- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn [r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT
A Lý thuyết:
+ Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c =
S = x1 +x2 = b a −
P = x1.x2 = c a
+ Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S tích x1x2 = P hai số nghiệm phương trình X2 -
SX + P = (Định lý Viét đảo) B Nội dung:
Vận dụng Định lý Viét Viét đảo ta chia làm dạng tập sau: 1 Dạng 1: Nhẩmnghiệm phương trình bậc hai
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a khác 0) có a + b + c = phương trình có nghiệm x1= 1,
còn nghiệm x2 =
c a
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a khác 0) có a - b + c = phương trình có nghiệm x 1= -1,
còn nghiệm x2 =
-c a
Ví dụ 1: Khơng giải phương trình nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 3x2 - 5x + =
b) -7x2 - x + = Giải:
a) Ta có a + b + c = - + =
nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 =
c a =
2 b) Ta có a - b + c = -7 +1 + =
nên phương trình có hai nghiệm x1= -1, x2 = -
c a =
6
Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta nhẩm nghiệm theo hệ thức Viét, xét ví dụ sau:
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm phương trình sau a) x2 - 7x + 10 = b) x2 + 6x +8 = Giải:
a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 theo hệ thức Viét ta có:
x1+ x2 = x1x2 = 10 ta nhẩm hai nghiệm x1= 2, x2 =
b) Tương tự câu a) ta có x1 + x2 = -6 x1x2 = nên x1 = -2, x2 = -4
2 Dạng 2:Tìm điều kiện tham số biết nghiệm phương trình cho Ví dụ1: Cho phương trình 2x2 - px + =
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Giải:
Cách 1: Thay x = vào phương trình ta p = 13
2 Theo hệ thức Viét ta có x1x2 =
5
2 mà x1= nên x2 =
Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta cóx1 x2 =
5
2 mà x1 = nên x2 = Mặt khác x1+ x2 =
2 p
p
= +
4 p = 13
2 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - =
Biết phương trình có nghiệm Tìm m tìm nghiệm cịn lại Giải:
Tương tự ví dụ ta tìm m = -2 nghiệm lại x = -1 3 Dạng 3: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm thoả mãn: a) P < hai nghiệm trái dấu
b) P > S > hai nghiệm dương c) P > S < hai nghiệm âm
Ví dụ 1 : Khơng giải phương trình xét dấu nghiệm phương trình sau: a) x2 - 3x + = b) x2 + 5x - =
c) x2 - 3x + =0 d) x2 + 9x + = Giải:
a) Ta có '= -1 < nên phương trình vơ nghiệm
b) Ta có P < nên phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Ta có ' = 2; S = > 0; P = > nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Ta có =57; S = -9 < 0; P = > nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
Ví dụ 2: Tìm điều kiện m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - = a) Có hai nghiệm khác dấu
b) Có hai nghiệm phân biệt âm c) Có hai nghiệm phân biệt dương
d) Có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Giải:
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
( )2
0 1
0 3
0
m m
S m
m
P m
−
−
−
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
( )2
0
0
0
m
S m
P m
−
−
−
khơng có giá trị m thoả mãn
d) Phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu hay phương trình có hai nghiệm đối
Phương trình có hai nghiệm đối
0 S
=
- 2m = m =
1
Điều cần ý đây < khơng cần xét dấu nghiệm phương trình phương trình vơ nghiệm
Khi P < kết luận phương trình có hai nghiệm trái dấu > Khi P > ta phải xét đến hai yếu tố lại S
4 Dạng 4: Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm phương trình cho Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + = ( m tham số)
Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m:
a) x12 + x22
b) x13 + x23
c) x1−x2 Giải:
Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có:
x1+ x2 = -m x1.x2 =
a) x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 = m2 -
b) x13 + x23 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m
c) (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2- nên x1−x2 =
4 m − Ví dụ 2: Cho phương trình
x2- 4x + = Tính giá trị biểu thức
1 1
2
A= x + x + − x ( với x1 nghiệm phương trình cho)
Giải:
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Bằng cách xét dấu nghiệm phương trình cho chứng tỏ 5x1+ a > từ tính giá trị A Sau
đây cách biến đổi cụ thể:
Vì x1 nghiệm phương trình : x12 = 4x1-1 x14 = 16x12 - 8x1+
( )
2 2
1 1 1 1
2
1 1
2
1 1
32 11 25 11
25 7(4 1) 11
5 5
A x x x x x x x
x x x x
x x x x
= − + − = + − + −
= + − − + −
= + − = + −
Phương trình cho có ' > nên theo hệ thức Viét ta có: 2
4 x x
x x
+ =
=
x1 > 5x1+ > A =2
Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + x - = x
1,x2 nghiệm phương trình (x1 < x2)
Tính giá trị biểu thứcB= x18+10x1+13+x1 Giải:
Từ giả thiết ta có: x12 = - x1 x14 = x12 -2x1 + 1=(1 - x1) - 2x1 + 1=- 3x1 + x18 = 9x12 - 12x1+
1 10 13
B= x + x + +x = ( )2
1 1 1
9x −2x +17+ =x x −5 +x Vì P < nên phương trình cho có hai nghiệm trái dấu mà x1< x2 nên x1<
Vậy B = x1− +5 x1 = - x1+ x1 =
5 Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = (m tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
a) 3x1 + 2x2 =
b) x12 -x22 =
c) x12 + x22 =
Giải:
Để phương trình có nghiệm ' 0 m1 a) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:
1
1
1
2 (1) (2)
(3) x x
x x
x x m
+ = −
+ =
=
Giải hệ (1), (2) ta x1= 5; x2= -7
Thay vào (3) ta m = -35 (thoả mãn điều kiện) b) Kết hợp hệ thức Viét ta có hệ:
2
1
1
1
6 (1) (2)
(3) x x
x x x x m
− =
+ = −
=
Giải hệ (1), (2) ta x1=
5
− ; x2 =
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Thay vào (3) ta m = -5
4 (thoả mãn điều kiện)
c) x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 - 2m = m = -2 (thoả mãn)
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 - mx + = (m tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 =
Giải:
Để phương trình có nghiệm hay m2 - 12 m 2 m -2 Kết hợp với hệ thức Viét ta có
1
1
1
(1)
3 (2)
3 (3)
x x m
x x x x
+ =
+ =
=
giải hệ (1), (2) ta x1=
6
m −
; x2 =
3 m−
Thay vào (3) ta (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ta m = (thoả mãn) Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2mx + =
Xác định m để x14 + x24 32
Giải:
Để phương trình có nghiệm ' hay m2 - m 2
Ta có: x14 + x24 = (x12 + x22)2 - 2x12x22 = ( )
2
2 2
1 2 2( 2)
x x x x x x
+ − −
Theo hệ thức Viét ta có: 2
2
x x m
x x
+ = −
=
nên x1
4 + x
24 32 (4m2 - 8)2 - 32 32
2
2 2 2
m − − m − m Kết hợp với điều kiện ' ta m = m = -2
6 Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải:
a) Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + Phương trình cho có nghiệm ' m - 1
2 b ) Theo hệ thức Viét ta có
2
2( 1) (1) (2)
x x m
x x m
+ = +
=
Từ (1) ta có m = 2 x +x −
thay vào (2) ta
2
1
1
2 x x x x = + −
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Cách giải chung dạng theo hệ thức Viét ta có hai biểu thức liên hệ hai nghiệm phương trình Từ hai biểu thức ta rút m theo hai nghiệm, sau vào biểu thức cịn lại ta biểu thức cần tìm
Tuy nhiên dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta xét tiếp vd sau: Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ = (m tham số )
Biết phương trình ln có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải :
Do phương trình ln có hai nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có:
1
1
2( 3) (1)
1
1 (2)
m x x
m m
m x x
m m
−
+ = = −
+
= = +
Ta có (2) 6x1x2 = +
6
m (3) Cộng vế theo vế (1) (3) ta x1 + x2 + 6x1x2 = Vậy biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 =
7 Dạng 7:Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức biểu thức nghiệm Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - = với m tham số
Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Với giá trị m biểu thức A = x12 + x22 đạt giá trị
nhỏ Tìm giá trị Giải:
Ta có ' = (m - 1)2 -(m - 5) = m2 - 3m + > nên phương trình ln có nghiệm với giá trị m
Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) x1x2 = m -
x12+ x22 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5)
= 4m2 - 10m +14 =
2
5 11 11
2 4 m
− +
Dấu xẩy m =
4 Vậy Amin = 11
4 m = Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - mx + m - 1= với m tham số
Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức:
1
2
1 2
2
2( 1) x x
C
x x x x
+ =
+ + +
Giải:
Ta có = m2 -4(m - 1) = (m - 2)2 0 nên phương trình có nghiệm với giá trị m
Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = m x1x2 = m -
x12+x22 =(x1+x2)2 - 2x1x2 = m2 -2m + Thay vào ta có
1
2
1 2
2
2( 1) x x
C
x x x x
+ =
+ + + = 2
2 m m
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Đặt t =22
2 m m
+
+ ta có tm2 - 2m + 2t - = (1)
Nếu t = m = −
Nếu t 0 phương trình (1) phương trình bậc hai m Ta có : ' = - t(2t - 1) 0 -2t2+ t +
(t - 1)(-2t - 1) 1 t − t = -
2 m = -2 ; t =1 m = Vậy Cmin =
1
− m = -2; Cmax= m = Hoặc ta chứng minh C - 1 C +
1 Ví dụ 3: Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình 2008x2 - (2008m - 2009)x - 2008 =
Chứng minh A= ( )
2
2 1 2
1
1
3 1
2 24
2
x x x x
x x
−
− + + −
Giải: Theo hệ thứcViet ta có: x1 + x2 =
2008 2009 2008
m−
x1x2 = -1
nên A = 6(x1 - x2)2 = 6( (x1 + x2)2 + 4) 24
Ví dụ 4: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 - 18x + 1=
Đặt Sn = x1n + x2n ( n N) Chứng minh:
a) Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn
b) Sn nguyên dương Sn không chia hết 17 với n số tự nhiên
Giải:
a) Vì x1 , x2 nghiệm phương trình x2 - 18x + = nên theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 18 x1x2 =
Ta có: Sn+2 = x1n+2 + x2n+2 Sn+1 = x1n+1 + x2n+1
x1n(x12 - 18x1 + 1) + x2n(x22 - 18x2 + 1) =
hay x1n+2 + x2n+2 - 18(x1n+1 + x2n+1) - (x1n + x2n) = Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn
b) Ta c ó: S1 = 18 , S2 = x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 = 182 - = 322
mà Sn+2 = 18 Sn+1 - Sn nên Sn nguyên dương với n số tự nhiên
Tương tự câu a) ta có: Sn+3 = 18Sn+2 - Sn+1 = 17Sn+2 + Sn+2 - Sn+1
= 17Sn+2 + (18Sn+1 - Sn) - Sn+1 = 17(Sn+2 + Sn+1) - Sn
mà S1 = 18, S2 = 322, S3 = 5778 không chia hết cho 17 nên S4 , S5,…
không chia hết cho 17 Sn không chia hết cho 17với n số tự nhiên
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a) 2 2
5 x y x y + = + =
b) 2 34 x y x y − = + = Giải:
a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
2 S S P = − = S P = =
Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 3X + =
Giải phương trình ta x1 = 1; x2 = Vậy (x ; y) ( ) ( )2;1 ; 1;
b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ
2
2
2 34 15
S S
S P P
= =
+ = =
Suy x + (-y) = x(-y) = -15 hay x -y nghiệm phương trình X2 - 2X - 15 = giải ta x
1 = 3; x2 = -5
Vậy (x ; y) ( ) ( )3;5 ; 5;3
Thực chất dạng ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn Ta xét tiếp ví dụ sau
Ví dụ 2: Giải hệ a)
2
4 x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
b) 2
( 1)( 2) 2 xy x y
x x y y
+ − = −
+ + − =
Giải:
a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
S P S P − = + =
S = , P = S = -3; P =
Suy x, y nghiệm phương trình X2 - 2X = X2 + 3X + =0
Vậy (x ; y) ( ) ( )0; ; 2;0
b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa hệ đối xứng hai ẩn sau:
SP S P = − + =
suy S, P nghiệm phương trình X
2 - X - =
Giải ta x1= -1; x2 =
Từ ta có 2 2 x x y y + = − − =
2 2 x x y y + = − = −
Vậy (x ; y) ( ) (1;1 ; −2;1)
Hệ thức Viét đảo ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng vào toán chứng minh khác Ta xét ví dụ sau
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc Chứng minh rằng: a 3, b > 0, c > b2 + c2 2a2
Giải:
Từ a + b + c = abc b + c = a(bc - 1) = a( a2 - 1) mà bc = a2 nên b, c nghiệm phương trình:
X2 - (a3 - a)X + a2 =
Ta có =(a3 - a)2 - 4a2 (a2 - 1)2 a2 a 3 ( a > 0)
Khi b+ c = a( a2 - 1) > bc = a2 > nên b > 0, c >
Ví dụ 4: Cho a, b, c ba số khác đôi c 0 Chứng minh hai phương trình x2 + ax + bc = (1) x2 + bx + ca = (2) có nghiệm chung nghiệm khác phương trình
đó thoả mãn phương trình x2 + cx + ab =
Giải:
Giả sử (1) có nghiệm x0 , x1 (2) có nghiệm x0 , x2 ( x1x2) Ta có:
2
0
2
0
0 x ax bc x bx ca
+ + = + + =
( a - b)(x0 - c) = x0 = c ( a b)
Áp dụng định lý Viét vào phương trình (1) phương trình (2) ta có:
0
0
x x a
x x bc
+ = −
=
0
0
x x b
x x ca
+ = −
=
1
1
2
1
x b
x x c
x a
x x ab a b c
=
+ = −
=
=
+ + =
Do x1, x2 nghiệm pt: x2 + cx + ab = ( pt ln có nghiệm = c2 - 4ab = (a + b)2- 4ab = (a
- b)2 > 0)
C Bài tập áp dụng:
Bài tập 1: Khơng giải phương trình xét dấu nghiệm phương trình sau: a) x2 - 3x + =
b) 2x2 - 3x + =
Bài tập 2: Tìm m để phương trình x4 - mx2 + m -1 = có:
a) Bốn nghiệm phân biệt b) Ba nghiệm phân biệt c) Hai nghiệm phân biệt
Bài tập 3: Cho phương trình x2 + 4x + = có hai nghiệm x1 x2
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x12 + x22 x12 - x22
Bài tập 4: Cho phương trình x2 - mx + =
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn
a) x1 - x2 =
b) x12 + x22= 37
Bài tập 5: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x - m =
a) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 c) Tìm m để phương trình có nghiệm âm
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu e) Tìm m để x1−x2 nhỏ
Bài tập 6: Giải hệ a)
2
25 ( ) 84
x y
xy x y
+ =
+ =
b)
30 35
x y y x
x x y y
+ =
+ =
c)
2
( ) 12 ( 1)( 3) 20
x y x y
xy x y
+ − + = − − =
Bài tập 7: Cho phương trình x2 - 3x + = Tính giá trị biểu thức A =
1 11 29
x + x+ − x (x1 nghiệm phương trình )
Bài tập 8: Cho pt: x2 - 3x - = với
1
x x Tính giá trị biểu thức B =
1 25
x − x − + x Bài tập 9: Tìm p, q để phương trình x2 + px + q = có nghiệm x1, x2 thoả mãn:
1
3
1
5 35 x x x x
− =
− =
Bài tập 10: Xác định a để PT x2 + ax + = có nghiệm x
1, x2 thoả mãn:
2
1
2
2
7 x x x +x
Bài tập 11: Giả sử PT ax2 + bx + c = có hai nghiệm dương x1, x2 Chứng minh phương trình cx2 +
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
-Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành
cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -