Giải bài toán đưa về pt bậc hai

LờI NóI ĐầUĐây là tài liệu nói về phơng pháp học giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ và tìm lời giải của một bài toán trê

i LờI NóI ĐầU

Đây là tài liệu nói về phơng pháp học giải toán bằng cách lập phơng

trình bậc hai nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ

và tìm lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học Tài liệu này là cầu nối giữa lí thuyết và thực hành toán học

Học giải toán là một cách t duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừu tợng và khá khó đối với học sinh, nhng đó lại là điều rất cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trờng THCS

Nội dung giới thiệu:

1 Các bài toán điển hình, mỗi bài toán đều gồm:

 Đề bài

 Tìm hiểu đề bài

 Hớng dẫn cách tìm lời giải

 Cách giải

 Khai thác bài toán

2 Các bài toán tự giải

Các vị phụ huynh học sinh, các thầy cô giáo có thể dùng tài liệu này làm tài liệu hớng dẫn con em mình học tập Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp ích nhiều cho học sinh để có thể phát huy nội lực trong giải toán nói riêng và học toán nói chung

ii Nội dung Giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai

A Các bài tập điển hình Bài 1:

a Tìm hai số biết tổng là 22 và tổng các bình phơng là 250

b Tìm một số có hai chữ số biết rằng số này gấp 8 lần tổng hai chữ

số của nó và nếu thêm 13 và tích hai chữ số đó thì sẽ đợc số viết theo thứ

tự ngợc lại

 Tìm hiểu đề bài

Đây là bài toán tìm số ở câu a phải tìm hai số khi biết tổng và tổng các bình phơng của chúng ở câu b phải tìm một số có hai chữ số theo một số điều kiện cho trớc

 Hớng dẫn cách tìm lời giải

a Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai sẽ là 22 - x Tổng các bình

ph-ơng của chúng là x2 + (22 - x)2 = 250 Tiếp tục giải phơng trình bậc hai này

b Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị heo thứ tự là x và y Số phải tìm

sẽ là 10x + y, số viết theo thứ tự ngợc lại là 10y + x Từ đó mà lập phơng trình

 Cách giải

a Gọi số thứ nhất là x (x > 0), số thứ hai sẽ là 22 - x Theo bài ra ta

có phơng trình:

x2 + (22 - x)2 = 250, hay x2 + 484 - 44x + x2 - 250 = 0;

2x2 - 44x + 234 = 0 hay x2 - 22x + 117 = 0

Giải ra ta sẽ tìm đợc x1 = 13; x1 = 9, thỏa mãn điều kiện ở trên Vậy hai số phải tìm là 13 và 9

b Gọi chữ số hàng chục là x (0 < x  9), chữ số hàng đơn vị là y (0

< y  9) với x > y

Theo bài ra ta có hệ phơng trình:

   

 

x y x y

y x xy

  





  



(1)  10x + y = 8x + 8y => 2x = 7y => x = 7 y

x

Thay giá trị x vào (2) ta đợc:

10y + 7

2

y

= 7 2

y

.y +13 => 7y2 - 27y + 26 = 0

=> y1= 2; 2

13 7

y  (loại)

Từ đó suy ra 7 7.2 7

2 2

y

x    , thỏa mãn điều kiện ở trên

Vậy số phải tìm là 72

 Khai thác bài toán

Có thể giải hai bài toán tơng tự:

a Tổng các bình phơng của hai số hơn kém nhau 3 thì bằng 98 Tìm hai số đó

b Phân tích số 270 thành hai thừa số mà tổng bằng 33

- Với bài toán a ta gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là x + 3 Theo bài ra ta có phơng trình: x2 + (x + 3)2 =89  2x2 + 6x - 80 = 0

=> x1  5; x2  8 (loại)

Vậy hai số phải tìm là 5 và 8

- Với bài toán b nếu gọi số thừa số thứ nhất là x thì thừa số thứ hai là

33 - x Theo bài ra ta có phơng trình:

x(33 - x) = 270  x2 - 33x + 270 = 0

=> x1  18; x2  15

Vậy số 270 có thể phân tích thành hai thừa số là 18 và 15

Bài 2:

a Đa giác mà số đờng chéo lớn hơn số cạnh là 12 là đa giác gì?

b Đờng cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành hai đọan hơn kém nhau 5,6m Tính độ dài cạnh huyền

 Tìm hiểu đề

Đây là loại toán có nội dung hình học Câu a đòi hỏi phải nắm đợc công thức tính số đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh Câu b liên quan

đến hệ thức lợng trong tam giác vuông

 Hớng dẫn cách tìm lời giải

a Một đa giác lồi n cạnh có số đờng chéo là  3

2

n n

Từ đó mà lập phơng trình để tìm n khi biết số đờng chéo hơn số cạnh là 12

b Gọi hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6 áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông h2 = b'.c' (h là độ dài đờng cao, b' và c' là hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền) Từ đó tìm đợc x và độ dài cạnh huyền của tam giác vuông

 Cách giải

a Gọi n là số cạnh của đa giác (n là số nguyên dơng) Ta biết rằng

số đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh là  3

2

Theo bài ra ta có phơng trình:

2

8 3

2

n





Vậy đa giác phải tìm là bát giác (hình tám cạnh)

b Gọi hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6 (m) với

x > 0

Theo hệ thức lợng trong tam giác vuông ta có: h2 = b'.c' hay:

9,62 = x(x + 5,6)  x2 + 5,6x - 92,16 = 0

=> x1

= 7,2 (thỏa mãn)

x2

= -12,8 (loại)

Ta có hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền là 7,2m và 7,2 + 5,6 = 12,8m Vậy cạnh huyền có độ dài là: 7,2 + 12,8 = 20m

 Khai thác bài toán

Bài toán có nội dung hình học đòi hỏi phải nắm vững kiến thức về hình học Ta có thể xét thêm bài toán sau:

Cho một số điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào

thẳng hàng thì số đờng thẳng qua từng cặp điểm một là  1

2

n n

(đờng thẳng)

Theo bài ra ta có phơng trình:

 1

2

n n

= 45  n2 - n - 90 = 0 => n = 10

Lu ý: nếu trong n điểm có đúng 3 điểm thẳng hàng thì số đờng thẳng

vẽ đợc sẽ giảm đi 2 (vì qua 3 điểm không thẳng hàng thì vẽ đợc 3 đờng thẳng còn qua 3 điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ đợc một đờng thẳng)

Bài 3:

a Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc dòng 36 km Thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngợc dòng là 6 km/h Tìm vận tốc của canô khi xuôi và khi ngợc dòng

b Một ngời đi xe đạp từ địa điểm M đến địa điểm N trong một thời gian đã định Khi còn cách N 30 km ngời ấy nhận thấy nếu giữ nguyên

vận tốc đang đi thì sẽ đến N chậm mất 1

2 giờ , do đó đã tăng vận tốc lên

5 km/h nên đến sớm hơn 1

2 giờ Tìm vận tốc xe đạp lúc đầu?

 Tìm hiểu đề bài

Đây là loại toán chuyển động ở câu a là canô xuôi dòng và ngợc dòng, ở câu b là ngời đi xe đạp sẽ đến nơi chậm và đến nơi sớm hơn thời gian dự định nếu tăng vận tốc ở cả hai câu đều yêu cầu tìm vận tốc

 Hớng dẫn cách tìm lời giải

a Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h, vận tốc khi ngợc dòng

sẽ là x - 6 km/h Hãy tính thời gian khi xuôi dòng và khi ngợc dòng, từ

đó mà lập đợc phơng trình bậc hai Sẽ tìm đợc hai đáp số

b Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h Hãy tính thời gian đi 30 km lúc đầu và thời gian đi 30 km khi đã tăng vận tốc thêm 5 km/h Từ đó mà lập đợc phơng trình bậc hai

 Cách giải

a Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h (x > 0), vận tốc khi

ng-ợc dòng sẽ là x - 6 km/h

Thời gian xuôi dòng là 90

x giờ, khi ngợc dòng là 36

6

x  giờ Do thời gian xuôi nhiều hơn thời gian ngợc là 2 giờ nên ta có phơng trình:

2

=> x 1 15 (t/m) ; x 2 18 (t/m)

Vậy vận tốc canô khi xuôi dòng là 15 km/h hoặc 18 km/h

vận tốc canô khi ngợc dòng là 9 km/h hoặc 12 km/h

b Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h, khi đã tăng vận tốc là(x + 5) km/h, (x > 0)

Thời gian đi 30 km lúc đầu là30

x , lúc sau là 30

5

x  (giờ) Theo bài ra ta có phơng trình:

30 1 30 1

2 5 2

x  x 

Ta đợc phơng trình bậc hai x2  5x 150 0  Giải ra ta đợc nghiệm

là x1  10,x2  15 (loại) vậy vận tốc xe đạp lúc đầu là 10km/h

 Khai thác bài toán

Sau đây là bài toán tơng tự

Hai bến sông A và B cách nhau 40km Cùng một lúc với canô xuôi

từ bến A là một chiếc bè trôi từ A với vận tốc 3km/h Sau khi đến B canô trở ngay về A và gặp bè khi bè trôi đợc 8km Tính vận tốc riêng của canô biết rằng vận tốc riêng của canô không đổi Thời gian từ lúc đi đến khi

về gặp bè là 2giờ 40phút

Trong bài này cần lu ý là có chiếc bè trôi, nh thế vận tốc bè trôi 3km/h chính là vận tốc dòng nớc

Gọi vận tốc riêng của canô là x km/h ( x>o) Thời gian lúc xuôi là 40

3

x  , thời gian lúc ngợc là 32

3

x  giờ

Theo bài ra ta có phơng trình:

40 32 8

3 3 3

x  x  , ( đổi 2giờ 40 = 8

3giờ )

Giải ra ta sẽ tìm đợc x= 27 Vậy vận tốc riêng của canô là 27km/h

Bài 4:

a) Ngời ta trộn lẫn 8g dung dịch A vời 6g dung dịch B có khối lợng riêng nhỏ hơn nó là 200 kg/m3 để đợc một dung dịch có khối lợng riêng

là 700kg/m3 Tìm khối lợng riêng của mỗi dung dịch

b) Hai vòi A và B cùng chảy vào một bể không có nớc và chảy đầy

bể trong 2 giờ 55 phút Nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi B là 2 giờ Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu mới đầy bể ?

 Tìm hiểu đề bài

a) Đây là bài toán về hỗn hợp, trộn hai dung dịch A và B để đợc một dung dịch mới

b) Loại toán này là toán về vòi nớc chảy

 Hớng dẫn cách tìm lời giải

a) Gọi khối lợng riêng của dung dịch A là x kg/m3, khối lợng riêng của dung dịch B sẽ là x- 200kg/m3 Hãy tính thể tích của dung dịch A và của dung dịch B rồi tính khối lợng của hỗn hợp và thể tích của hỗn hợp

Từ đó mà lập phơng trình của bài toán

b) Gọi số giờ để vòi A chảy riêng đầy bể là x, số giờ vò B chảy riêng

đầy bể sẽ là x+ 2 Hãy tính xem trong 1 giờ mỗi vòi rồi cả hai vòi chảy vào đợc bao nhiêu phần bể Từ đó mà lập đợc phơng trình

 Cách giải

a) Gọi khối lợng riêng của dung dịch A là x kg/m3 Khối lợng riêng của dung dịch B sẽ là (x-200) kg/m3 với x>200

Đổi 8g = 0,008 kg và 6g = 0,006kg Ta có:

Thể tích dung dịch A là 0,008

x , thể tích dung dịch B là 0,006

200

x  Khối lợng của hỗn hợp là 0,008 + 0,006 = 0,014 Thể tích của hỗn

hợp là 0,014

700

Theo bài ra ta có phơng trình:

0,008 0,006 0,014

200 700

200 700 50

400(x - 200) + 300x = x2- 200 ; x2 - 900x + 80 000 = 0

Giải ra tìm đợc x1 = 800, x2 = 100 ( loại vì nhỏ hơn 200)

Vậy khối lợng riêng của dung dịch A là 800kg/m3 và của dung dịch

B là 600 kg/m3

b) Gọi số giờ để vòi A chảy riêng đầy bể là x( x > 0) Số giờ để vòi B chảy đầy bể sẽ là x + 2

Trong 1 giờ vòi A chảy vào đợc 1

x bể, vòi B chảy vào đợc 1

2

x  bể, cả

hai vòi chảy trong 1 giờ đợc 1:35 12

12 35 bể (đổi 2giờ 55phút thành 35

12 giờ)

Theo bài ra ta có phơng trình:

2 35

xx  hay 35(x+2) +35x =12x(x+2)

Thực hiện phép tính đợc phơng trình 6x2- 23x- 35 = 0 Giải ra ta đợc hai nghiệm 1 2

7 5,

6

x  x  ( loại)

Vậy nếu chảy riêng thì vòi A phải chảy trong 5 giờ và vòi B phải chảy trong 7 giờ mới đầy bể

 Khai thác bài toán

Bài toán về vòi nớc còn có thể ra dới dạng công việc cùng làm chung, chẳng hạn bài toán sau (giải bằng cách lập hệ phơng trình bậc nhất):

Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 7giờ 12 phút thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả

hai ngời chỉ làm đợc 3

4 công việc

Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?

Cách giải sẽ nh sau Gọi số giờ mà ngời thứ nhất làm xong công việc

là x, số giờ mà ngời thứ hai làm xong công việc là y (x,y>0)

Trong 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc 1

x công việc, ngời thứ hai làm đợc 1

y công việc Đổi 7 giờ 12 phút thành 36

5 giờ Theo bài ra ta có hệ phơng trình:

Giải ra ta đợc x= 12, y =18, phù hợp với điều kiện ở trên Vậy muốn làm xong công việc thì ngời thứ nhất phải làm trong 12 giờ, ngời thứ hai làm trong 18 giờ

36

4











iii kết luận

Do thời gian có hạn nên chủ đề mà tôi nghiên cứu chắc chắn sẽ còn nhiều hạn chế và thiếu sót Rất mong đơc sự đóng góp ý kiến của các

đồng nghiệp để tài liệu của tôi đợc hoàn thiện hơn Mọi thông tin góp ý của các bạn đều vô cùng quý giá với bản thân tôi

Cuối cùng tôi xin trân trọng biết ơn!

Nhân Hòa, ngày 8 tháng 1 năm 2008.

Người viết.

Nguyễn Thị Kim Oanh

B bài tập tự chọn Bài 1:

Một rạp hát chứa đợc 300 chỗ ngồi Nếu thêm 2 chỗ ngồi vào mỗi dãy ghế và bớt đi 3 dãy ghế thì sẽ bớt đi 11 chỗ ngồi Hỏi rạp hát có mấy dãy ghế?

Bài 2:

Ngời ta rào một khu vờn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 20m Hỏi hàng rào đó dài bao nhiêu nếu diện tích khu vờn là 3500m2 và ngời ta muốn chừa một cổng ra vào rộng 1m?

iv Phụ lục

I Bản cam kết :

Cộng hoà x hội chủ nghĩa Việt Namã hội chủ nghĩa Việt Nam

Độc lập -Tự do - Hạnh phúc

Bản cam kết

1 Tác giả

Sinh ngày 15 Tháng 10 Năm 1982

Đơn vị công tác: Trờng THCS Nhân Hoà, xã Nhân Hoà, huyện Vĩnh Bảo, Thành phố Hải Phòng

Điện thoại : 0975223450

2 Sản phẩm

Tên sản phẩm: giải toán bằng cách lập phơng trình bậc hai

3 Cam kết:

Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tôi Nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với sản phẩm này, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trớc lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD&ĐT về tính trung thực của bản cam kết này

Vĩnh Bảo, Ngày 15 Tháng 02 năm 2008 Ngời cam kết

Nguyễn Thị Kim Oanh

II Tài liệu tham khảo:

1 Sách giáo khoa đại số 9 tập 2

Nhà xuất bản giáo dục 2005

2 Sách bài tập đại số 9 tập 2

Nhà xuất bản giáo dục 2005

3 Toán bồi dỡng học sinh đại số 9

Nhà xuất bản giáo dục 2002

4.Tuyển tập Toán học tuổi trẻ

Và một số tài liệu khác

III Danh sách các sáng kiến kinh nghiệm đã hội chủ nghĩa Việt Nam viết

TT Tên sáng kiến kinh nghiệm Thuộc thể loại Năm viết Xếp loại

1 giải toán bằng cách lập phơng trình bậchai Toán học 2007-2008