cd : cac bt lien quan toi pt bac hai dl viet

Trường THCS VINT THANH CHUYÊN ĐỀ : Các toán liên quan tới phương trình bậc hai định lý Vi-et Bài 1:Cho phương trình : x2 -(2m+1)x + m2+m -1= 1.Chứng minh phương trình có nghiệm với m 2.Chứng minh có hệ thức hai nghiệm số không phụ thuộc vào m Giải: Ta có : ∆ = (2m +1)2 - 4.(m2 + m - 1) = > suy phương trình có nghiệm với m  x1 + x = 2m + 1(1) 2.Theo vi-et ta có:   x1 x = m + m − 1(2) x + x2 − Từ (1) suy ra: m = thay vào (2) ta có: 2  x + x −   x1 + x −   x + x −   x1 + x −  x1 x =   +  − ⇒ x1 x −   −  =1 2 2         Ta có đpcm Bài 2: Tìm giá trị nguyên k để biệt thức ∆ phương trình sau số phương: k.x2 + (2.k-1).x + k-2= 0; (k ≠ 0) Giải: Ta có : ∆ = (2k-1)2 - 4.k.(k-2) =4k +1 Giả sử 4k + số cp số cp lẻ hay: 4k + = (2n + 1)2 n số tự nhiên Hay: k = n2 + n Vậy để ∆ số cp k = n2 + n( thử lại thấy đúng) Bài 3: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt : (x-2)(x2 + k.x + k2 - 3)= Giải: Đặt f(x)= (x-2)(x2 + k.x + k2 - 3) = (x-2).g(x) Để f(s)=0 có ba nghiệm phân biệt tương đương với g(x) =0 có hai nhgiệm phân biệt ∆ = k − 4.(k − 3) >  > k > −2 ⇔ khác hay:   k ≠ −1  g ( 2) ≠ Bài 4: Tìm a,b để hai phương trình sau tương đương: x2 + (3a + 2b) x - =0 (1) x2 + (2a +3b)x + 2b=0 (2) với a b tìm giải phương trình cho Giải: -Điều kiện cần: Nhận thấy pt (1) có nghiệm phân biệt.Vậy pt (2) phải có nghiệm phân biệt giống với (1) Đặt f(x) = x2 + (3a + 2b) x - =0 g(x) = x2 + (2a +3b)x + 2b Gv : Đỗ Kim Thạch st Trường THCS VINT THANH Để hai phương trình cho tương đương f(x) = g(x) (*) với x (Vì hệ số x2 hai pt 1) Thay x = vào (*) ta có b = -2 (3) Thay x = vào (*) kết hợp với (3) ta a= -2 -Điều kiện đủ: Với a=b=-2 ta thấy hai phương trình tương đương với Bài 5: Giả sử b c nghiệm phương trình : x2 - a.x- a2 =0; (a ≠ 0) 4 chứng minh : b + c ≥ 2+ Giải: b + c = a  Theo định lý Viet ta có:  bc = − 2a [ ] Ta có: b + c = (b + c ) − 2b c = (b + c) − 2bc − 2b c 2  3  ⇒ b + c =  a +  + = a + + ≥ a + = + > + a  2a 2a 2a  Bài : Chứng minh với a,b,c phương trình sau có nghiệm : a(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) = Giải: Đặt f(x) = a.(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) = = (a + b + c).x2 -2.(ab + bc + ca).x + 3abc *Nếu a + b + c ≠ 0.Khi đó: ∆ ' = a2b2 + b2c2 + c2a2 -abc.(a + b + c) = [(ab-bc)2 + (bc-ca)2 + (ca-ab)2] ≥ *Nếu a + b + c = 0.Khi đó: -Nếu ab + bc + ca ≠ phương trình cho có nghiệm -Nếu ab + bc + ca =0 Khi kết hợp với gt a + b + c =0 ta dễ dàng chứng minh a=b=c=0.Và dĩ nhiên trường hợp pt cho có vô số nghiệm Bài 7:CMR:Nếu hệ số a,b,c phương trình:ax2 + bx + c = (a ≠ 0) số lẻ phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ Giải: Giả sử phương trình bậc hai với hệ số a,b,c số lẻ có nghiệm hữu tỉ m x0 = với m,n số nguyên (m,n)=1 n ≠ ;khi ta có: n m m a   + b + c = hay: am + bmn + cn = (1).Suy ra: n n cn m c m mà (m,n)=1 ⇒ ( n, m ) = (m, n ) = nên:  mà c,a số lẻ nên  am n a n suy m,n số lẻ.Vậy ta có:a,bc,m,n số lẻ Do đó: Gv : Đỗ Kim Thạch st Trường THCS VINT THANH am + bmn + cn = số lẻ (Mâu thuẫn với (1)) Vậy điều ta giả sử sai.Hay nói cách khác, ta có đpcm Gv : Đỗ Kim Thạch st ... tương đương với Bài 5: Giả sử b c nghiệm phương trình : x2 - a.x- a2 =0; (a ≠ 0) 4 chứng minh : b + c ≥ 2+ Giải: b + c = a  Theo định lý Viet ta c :  bc = − 2a [ ] Ta c : b + c = (b + c )... nhiên trường hợp pt cho có vô số nghiệm Bài 7:CMR:Nếu hệ số a,b,c phương trình:ax2 + bx + c = (a ≠ 0) số lẻ phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ Giải: Giả sử phương trình bậc hai với hệ số a,b,c... Để hai phương trình cho tương đương f(x) = g(x) (*) với x (Vì hệ số x2 hai pt 1) Thay x = vào (*) ta có b = -2 (3) Thay x = vào (*) kết hợp với (3) ta a= -2 -Điều kiện đ : Với a=b=-2 ta thấy hai