Các bài toán liên quan phương trình bậc hai

Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0.. Chứng minh rằng phương trình 1 luôn luôn có nghiệm với mọi m.. Chứng minh phương trình 1 luôn luôn có hai nghiệm phân

Trang 1

NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI A-MỤC TIÊU:

HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai

HS:Biết được các sai lầm cần tránh

HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán.

B-THỜI LƯỢNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra

Tiết 1,2:

I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax2+bx +c = 0 (a 0)(1)

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Xet hệ số a có hai khả năng:

a) Trường hợp a = 0 với một giá trị nào đó của m

Giả sử a = 0 <=> m = m0 ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0

Ta biên luận tiếp

b) Trường hợp a0

Lập biệt số  = b2 –4ac hoặc  ’ = b’2 –ac

Biện luận théo từng trường hơp :  > 0 ;  = 0 ;  < 0

Sau đó tóm tắt phần biên luận trên

II BÀI TOÁN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm:

 Có hai khả năng xẩy ra :

a) a = 0, b 0

b) a  0 ,   0

III BÀI TOÁN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt:











 0

0

a

IV BÀI TOÁN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm:























0

0 0

V

b

a

V BÀI TOÁN 5:

1) Điều kiên hai nghiệm cùng dấu

0

;



2) Điều kiện để hai nghiêm điều dương:

























0 0 0

a

b

S

a

c

P

3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:

























0 0 0

a

b

S

a

c

P

3) Điều kiện để hai nghiêm trái dấu:

P< 0 hoặc a và c trái dấu

VI-BÀI TOÁN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x1 tìm nghiệm kia:

 Ta thay x = x1 vào (1) Giải tìm m

 Hoặc dựa vào S ;P tìm m

VII-BÀI TOÁN 7:Tìm ĐK của m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK:

Trang 2

t x

x

n x x h

x x k

x x x

x





















3

2

3

1

2 1

2 2

2 1

2 2

2 1 2

1

)

5

1 1 ) 4 )

3 )

2 )

1   

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Điều kiên chung :  0Theo Định lý Vi et ta có :



















a

c x x

a

b x x

2 1

a)Trường hợp :x1 x2   ( 3 ) Ta giải HPT























 1 2

2 1

x

b x

x => x1 ;x2 Thay các giá trị x1x2 vào

x1x2 = a c giải tìm giá trị của tham số

b)Trường hợp :x12+x22= k <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = k Thay tổng và tích giải tìm giá trị thamsố m c) Trường hợp : x12+x22 h <=> (x1+x2)2 –2x1x2 h Giải BPT tìm m

Một số ví dụ minh hoạ :

Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x2–4x +m = 0 (1)

Trước hết ta tính  = b2 –4ac = = 4-m

a) Nếu 4-m > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt

b) Nếu 4-m = 0 thì PT có nghiệm kép

c) Nếu 4- m <0 thì PT vô nghiệm

Ví dụ 2: Cho PT x2- 3x –m = 0

a) Tìm m để PT có nghiệm

b) Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại

HD:  = b2 –4ac = 9 +4m

a) Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m 0

b) PT có nghiêm là –2 Do đó (-)2 +3(-2) – m = 0 <=> Giải PTb tìm giá trị của m

Ví dụ 3: Xác định m để PT x2 –(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x1 và x2 thõa mãn:

a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị

b) 2x1+ 3x2 = 13

HD:Tính  = m2 +14m +1

PT có hai nghiệm <=> m2 +14m +1 0 Giải BPT xác định m

a) Giả sử x1 > x2 ta có Hệ thức;

) ( ) 3 ( 6

) 2 ( 5

) 1 ( 1

2

1

2

1

2

I m

x

m x

x



























Giải HPT tìm m

b) Giải Tương tự như câu a

Ví dụ 4:

Cho PT x2 +ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức

x12+x22 = 10

HD:  = a2-4a –28 PT có hai nghiệm <=> a2-4a –280

Biến đổi x12+x22 = 10 <=> (x1+x2)2 –2x1x2 = 10

Thay tổng và tích rồi giải PT tìm m

Ví dụ 5:

Cho PT x2+ax +1 = 0 Tìm các giá trị của a để PT có hai nghiệm thoã mãn 7

2

1 2 2

2

























x

x x

x

Trang 3

Tiết 3,4,5,6,7 LUYỆN TẬP:

Bài 1: (TN 1996)

1 Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai:ax2bx c 0 (a 0)

2 Giải các phương trình:

a/ 2y 3211y19 0

b/ 4t2 12t 9 0

Bài 2: (TN 2001)

Cho phương trình bậc hai: x2 2(m1)x m 2 3m0 với m là tham số

1 Giải phương trình với m = 8

2 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0

Bài 3: (TS 10 - 1993)

Cho phương trình : x2(1 m x m)  0 (1) với m là tham số

1 Giải phương trình (1) với m = 2

2 Xác định m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2

3 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m

Bài 4: (TS 10 - 1996)

Cho phương trình : mx2(m 1)x 3(m1) 0 (1) với m là tham số

1 Giải phương trình (1) khi m = 2

2 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép

3 Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x1 và x2 Chứng minh rằng:

1 2

3

Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996)

2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 22 2 1 22 2 2 7

HD:

1) Tập xác định D R \4; 5; 6; 7   

   

2

x  x x  x x  x  , từ đó có cách giải phương trình đưa đến 2 nghiệm x13;x2

2) Tập xác định D R

Đặt tx22x 2 x12 1 1,t Z , ta có

2

3

1 6

5

t









, ta loại nghiệm 3

5

Với t 2 x0;x2

Bài 6: (TS 10 THPT Chuyên ban - 1997)

Cho phương trình: x2 2mx2m 30 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 1

2 Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Trang 4

3 Tìm m để có một tam giác vuông cạnh huyền bằng 14 và hai cạnh góc vuông có độ dài x1 và x2 là hai nghiệm của (1)

HD: Với 3) chú ý điều kiện 1 2

1 2

0

x x





Bài 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)

Giải phương trình: x 24x 34 1

HD: Phương trình: x a 4x b 4 M , ta đặt

2

a b

t x   , đưa về dạng

mt n 4mt n 4 M , biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t

Một số phương trình tham khảo:

   

 

4

Bài 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997)

Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình: 2

1 0

x  px  ; c, d là hai nghiệm của phương trình: 2

1 0

y qy  Chứng minh hệ thức: a c a d b c b d            p q 2

HD: Aùp dụng định lý Víét ta có hệ 1

1

ab cd

 



  











, sử dụng để biến đổi VT bằng VP

Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998)

Giải phương trình: 4x42x3 8x23x 9 0

HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phương trình tích

Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004)

Cho phương trình:  x2 6 2x kx  4 0  1

1 Giải phương trình trên khi k = -1

2 Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm

Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004)

Cho phương trình: x2px q 0 (ẩn x) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình

1 Xác định các hệ số p, q biết x1, x2 thỏa: x1 x2 5 và 3 3

1 2 35

2 Đặt 1 2

n n n

S x x Chứng minh rằng: S n1pS nqS n10 với n1,n N

3 Giả sử x1, x2 là các số nguyên và p + q = 198 Tìm x1, x2

Bài giải:

1 Vì x x1, 2 là các nghiệm của phương trình nên ta có :

1 2 2

0 0

0

n



  *

    , với n N *

2 Theo định lý Víet ta có 1 2

1 2

 







 , kết hợp với giả thiết ta tìm được q p61





3 Ta có p q x x  1 2 x1x2 198 x11 x21199  * Bài toán quy về việc tìm nghiệm nguyên x x1, 2 của phương trình (*) Do 199 là số nguyên tố nên:

Trang 5

  1 1 1 1

*

Bài tập tương tự: Gọi x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình ax2bx c 0   1

n

S x x , với n 1, 2,

1 Chứng minh rằng   *

2 Aùp dụng tính

A     

1 2 2

1 2

1

2

x x x















Vậy x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình 2   2

1 0

x   x

Aùp dụng (*) cho (2) ta có A 18

Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997)

Giải phương trình: 3x26x 7 5x210x14 4 2  x x 2

HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình

   

2

Từ (1), (2) và (3) ta có VT VP   5 x 1

Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:

  *

2 6 11 2 6 13 4 2 4 5 3 2

x  x  x  x  x  x  

HD: VT  x 32 2 x 32 4 4x 22 1 2 2 1 3    2

Từ    

 

2 2

*

2

x x







 , hệ phương trình vô nghiệm, nên (*) vô nghiệm

Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1996_1997)

Biết rằng, tích một nghiệm của phương trình x2ax 1 0 với một nghiệm nào đó của phương trình x2bx 1 0 là nghiệm của phương trình x2cx 1 0

Chứng minh rằng: a2 b2c2 abc4

Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001)

Cho phương trình a1x2 2a1x a  2 0 với a là tham số

1 Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt

2 Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có một nghiệm bằng 3? Tính nghiệm còn lại

3 Với giá trị nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức:

 1 2 1 2

4 x x 7x x

Cho phương trình ẩn x: a1x2 2a b x  b1 0  1

1 Với giá trị nào của a thì (1) là phương trình bậc hai

2 Giải phương trình (1) khi a 3 1 ; b 3 1

3 Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của a và b

Trang 6

Cho phương trình x2mx m 1 0   1

1 Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm

2 Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình (1), tìm giá trị lớn nhất của:

 

1 2

2 2

2 1

x x P





Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện môn Tóan lớp 9 -2000_2001)

Cho phương trình (a, b là tham số): ax2ab1x b 0

1 Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm

2 Tìm giá trị của a, b để phương trình có một nghiệm kép là: 12

1 Với giá trị nào của a thì các nghiệm của phương trình x2 x a1a 0 trái dấu?

2 Giải phương trình x2px35 0 , biết rằng tổng bình phương hai nghiệm bằng 74

Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2m4x m 2 3m 3 0, m là tham số

1 Xác định m sao cho 2 2

1 2 6

2 Chứng minh rằng:

121

Giả sử a, b, c khác nhau đôi một và c 0 Chứng minh rằng nếu phương trình 2   1

0

và phương trình x2bx ca 0   2 có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thỏa mãn phương trình 2   3

0

HD: (Sử dụng định lý Viét).

Gọi x0 là nghiệm chung của (1) và (2), ta có

 

0 0





 , trừ (4) cho (5) vế theo vế ta được a b x  0 c a b   x0 c gt , vậy nghiệm chung của (1) và (2) là x0 c Gọi x1 và x2 lần lượt là các nghiệm khác của (1) và (2), theo định lý Víet ta có

điều cần chứng minh

1 1 0

nghiệm chung thì q1 q22p1 p2 q p2 1 q p1 2 0  *

HD: Hệ phương trình có nghiệm chung khi hệ sau có nghiệm

 

1 2

1 1

2 2

0 0





Đặt 2

y x , ta có hệ 1 1

2 2

0 0

y p x q







 Nếu p1p2: Giải hệ phương trình này ta có nghiệm

2 1

1 2

1 2 1 2

2 1

x

y













 



Do y x 2

Trang 7

Suy ra

2

1 2 1 2 2 1

    , khai triển và biến đổi ta có (*)

 Nếu p1p2 ta có hệ 1 1

 





 

 Hệ này có nghiệm khi q1q2, khi đó rõ ràng (*) cũng đúng Vậy (*) đã được chứng minh

Bài tập về điều kiên có nghiệm chung:

Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung:

 

   

1 2

2 2

HD:

Nếu x0 là nghiệm chung thì

 

   





 , dễ thấy x 0 0 (từ (2))

Nhân x0 vào (1) rồi cộng với (2) vế theo vế 3

0 1 0 0 1

x    x  , thay x0 vào (1) và (2) rút ra 2

m 

Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 8 -2003_2004)

Giải phương trình x3 3x213x15 0 (HD: x1 x3 x 50)

Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 9 -2003_2004)

2x 4x18 7x 14x16 6  x  2x (Xem bài giải của bài 14 và 14’).

2 Cho phương trình: 2x2 2m1x m 1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thõa mãn: 3x1 4x2 11

Bài 24: Chứng minh rằng nếu phương trình x2mx n 0   1 có nghiệm, thì phương trình:

  2

HD: Với (1) có nghiệm ta có 2   3

nghiệm

Bài 25: Chứng minh rằng các phương trình bậc hai: 2

1 1 0

hệ số thỏa mãn điều kiện p p1 22q1q2 thì ít nhất 1 trong 2 phương trình đó có nghiệm HD:  1 p12 4 ,q1  2 p22 4q2    1 2 p12p22 4q1q2  1

Từ p p1 22q1q2 4q1q2 2p p1 2,

nên  1     1 2 p12p22 2p p1 2 p1 p220 Do đó 1 trong 2 số  1; 2 là không âm nên

ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm

Bài 26*: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm:

 

2

(HD: 1 2 3  2  2  2

1

0

Bài 27*: Cho a, b là 2 số sao cho 1 1 1   1

2

b c  Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình sau đây có nghiệm: x2bx c 0   2 , x2cx b 0   3

Trang 8

HD: Từ (1) suy ra:

   2   2  2 2   2 2  2

1 2

bc b c     b  c  c  b b c  b c b c  bc b c  Do đó ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm

Bài 28*: Phương trình ax2bx c 0   1 có đúng một nghiệm dương là x1 chứng minh rằng phương trình cx2bx a 0   2 cũng có đúng một nghiệm dương x2 và x1x22

HD: (Chú ý thứ tự các hệ của 2 phương trình).

Giả sử x 1 0 là nghiệm của (1), khi đó ta có 2

ax bx  c , chia 2 vế của phương trình cho

2

1

x ta được

            

        , nghĩa là (2) nhận 2

1

1 0

x x

  làm

Bài 29: Giả sử phương trình ax2 bx c 0   1 có 2 nghiệm dương x x1, 2 Chứng minh rằng phương trình cx2bx a 0   2 cũng có 2 nghiệm dương x x3, 4 Chứng minh

  *

1 2 3 4 4

HD: Chia 2 vế phương trình (1) lần lượt cho 2

1

x và 2

2

x , ta có:

2

0

      







, nghĩa là (2) nhận

1

x và

2

1

x làm 2 nghiệm dương x x3, 4 của nó

Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 nghiệm x x x x1, , ,2 3 4 ta có kết quả

Bài 30: Cho phương trình bậc hai: 2

1 0

1 Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x x1, 2 với mọi m, tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị m tương ứng

2 Đặt 2 2

1 2 6 1 2

a/ Chứng minh A m 2 8m8

b/ Tìm m sao cho A 8

c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng

Bài 31 ** : Giải các phương trình sau:

1 2x2 3x1 2  x25x1 9x2   1

2 x1 x 3 x5 x7 297  2

3 4x5 x6 x10 x12 3x2 0   3

4 x32x22 2x2 2 0   4

5 2x33x2  2 0   5

6 x14 2x41   6

7

 

  7



Trang 9

  8 4 2

2

2 2

2

x x x x x

x x





       

 

10

49



HD: 1) Rõ ràng x 0 không thỏa (1)

Nên  

    Đặt t 2x 1 3

x

   , ta có

9

t





 ,

2)  2  2 4 5  2 4 21 297  16 297 2 16 297 0 27

11

t







Với t x 24x 5 Giải tiếp

1

3 2

t









(với t x 60 16

x

   ),

4) Đưa về phương trình tích x32x x  2 23 x 2x22 2x2 0,

5) Đặt ẩn phụ      2

2 1

2

y

x





6) Khai triển rút gọn x4 4x3 6x2 4x 1 0, chia 2 vế cho x2 rồi đặt t x 1

x

  , ta đưa về phương trình t2 4t 8 0   t 2 2 3 x 1 3 3 2

7) Vì: 1.3 1 2 ; 2.4 1 3 ; 3.5 1 4 ; ; (  2   3   2 x x1) 1 x12

 

x

            

Nên  7 1 2005 2004

2 2006

x

x x



Nên  8  x 1 1 4  x4

Trang 10

9) Tập xác định: D R \ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7        

Nhóm hợp lý các phân thức ta được: 2 2 2 2

2 7 1 1 1 1 0

x

  , với y x 27x, phương trình 2 7 0 7

2

x   x ,

2

vô nghiệm

10) Đặt x1995y, được    

   

2 2

2

5

3 49

2

y











Vậy nghiệm của phương trình (10) là

3994 2 3996 2

x x







 



Bài 32: Định m để phương trình: m 2x2 2m1x m  3 0 m2 có nghiệm x x1, 2 và thiết lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m

Bài 33: Cho phương trình x2 2m1x m 2 3m 4 0

1 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thõa mãn hệ thức

1 2

1

2 Tìm hệt thức liên hệ giữa x x1, 2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 34: Cho phương trình: x2mx m  2 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 sao cho 2 2

1 2

x x đạt giá trị nhỏ nhất

x  x   có các nghiệm x x1, 2 Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức:

1 2 1 2

A



 (ĐS 78)

Bài 36**: Cho tam thức bậc hai f x  ax2bx c  1 a0 Biết rằng f x x  2 vô nghiệm Chứng minh rằng phương trình af2 x bf x  c 0   * vô nghiệm

HD: Vì (2) vô nghiệm nên  x R f x,   x hoặc  x R f x,   x

* Nếu  x R f x,      x x R f f x,     f x    x x R f f x,    x

   

2 ,

      , hay (*) vô nghiệm

* Tương tự với trường hợp còn lại ta cũng có (*) vô nghiệm

Vậy (*) vô nghiệm

Bài 37*:

1 Chứng minh rằng nếu phương trình 4   1

2 0

x  x  , có nghiệm dương là x0 thì 7

2 Chứng minh rằng nếu phương trình 3   2

x  x  , có nghiệm dương là x0 thì 5

0 36

3 Chứng minh nếu phương trình x2ax b 0 có nghiệm x0 Chứng minh

 

0 1

HD:

x x   x  x  x  x  (Aùp dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì x 0 2, không thỏa (1)

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	698 KB