rất bổ ích cho các bạn ôn thi đh
Trang 1CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA
HÀM SỐ Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Tính y’ Tìm các điểm tới hạn
Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
R hoặc trên từng khoảng của tập xác định.
0
0
a
( Hàm số nghịch biến trên R y ' 0, x R
0
0
a
Từ đó suy ra điều kiện của m
Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến
trên khoảng (a,b)
* Cách 1:
+ Hàm số ĐB trên (a,b) y ' 0, x a b ,
y ' 0, x a b , ( vì y’liên tục tại x = a và x =b)
g(x) h(m) , x a b ,
a b
+ Tính g’(x) Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x0 a b ,
Tính g x 0 , g a g b , => min
a b
+ Từ (*) suy ra điều kiện của m
* Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2)
+ Hàm số ĐB trên (a,b) y ' 0, x a b ,
Có 2 trường hợp :
' 0,
0
a
suy ra m
* TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
…….(điều kiện về x 1 , x 2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem
phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai )
Suy ra m
Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm
Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ
dài bằng d.
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Hàm số có khoảng ĐB, NB y’ = 0 có 2 nghiệm
phân biệt x1, x2
0 0
a
.suy ra m (*)
+ Biến đổi x1 x2 d thành x1 x22 4 x x1 2 d2
Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m
Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm
Bài 1 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x),
,
bằng cách sử dụng tính đơn điệu
( Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 )
Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b)
Tính f x '( ) Chứng tỏ f x '( ) 0, x [ , ) a b
Hàm số đồng biến trên [a,b)
x a b , : ( ) f x f a ( )=…
Suy ra đpcm
-Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1:
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có)
+Lập bảng biến thiên + Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x =… và yCĐ = …
Hàm số đạt cực tiểu tại x =… và yCT = …
Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng giác):
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’ Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi + Tính y”
Tính y”(xi) +Kết luận : y”(xi) >0 => hs đạt CT tại xi và yCT =… y”(xi) <0 => hs đạt CĐ tại xi và yCĐ =…
Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị.
(Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua nghiệm đó)
2 cực trị) pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt
' 0
0
y a
suy ra m
- Hàm b3 ko có cực trị y’=0 có n0 kép hoặc vô n0
1
b
b có cực trị pt y’=0 có hai nghiệm
phân biệt khác x0 ( với x0 là nghiệm ở mẫu)
0
0 ( ) 0
g
g x
( với g(x) = tử số của y’ )
Giải hệ tìm m
Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x 0
Cách 1:
Hàm số đạt cực trị tại x = x0 => y’(x0) = 0 tìm m
Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’ lập bảng biến thiên Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không
Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x0
0 0
" 0
y x
y x
Giải hệ tìm m
Trang 2Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x 0
0 0
" 0
y x
y x
( Hàm số đạt cực tiểu tại x0
0 0
" 0
y x
y x
Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc
có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x 1 , x 2 )
.
+ Tìm TXĐ
+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu (*)
+ Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0
( Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của
các hoành độ)
+ Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K
So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt
Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực
trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông
góc hoặc song song với đt cho trước,….)
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị (*)
+ Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b)
Gọi M x y1 1, 1 , M x y2 2, 2là các điểm cực trị
=> y x ' 1 0 và y x ' 2 0
Suy ra : y1 ax1 b,
y2 ax2 b
Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là dm : y =
ax +b
+ Tìm m thỏa điều kiện K
+ So với (*) kết luận m cần tìm
Bài 2 7 : Cực trị của hàm trùng phương
yax bx c a
+ TXĐ : D = R
+ Tính y’ = 4ax3 +2bx
2
0 ' 0
x y
Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0
biệt
pt (*) có 2 nghiệm phận biệt
khác 0
a.b <0
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0
0
a b
y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0
0
a b
pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.
0
a b b
Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A.
-Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b)
Xét hàm số trên (a,b)
Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có )
Dựa vào BBT kết luận max , mina b, y a b, y.
Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b]
Xét hàm số trên [a,b]
Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi [ , ] a b
Tính y x i , y a y b ,
Kết luận max , min[ , ]a b y [ , ]a b y
Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp
Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác của cùng một cung
Đặt t = HSLG đó điều kiện của t t [ , ]
Ta được : g(t) = … Tính g’(t) Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm ti
[ , ]
Tính g( ti) , g , g
[ , ] [ , ]
[ , ] [ , ]
a b
a b
Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) bằng d trên [a,b]
Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]
Tính y’ cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )
Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần
chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ <0) với mọi x thuộc [a,b] => hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] )
Suy ra max[ , ]a b y ( hoặc min[ , ]a b y)
Cho max[ , ]a b y= d (hoặc min[ , ]a b y=d ) tìm m
Bài 3.5 : Ứng dụng của GTLN, GTNN vào giải toán
VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất
Trang 3Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương
B1 : Tập xác định : D = R
B2: Tính y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm
x y
và lim
x y
Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực
tiểu
B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt)
B6 : Vẽ đồ thị
( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương
nhận Oy làm trục đối xứng)
Bài 4.2 : Khảo sát hàm 1: 0
1
c
x c
B3 : Giới hạn và tiệm cận :
x y y
y = y0 là tiệm cận ngang
d
x
c
y
d x c
y
(-hoặc+
)
x c
B4: Bảng biến thiên
Kết luận :
- Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng
khoảng xác định
B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt)
B6 : Vẽ đồ thị
Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C):y f x đã vẽ, biện
luận theo m số nghiệm của phương trình
, 0
F m x (1)
Đưa pt (1) về dạng : f x g m
và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang)
Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d
Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận
-
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
* Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Pt tiếp tuyến của (C)
tại điểm M x y 0, 0 có dạng :
y y 0 f x' 0 x x 0
* Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2)
(C1) tiếp xúc với (C2)
Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại điểm M x y 0, 0
Tìm x0, y0
Tính y’ => y’(x0)
Pt tiếp tuyến của (C) tại M x y 0, 0 có dạng :
y y y x x x
Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
Gọi M x y 0, 0 là tiếp điểm
Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: y k x x 0 y0
d có hệ số góc k => y x ' 0 = k
Giải tìm x0 suy ra y0 = y(x0)
Suy ra Pt tiếp tuyến d
Cách 2: Dùng đk tiếp xúc
+ Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b
'
+ Giải hệ tìm b Viết pttt d
Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau :
+ d song song với : y k x b 2 2=> k = k2
+ d vuông góc với : y k x b 2 2 =>
2
1
k k
+ d tạo với : y k x b 2 2 một góc thì
1 2
1
k k
+d tạo với chiều dương của trục hoành 1 góc thì k = tan
Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (x A , y A )
Gọi d là tiếp tuyến qua A (xA, yA) và có hệ số góc k Suy ra : d :y k x x A yA
d tiếp xúc với (C) hệ pt sau có nghiệm :
( ) '
Giải hệ tìm x ( pp thế) => k Viết pttt
Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm :
Gọi M x y0 0, 0 là tiếp điểm.Khi đó y0 f x 0
Pt tiếp tuyến d tại M có dạng :
y y 0 y x ' 0 x x 0
Vì d qua A(xA, yA) nên :
y y y x x x
Giải pt tìm x0 Từ đó viết pttt
Trang 4Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường:
Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là
C1 , C2 Biện luận theo m số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ):
* B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của C1 và C2
f(x,m) = g(x, m) (1)
* B2: Biện luận theo m số giao điểm của C1 và C2.
Chú ý :
* Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau:
- Tính
- Biện luận theo => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm
của C1 và C2.
* Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau :
- Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a)
- Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne) Ta có:
(1) (x-a)(Ax2 +Bx + C) = 0
0 (2)
x a
- Tính , Biện luận theo => Số nghiệm pt(2) => số
nghiệm pt (1)
Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba:
Số n 0 của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox
Có 3 nghiệm
tạo thành cấp
số cộng
Cắt tại 3 điểm cách đều nhau (hay 3 điểm lập thành CSC)
f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và điểm uốn nằm trên trục Ox
Có 3 n0 đơn
phân biệt
Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và
yCĐ yCT <0
Có 1 n0 kép,
1 n0 đơn Tiếp xúc nhau tại 1 điểm và cắt
nhau tại 1 điểm
f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và
yCĐ yCT = 0
Có duy nhất
1 n0 đơn
Cắt nhau tại 1 điểm
Có 2 trường hợp :
* f ’(x) = 0 có n0 kép hoặc vô n0
* f ’(x) = 0 có 2 n0 pb
và yCĐ yCT >0
Định lí Viet về pt bậc 3:
1 2 2 3 1 3
1 2 3
b
a c
x x x x x x
a d
x x x
a
Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ
P x
y
Q x
, với A(x) là đa
thức , a
* Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên x nguyên và a là bội
của Q(x)
* Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận
Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C m ): y = f(x,m)
Cách 1:
Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm)
0. 0 m , 0 0,
M x y C m y f x m có n0 m
Biến đổi pt theo ẩn m
Áp dụng đk pt có n0 m các hệ số đồng thời bằng 0 giải tìm x0, y0 => Kết luận
0
a b
* 2
0
0
a
c
Cách 2:
Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm)
M x y 0. 0 Cm , m y0 f x m 0, , m (*)
Đặt F(m) = f(x0,m) F(m) = y0 không đổi => F’(m) = 0 Giải pt tìm x0
Thay vào (*) tìm y0 Kết luận điểm cố định
Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho đồ thị (C) : y = f(x) Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ thị (C’) : a) y f x , b) y f x ( )
Vẽ đồ thị (C) : y = f(x)
a) Đồ thị hàm số y f x ( )
Ta có:
( )
+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành +Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành
Suy ra đồ thị hàm số y f x ( )
b) Đồ thị hàm số y f x ( )
Ta có: y f x ( )là hàm số chẳn và
( )
+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung +Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung
Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua trục tung
Suy ra đồ thị hàm số y f x ( )
