giác không? z  a  bi  a  b ( - Hãy sử dụng: z  a  bi  a  b2 ( a b 2  a b 2 a  b2  a  b2 i) i) để xác định dạng lượng giác  i Và sử dụng công thức Moivre để tính 1  i  2012 - Trình bày lời giải Lời giải   Ta có 1  i     i        cos  i sin  4  Áp dụng công thức Moivre: 1  i   2012  2 2012 2012 2012    isin  cos  4    21006  cos503  isin503   21006  1  0i   21006 - Kiểm tra lại kết quả, xem lại - Kiểm tra lại chỉnh sửa cần lập luận q trình giải - Có thể đưa tốn tương tự khơng ? - Có Ví dụ: Viết số phức sau dạng lượng 147 giác: z   i 1  i   - Có thể giải không? Lời giải Đặt z  z1 : z1  z2    i , z2  1  i     i  2  i 2          cos     isin         6   9   9    z19  29 cos     isin          Ta có: +) z1        29  cos  isin  2     i +) z2  1  i           cos  isin  4  5 5    z25   cos  isin  4   5 5     cos  isin  4   z19 z z2     3  64 cos       3   isin        3.2 Ứng dụng dạng lượng giác Ví dụ 1: Giải phương trình: z  z  z  z  z   (1) - Yêu cầu toán gì? - Bài tốn u cầu giải phương trình: 148 z5  z4  z3  z2  z   - Có thể giải (1) theo - Có phương pháp giải phương trình thực khơng? - Đây phương trình bậc - Tìm cách đưa dạng phương trình cao, làm để giải biết cách giải phân tích thành nhân tử vế được? trái phương trình (nếu có thể) - Ngồi q trình giải - Sử dụng kiến thức số phức, chuyển ta sử dụng kiến số phức sang dạng lượng giác, công thức thức nào? Moivre, ứng dụng dạng lượng giác - Có thể đưa (1) dạng tích - Có, ta ghép số hạng liền kề lại, nhân tử đưa đưa (1) tích nhân tử z  phương trình ẩn z biết z  z  cách giải không? - Phương trình: z  z   - Có z  z   có dạng giải khơng? phương trình bậc hai - Hãy sử dụng kiến thức để phân tích đa thức thành nhân tử từ đưa (1) tích nhân tử chung Từ đưa hệ phương trình tương đương - Sử dụng cách giải phương trình bậc hai để tính z vận dụng kiến thức chuyển số phức sang dạng lượng giác, cơng thức 149 Moivre để tìm z - Trình bày lời giải Lời giải Ta có: (1)  z ( z  1)  z ( z  1)  ( z  1)   ( z  1)( z  z  1)   z  1  z  z 1  Xét phương trình: z4  z2   0 z2   z   z   z  z2  1  3i   i 2   i 2 2 2  cos  isin 3  2   2   cos     isin        Từ z  cos 2 2  isin 3     z  cos  isin   z  cos  -isin   3  2 Từ z2 = z  cos      2    isin            z  c os   isin      3   3        z  cos    -isin         150 Tóm lại phương trình cho có tất nghiệm: z1  1; z2  z4  3  i; ; z3    i; 2 2 3  i ; z5    i 2 2 - Kiểm tra lại kết quả, xem lại - Kiểm tra lại lời giải chỉnh sửa cần lập luận q trình giải - Có thể giải tốn theo - Có: cách khác khơng ? z5  z4  z3  z2  z    ( z  1)( z  z  z  z  z  1)   z6    z6   z  cos0  isin  zk  cos k 2 k 2  isin , k  1,6 n n Từ rút nghiệm (trừ nghiệm z=1): z1  1; z2  3  i ; z3    i; 2 2 3  i ; z4    i 2 2 z4  Lời giải - Giải toán tương tự sau: Cho z1 ; z2 hai số phức xác định bởi: z1   i 3; z2   i Ta có z1  i      i = =  2 z2 1 i   Ta có: z1  2(cos Xác định dạng đại số dạng 151    i sin ) ; 3 lượng giác z1  từ suy z2  2(cos  z2  giá trị xác của: cos 7 7 sin 12 12       i sin     )  z1 7 7  2(cos  i sin ) z2 12 12  cos 7 12 = 1 7  sin = 2 12 Củng cố - Trong trình giải ý thực đầy đủ bước quy trình, cố gắng quan sát, tìm tịi theo khía cạnh khác để tìm nhiều cách giải cho tốn biết giải toán tương tự, tổng quát - Vận dụng quy trình giải tốn G.Pơlya để giải tập sau: Bài 1: Giải phương trình sau  : z  z  z  z   (*) Bài 2: Cho số phức z0 có mơđun argument 2 a) CMR: z0 nghiệm phương trình z   1  1  b) Hãy suy z0 nghiệm phương trình:  z     z     z   z  c) Giải phương trình câu b) từ suy giá trị z0 biểu thức giá trị cos 2 2 sin 5 152 Phụ lục Hướng dẫn giải đáp số tập tự luyện 2.4.1 Dạng đại số số phức Bài 1: ĐS: a) 13 Bài 2: ĐS: a) b) -10 34 b) Bài 3: ĐS: a) cos x  i sin x b) c) -16 37 d) a  b2 2ab  2 a  b a  b2 Bài 4: ĐS: a) 2i n1 3 2 1 2 c) d) b) 1  32i 25 1 i i Bài 5: HD: Để ý :       2 a) a  b  c  (ab  bc  ca ) b) a  b3 c) 2(a  b3  c )  3(a 2b  a 2c  b a  c 2b  c a )  12abc d) a  ab  b Bài 6: ĐS: a) x   i, y  i b) x   i, y   i i i Bài 7: ĐS: a) 0; 1;   ;  2 2 b) 0; 1;  1; i;  i Bài 8:ĐS: 2xy y  x2  b) x  ( y  1) x  ( y  1) a) x  y  x 2( xy  y  2) ; 2 Bài 9: ĐS: a) 22  i 25 25 b) 1  i Bài 10: ĐS: b) Bài 11: ĐS: a)  i 5 b) 21  i 34 17 Bài 12: ĐS: 153 c)  i 11 d) 117  44i a) z  z ' số thực b  b , số ảo a  a ', b  b b) z  z ' số thực b  b , số ảo a  a ', b  b Bài 13:HD: a) z  a  b  2abi z số thực a = b = a = b = z số ảo a  b  b) z  a  3ab  (3a 2b  b3 )i z số thực b = b2 = 3a2 z số ảo a = 0, b  a2 = 3b2, b  Bài 14: ĐS: a) Đường thẳng y = x b) Trục ảo Oy trừ (i) Bài 15: ĐS: a) Trục thực Ox từ gốc O b) Elip Bài 16: ĐS: b   a Bài 17: HD: b) z1  z2  z3 , z2  z3  z1 , z3  z1  z2 Bài 18: HD:  a) z  z    x  y  Suy z  z   x  y Vậy tập hợp cần tìm hai đường thẳng: y =  x b) z 1   x  nên có hai số phức thỏa mãn đề là: z 3 z1 = 2(1 + i) z2 = 2(1 – i) Bài 19: HD: cặp số + 2i, – 2i   i,1   i cặp số phức liên hiệp nên hai điểm A, D hai điểm B, C đối xứng qua Ox; phần thực hai số đầu khác phần thực hai số sau nên ABCD hình thang cân Do tứ giác nội tiếp đường trịn có tâm J nằm trục đối xứng Ox; J biểu diễn số thực x cho :   JA  JB   x  2i   x   i  x  Từ suy tâm đường trịn biểu diễn : z = 154   i, DB biểu diễn số phức  * Cách khác: AB biểu diễn số phức  3i Mà    3i  3i nên AB.DB  i   Tương tự (hay lí đối xứng qua Ox), DC AC  Từ suy AD đ/kính đường trịn qua điểm A, B, C, D 2.4.2 Căn bậc hai phương trình Bài 1: ĐS: a) 10 b) i 13 Bài 2: ĐS: a)    i  b)  Bài 3: ĐS: a)    2i   i  b)    2i  Bài 4: ĐS: a)  1  3i  b)  1  3i  c)    i   3  i  Bài 5: ĐS:   17 ,  i 8  17 Bài 6: ĐS: Có số phức: i; Bài 7: ĐS: Có số phức: i i  ;  2 2 2 1  i   1  i  2 Bài 8: ĐS: (n  mi)   m  ni  Bài 9: ĐS: a) z  1 i Bài 10: ĐS: a) z  1  i Bài 11: ĐS: a)  i  0;  2i Bài 12: ĐS: a) z  1 i b) z  5i  i 2 b) b) 6 i 6 b) z  1  i  Bài 13: HD: Đặt z  x  yi dẫn đến hệ phương trình hai ẩn x, y: 155 d) ĐS: a) z1  0, z2  1, z3  b) 1,  2, 3 i ; z4   i 2 2 1  23i 1  23i , 2 Bài 14: ĐS: z  (6  2i ) z  6i   Bài 15: ĐS: a) x   i  2 b) x  4  i Bài 16: HD: Ta có: x    x  2  x  2    x    x  2x       x  2x   x 1 i Bài 17: ĐS: b) z2   i ; z3    13 13  ; z4  6 Bài 18: HD: Ta có : z   ( z  2i )( z  2i )  Nghiệm z  2i  bậc hai 2i , là: z1   i, z2  1  i Nghiệm z  2i  bậc hai 2i , là: z3   i, z4  1  i Vậy z   có nghiệm z1 , z2 , z3 , z4 2.4.3 Dạng lượng giác số phức Bài 1: ĐS: a)  2        cos     i.sin        i  1 i 2     4   3 3  b)  cos  i.sin 4  Bài 2: ĐS: a) c) cos  2  i  i   2  2    3 3    cos  isin  4      b)  cos  isin  2  2 2  i.sin 3 156 Bài 3: ĐS: z    i   cos  isin   : 5 cos   3 ,sin    (    5 Bài 4: ĐS: a)  5  ; b)   Bài 5: HD: a) Ta có :  i tan  1 i sin  cos      cos  isin     5  cos  cos  5 b)  cos  isin   2sin   2isin  cos       cos     isin           Bài 6: ĐS: a) Nếu hiệu hai acgumen k 2 , k   b) Nếu hiệu hai acgumen   2k , k  Bài 7: ĐS: a) Argz1  Argz    k 2 Argz1  Argz     k 2 c) Argz1    Argz  2k Argz1  Argz    Bài 8: ĐS: a) z  i b) d)  k 2 b) 12 16  i 5 Bài 9: ĐS: a) Các đường trịn tâm O bán kính R  2, R  b) Đó tia khơng kể gốc O , : Oz1 , Oz2 , Oz3 , Oz4 Bài 10: HD: Cách 1: Đưa toán tọa độ Cách 2: Dự đoán tâm i   3i  157 Cách 3: Chứng minh góc lượng giác Bài 11: ĐS: a) i 2 b) Bài 12: ĐS: a) 128i c) 256 1 16 b) c) 1 n n    isin Bài 13: ĐS: a)  cos  4   n b) 2cos 2n Bài 14: ĐS:     a) z1  cos     isin     8  8 b) z1  cos  12  isin     z2  cos     isin     8  8  z2   cos 12 7 7   c) z1   cos  isin  12 12    7i  Bài 15: HD:      3i  n Số số thực  sin Số số ảo  cos  12  isin  12 7 7   z2    cos  isin  12 12      cos n4  isin n4  n n   n  4k (k nguyên dương) n   n  4k  (k số nguyên không âm) 158