SKKN:Giải bài toán đưa về phương trình bậc hai

Sáng kiến kinh nghiệm i LờI NóI ĐầU Đây tài liệu nói phơng pháp học giải toán cách lập phơng trình bậc hai nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ tìm lời giải toán sở kiến thức đà học Tài liệu cầu nối lí thuyết thực hành toán học Học giải toán cách t sáng tạo toán, đồng thời vấn đề trừu tợng khó học sinh, nhng lại điều cần thiết cho học sinh trình häc to¸n ë trêng THCS Néi dung giíi thiƯu: Các toán điển hình, toán gồm: ã Đề ã Tìm hiểu đề ã Hớng dẫn cách tìm lời giải ã Cách giải ã Khai thác toán Các toán tự giải Các vị phụ huynh học sinh, thầy cô giáo có thĨ dïng tµi liƯu nµy lµm tµi liƯu híng dÉn em học tập Hy vọng tài liệu giúp ích nhiều cho học sinh để phát huy nội lực giải toán nói riêng học toán nói chung -1- Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm ii Nội dung Giải toán cách lập phơng trình bậc hai A Các tập điển hình Bài 1: a Tìm hai số biết tổng 22 tổng bình phơng 250 b Tìm số có hai chữ số biết số gấp lần tổng hai chữ số thêm 13 tích hai chữ số đợc số viết theo thứ tự ngợc lại ã Tìm hiểu đề Đây toán tìm số câu a phải tìm hai số biết tổng tổng bình phơng chúng câu b phải tìm số có hai chữ số theo số điều kiện cho trớc ã Hớng dẫn cách tìm lời giải a Gọi số thứ x số thứ hai 22 - x Tổng bình phơng cđa chóng lµ x2 + (22 - x)2 = 250 Tiếp tục giải phơng trình bậc hai b Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị heo thứ tự x y Số phải tìm 10x + y, số viết theo thứ tự ngợc lại 10y + x Từ mà lập phơng trình ã Cách giải a Gọi số thứ x (x > 0), sè thø hai sÏ lµ 22 - x Theo ta có phơng trình: x2 + (22 - x)2 = 250, hay x2 + 484 - 44x + x2 - 250 = 0; 2x2 - 44x + 234 = hay x2 - 22x + 117 = Giải ta tìm đợc x1 = 13; x1 = 9, thỏa mÃn điều kiện Vậy hai số phải tìm 13 -2- Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm b Gọi chữ số hàng chục x (0 < x y 9), chữ số hàng đơn vị y (0 < 9) với x > y Theo ta có hệ phơng tr×nh: 10 x + y = ( x + y )   10 y + x = xy + 13  (1) ⇔ ( 1) ( 2) 10x + y = 8x + 8y => 2x = 7y => x = 7y x Thay giá trị x vào (2) ta đợc: 7y = 7y y +13 => 7y2 - 27y + 26 = y1 = 2; y2 = 13 10y + => Tõ ®ã suy x= (lo¹i) y 7.2 = =7, 2 thỏa mÃn điều kiện Vậy số phải tìm 72 ã Khai thác toán Có thể giải hai toán tơng tự: a Tổng bình phơng hai số 98 Tìm hai số b Phân tích số 270 thµnh hai thõa sè mµ tỉng b»ng 33 - Víi toán a ta gọi số thứ x số thứ hai x + Theo ta có phơng trình: x2 + (x + 3)2 =89 => x1 = 5; ⇔ 2x2 + 6x - 80 = x2 = −8 (lo¹i) VËy hai sè phải tìm - Với toán b nÕu gäi sè thõa sè thø nhÊt lµ x thừa số thứ hai 33 - x Theo ta có phơng trình: x(33 - x) = 270 => x1 = 18; ⇔ x2 - 33x + 270 = x2 = 15 -3- Ngêi thùc hiÖn: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm Vậy số 270 phân tích thành hai thõa sè lµ 18 vµ 15 Bµi 2: a Đa giác mà số đờng chéo lớn số cạnh 12 đa giác gì? b Đờng cao tam giác vuông 9,6m chia cạnh huyền thành hai đọan 5,6m Tính độ dài cạnh huyền ã Tìm hiểu đề Đây loại toán có nội dung hình học Câu a đòi hỏi phải nắm đợc công thức tính số đờng chéo đa giác lồi n cạnh Câu b liên quan đến hệ thức lợng tam giác vuông ã Hớng dẫn cách tìm lời giải a Một đa giác lồi n cạnh có số đờng chéo ( n 3) n Từ mà lập ph- ơng trình để tìm n biết số đờng chéo số cạnh 12 b Gọi hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền x x + 5,6 áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông h2 = b'.c' (h độ dài đờng cao, b' c' hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền) Từ tìm đợc x độ dài cạnh huyền tam giác vuông ã Cách giải a Gọi n số cạnh đa giác (n số nguyên dơng) Ta biết số đờng chéo đa giác lồi n cạnh ( n 3) n Theo ta có phơng trình: ( n 3) n − n = 12 ⇔ n − 5n − 24 = ⇒ n1 =  n = (loai) 2 Vậy đa giác phải tìm bát giác (hình tám cạnh) -4- Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm b Gọi hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền x x + 5,6 (m) víi x > Theo hƯ thøc lỵng tam giác vuông ta có: h2 = b'.c' hay: 9,62 = x(x + 5,6) ⇔ x2 + 5,6x - 92,16 = => x1 = 7,2 (tháa m·n) x2 = -12,8 (loại) Ta có hai đoạn mà đờng cao chia cạnh huyền 7,2m 7,2 + 5,6 = 12,8m Vậy cạnh huyền có độ dài là: 7,2 + 12,8 = 20m ã Khai thác toán Bài toán có nội dung hình học đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học Ta xét thêm toán sau: Cho số điểm nằm mặt phẳng cho điểm thẳng hàng số đờng thẳng qua cặp điểm ( n 1) n (đờng thẳng) Theo ta có phơng trình: ( n 1) n = 45 ⇔ n2 - n - 90 = => n = 10 Lu ý: nÕu n ®iĨm có điểm thẳng hàng số đờng thẳng vẽ đợc giảm (vì qua điểm không thẳng hàng vẽ đợc đờng thẳng qua điểm thẳng hàng vẽ đợc đờng thẳng) Bài 3: a Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngợc dòng 36 km Thời gian xuôi dòng nhiều ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Tìm vận tốc canô xuôi ngợc dòng -5- Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm b Một ngời xe đạp từ địa ®iĨm M ®Õn ®Þa ®iĨm N mét thêi gian đà định Khi cách N 30 km ngời nhận thấy giữ nguyên vận tốc đến N chậm km/h nên đến sớm 2 , đà tăng vận tốc lên Tìm vận tốc xe đạp lúc đầu? ã Tìm hiểu đề Đây loại toán chuyển động câu a canô xuôi dòng ngợc dòng, câu b ngời xe đạp đến nơi chậm đến nơi sớm thời gian dự định tăng vận tốc hai câu yêu cầu tìm vận tốc ã Hớng dẫn cách tìm lời giải a Gọi vận tốc canô xuôi dòng x km/h, vận tốc ngợc dòng x - km/h HÃy tính thời gian xuôi dòng ngợc dòng, từ mà lập đợc phơng trình bậc hai Sẽ tìm đợc hai đáp số b Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu x km/h HÃy tính thời gian 30 km lúc đầu thời gian 30 km đà tăng vận tốc thêm km/h Từ mà lập đợc phơng trình bậc hai ã Cách giải a Gọi vận tốc canô xuôi dòng x km/h (x > 0), vận tốc ngợc dòng x - km/h Thời gian xuôi dòng 90 x giờ, ngợc dòng 36 x6 Do thời gian xuôi nhiều thời gian ngợc nên ta có phơng trình: 90 36 45 18 − = hay − = ⇔ x − 33 x + 270 = x x−6 x x−6 => x1 = 15 (t/m) ; x2 = 18 (t/m) Vậy vận tốc canô xuôi dòng 15 km/h 18 km/h -6- Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm vận tốc canô ngợc dòng km/h 12 km/h b Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu x km/h, đà tăng vận tốc là(x + 5) km/h, (x > 0) Thêi gian ®i 30 km lúc đầu 30 , x lúc sau 30 (giờ) x+5 Theo ta có phơng trình: 30 30 − = + x x+5 Ta đợc phơng trình bậc hai x1 = 10, x2 = −15 x + x − 150 = Giải ta đợc nghiệm (loại) vận tốc xe đạp lúc đầu 10km/h ã Khai thác toán Sau toán tơng tự Hai bến sông A B cách 40km Cùng lúc với canô xuôi từ bến A mét chiÕc bÌ tr«i tõ A víi vËn tèc 3km/h Sau đến B canô trở A gặp bè bè trôi đợc 8km Tính vận tốc riêng canô biết vận tốc riêng canô không đổi Thời gian từ lúc đến gặp bè 2giờ 40phút Trong cần lu ý có bè trôi, nh vận tốc bè trôi 3km/h vận tốc dòng nớc 40 Gọi vận tốc riêng canô x km/h ( x>o) Thời gian lúc xuôi x + 32 , thời gian lúc ngợc x Theo ta có phơng trình: 40 32 + = , x +3 x −3 ( ®ỉi 2giê 40 = giê ) Gi¶i ta tìm đợc x= 27 Vậy vận tốc riêng canô 27km/h Bài 4: -7- Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiƯm a) Ngêi ta trén lÉn 8g dung dÞch A vời 6g dung dịch B có khối lợng riêng nhỏ 200 kg/m3 để đợc dung dịch có khối lợng riêng 700kg/m3 Tìm khối lợng riêng dung dịch b) Hai vòi A B chảy vào bể nớc chảy đầy bể 55 phút Nếu chảy riêng vòi A chảy đầy bể nhanh vòi B Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? ã Tìm hiểu đề a) Đây toán hỗn hợp, trộn hai dung dịch A B để đợc dung dịch b) Loại toán toán vòi nớc chảy ã Hớng dẫn cách tìm lời giải a) Gọi khối lợng riêng dung dịch A x kg/m3, khối lợng riêng dung dịch B x- 200kg/m3 HÃy tính thể tích dung dịch A dung dịch B tính khối lợng hỗn hợp thể tích hỗn hợp Từ mà lập phơng trình toán b) Gọi số để vòi A chảy riêng đầy bể x, số vò B chảy riêng đầy bể x+ HÃy tính xem vòi hai vòi chảy vào đợc phần bể Từ mà lập đợc phơng trình ã Cách giải a) Gọi khối lợng riêng dung dịch A x kg/m3 Khối lợng riêng dung dịch B (x-200) kg/m3 với x>200 Đổi 8g = 0,008 kg 6g = 0,006kg Ta có: Thể tích dung dịch A 0, 008 , x thể tích dung dịch B 0, 006 x − 200 -8- Ngêi thùc hiƯn: Ngun ThÞ Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm Khối lợng hỗn hợp 0,008 + 0,006 = 0,014 Thể tích hỗn hợp 0, 014 700 Theo ta có phơng trình: 14 0, 008 0, 006 0, 014 + = = = , hay + ; x x − 200 700 x x − 200 700 50 400(x - 200) + 300x = x2- 200 ; x2 - 900x + 80 000 = Giải tìm đợc x1 = 800, x2 = 100 ( loại nhỏ 200) Vậy khối lợng riêng dung dịch A 800kg/m3 dung dịch B 600 kg/m3 b) Gọi số để vòi A chảy riêng đầy bể x( x > 0) Số để vòi B chảy đầy bể x + Trong vòi A chảy vào đợc hai vòi chảy đợc 1: 35 12 = 12 35 x bể, vòi B chảy vào đợc x + bể, bể (đổi 2giờ 55phút thành 35 12 giờ) Theo ta có phơng trình: 1 12 + = x x + 35 hay 35(x+2) +35x =12x(x+2) Thực phép tính đợc phơng trình 6x2- 23x- 35 = Giải ta đợc hai nghiệm x1 = 5, x2 = − ( lo¹i) VËy chảy riêng vòi A phải chảy vòi B phải chảy đầy bể ã Khai thác toán Bài toán vòi nớc dới dạng công việc làm chung, chẳng hạn toán sau (giải cách lập hệ phơng trình bậc nhất): -9- Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm Hai ngời thợ làm công viƯc 7giê 12 th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê vµ ngêi thø hai lµm hai ngời làm đợc công việc Hỏi ngời làm công việc xong? Cách giải nh sau Gäi sè giê mµ ngêi thø nhÊt lµm xong công việc x, số mà ngời thứ hai làm xong công việc y (x,y>0) Trong ngời thứ làm đợc y công việc Đổi 12 phút thành x công việc, ngời thứ hai làm đợc 36 Theo ta có hệ phơng trình: 1 x + y = 36   5 + = x y Giải ta đợc x= 12, y =18, phù hợp với điều kiện Vậy muốn làm xong công việc ngời thứ phải làm 12 giờ, ngời thứ hai làm 18 giê - 10 - Ngêi thùc hiƯn: Ngun ThÞ Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm iii kết luận Do thời gian có hạn nên chủ đề mà nghiên cứu chắn nhiều hạn chế thiếu sót Rất mong đơc đóng góp ý kiến đồng nghiệp để tài liệu đợc hoàn thiện Mọi thông tin góp ý bạn vô quý giá với thân Cuối xin trân trọng biết ơn! Nhân Hòa, ngày tháng năm 2008 Ngi viết Ngun ThÞ Kim Oanh - 11 - Ngêi thùc hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiÕn kinh nghiƯm - 12 - Ngêi thùc hiƯn: Ngun Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm B tập tự chọn Bài 1: Một rạp hát chứa đợc 300 chỗ ngồi Nếu thêm chỗ ngồi vào dÃy ghế bớt dÃy ghế bớt 11 chỗ ngồi Hỏi rạp hát có dÃy ghế? Bài 2: Ngời ta rào khu vờn hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 20m Hỏi hàng rào dài diện tích khu vờn 3500m2 ngêi ta mn chõa mét cỉng vµo réng 1m? - 13 - Ngêi thùc hiƯn: Ngun ThÞ Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm iv Phụ lục I Bản cam kết : Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập -Tự - Hạnh phúc Bản cam kết Tác giả Họ tên : Nguyễn Thị Kim Oanh Sinh ngày 15 Tháng 10 Năm 1982 Đơn vị công tác: Trờng THCS Nhân Hoà, xà Nhân Hoà, huyện Vĩnh Bảo, Thành phố Hải Phòng Điện thoại : 0975223450 Sản phẩm Tên sản phẩm: giải toán cách lập phơng trình bậc hai Cam kết: Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm sản phẩm cá nhân Nếu có xảy tranh chấp quyền sở hữu sản phẩm này, hoàn toàn chịu trách nhiệm trớc lÃnh đạo đơn vị, lÃnh đạo Sở GD&ĐT tính trung thực cam kết Vĩnh Bảo, Ngày 15 Tháng 02 năm 2008 Ngời cam kết Nguyễn Thị Kim Oanh - 14 - Ngêi thùc hiƯn: Ngun ThÞ Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm II Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa đại số tập Nhà xuất giáo dục 2005 Sách tập đại số tập Nhà xuất giáo dục 2005 Toán bồi dỡng học sinh đại số Nhà xuất giáo dục 2002 4.Tuyển tập Toán học tuổi trẻ Và số tài liệu khác - 15 - Ngời thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa Sáng kiến kinh nghiệm III Danh sách sáng kiến kinh nghiệm đà viết TT Tên sáng kiến kinh nghiệm Thuộc thể loại Năm viết giải toán cách lập phơng trình bậc hai Toán học 2007-2008 Toán học 2006-2007 Xếp loại - 16 - Ngêi thùc hiÖn: Nguyễn Thị Kim Oanh Trờng THCS Nhân Hòa ... dung Giải toán cách lập phơng trình bậc hai A Các tập điển hình Bài 1: a Tìm hai số biết tổng 22 tổng bình phơng 250 b Tìm số có hai chữ số biết số gấp lần tổng hai chữ số thêm 13 tích hai chữ... tìm 72 ã Khai thác toán Có thể giải hai toán tơng tự: a Tổng bình phơng hai số 98 Tìm hai số b Phân tÝch sè 270 thµnh hai thõa sè mµ tỉng b»ng 33 - Với toán a ta gọi số thứ x số thứ hai x + Theo... phơng trình: 30 30 = + x x+5 Ta đợc phơng trình bậc hai lµ x1 = 10, x2 = −15 x + x − 150 = Gi¶i ta đợc nghiệm (loại) vận tốc xe đạp lúc đầu 10km/h ã Khai thác toán Sau toán tơng tự Hai bến