TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PT BẬC 2 CÓ NGHIỆM

TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PT BẬC 2 CÓ NGHIỆMCHUNG CHỨNG MINH RẰNG MỘT TRONG 2 PT CÓ NGHIỆM A Tìm ĐK của tham số để PT bậc 2 có nghiệm chung: I Phương pháp giải : Giả sử x0 là nghiệm

TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PT BẬC 2 CÓ NGHIỆM

CHUNG CHỨNG MINH RẰNG MỘT TRONG 2 PT CÓ NGHIỆM

A) Tìm ĐK của tham số để PT bậc 2 có nghiệm chung:

I) Phương pháp giải :

Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 PT Thay x =x0 vào2 PT ta được hệ với ẩn là các tham số

- Giải hệ tìm tham số

- Thử lại với tham số vừa tìm, 2 PT có nghiệm chung hay không

II) Bài tập :

Bài 1: Cho 2 PT: x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0

a) Xác định a để 2 PT trên có nghiệm chung

b) Xác định a để 2 PT tương đương

Giải

a) Giả sử x0 là nghiệm chung của 2 PT đã cho, ta có hệ:

















0 1 0

0 2 0 2

a x x

a x x

Trừ từng vế 2 PT tacó:

x0 (1 – a) + a – 1 = 0  (1 – a) (x0 – 1) =0  







 1

1

`

0

x a

Với a = 1 ta có PT: x2 + x + 1 = 0 vô nghiệm

Với x0 = 1, thay vào PT (1) ta được a = -2 Ngược lại với a = -2 thì PT x2+ x – 2 = 0

có nghiệm x1 = 1, x2 = -2 và PT x2 – 2x + 1 =0 có nghiệm kép x = 1

Vậy với a = -2 thì 2 PT đã cho có nghiệm chung x = 1

b) Hai PT tương đương khi chúng có cùng tập hợp nghiệm Nếu chúng có nghiệm chung thì theo câu a) 2 PT có tập nghiệm khác nhau

Vậy để 2 PT tương đương thì chúng phải cùng vô nghiệm Tức là:



















0 4 0 4 1

2 2 1

a a

 2 4

1



a

Bài 2:Tìm m để 2 PT sau có nghiệm chung:

2x2 – (3a + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9a – 2)x + 36 = 0

Bài 3: Xác định m để 2 PT sau có nghiệm chung:

x2 + mx + 2 =0 và x2 + 2x + m = 0

Bài 4: CMR nếu 2 PT sau : x2 +ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0, có nghiệm chung thì :

Gợi ý: Giá sử x0 là nghiệm chung, ta có:

x02 + axx + b = 0 và x02 + cx0 + d = 0 Tìm x0 và x02 rồi so sánh

Bài 5: Với giá trị nào của m thì 2 PT sau có nghiệm chung:

2x2 + (3m – 1)x – 3 = 0 và 6x2 – (2m – 3)x -1 = 0

B) CMR một trong 2 PT có nghiệm:

I Lí thuyết: Cho 2 số A + B  0 thì ít nhất một trong 2 số A, B  0

Khi cho một trong 2 PT bậc 2 có nghiệm thì:

Tính  1   2 rồi chứng minh: 1 2  0

Hoặc tính  ' 1   2 rồi chứng minh:  '1 2  0

Hoặc tính  1   ' 2 rồi chứng minh: 1  '2 0

Hoặc tính  ' 1   ' 2 rồi chứng minh:  '1  '2 0

Tuỳ từng bài áp dụng một trong 4 hệ thức trên

II.Bài tập:

Bài 1:

Cho PT: x2 + bx + c = 0 và x2 + mx + n = 0

CMR: nếu ta có bm = 2 (c + n) thì ít nhất một trong 2 PT trên có nghiệm

Giải:

Δ1 = b2 – 4 c

Δ2 = m2 – 4n

Δ1 + Δ2 = b2 + m2 – 4 (c + n)

= b2 + m2 – 2 bm ( Vì bm = 2 (c + n) )

= (b – m)2

0

Δ1 + Δ2  0, nên ít nh ất m ột trong hai biệt số Δ1 , Δ2  0

Chứng tỏ rằng một trong hai PT có nghiệm

B ài 2:

Cho PT : x2 + 4mx + 4 = 0 v à x2 + (m – 2)x + m2 – 1 = 0

CMR một trong hai PT có nghiệm

B ài 3:

Cho 2 số b v à c sao cho 11 21

c

CMR ít nhất một trong hai PT sau có nghiệm:

x2 + bx + c = 0 v à x2 + cx + b = 0

B ài 4:

Cho ac ≥ 2 (b + d) CMR có ít nhất một trong hai PT x2 + ax + b = 0 v à x2 + cx + d = 0

có nghiệm