UNG DUNG DINH LY VI ET GIAI MOT SO DANG TOAN PHUONG TRINH BAC HAI VA PHUONG TRINH QUY VE BAC HAI CO THAM SO

Đây thực chất là các bài toán so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực  , nếu xem xét các dạng toán này theo quan điểm, chương trình bộ sách giáo khoa cũ thì các em h[r]

Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÃ SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài “ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI - ÉT GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI CÓ THAM SỐ ” Lĩnh vực: Toán Cấp học: THPT Người viết đề tài: Nguyễn Thanh Nam Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Tân Lập MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Trong chương trình môn Toán bậc THPT hiện nay có rất nhiều bài toán có tham số liên quan tới phương trình bậc 2, quy về bậc 2, và trong số đó xuất hiện nhiều và đa dạng các bài toán “Tìm điều kiện để một phương trình có nghiệm, có một nghiệm, hai 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số nghiệm, ba nghiệm, bốn nghiệm …” Đây thực chất là các bài toán so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực  , nếu xem xét các dạng toán này theo quan điểm, chương trình bộ sách giáo khoa cũ thì các em học sinh không khó để có thể giải quyết bởi vì trong chương trình sách giáo khoa cũ lớp 10, các em được trang bị đầy đủ nội dung các định lý thuận, đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả Nhưng hiện nay theo bộ sách giáo khoa mới đang phát hành thì phần kiến thức liên quan tới định lý đảo và các hệ quả đã được giảm tải Đứng trước vấn đề “Không có công cụ đó thì cần tìm hướng nào để bằng kiến thức các em đang được học trong sách giáo khoa các em vẫn có thể giải được các dạng toán đó?” Với suy nghĩ nhằm giúp các em tìm tòi, phát hiện, tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán, và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng định lý Vi- ét giải một số dạng toán phương trình bậc 2 – quy về bậc 2 có tham số” 2/ Mục đích nghiên cứu Qua đề tài này, tôi muốn giúp học sinh phát triển tư duy, nâng cao kỹ năng ứng dụng định lý Vi- ét giải các bài toán phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số 3/ Pham vi và đối tượng nghiên cứu: “Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng toán phương trình bậc 2 – quy về bậc 2 có tham số” + Hệ thống một số dạng toán điển hình và phương pháp giải + Lấy ví dụ mẫu từ dễ đến khó, hướng dẫn cho học sinh phân tích, định hướng cách giải, cho học sinh làm bài theo nhóm + Giao bài tập về nhà cho học sinh làm, kiểm tra và chỉnh sửa lỗi cho học sinh 4/ Phương pháp nghiên cứu: + Nghiên cứu lý luận: đọc tài liệu liên quan tới đề tài + Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học: giao cho học sinh làm bài toán từ đơn giản đến khó, với các bài toán khó tạo tình huống gợi vấn đề giúp học sinh định hướng cách giải và tự giải được các bài toán đó + Tổng kết rút kinh nghiệm: tìm ra những thuận lợi, khó khăn khi giải quyết các bài toán ở những lớp trước NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.1PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Định nghĩa 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số  Phương trình bậc hai đối với ẩn x  R là phương trình có dạng: ax2  bx  c 01  a 0  Cách giải  Tính  b2  4ac  Nếu   0 thì phương trình (1) vô nghiệm  Nếu  0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x1 x2  b2a  Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1  b   2a , x2  b   2a  Định lý Vi-et – Dấu các nghiệm  Định lý: Nếu phương trình bậc hai ẩn x  R : ax2  bx  c 01  a 0 có hai nghiệm x, x S x1  x2  b , P x1.x2  c 1 2 thì a a  Dấu các nghiệm:  Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  P  0  0   Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu P  0  0   P  0  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương S  0  0   P  0  Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm S  0 1.2PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Trong phần này tôi sẽ trình bày phương pháp giải quyết một cách tổng quát một số dạng toán liên quan đến phương trình bậc 2, và quy về bậc 2 trong tập số thực R: Thay vì so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực  , ta sẽ biến đổi để đưa về so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0 1 Phương trình dạng ax2 + bx + c =0 Các bước giải bài toán: “Tìm giá trị của tham số để phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện K” Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số Bước 2: Áp dụng định lí Vi – ét tính: x1  x2 ; x1.x2 Bước 3: Biểu diễn điều kiện K theo x1  x2; x1.x2 để tìm giá trị của tham số thỏa mãn K Bước 4: Kết hợp các giá trị của tham số ở bước 3 với điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm rồi kết luận Ví dụ 1: Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12  x22 10 Giải + Phương trình có hai nghiệm khi:  0   m  2 2  4 m  5 0  m2  8m  16 0   m  4 2  32 0  m  4  32(a) x1  x2   m  2  + Theo định lí vi-ét ta có: x1x2 m  5 + Mà x12  x22 10   x1  x2  2  2x1x2 10     m  2  2  2 m  5 10  m2  6m  16 0   m  2  m 8 + Kết hợp với điều kiện (a), ta được m = -2 Vậy m = -2 là giá trị cần tìm Ví dụ 2: Tìm m để phương trình:  m  3 x2  2 m  1 x  m  3 0 có: a) Hai nghiệm trái dấu b) Hai nghiệm phân biệt đều dương Giải a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  P  m  3  0    m  3  m  3  0   m   3 m3 m 3 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương    1  17   1  17  '  0 2m2  2m  8  0 m      ;   2      ;   2    m 3   P  0   0  m3  m    3;3 S  0  2 m  1 m    3;1  0    m3   1  17   m    3;   2  2 Phương trình trùng phương Phương trình dạng ax4 + bx2 + c =0 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số Cách giải: + đặt t=x2, đk: t≥ 0 + Giải phương trình: at2 + bt + c=0 + kết hợp điều kiện  x Ví dụ 1: Giải phương trình x48x29 = 0(*) Giải Đặt y = x2 , y  0 Khi đó:  y -1 (loaïi) với y = 9  x2 = 9  x = 3 (*) y2-8y-9 = 0   y 9 Ví dụ 2: Cho phương trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = 0 (1) Tìm m để : a) Phương trình vô nghiệm b) Phương trình có đúng một nghiệm c) Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt d)Phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt e) Phương trình có đúng bốn nghiệm phân biệt Giải Đặt y = x2 , y  0 Khi đó:pt(1) trở thành y2+(1-2m)y+m2-1 = 0 (2)  1  2m 2  4 m2  1  4m  5 , S 2m  1, P m2  1 a) Pt(1) vô nghiệm khi pt(2) có:    0   4m  5  0  m  54  5  m  54 m  4    0    1 S  0  2m  1  0  m   m1  2 2  P  0 m  1  0 m  ( ;  1)  1;          m  54  m 1 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số b) Pt(1) có đúng một nghiệm khi pt(2) có  m 51  m   0 4     y1  y2 0   m 2 1   5  m2  5 m     0 m  4 1   4   m   y1  0  y2 2m  1  0 m  1 2    2 c) Pt(1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi pt(1) có  m 5 5   0 4 1  m 4     y1  y2  0   m  2  P  0  m2  1  0  m  1   1  m  1 d)Pt(1) có đúng ba nghiệm phân biệt khi pt(2) có   0 5 m  5 m   41 5   4   m  y1 0  y2 0  2m  1 m  1 2 4   2 e) Pt(1) có bốn nghiệm phân biệt khi pt(2) có hai nghiệm dương phân biệt 5 m  5   0 m  4 4   1  5   2   S  0  2m  1  0  m  2  m  1;  P  0 m  1  0 m  ( ;  1)  (1; )  4    Bài toán 3 Cho phương trình: ax2  bx  c 01  a 0, x  R a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x  b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x  c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1    x2 d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa:   x1  x2 e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1  x2   Giải 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số  Đặt t x    x t  , thay vào pt (1) ta được pt: at2   2a  b t  a 2  b  c 0  2 a) Để phương trình (1) có nghiệm x   pt (2) có nghiệm t 0  TH1:Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2  P 0  0  0 t1 t2  P 0  TH2: Phương trình (2) có nghiệm S 0 b) Phương trình (1) có nghiệm x   pt (2) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2  P 0  0  t1 t2 0  P 0  TH2: Phương trình (2) có nghiệm S 0 c) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1    x2  pt (2) có 2 nghiệm t1  0  t2  P  0   0  0  t1  t2  P  0 d) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa   x1  x2  pt (2) có 2 nghiệm S  0   0  t1  t2  0  P  0 e) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1  x2    pt (2) có 2 nghiệm S  0 (Với   2a  b 2  4a  a 2  b  c , P t1.t2 a a , S t1  t2  2  b  c   2a  b a ) Nhận xét: Thoạt nhìn thì bài toán này mang đậm dấu ấn dùng kiến thức so sánh nghiệm của một tam thức bậc 2 với số thực  , và bằng cách làm như trên ta đã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng dựa vào định lý Viet và các ứng dụng, tránh không sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2 đã được giảm tải trong sách giáo khoa Ví dụ: Cho phương trình: x2  2mx  m2  m 1 01 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 1 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x 1 c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 1  x2 d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1  x2 1 Giải  Đặt t x  1 x t 1, thay vào pt (1) ta được phương trình: t2  21 m t  m2  3m  2 0  2 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số a) Để phương trình (1) có nghiệm x 1  phương trình (2) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2  P 0  m2  3m  2 0  1 m 2  TH2: Phương trình (2) có nghiệm :  ' 0 m  1 0 m 1  m 1  2  0 t1 t2  P 0  m  3m  2 0   m 2       m 2 S 0 m  1 0  m 1  Kết luận: với m 1; thì phương trình (1) có nghiệm x 1 b) Để phương trình (1) có nghiệm x 1  phương trình (2) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2  P 0  m2  3m  2 0  1 m 2  ' 0 m  1 0  2 t1 t2 0  P 0  m  3m  2 0  m 1  TH2: Phương trình (2) có nghiệm S 0 m  1 0   Kết luận: với m 1;2 thì phương trình (1) có nghiệm x 1 b) Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1 1  x2  phương trình (2) có 2 nghiệm: t1  0  t2  m2  3m  2  0  1  m  2  Kết luận: với 1  m  2 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 1  x2  Phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa x1  x2 1  phương trình (2) có 2 nghiệm:  '  0 m  1  0  2 t1  t2  0  P  0  m  3m  2  0 S  0 m  1  0 (vô nghiệm)   Kết luận: không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm x1  x2 1 Nhận xét: Đây chỉ là một ví dụ minh họa cho bài toán tổng quát, tương tự học sinh có thể giải rất nhiều bài toán như vậy với phương pháp như trên mà không sử dụng kiến thức về tam thức bậc hai Rất nhiều em học sinh sau khi được học ứng dụng của đạo hàm để giải một số dạng toán “Tìm tham số m để phương trình f  x, m 0 có nghiệm?”, thì khi gặp bài tập này cũng lúng túng không giải quyết được vì không thể đưa bài toán về dạng: g  m h x để khảo sát Do đó cách chuyển hóa phương trình như trên, đưa bài toán về so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với số 0 dựa vào ứng dụng định lý Vi-et là một lựa chọn tối ưu trong bối cảnh các kiến thức về so sánh nghiệm của một tam thức bậc 2 với một số thực  đã được giảm tải trong sách giáo khoa 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số Bài toán 4 Cho phương trình:  x  a  x  b  x  c  x  d  k 1 với a  c b  d a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Giải  Ta biến đổi phương trình (1)   x2   a  c x  ac  x2   b  d  x  bd  k  2 2  a c 2 t x   a  c x     t 0  Đặt  2 , thay vào (2) ta được phương trình: 2  a c2    a  c 2    a c 2 t   ac  bd    t   ac      bd      k 0  3  2    2     2   a) Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2  P 0  0  0 t1 t2  P 0  TH2: Phương trình (2) có nghiệm S 0 b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau:  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1  0  t2  P  0  0 0  t1 t2    TH2: Phương trình (2) có nghiệm S  0 c) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:   0  0 t1  t2  P 0 S  0 d) Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt  phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:   0  0  t1  t2  P  0 S  0 (Trong đó  là biệt thức của phương trình (2), P t1.t2, S t1  t2 ) Nhận xét:Trong các tài liệu sách giáo khoa, hoặc sách tham khảo, cách giải đưa ra đối với dạng toán này là đặt: t x2  a  c x với điều kiện t   a c2 , khi đó để giải quyết 4 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số các yêu cầu nêu trên học sinh sẽ lúng túng, đôi khi là không thể giải quyết nhất là đối với các em học sinh lớp 10,vì các em không được trang bị công cụ để so sánh nghiệm một phương trình bậc 2 với một số thực khác 0 Ví dụ: Cho phương trình: x  x  m 1  x  m  1  x  2 m  3m  2 1 , với tham số m 0 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Giải  Ta biến đổi phương trình (1)   x2  2 mx  x2  2 mx  m  1 3m  5  2  Đặt t x2  2 mx  m  t 0 , thay vào phương trình (2) ta được phương trình: t2   m 1 t  2m  5 0  2 a) Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2  P 0  5  2m 0  m 52  TH2: Phương trình (2) có nghiệm m2 12m  19 0  0   5 55 m 5 0 t1 t2  P 0  m   6 2 2 S 0 m   1   Kết luận: Với m    6  55; thì phương trình (1) có nghiệm b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ta xét 2 trường hợp sau:  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1  0  t2  P  0  5  2m  0  m  52  TH2: Phương trình (2) có nghiệm:  0 m2 12m  19 0  m  6  55 0  t1 t2       m  6  55  m  6  55 S  0 m 1  0  m   1 5  m  ;   6  55  Kết luận: Với  2  thì phương trình (1) có 2 nghiệm 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số c) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt  phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:   0 m2 12m  19  0 5   0 t1  t2  P 0  5  2m 0  m 2 S  0 m 1  0 m 5  Kết luận: Với 2 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt d) Phương trình (1) có 4 nghiệm phận biệt  phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:   0 m2 12m  19  0 55  m  5   2 0  t1  t2  P  0  5  2m  0  6 S  0 m 1  0  5 m    6  55;   Kết luận: với  2  thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Bài toán 5 Cho phương trình: ax4  bx3  cx2  bx  a 0 1  a 0 a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Giải  Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), chia cả hai vế phương trình (1) cho x2 0 , ta được:  1 2  1  a  x    b  x    c  2a 0  2  x  x (Thông thường tới đây học sinh sẽ đặt t x  1x  t 2 , khi đó nhận được phương trình at2  bt  c  2a 0 và việc giải quyết các yêu cầu đặt ra sẽ khó khăn vì học sinh không được trang bị công cụ Để giúp học sinh vượt qua trở ngại này chúng ta giải quyết như sau) a) Vì x  0 , đặt t x  1x  2  t 0 suy ra x  1x t  2 , thay vào phương trình (2) được: at2   4a  b t  2a  2b  c 0 (3)  Để phương trình (1) có nghiệm x  0 thì phương trình (3) có nghiệm t 0 , ta xét:  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2  P 0 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số  0  0 t1 t2  P 0  TH2: Phương trình (3) có nghiệm S 0 b) Vì x  0 , đặt t x  1x  2  t 0 suy ra x  1x t  2 , thay vào phương trình (2) được: at2   b  4a t  2a  2b  c 0 (4)  Để phương trình (1) có nghiệm x  0 thì phương trình (3) có nghiệm t 0 , ta xét:  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2  P 0  0  t1 t2 0  P 0  TH2: Phương trình (3) có nghiệm S 0 c) Để phương trình (1) có nghiệm thì hoặc phương trình (3) có nghiệm t 0 , hoặc phương trình (4) có nghiệm t 0 (Đây chính là kết quả tổng hợp của phần a) và b) d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau; 1  0  0  t1  t2  P1  0  TH1: Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa: S  0 1 2  0  t1  t2  0  P2  0  TH2: Phương trình (4) có 2 nghiệm thỏa: S  0 2 P1  0   TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình(4) có hai nghiệm trái dấu P2  0 Nhận xét: Với cách tiếp cận này học sinh cũng có thể dễ dàng giải quyết các bài toán như: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm, 3 nghiệm Ví dụ: Cho phương trình: x4  2mx3   m2  3m  4 x2  2mx 1 0 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Giải  Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (1), chia hai vế của phương trình (1) cho x2 0 , ta được: 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số  1 2  1 2  x    2m  x    m  3m  2 0  2  x  x a) Vì x  0 , đặt t x  1x  2  t 0 suy ra x  1x t  2 , thay vào phương trình (2) được: t2  2 m  2 t  m2  7m  6 0 (3)  Để phương trình (1) có nghiệm x > 0 thì phương trình (3) có nghiệm t 0 Xét 2 trường hợp:  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2  m2  7m  6 0  1 m 6  ' 0 3m  2 0  2 0 t1 t2  P 0  m  7m  6 0  m 6  TH2: Phương trình (3) có nghiệm S 0 m  2 0   Kết luận: Với m 1 thì phương trình (1) có nghiệm dương b) Vì x  0 , đặt t x  1x  2  t 0 suy ra x  1x t  2 , thay vào phương trình (2) được: t2  2 m  2 t  m2  m  6 0  4 (4)  Để phương trình (1) có nghiệm x > 0 thì phương trình (3) có nghiệm t 0 Xét 2 trường hợp:  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2  m2  m  6 0 (vô nghiệm)  ' 0 3m  2 0  2 t1 t2 0  P 0  m  m  6 0  TH2: Phương trình (3) có nghiệm S 0 m  2 0 (vô nghiệm)  Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có nghiệm âm c) Để phương trình (1) có nghiệm thì m 1 d) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ta xét các trường hợp sau: 1  0 3m  2  0  2 0  t1  t2  P1  0  m  7m  6  0  m  6  TH1: Phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa: S  0 m  2 0 1   TH2: Phương trình (4) có 2 nghiệm thỏa: 2  0 3m  2  0  2 t1  t2  0  P2  0  m  m  6  0 S  0 m  2  0 (vô nghiệm) 2  TH3: Đồng thời phương trình (3), phương trình (4) có hai nghiệm trái dấu: 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số P1  0 m2  7m  6  0   2 P2  0 m  m  6  0 (vô nghiệm)  Kết luận: Với m  6 thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt Bài toán 6 Cho phương trình   ax2  bx  c 2    ax2  bx  c  0 1   0;a 0 a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Giải  Xét a > 0 (với a < 0, làm tương tự) 2   b 2 b2  4ac  b2  4ac ax  bx  c a   x    2 t ax2  bx  c   Ta có   2a  4a  nên đặt 4a khi đó t 0 2  Thay vào phương trình (1) ta được phương trình sau:   t  k     t  k   0 (2) với k b2  4ac 4a  Phương trình (2): t2     2k  t k 2   k  0 (3) a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2  P 0  0  0 t1 t2  P 0  TH2: Phương trình (2) có nghiệm S 0 b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa   0  0  t1  t2  P  0 S  0 c) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa t1  0  t2 , hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa 0  t1 t2  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1  0  t2  P  0  0 0  t1 t2    TH2: Phương trình (2) có nghiệm S  0 (Trong đó  là biệt thức của pt (3), S t1  t2, P t1.t2 ) 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số Nhận xét: Khi gặp dạng toán này các em học sinh thường đặt t ax2  bx  c với điều t   b2  4ac t   b2  4ac kiện 4a nếu a > 0, 4a nếu a < 0 Phương trình nhận được t2  t  0 , và để giải quyết các yêu cầu của bài toán học sinh sẽ gặp trở ngại vì cần so sánh nghiệm của một phương trình bậc 2 với một số thực khác 0 Chính vì thế với cách giải đã trình bày ở trên tạo cho các em học sinh rất hứng thú, vì các em có thể sử dụng một công cụ đơn giản, quen thuộc là định lý Viet để giải dạng toán này Ví dụ: Cho phương trình  x2  2x 2  2m x2  2x  m  3 0 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Giải  Đặt t x2  2x 1 khi đó t 0 , suy ra x2  2x t  1 Thay vào phương trình (1) ta được phương trình sau: t2  2 m 1 t  m  4 0  2 a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2  P 0  m  4 0  m  4  0 m2  m  3 0  1 13   0 t1 t2  P 0  m  4 0  m  2  TH2: Phương trình (2) có nghiệm S 0 m 1 0 m   ;  4    1 13 ;   Kết luận: với  2  thì phương trình (1) có nghiệm b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa:   0 m2  m  3  0  1 13   0  t1  t2  P  0  m  4  0  m  2 S  0 m 1  0 m   Kết luận: với   1 13 ;   2  thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt c) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm thỏa t1  0  t2 , hoặc phương trình (3) có 2 nghiệm thỏa 0  t1 t2  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1  0  t2  P  0  m  4  0  m   4  0 m2  m  3 0  1 13 0  t1 t2     m S  0 m 1  0 2  TH2: Phương trình (2) có nghiệm 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số m   ;  4    1 13   Kết luận: với  2  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Nhận xét:Tương tự ta cũng có thể giải quyết được ngay bài toán: “Tìm m để pt (1) có nghiệm duy nhất” Bài toán 7 Cho phương trình ax2  b x2   c 0 1 với   0, a 0 a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất Giải  ĐK x  R  Đặt t  x2     t 0 suy ra x2  t    2   , thay vào pt (1) ta được phương trình: at2   2a  b t  b   c 0  2 a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2  P 0  0  0 t1 t2  P 0  TH2: Phương trình (2) có nghiệm S 0 b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm thỏa   0  0  t1  t2  P  0 S  0 c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:   0  t1  0 t2  P 0  TH1: Phương trình (2) có nghiệm S  0  0 0 t1 t2    TH2: Phương trình (2) có nghiệm S 0 (Trong đó  là biệt thức của pt (3), S t1  t2, P t1.t2 ) Nhận xét: Với dạng toán này hầu hết các sách tham khảo đều đặt t  x2   t    , và đưa về phương trình bậc 2 có dạng: at2 bt  c  a 0 , khi đó để giải quyết các câu hỏi đặt ra thì đều phải sử dụng tới định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 và các hệ quả, 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số hoặc sử dụng công cụ đạo hàm Cả hai cách này đều không phù hợp với tư duy, kiến thức của học sinh lớp 10, 11 và ngay cả đối với học sinh lớp 12, bởi vì công cụ dùng đạo hàm để giải không phải lúc nào cũng tối ưu Ví dụ: Cho phương trình x2  m x2 1  3m  2 0 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất Giải  ĐK x  R  Đặt t  x2 1  1  t 0 suy ra x2  t 1 2  1, thay vào phương trình (1) ta được phương trình: t2   m  2 t  3m  2 0  2 a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 0 t2  P 0  3m  2 0  m  23  0 m2  16m  4 0   0 t1 t2  P 0  3m  2 0  m 8  68  TH2: Phương trình (2) có nghiệm S 0 m  2 0  m   ;  2    8  68;    Kết luận: với  3  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa:   0 m2  16m  4  0   0  t1  t2  P  0  3m  2  0  m  8  68 S  0 m  2  0   Kết luận: Với m  8  68; thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để pt (1) có nghiệm duy nhất ta xét 2 trường hợp sau:   0 m2  16m  4  0 2   t1  0 t2  P 0  3m  2 0  m 3  TH1: Phương trình (2) có nghiệm S  0 m  2  0  0 m2  16m  4 0 0 t1 t2     TH2: Phương trình (2) có nghiệm S 0 m  2 0 (vô nghiệm) m  2  Kết luận: với 3 thì pt (1) có nghiệm duy nhất 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số Bài toán 8 Cho phương trình: ax2  bx  c x   1 a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm duy nhất Giải x   0  2 ax  bx  c  x     2 2  Phương trình (1)  Đặt t x   , vì x   0 nên ta có điều kiện t 0 , thay vào (2) ta được phương trình:  a  1 t2   2a  b t  a 2  b  c 0  3 a) Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (3) có nghiệm t 0  TH1: Xét a 1, thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 0 a 1 t1 0 t2    TH2: Phương trình (3) có nghiệm P 0 a 1  0 0 t1 t2   P 0  TH3: Phương trình (3) có nghiệm S 0 a 1   0 0 t1  t2   P 0 b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì pt (3) có 2 nghiệm S  0 c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t 0  TH1: Xét a 1, thay vào phương trình (3) tìm nghiệm t0 và giải bất phương trình t0 0 a 1 t1  0  t2    TH2: Phương trình (3) có nghiệm P  0 a 1   0 t1  0 t2   P 0  TH3: Phương trình (3) có nghiệm S  0 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số a 1  0 t1 t2   0  TH4: Phương trình (3) có nghiệm S 0 (Trong đó  là biệt thức của phương trình (3), S t1  t2, P t1.t2 ) Nhận xét: Dạng toán này hay xuất hiện trong chuyên đề về phương trình chứa căn, và những bài toán như thế cũng từng xuất hiện trong các đề thi Đại học, Cao đẳng, nhưng tất cả đều đưa ra phương án là đi so sánh nghiệm của phương trình (2) với số thực  Song với cách giải như trên thì ta đã đưa bài toán về so sánh nghiệm của phương trình (3) với số 0 Ví dụ: Cho phương trình: 2x2  2 m 1 x  m2  m x  1 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất Giải x  1 0  2 x  2 m 1 x  m  m  x  1  222  Phương trình (1)  Đặt t x  1, vì x  1 0 nên ta có điều kiện t 0 , thay vào phương trình (2) ta được phương trình: t2  2 m  1 t  m2  m 0  3 a) Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (3) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2  P 0  m2  m 0  0 m 1  ' 0 1 m 0  2 0 t1 t2  P 0  m  m 0  m 1  TH2: Phương trình (3) có nghiệm S 0 m  1 0  Kết luận: Với m  0;1 thì phương trình (1) có nghiệm b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có 2 nghiệm   0 1 m  0  2 0 t1  t2  P 0  m  m 0 S  0 m  1  0 (vô nghiệm)  Kết luận: Không tồn tại m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) có đúng 1 nghiệm t 0  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1  0  t2  P  0  m2  m  0  0  m 1 26/27 Ứng dụng định lý Vi-ét giải một số dạng phương trình bậc hai và quy về bậc hai có tham số   0 1 m  0  2 t1  0 t2  P 0  m  m 0  m 0  TH2: Phương trình (3) có nghiệm S  0 m  1  0  0 1 m 0 0 t1 t2     m 1  TH3: Phương trình (3) có nghiệm S 0 m  1 0  Kết luận: Với m  0;1 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất Ví dụ: Cho phương trình: 4x21   2m  1 2x22  m2  3m 0 1 a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm Giải  Đặt t 2x21  2  t 0 , khi đó 2x21 t  2 , thay vào phương trình (1) ta được phương trình: t2  2 2m  1 t  m2  11m 0  2 a) Để phương trình (1) có nghiệm thì pt (2) có nghiệm t 0  TH1: Phương trình (3) có nghiệm t1 0 t2  P 0  m2  11m 0  0 m 11  ' 0 3m2  7m 1 0  2 0 t1 t2  P 0  m  11m 0  m 11  TH2: Phương trình (3) có nghiệm S 0 2m  1 0  Kết luận: Với m  0; thì phương trình (1) có nghiệm b) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn các trường hợp sau:  TH1: Phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa t1  0  t2  m2  11m  0  0  m 11  0 3m2  7m 1 0 0  t1 t2     TH2: Phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa S  0 2m  1  0 (vô nghiệm)  Kết luận: Với m  0;11 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) có nghiệm thỏa: 26/27 ... dụng định lý Vi- ét giải toán phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số 3/ Pham vi đối tượng nghiên cứu: “Ứng dụng định lý Vi- ét giải số dạng tốn phương trình bậc – quy bậc có tham số” + Hệ... Ứng dụng định lý Vi- ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai có tham số nghiệm, ba nghiệm, bốn nghiệm …” Đây thực chất toán so sánh nghiệm phương trình bậc hai với số thực  , xem... NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM A CƠ SỞ LÝ THUYẾT KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.1PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Định nghĩa 26/27 Ứng dụng định lý Vi- ét giải số dạng phương trình bậc hai quy bậc hai