Các dạng bài tập tích phân thường gặp trong đề thi đại học

http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Chủ đề 3: CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC Dạng 1: Tích phân các hàm phân thức và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối Kỹ thuật phân tích hệ số bất định Loại 1: 2 1 2 1 ( ) mx n A B dx dx dx ax bx c a x x x x           với x 1 , x 2 là nghiệm của mẫu số (A, B tìm theo đồng nhất hệ số) Loại 2: 2 2 2 ( ) ( )( ) mx nx p A Bx C dx dx qx t ax bx c qx t ax bx c              (A, B, C tìm theo đồng nhất hệ số) Ví dụ 1: Tính tích phân sau: 4 2 1 2 3 2 4 ( 2)( 3 2) x x I dx x x x        Giải: Ta có 4 4 4 2 1 2 2 3 3 3 4 4 4 3 3 3 3 2 2 1 1 ( 2)( 3 2) 2 3 2 1 1 6 ln( 2) | ( ) ln (ln | 2| ln | 1|) | 2 1 5 6 4 8 ln ln ln 5 3 5 x x x I dx dx dx x x x x x x x dx x x x x                                Ví dụ 2: Tính tích phân sau: 1 2 3 0 3 1 I dx x    Giải: Phân tích: 3 2 2 3 1 1 1 3 ( ) ( ) 1 A Bx C x x x x A B x B C A x A C x                   http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Từ đó suy ra: 0 1 0 1 3 2 A B A B C A B A C C                       Vậy tích phân viết lại dưới dạng 1 1 1 1 1 0 3 2 2 0 0 0 0 3 1 2 2 ln( 1) | 1 1 1 1 x x dx dx dx x dx x x x x x x                    Lại đặt 2 ' 2 (1 ) x M x x N       , ta viết được tích phân 1 1 2 1 1 0 0 2 2 0 0 1 2 1 3 2 2 2 ln(1 )| arctan( ) | 1 2 2 1 3 3 3 3 2 x x dx dx x x x x x x                  Vậy 2 ln2 3 3 I    . Bài tập luyện tập Bài 1: Tính các tích phân sau: 1)   2 1 2 2 127 dx xx x 2)   3 1 2 3 16x dxx 3) 2 2 0 | x 2x 3|dx    4) 3 3 2 0 2 x x x dx     5) 1 2 2 1 (1 ) dx x    6)   2 2 3 2 dx x x   2 2 2 3 1 1 7) x I dx x x     4 2 8) 4 3 dx x x    Hướng dẫn: 5) Đặt x = tant 2 2 2 2 1 1 2 1 6). 3 2 ( 1) ( 1)( 2) ( 2) x x x x x x                http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Dạng 2: Tích phân các hàm số vô tỷ Kiểu 1: Đặt ẩn phụ ( ) t f x  Ví dụ 3: Tính tích phân 2 3 3 0 1 ( 1) dx I x x      Giải Đặt 1 2 . 2 1 dx x t dt dx tdt x        Khi đó ta có 3 3 3 3 2 1 1 2 2 1 tdt dt I t t t       . Đặt 2 tan cos dy t y dt y    Vậy 3 3 3 2 2 4 4 1 2 2 . (1 tan ) cos 6 dy I dy y y            Kiểu 2: Lượng giác hóa +) Nếu tích phân dạng 2 2 ( , ) n m R x a x dx   thì đặt sin cos x a t x a t      +) Nếu tích phân dạng 2 2 ( , ) n m R x a x dx   thì đặt tan x a t  Ví dụ 4: Tính tích phân sau 3 2 3 4 6 3 2 9    ( ) x I dx x Giải: Đặt 3sin 3cos x t dx tdt    . Đổi cận lấy tích phân ta có http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân   3 2 4 4 2 2 2 4 6 6 2 6 4 2 6 6 6 2 4 5 2 6 6 9 9sin 3cos cos 1 cos 3 sin 3 sin 9 sin sin 1 1 3 cot cot cot | . 9 45 5 t tdt tdt tdt I t t t t td t t                        Kiểu 3: Kỹ thuật nhân liên hợp Ví dụ 5: Tính tích phân /4 5 2 /4 sin 1 x I dx x x        Giải Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân với ( 2 1 x x   ) ta có: /4 4 2 5 2 /4 4 4 4 2 ' '' 5 5 4 4 sin ( 1 )sin 1 1 sin sin x I dx x x xdx x x x xdx x xdx I I                            +) Tính ' 5 I . Đặt x = -t, khi đó ta có: 4 4 ' 2 2 ' ' 5 5 5 4 4 1 sin( ) ( ) 1 sin 0. I t t d t t tdt I I                    +) Tính '' 5 I . Dùng công thức tích phân từng phần với sin x cos u x du dx dv dx v x             http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân 4 '' 4 4 5 4 4 4 cos cos sin 2 I x x xdx x                 Vậy 5 2 I  Bài tập luyện tập Bài 2: Tính các tích phân sau: 9) 2 3 1 1 1 dx x x  10) 1 3 2 0 1 x x dx   11) 2 1 x dx 1 x 1    12) 1 2 0 x dx (x 1) x 1    13) 1 2 2 0 2 1 xdx x x     14) 2 0 xdx x 2 2 x     15) 2 1 dx x 2x 1   16) 2 3 0 x 1 dx 3x 1    17) 2 2 2 2 0 1 x dx x  18) 3 0 3 3. 1 3 x dx x x      19) 3 5 3 2 0 2 1 x x dx x    20) 1 2 2 0 1 4 x dx x    Hướng dẫn: 9) Đặt 3 1 x t   10) Đặt 2 1 x t   hoặc x = sint 11) Đặt 1 x t   12) 1 , x t   13) Nhân liên hợp 14) Nhân liên hợp 15) Đặt 2 1 x t   16) 3 3 1 x t   17) Đặt x = sint 18) Đặt 1 , x t   19) Đặt 2 1 x t   20) Đặt x = 2sint Dạng 3: Tích phân các hàm số mũ và logarit Loại 1: Biến đổi và sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Ví dụ 6: Tính tích phân 1 2 2 0 2 1 2 x x x x e x e dx e     Giải: 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 2 (1 2 ) 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x e x e x e e e dx dx x dx dx I I e e e                 +) Tính 1 1 3 2 1 0 0 1 3 3 x I x dx     +) Tính 1 1 1 2 0 0 0 1 (1 2 ) 1 2 ln(1 2 )| ln 1 2 2 1 2 3 x x x x x e d e e I dx e e e            Vậy 1 1 2 1 ln 3 2 3 e I    Loại 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 7: Tính tích phân sau: 2 1 ln (2 ln ) e x dx x x  Giải: Đặt 2 ln ln 2 dx x t x t dt x        Đổi cận: Với 3 x e t    Với 1 2 x t    3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( 2) 2 3 1 2 ln ln 2 3 t dt dt I t dt t t t t                    Ví dụ 8: Tính nguyên hàm 1 (1 ) x x dx x xe    http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Giải: Đặt 1 (1 ) (1 ) x x x dt xe t e x dx dt x dx e         1 1 (1 ) ( 1) ( 1) x x x dt dt t t dx dt x xe xe t t t t t               ( 1) 1 ln 1 ln ln 1 d t dt t t t C C t t t              ln 1 x x xe C xe    Ví dụ 9: Tính tích phân 3 1 ln (ln 1) (ln 1) e x x dx I x x      Giải: Chia cả tử và mẫu cho x 3 , ta được: 2 3 3 1 1 ln ln 1 ln (ln 1) (ln 1) ln 1 1 e e x x x x dx x x x I dx x x x x x                       Đặt 2 ln 1 ln 1 x x t dt dx x x x       2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 ( 1) 1 1 3 1 1 ( ) 2 2 2 8 1 2(1 ) e e e t dt I t t dt t t t e e                            Loại 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần Ví dụ 10: Tính tích phân sau: 2 1 3 x 0 I x e dx   Giải: http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Đặt 2 2 2 2 2 1 2 x x x du xdx u x v xe dx e dv xe dx                  Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có 2 2 2 1 2 1 1 0 0 0 1 1 1 | | . 2 2 2 2 x x x e I x e xe dx e       Bài tập luyện tập Bài 3: Tính các tích phân sau: 23) ln2 2 0 1 x x e dx e   ; 24). 2 1 1 ln e x dx x   ; 25) 1 2 0 (1 ) x x e dx e   ; 26). 3 0 2 4 x dx   27) 10 2 1 lg x xdx  28) ln8 x 2x ln3 e 1.e dx   ln2 2 0 29) x x dx e e   30)   1 2 0 ln 1 x dx 1 x    31)             e dxxx xx x I 1 2 ln3 ln1 ln 32) ln3 x x 3 0 e dx (1 e )   33) 2 1 3 x 0 x e dx  34) 1 2 2 0 ln( 1 ) 1 x x x dx x     35) 1 3 2ln 1 2ln e x dx x x    36) 4 1 ln(1 ) x dx x x    37) 0 2x 3 1 x(e x 1)dx     Hướng dẫn: http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân 23) Đặt 1 x e t   27) Dùng công thức từng phần 2 2 2 2 1 lg ln 10 2 du dx u x x dv xdx x v                28) 1 x e t   29) x t e  30) tan x t  và 4 t u    31) Kết hợp từng phần và đặt ẩn phụ 32) 1 x e t   33) 2 x t  và dùng tích phân từng phần 34) dùng từng phần với 2 ln( 1 ) u x x    35) Đặt 1 2ln x t   36) Đặt 1 x t   Dạng 4: Tích phân các hàm số lượng giác Loại 1: Dùng công thức nguyên hàm hàm số hợp Ví dụ 10: Tính tích phân 2 2 2 cos 4 sin x x I dx x        Giải: ) 2 2 1 2 2 2 2 2 cos 4 sin 4 sin x x I dx dx I I x x               +) Tính I 1 Ta có: 0 2 1 2 2 0 2 4 sin 4 sin x x I dx dx x x          (1) Xét 0 2 2 4 sin x J dx x      http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Đặt x t dx dt      Đổi cận: Với 2 2 x t       Với 0 0 x t    0 0 0 2 2 2 2 2 2 4 sin 4 sin 4 sin x t x J dx dt dx x t x                (2) Thay (2) vào (1) 1 0 I   +) Tính 2 I Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 cos (sin ) 1 (2 sinx) (2 sinx) (sin ) 4 sin (2 sin )(2 sinx) 4 (2 sin )(2 sinx) x d x d x I dx x x x                        2 2 2 2 2 2 1 (sin 2) 1 (2 sin ) 1 (ln sinx 2 ln 2 sinx ) 4 2 sinx 4 2 sin 4 d x d x x                      2 2 1 2 sinx 1 ln ln9 4 2 sinx 4        Vậy 1 ln9 4 I  Bình luận: Trong tích phân này chúng ta nhận dạng tích phân ( ) 0 a a f x dx    nếu f(x) là hàm số lẻ (Chứng minh bằng cách đặt x = -t). Loại 2: Dùng công thức tích phân từng phần Tính:   ( ) lg b a f x bt dx  [...]...  2 ln 2 2 1 3 Bài tập luyện tập Bài 4: Tính các tích phân sau:  4 1  sin 2 x 40)  dx cos2 x 0  2 1 41)  e x sin 2 ( x) dx 42) 0 cos3 x dx   1  sin x 4  2  4 43)  sin 4 xdx 0 44)     2 4sin x  (sin x  cos x) 3 dx 0 45)  2 sin xdx 0 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn... thức từng phần 51) Đặt cosx = t và dùng cttp Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 53) 3 1  sin 2 x  t 52) Đặt tanx = t Dạng 5: Ứng dụng tích phân Ví dụ 14: a) Tính diện tích của hình tạo bởi y  4  x 2 , x  y  2  0 2 b) Tính diện tích của hình tạo bởi y  2 x  2 và y   x  2... a) Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox: y  1  2 x  x 2 và y  1 b) Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau y  x ln(1  x)3 ; y  0 và x = 1 Giải: a) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình: Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc...  3 2 0 3 2 3 1 Vậy V  ln 2  (đvtt) 2 3 Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 trong các đường sau: a) y  x 3  3 x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ x   b) y  x sin x, y  0, x  0, x  1 2 2 4 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 1 c) y  ln x ,... 2 3   ln =  ln  ln  ln  ln  ln  ln 2 2 2 2 2  2 2 2 3   Vậy I  4 2 3  ln 3 2 3 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Loại 3: Đặt ẩn phụ Ví dụ 12: Tính các tích phân sau  2 sin 2 x a)  2 cos x  4 sin 2 x 0   sin  x   dx 4  b)  sin 2 x  2(1  s inx  cos... inx  cos x  t Đổi cận: Với x  0  t  1 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com Với x   2 I 2 2  1 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013  t 2 4 dt  2  2 2 (t  1) 2  1 2 2 (t  1) d (t  1) 2(t  1) 2  1 2 2( 2  1)  2 2 2  4 4( 2  1) Loại 4: Dạng tích phân đưa về tanx và cotx  4 Ví dụ 13: Tính cos 2... x  y  2  0 f) y  2 x  2 , y   x 2  2 x  2 g) x  y , x  y  2  0, y  0 Bài 6: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay tạo bởi các đường sau khi quay quanh Ox a) y  sin 4 x  cos 4 x , y  0, x    , x  2  b) x 2  y 2  8, y 2  2 x d) y = xex, y = 0, x =e c) y  x ln 1  x 3 , x  1, y  0 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân...http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013  u  f ( x)  du  f '( x)dx Phương pháp:   dv  bt lg dx v   bt lg dx    3 Ví dụ 11: Tính tích phân: I  x sin x dx 2 x  cos   3 Giải: u  x du  dx   Đặt   sin xdx 1 dv  v  cos x 2  cos x  I x cos x  3 ... độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình: Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân http://baigiangtoanhoc.com 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 x ln(1  x3 )  0 x  0 x  0 x  0     x0 3 3 3  ln(1  x )  0  ln(1  x )  0 1  x  1  Thể tích tròn xoay cần tính được cho bởi 1 1 V    x 2 ln(1  x3 ) dx ... chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013 Vậy S    2 (đvdt) b) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình: 2x  2  x2  2x  2 +) Nếu 2 x  2  0  x  1 thì (1) (1)  2 x  2   x 2  2 x  2 x  0  x2  4 x  0    x  4(l ) +) Nếu x  1 thì (1)  2 x  2  x 2  2 x  2 x  2  x2  4  0    x  2 (l ) Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 0 hoặc x = -2 Diện tích . 14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 20 13 Chuyên đề độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com http://edufly.vn Biên soạn: Đỗ Viết Tuân Chủ đề 3: CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI ĐẠI. x   3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2                      (sinx ) ( sinx) ln sinx ln sinx sinx sinx d d = 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3    . được tích phân 1 1 2 1 1 0 0 2 2 0 0 1 2 1 3 2 2 2 ln(1 )| arctan( ) | 1 2 2 1 3 3 3 3 2 x x dx dx x x x x x x                  Vậy 2 ln2 3 3 I    . Bài tập luyện tập Bài