Bài giảng số 6: Các dạng toán về Elip thường gặp trong đề thi đại học

Tìm tọa độ hai điểm A,B trên (E) sao cho tam giác OAB vuông tại O và có diện tích nhỏ nhất. Ta hoàn toàn không thể xử lí bài toán như trong thí dụ 5 và 6. Dạng 4: Bài toán giao điểm của[r]

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400

Bài giảng số 6: PHƯƠNG TRÌNH ELIP VÀ MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định nghĩa: Elip  E tập hợp điểm M có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F F 1, 2 hằng số

Hai điểm F F gọi tiêu điểm 1, 2

 

1 2

F F  c c gọi tiêu cự

  E  M MF/ 1MF2 2a a0; ac a; const

 Phương trình tắc

   

2

2

: x y 1

E

a b  với  

2 2

b a c ab

 Các yếu tố elip

Elip xác định phương trình  1 có đặc điểm:

- Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox Oy , - Tiêu điểm F1c; 0, F c2 ; 0

- Tiêu cự F F1 2 2c

- Trục lớn nằm Ox, độ dài trục lớn 2aA A1 2 - Trục nhỏ nằm Oy , độ dài trục nhỏ 2bB B1 2 - Đỉnh trục lớn: A1a; 0, A a2 ; 0

- Đỉnh trục nhỏ: B10;b, B20;b

- Bán kính qua tiêu điểm: Với M x y ;    E

1

2

c

r MF a x a ex

a c

r MF a x a ex

a 

    

  

     

  - Tâm sai: e c 0 e 1

a

  

- Đường chuẩn:

2

a a

x

e c

   

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ơn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 Định lý: Phương trình tiếp tuyến với  

2

2

: x y

E

a b  M0x y0; 0   E  

0

2

:x x y y

a b

  

 Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với elip

Định lý: Cho Elip  

2

2

: x y

E

a b  đường thẳng    

2

:Ax By C A B

      Khi đó:

  tiếp xúc với E 2 2

A a B b C

  

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Viết phương trình tắc elip

Ví dụ 1: Xác định độ dài trục lớn, trục bé, tiêu cự, tâm sai, tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn elip

a) 2

4x 9y 36 0 b) 2

9x 4y  5 Lời giải:

a) Ta có: 4x29y2360

2

1

9

x y

  

2

9,

a b

   c2 a2b2 5a3,b2,c

- Tâm sai:

3 c e

a

 

- Độ dài trục lớn: 2a 6 - Độ dài trục bé: 2b 4 - Tiêu cự: 2c 2

- Tiêu điểm: F 1 5; 0, F2 5;0 - Đường chuẩn: x a

e

 

5 x

  

5 x

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 b) Ta có: 9x24y2 5

2

1

5

9

x y

  

Vì 5

9 nên khơng phải phương trình tắc

2 5

,

4

a b

   2 5 25

4 36

c a b

      5, 5,

2

a b c

   

- Tâm sai:

3 c e

a

 

- Độ dài trục lớn: 2a  - Độ dài trục bé: 2

3 b 

- Tiêu cự: c 

- Tiêu điểm: 1 5; F  

 ,

; F  

 

- Đường chuẩn: x a e  

5

5 x

  

2 x   

Ví dụ 2: Cho elip với tâm sai

e  hình chữ nhật sở có chu vi 20 Viết phương

trình tắc elip

Lời giải:

Elip có phương trình tắc là:  

2

2 2

x y

a b  Từ giả thiết ta có:

3 c e

a

 

2

2 c a

 

2

2

a b

a 

 

2

2 b a

   0, 0

3 b

do a b

a

   

Hình chữ nhật sở elip có cạnh , 2a b Từ giả thiết, ta có: 4a4b20 a b

Vậy có hệ phương trình sau để xác định a b : ,

5 a b

b a

    

  

3 a

b    

  Thay vào  2 ta thấy elip có phương trình tắc là:

2

1

9

x y

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ơn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400

Ví dụ 3: Lập phương trình tắc elip  E biết elip có tâm O, tiêu điểm Ox, qua  3;1

M  khoảng cách hai đường chuẩn 6

Giải:

Giả sử elip  E có phương trình tắc là:

2

2

x y

a b  Vì M 3;1 E nên ta có: 32 12  4

a b 

Khoảng cách hai đường chuẩn là: a a 2a

e e e

   

   

   

   

Từ ta có: a

e   

2

3

a

c 

 

Do b2 a2c2 3c c  4

Từ      4 , , 4  suy hệ sau:    

2 2

2

3

1 *

3 **

a a c

a c



 



 

 



Thay  ** vào  * ta có: c2 4c 4 c2 Vậy  E có phương trình:

2

1

6

x y

 

Dạng 2: Tìm điểm Elip thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm C2; 0 elip  

2

:

1

4

x y

E   Tìm hai điểm A B,  E ,

biết A B đối xứng qua trục hoành , ABC tam giác

Giải:

Giả sử A x y 0; 0 B x 0;y0 điểm  E đối xứng qua trục hồnh (có thể giả sử 0

y  ) Khi AB2y0

Vì ABC tam giác nên ta có: AB AC

 2

2

0

y x y

    2x02 3y02  3 Vì A x y 0; 0   E nên ta có:  

2

0

1

1

4

x y



 

Từ hệ    3 , 3 ta dễ dàng suy rax0 2, y0  0 2, 0

7

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 Do y  nên 0 0 2, 0

7

x  y 

Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là: 3;

7

A 

 

2;

7

B  

 

Ví dụ 5: Cho elip có phương trình:

2

1 25 16

x y

  Tìm điểm M  E cho MF2 2MF1, F , 1

F tiêu điểm trái tiêu điểm phải  E

Giải:

Theo cơng thức tính bán kính qua tiêu điểm giả sử M x y 0; 0 ta có: MF2 2MF1

0

2

cx cx

a a

a a

 

     

 

0 3cx a

a   

2

0

a x

c 

  , a2 25,c nên 0 25 x  

Từ do:

2

0

1 25 16

x y

  0 56

9 y

  

Vậy  E có hai điểm phải tìm là: 1 25 56;

9

M  

 

 

2 25; 56

9

M   

 

 

Dạng 3: Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ

Ví dụ 5: (ĐH KA năm 2011) Cho elíp

2

( ) :

4

x y

E   Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E) , có hoành độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn

Lời giải

Gọi A x y( ; )B x( ;y); x Ta có

2

AB y  x

Gọi H trung điểm AB 2(4 2)

2 2

OAB

OH xS  OH AB x x  x x 

Đẳng thức xảy x  Vậy 2; ; 2;

2

A  B  

   

2; ; 2;

2

A   B 

   

Nhận xét: Việc đánh giá maxS thuận lợi hồnh độ A B dương Trong trường hợp

khác ta đưa khảo sát hàm số Ta minh họa điều toán tương tự sau:

Ví dụ 6: Cho elip

2

( ) :

4

x y

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ơn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 Hướng dẫn

Gọi A x y( ; )B x( ;y) Tính SABC  (2x y)

Ta có

2

2 2

(2 ) (2 )

4 ABC

x

S  x y  x  Sau xét hàm số

2

( ) (2 ) ; 2

4 x

f x  x    x

Khảo sát hàm f(x) suy f(x) đạt max x=1 Từ suy tọa độ điểm cần tìm A,B

Trong hai thí dụ ta sử dụng tính chất đối xứng elip, cụ thể gọi A x y ta suy ( ; ) ( ; )

B x y

Tuy nhiên không sử dụng tính chất vấn đề khó khăn nhiều Ta tiếp tục xét toán sau

Ví dụ 7 Cho elip

2

( ) :

4

x y

E   Tìm tọa độ hai điểm A,B (E) cho tam giác OAB vuông O và có diện tích nhỏ

Hướng dẫn

Ta hồn tồn khơng thể xử lí tốn thí dụ Tuy nhiên dấu hiệu tam giác OAB vuông O gợi ta nhớ đến kết elip:

Nếu A B hai điểm di động elip

2

2

( ) :E x y

a b  cho OAOB 2 2

1 1

OA OB a b

không đổi (Kết xin dành cho bạn đọc) Áp dụng kết ta được:

2

2 2 2

1 1

OAB OAB

a b S

a b OA OB OA OB S   a b Nhận xét: Cũng từ kết 12 12

OA OB không đổi ta suy đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn cố định Thật vậy, kẻ OH  AB 2 2 2

2

1 1 ab

OH

OH OA OB   a b , tức AB tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính

2 ab R

a b

 

Bài toán 7.b đề thi ĐH khối B năm 2012 dựa

trên tư tưởng

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ơn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 Ví dụ 8: Cho elip  

2

:

25

x y

E   điểm M2;1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt  E hai điểm A B cho trung điểm đoạn thẳng , AB nằm đường thẳng y2x

Giải:

Nhận xét: M nằm  E , đường thẳng qua M cắt  E điểm Gọi  d đường thẳng cần tìm

Nếu  d Ox  d :x 2 Khi trung điểm AB I2; 0 khơng thuộc đường thẳng y2x Nếu  d có hệ số góc a  d :yax2a1

Tọa độ A B nghiệm hệ: ,

2

1 25

2

x y

y ax a



 

 

   

      

2

2

2

25 50 25 25.9

y ax a

a x a a x a

  

   

      

 

 

2 50

25 A B

a a

x x

a 

  

  AB có trung điểm là:

 

2

25 9 18

;

25 25

a a a

I

a a

   

 

   

 

Do I thuộc đường thẳng y2x nên ta có: 50 2 a2a9 2  a 2a1 50 a90

1

9 50 a

a 

   

   

Vậy đường thẳng  

  :

2

9 34

:

50 25

d y x

d y x



 



   



Ví dụ 9 Cho elip

2

( ) :

8

x y

E   đường thẳng d x:  2y 2 0 Chứng minh d cắt (E) hai điểm phân biệt B C Tìm điểm A thuộc (E) cho tam giác ABC cân A

Lời giải

Tọa độ B, C nghiệm hệ:

2

2 2

2

1

8

2 2

2

x y

x y y y

x y x y

x y





  

    

  

 

  

   

 

     



Giải hệ ta có ( 3; 6), ( 3; 6)

2

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ôn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 Gọi ( ;I x y trung điểm BC, ta có I I) 1 

2

I A B

y  y y  (định lý Viét)

Từ tìm x   Vậy I 1; 2 I 

 

Đường thẳng trung trực BC qua I nhận véc tơ ud( 2;1) 

làm véc tơ pháp tuyến suy phương

trình tổng qt có dạng: 2( 1) ( 2) 2

x  y   x y 

Ví dụ 10: a) Tìm elip  

2

:

100 36

x y

E   điểm K cho F KF 1 2 600

b) P điểm tùy ý  E Chứng minh rằng: PF PF1 2OP2const

Giải:

a) a 2 100, b 2 36a10, b 6c8

Ta có: F KF 1 2 600 F F1 22 KF12KF222KF KF c1 2 os600

 2  2   

2

4

2

K K K K

c a e x a e x a e x a e x

        4c2 2a22e x2 K2 a2e x2 K2

2 2

3e xK 4c a

  

2

2

2

K

c a

x a

c 

 

 

2 2

2 2 2

2 2

4

K K

b b c a

y a x a a

a a c

  

     

 

 

2 2 4

2

3

b a c b

c c



 

5 13 3

,

2 16

K K

x y

    

Ta điểm K thỏa mãn:

1

5 13 3 ;

2 16

K  

 

, 2 13; 3

2 16

K   

 

, 3 13 3;

2 16

K  

 

, 4 13; 3

2 16

K   

 

b) Ta có: PF PF1 2OP2a e x Pa e x PxP2yP2  

2

2 2 2

2

P P P

b

a e x x a x

a

    

2 2

2 2

2 P

a b c

a b x

a

 

   2

a b

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ơn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Xác định độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai, phương trình đường chuẩn elip sau: a)

2

1 12

x y

  b) 9x24y236

Bài 2: Tìm  

2

:

4 x

E y 

a) Điểm M có tung độ

2 ĐS:

1 3;

2 M 

 

b) Điểm N có tung độ gấp đơi hồnh độ ĐS:

2

; 17 17

2

; 17 17 N

N

  

  

 



  

 

  

  



c) Điểm P cho 2PF13PF2 ĐS: 3;

15

P  

 

 

d) Điểm Q cho F QF 1 2 1200 ĐS: Q0; 1  Bài 3: Viết phương trình tắc elip  E biết:

a) Tiêu điểm F 1 6;0, tâm sai

e  ĐS:

2

1 81 45

x y

 

b) Độ dài trục lớn 6, tiêu cự ĐS:

2

1

9

x y

 

c) Độ dài trục lớn 3, tâm sai 3

e  ĐS:

2

1

9

3

x y

 

d) Tâm sai

e  hình chữ nhật sở có chu vi 20 ĐS:

2

1

9

x y

 

e) Đi qua điểm A4; 3, B2 2;3 ĐS:

2

1 20 15

x y

 

f) Đi qua điểm 2; A  

  tâm sai

e  ĐS:

2

1

9

x y

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ơn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 g) Phương trình đường chuẩn 3x 8 30 độ dài trục bé ĐS:

2

2

1 16

1 16

3

x y

x y



 

  

 

   Bài 4: Cho elip  

2

:

100 36

x y

E  

a) Tìm  E điểm M cho MF14MF2 ĐS: 15;

2

M  

 

 

b) Tìm  E điểm N cho F NF 1 2 900 ĐS: 7;

2

N  

 

 

Bài 5: Lập phương trình elip  E biết:

a) Độ dài trục lớn qua điểm 2 2;  ĐS:

2

1 16

x y

 

b) Qua hai điểm 2;1 P 

 ,

5 2;

3 Q 

 

ĐS:

2

1

x y

 

c) Có tiêu cự qua điểm 1;

 

 

 

ĐS:

2

1

x y

 

d) Qua điểm ;

5

M 

 

F MF 1 2 900 ĐS:

2

1 21 16

x y

 

e) Độ dài trục nhỏ tiêu điểm có tọa độ 2; 0 ĐS:

2

1

8

x y

 

Bài 6: Cho elip   2

1 : 16

E x  y    2

2 : 36

E x  y  Viết phương trình đường trịn qua giao

điểm hai elip ĐS: 2 172

0 23 x y  

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ơn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 a) Độ dài trục lớn hai lần độ dài trục bé ĐS:

2 e 

b) Các đỉnh trục bé nhìn đoạn F F góc vng 1 2 ĐS: e 

c) Mỗi tiêu điểm nhìn trục bé góc vng ĐS: e 

d) Khoảng cách đỉnh trục lớn đỉnh trục bé tiêu cự

ĐS: 10

5 e 

Bài 9: Tìm phương trình tắc elip biết rằng:

a) Độ dài trục lớn 4, tiêu cự 2 ĐS:

2

1

4

x y

 

b) Độ dài trục bé tâm sai

2 ĐS:

2

1

8

x y

 

c) Một tiêu điểm F21; 0 tổng khoảng cách từ điểm elip đến F F 1, 2

ĐS:

2

1

5

x y

 

d) Độ dài F F 1 2  E qua điểm 1; M 

 

ĐS:

2

1

x y

 

Bài 10: Cho elip  

2

:

25

x y

E  

a) Cho điểm M E có xM  Tính khoảng cách từ điểm M đến hai tiêu điểm

ĐS: 1 41, 2

5

MF  MF 

b) Tính độ dài dây cung vng góc với trục lớn tiêu điểm ĐS: 18 AB 

Bài 11: Cho elip  

2

:

16

x y

E   Một đường thẳng vng góc với trục lớn F cắt 1  E M

N Tính MF , 1 MF 2 MN ĐS: 1

4

MF  , 2 25

MF  ,

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ơn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400 Bài 12: Cho elip  

2

:

9

x y

E   Tìm N E cho NF1NF2 2

ĐS: 3; 15

2

N  

 

 

Bài 13: Cho elip  E :16x225y24000 M điểm tùy ý  E Chứng minh rằng:

a)

1

MF MF OM const ĐS: 2

a b

b) 4OM2MF1MF22 const ĐS: 4b 2

Bài 14: Cho elip  

2

:

25

x y

E   Tìm điểm M  E cho M nhìn đoạn F F 1 2

góc vng Khi tính diện tích tam giác MF F1 2 ĐS: 7;

4

M  

 

 

, S 9

Bài 15: Cho M  E có xM  Tìm phương trình tắc elip  E biết 1 13 MF 

2

MF  ĐS:

2

1

9

x y

 

Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy , cho elip  E có phương trình

9 16

2

  y x

Xét điểm M chuyển động tia Ox điểm N chuyển động tia Oy cho đường thẳng MN tiếp xúc với  E Xác định tọa độ điểm M , N để đoạn MN có độ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ ĐS: M2 7; , N0; 21 , MNmin  Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxy , cho điểm C2; 0 elip

 

2

:

4 x

E y  Tìm tọa độ điểm ,A B thuộc  E , biết hai điểm A B đối xứng với qua ,

trục hoành ABC ĐS:

    

  

 

   

  

7 ; ,

3 ;

B

A

    

       

  



7 ; ,

3 ;

B A

Bài 18: Trên mặt phẳng cho elip  

2

:

8

x y

http://edufly.vn Khóa học: Hình học phẳng ơn thi đại học

Bài giảng độc quyền http://baigiangtoanhoc.com

Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Trung tâm luyện thi EDUFLY – Hotline: 0987.708.400

Bài 19: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình tắc elip  E có độ dài trục lớn , đỉnh trục nhỏ hai tiêu điểm nằm đường tròn

ĐS:

2

1

8

x y

 

Bài 20: Cho đường tròn   C : x22y2 36 điểm F22;0 Xét đường tròn tâm M qua F 2 tiếp xúc với  C Tìm quỹ tích tâm M ĐS:

2

1

9

x y

 

Bài 21: (ĐH KB- 2010) Cho elip

2

( ) :

3

x y

E   điểm A(2; 3) Gọi M giao điểm có tung độ dương AF với (E) N đối xứng với 1 F qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác 2

2 ANF

Bài 22: Cho hai elip

2

1 2

(E) :x  y 1

a b

2

2

( ) :

12 

x y

E Biết hai elip có tiêu điểm chung F F 1, 2 qua điểm M nằm đường thẳng x  y Tìm vị trí điểm M để độ dài trục lớn (E 1) nhỏ

Bài 23: Cho elip  

2

:

9

x y