Chuyên đề: hệ thống hoá các dạng bài tập về tứ giác nội, ngoại tiếp đường tròn

I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gọi tắt là tứ giác nột tiếp) 2) Định lí Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đờng tròn. 3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tứ giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn. Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng 1800. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc a. Sử dụng định lí đảo về hệ thức lượng trong đường tròn Sử dụng định lí : Tổng 2 cạnh đối của một tứ giác bằng nhau thì tứ giác đó ngoại tiếp một đường tròn Trường hợp chứng minh một đa giác ngoại tiếp một đường tròn ta phảI chứng minh các đường phân giác trong của đa giác đó đồng quy tại một điểm

Chuyên đề: hệ thống hoá dạng tập tứ giác nội, ngoại tiếp đờng tròn I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm: B A C O D Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gọi tắt tứ giác nột tiếp) 2) Định lÝ - Trong mét tø gi¸c néi tiÕp, tỉng sè ®o hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800 -NÕu mét tø giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đờng tròn 3) DÊu hiƯu nhËn biÕt (c¸c c¸ch chøng minh) tø giác nội tiếp, ngoại tiếp đờng tròn - Tứ giác cã tỉng sè hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có bón đỉnh cách điểm(mà ta xác định đợc) Điểm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dới góc - Sử dụng định lí đảo hệ thức lợng đờng tròn - Sử dụng định lí : Tổng cạnh đối tứ giác tứ giác ngoại tiếp đờng tròn - Trờng hợp chứng minh đa giác ngoại tiếp đờng tròn ta phảI chứng minh đờng phân giác đa giác đồng quy điểm - Dựa vào định nghĩa : PhảI chứng minh đợc cạnh đa giác tiếp xúc với đờng tròn II) Bài tập Bài toán 1.( Bài toán trang 49 SGK Hình học 9) Cho tam giác ABC, đờng phân giác góc B C gặp S, đờng thẳng chứa phân giác góc B C gặp E Chứng minh BSCE tứ giác nội tiếp ã Phân tích, tìm lời giải Muốn chứng minh tứ giác BSCE nội tiếp ta cần chứng minh theo định lí : Tứ giác BSCE có tổng hai góc đối 1800 ã Khai thác toán Nhận xét Theo chứng minh O nằm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC mặ khác S tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC E tâm đờng tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC nên diễn đạt nhận xét nh sau: Chứng minh đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp với tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác bị đờng tròn ngoại tiếp tam giác chia thành hai phần Nhận xét Từ kết chứng minh đợc nhận xét ta có toán sau: Gọi O, O 1,O2 trung điểm đoạn thẳng nối tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác ABC Chứng minh O, O 1,O2nằm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Nhận xét Dựa vào kết đà chứng minh đc nhận xét 4, ta thấy biết đợc S E ta xác định đợc O Gọi T tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có TB = TO = TC có nghĩa bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC xác định đợc Mặt khác OS = OB = OC lên suy cách xác định B,C sau dễ dàng xác định đợc A, ta có toán dung hình sau: Dựng tam giác ABC cho biết T tâm đờng tròn ngoại tiếp , S tâm đờng tròn nội tiếp E tâm đờng tròn bàng tiếp góc A 2.Bài tËp Lợi dụng tam giác vng có cạnh huyền chung Nếu hai hay nhiều tam giác vng có cạnh huyền chung ta chứng minh đa giác tạo thành đỉnh tam giác nội tiếp đường trịn Ví dụ minh hoạ: Cho đường tròn tâm O đường thẳng xy khơng cắt đường trịn Từ O hạ OA vng góc xy (A ∈ xy); từ A kẻ cát tuyến cắt đường tròn B C; tiếp tuyến đường tròn B C cắt xy D E Chứng minh tứ giác ODAB OCEA nội tiếp Gợi ý: Xét tứ giác ODAB có OB vng góc với BD (tiếp tuyến vng góc với bán kính tiếp điểm ) => góc OBD = 90 O C có thêm góc OAD = 900 (gt) => tứ giác ODAB nội tiếp (A B nhìn đoạn OD góc 900 khơng đổi) Dễ dàng tâm đường trịn B ngoại tiếp tứ giác trung điểm DO x A D E -Chứng minh tương tự OCEA nội tiếp Hãy giải tương tự tập sau: a) Từ điểm M ngồi đường trịn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD đường trịn Gọi I trung điểm dây CD Chứng minh điểm M, A, O, I, B thuộc đường tròn b) Chứng minh từ điểm vẽ tiếp tuyến với hai đường trịn đồng tâm tất tiếp điểm tạo thành tứ giác nội tiếp 3.Bµi tËp Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối 180 tứ giác nội tiếp đường trịn (định lý trang 88 SGK Tốn tập 2) Hay tứ giác có góc ngồi góc đối diện với góc kề tứ giác nội tiếp Ví dụ minh hoạ: Cho điểm A điểm cung BC từ A2 kẻ G hai dây cung AD AE bất kỳ, cắt BC F G Chứng minh tứ giác DFGE nội tiếp Gợi ý: Cách 1: Để chứng minh tứ giác A DFGE nội tiếp ta cần chúng minh góc D + góc G1 = 1800 Vậy thử xét quan G B C hệ tổng số đo hai góc với số đo cung có liên quan ? Ta có O góc D = sđ cung AE (số đo góc nội tiếp D E y số đo cung bị chắn) => góc D = (sđ cung AC + sđ cung CE) : (vì C thuộc cung AE) (1) Cịn góc G1 = (sđ cung AC + sđ cung BDE) : (G góc có đỉnh bên đường trịn) => góc G = (sđ cung AC + sđ cung BD + sđ cung DE) : = (sđ cung AB + sđ BD + sđ cung DE) : (vì cung AB = cung AC) (2) Cộng vế (1) (2) ta có góc D + góc G1 = 3600 : = 1800 = > DFGE nội tiếp Cách 2: Ta chứng minh góc D = góc G mà góc G1 + G2 = 1800 (hai góc kề bù) => góc D + góc G1 = 1800 => điều phải chứng minh Các em áp dụng phương pháp để làm tập 54, 58 (SGK Tốn tập 2) Ví dụ 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến đường tròn điểm B E F, cắt đường tròn C D Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp Để chứng minh tứ giác CDFE nội C E tiếp ta cần chứng minh góc E2 + góc D F D2 = 1800 góc D1 + góc D2 = 1800 (hai góc kề bù) Vậy cần chứng O A B minh góc E2 = góc D1 Ta có góc D1 = góc B1 (hai góc nội tiếp chắn cung AC) Như cần chứng minh góc E2 = góc B1 Dễ thấy hai góc phụ với góc A (do góc ACB = 900 góc ABE = 900) Bµi tËp Cho tứ giác ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo I giao điểm hai cạnh bên AD BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD nội tiếp OA.OC = OB.OD b) Tứ giác ABCD nội tiếp IA ID = IB IC Việc chứng minh tốn khơng có khó khăn, việc chứng minh tam đồng dạng suy kết Nhưng qua toán cho ta ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp chứng minh đẳng thức cạnh Hãy dùng ý tưởng để giải tốn sau: Bài 2: Cho đườn tròn (O), A điểm nằm ngồi đường trịn Một cát tuyến qua A cắt (O) B C Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P tiếp điểm), gọi H hình chiếu P OA Chứng minh điểm O, H, B, C thuộc đường tròn Hướng dẫn giải: Chúng ta thấy BC OH cắt A, để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC Thật ta có: (hệ thức lượng tam giác vng APO) (tam giác APB ACP đồng dạng) Từ ta có , theo ta có điều cần chứng minh Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB B tiếp xúc với AC C Gọi H giao điểm OA BC Vẽ dây cung DE (O) qua H Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp Hướng dẫn giải Tam giác OCA vuông C, CH đường cao nên ta có: Dây cung BC DE (O) cắt H nên ta có Từ ta có ADOE nội tiếp , chứng minh tương tự ta cú t giỏc III Các tập yêu cầu HS vận dụng kiến thức đà đợc trang bị để luyện tập Các tập có hớng dẫn tìm lời gi¶i Bài 1: Cho tam giác ABC vng A ( AB< AC ) nội tiếp đường tròn tâm I; bán kính r Gọi P trung điểm AC; AH đường cao tam giác ABC a/ Chứng minh tứ giác APIH nội tiếp đường tròn tâm K Xác định tâm K đường tròn b/ Chứng minh hai đường tròn ( I ) ( K ) tiếp xúc @ Gợi ý: p a/ Chúng minh IP ⊥ AC ⇒ µ = 900 Dựa vào dấu hiệu để chứng minh APIH nội tiếp đường trịn ( ¶ + µ = 1800 ) H P - Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác APIH: Điểm P nhìn đoạn thẳng AI góc vng nên P thuộc đường trịn đường kính AI Chứng minh tương tự điểm H Từ xác định tâm K ( trung điểm đoạn AI ) ( HS cần nắm lại kết luận sau: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB góc vng đường trịn đường kính AB – SGK lớp 9/ tập trang 85) b/ Nhắc lại kiến thức hai đường trịn tiếp xúc nhau: - Tiếp xúc ngồi khoảng cách hia tâm tổng hai bán kính OO’ = R + r - Tiếp xúc khoảng cách hai tâm hiệu hai bán kính OO’ = R – r> - Tính IK để kết luận (I) ( K ) tiếp xúc A Bài 2: CHo đường trịn tâm O, đường kính AB cố định Điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN ⊥ AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC, cắt MN E a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn b/ Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Và chứng minh AM = AE AC c/ Chứng minh AE AC − AI IB = AI @ Gợi ý: câu a/ HS chứng minh tương tự câu a ở Câu b, c : HS tự ch minh * Bài 3: Cho tam giác ABC cân A ( µ < 900 ) Đường vng góc với A AB A cắt đường thẳng BC E Kẻ EN ⊥ AC Gọi M trung điểm BC Hai đường thẳng AM EN cắt F a/ Chứng minh tứ giác MCNF AMNE nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn b/ Chứng minh EB phân giác góc AEF @ Gợi ý: a/ Dựa vào dấu hiệu để ch.minh MCNF dựa vào dấu hiệu để chứng minh AMNE nội tiếp b/ Tính ·AEB + · MAE = ? tính · BAM + · MAE = ? So sánh ·AEB · MAC ( 1) BAM So sánh · BAM · - Tứ giác AMNE nội tiếp nên · MAC · MEN với nhau, ( 2) Từ ( 1) ( 2) nêu kết luận Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax Ay cho ·xAy = 450 Tia Ax cắt CB ND E P Tia Ay cắt CD BD F Q a/ Chứng minh EBAQ FDAP nội tiếp đường tròn b/ Chúng minh năm điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn @ Gợi ý: a/ Chứng minh EBAQ nội tiếp: - BD đường chéo hình vng ABCD nên · DBC = ? - Dựa vào dấu hiệu để chứng minh EBAQ nội tiếp ( Hướng dẫn HS lập luận sau: Hai đỉnh A B hai góc QAE BQE nhìn đoạn thẳng QE chứa hai đỉnh lại tứ giác EBAQ góc 450 nên EBAQ nội tiếp đường tròn - Chứng minh tương tự tứ giác FPAD b/ Chứng minh năm điểm Q, P, E, C, F nằm đường trịn HS cần nắm kiến thức sau: Góc ngồi đỉnh tứ giác nội tiếp góc đỉnh đối đỉnh (Định lý) - Góc FQE góc ngồi đỉnh Q tứ giác nội tiếp EBAQ nên góc EQF góc nào? Và độ? - Góc EPF góc ngồi đỉnh P tứ giác nội tiếp APFD nên góc EPF góc nào? Và độ? - Xét điểm P, Q, C có nhìn đoạn thẳng EF góc vng khơng? Vậy P, Q, C thuộc đường trịn nào? Từ kết luận điểm Q, P, E, C, F nằm đường tròn Bài 5:Cho đường tròn ( O;R) đường thẳng xy cách tâm O khoảng OK= a ( < a < R ) Từ điểm A thuộc xy ( OA > R ), vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) ( B, C tiếp điểm; O B nằm phía với xy) a/ Chứng minh đường thẳng xy cắt đường tròn ( O) hai điểm D E b/ Chứng minh điểm O, A, B, C, K nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn c/ BC cắt OA OK theo thứ tự M S Chứng minh tứ giác AMKS nội tiếp đường tròn @ Gợi ý: Câu b: dựa vào dấu hiệu để chứng minh điểm thuộc đường tròn Câu c: dựa vào dấu hiệu để chứng minh AMKS nội tiếp Bài 6: Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Trên tia đối tia BC, lấy điểm D Gọi E giao điểm DO AC Qua E, vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường trịn (O), có tiếp điểm M; tiếp tuyến cắt đường thẳng AB K a/ Chứng minh bốn điểm D, B, O, K thuộc đường tròn b/ Chứng minh D, B, O, M, K thuộc đường tròn @ Gợi ý: - Câu a/ - So sánh góc MOE góc MBC - So sánh góc MOD góc MBD - Hai điểm O B nhìn đoạn thẳng DM góc Vậy kết luận tứ giác DBOM? - Câub/ Chứng minh B, O, M, K thuộc đường tròn ( dấu hiệu 1) Rồi kết luận điểm B, O, M, K, D thuộc đường tròn Bài tập vận dụng dấu hiệu (Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh nội tiếp đường trịn.) Bài 7: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường trịn tâm O; đường kính AI Gọi E trung điểm AB ;K trung điểm OI; H trung điểm EB a/Chứng minh HK ⊥ EB b/ Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn @ Gợi ý: Câu a/ B thuộc nửa đường trịn đường kính AI ⇒ ·AIB = ?0 - Chúng minh HK đường trung bình hình thang EBOI, từ kết luận HK ⊥ EB Câu b/ Chứng minh tam giác EKB cân K để suy · BEK = · EBK (1) - Chứng minh · EBK = · AKC (2) - Từ (1) (2) suy · BEK = · ACK Góc BEK góc ngồi đỉnh E tứ giác AEKC góc ACK ( góc đỉnh đối đỉnh E) Do đó, vào dấu hiệu 2, kết luận AEKC nội tiếp đường tròn Bài 8: Cho nửa đường trịn tâm I, đường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx lấy điểm P nửa đường trịn Trên cung PN, lấy điểm Q ( không trùng với P, N ) Các tia MP MQ cắt tiếp tuyến NX theo thứ tự S T a/ Chứng minh NS MN b/ Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT c/ Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp đường tròn @ Gợi ý: a/ Điểm P nằm nửa đường trịn, góc PMN độ? ( HS nhớ lại kiến thức góc nội tiếp chăn1/4 đường trịn) Kết luận tam giác MNS tam giác gì? ( cân?), suy điều cần chứng minh b/ HS tự chứng minh tam giác đề đồng dạng( trường hợp góc-góc) c/ Do tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT( ch minh trên) · · · NTQ ( 1) nên TMN = TNQ ( 1) QNM = · Mà góc SPQ có góc QNM khơng?( nhớ lại định lý góc ngồi đỉnh tứ giác nội tiếp để trả lời- Tứ giác MPQN nội tiếp phải không?)(2) Từ (1) (2) kết luận góc NTQ góc SPQ khơng? Xét vị trí hai góc tứ giác PQTS để kết luận tứ giác PQTS có nội tiếp hay không ( dựa vào dấu hiệu 2) Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A Nửa đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F Chứng minh CDEF tứ giác nội tiếp @ Gợi ý: Chứng minh tương tự Bài 10:Bài tập vận dụng dấu hiệu 3: 10 a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕp b/ Chứng minh AB//EI c/ Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tơng ứng R S Chứng minh: * I trung điểm RS 1 + = * AB CD RS Bài tập 24 Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB COD vuông góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey a/ Chøng minh I; E; O; F cïng n»m trªn mét đờng tròn b/ Tứ giác CEIO hình gì? sao? c/ Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng nào? Bài tập 25 Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R điểm A nửa đờng tròn (A khác B C) Từ A hạ AH vuông góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F a Tứ giác AFHE hình gì? Tại sao? b Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp c HÃy xác định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE cã diƯn tÝch lín nhÊt TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt ®ã theo R Bµi tËp 26 Cho ®iĨm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự Một đờng tròn (O) thay đổi qua hai điểm M, N Từ P kẻ tiếp tuyến PT, PT với đờng tròn (O) a) Chứng minh: PT2 = PM.PN Từ suy (O) thay ®ỉi vÉn qua M, N T, T thuộc đờng tròn cố định b) Gọi giao điểm TT với PO, PM I J K trung điểm MN Chứng minh: C¸c tø gi¸c OKTP, OKIJ néi tiÕp c) Chøng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi qua M, N TT qua điểm cố định d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc TPT = 600 Bài tập 27 Cho ABC vuông A Trên AC lấy điểm M (MA C) Vẽ đờng tròn đờng kính MC Gọi T giao điểm thứ hai cạnh BC với đờng tròn Nối BM kéo dài cắt đờng tròn điểm thứ hai D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai S Chứng minh: a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp · b) Khi M chuyển động AC ADM có số đo không đổi c) AB//ST Bài tập 28 Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A, B Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) (O') lần lợt điểm C, D Lấy M cung 16 nhỏ BC đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng MB với đờng tròn (O') N giao điểm hai đờng thẳng CM, DN P a Tam giác AMN tam giác gì, sao? b Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O') Q, chøng minh r»ng BQ // CP Bµi tËp 29 Cho ∆ ABC vuông A (AB < AC) H nằm A C Đường tròn (O) đường kính HC cắt BC I BH cắt (O) D a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng · c) AD cắt (O) K Chứng minh CA tia phân giác KCB Bài tập 30 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N B Nối Ac cắt MN E Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chøng minh AM2 = AE.AC Chøng minh AE AC - AI.IB = AI2 H·y x¸c định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME lµ nhá nhÊt Bµi tËp 31 Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB, dây AC Gọi E điểm cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp b) Chứng minh KH ⊥ AB c) Cho BC = R Tớnh PK Bài tập 32 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bµi tËp 33 Cho điểm A bên đờng tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đờng tròn (O) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đờng tròn à b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB = AI.AH 17 d) Cho AB=R vµ OH= R TÝnh HI theo R Bài tập 34 Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K a) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chứng minh BAF tam giác cân d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài tập 35 Cho hai đường trịn (O1), (O2) có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B khơng vng góc với AB, cắt hai đường tròn E F (E  (O1); F  (O2)) Chứng minh AE = AF Vẽ cát tuyến CBD vng góc với AB ( C (O 1); D  (O2)) Gọi P giao điểm CE DF Chứng minh rằng: a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đường tròn b Gọi I trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng Khi EF quay quanh B I P di chuyển đường no? Bài tập 36 Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F cho · EAF = 450 BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tù t¹i G, H Chøng minh: a) ADFG, GHFE tứ giác nội tiếp b) CGH tứ giác GHFE có diện tích Bài tập 37 Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đờng tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA; tia ®ãi cđa tia AB lÊy ®iĨm S, nèi S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H a Chứng minh: BMD = BAC , từ suy tứ giác AMHK néi tiÕp b Chøng minh: HK // CD c Chøng minh: OK.OS = R2 Bài tập 38 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh V AME đồng dạng với V ACM vµ AM2 = AE.AC 18 c Chøng minh AE.AC − AI.IB = AI2 d HÃy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài tập 39 Cho ba điểm A, B, C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng d vuông góc với AC A Vẽ đờng tròn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D; Tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) Chứng minh: Tích CM CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAB chạy đờng tròn cố định Bài tập 40 Cho đờng tròn (O) điểm A nằm đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn B C Gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn (M khác B C) Gọi H; K; I lần lợt chân đờng vuông góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp · · b/ Chøng minh: MHI = MK H c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK Bµi tËp 41 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M Q hai điểm (d) cho MA, MQ, QA Các đờng thẳng BM BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai lµ N vµ P Chøng minh: TÝch BN.BM không đổi Tứ giác MNPQ nội tiếp Bất ®¼ng thøc: BN + BP + BM + BQ > 8R Bài tập 42 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng: a Góc CID góc CKD b Tứ giác CDFE nội tiếp đợc dờng tròn c IK // AB Bài tập 43 Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai ®iÓm M, E theo thø tù A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C; AE cắt BM D a Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB b Gọi H giao ®iĨm cđa CD vµ AB Chøng minh BE.BC = BH.BA c Chứng minh tiếp tuyến M E đờng tròn (O) cắt điểm nằm đờng thẳng CD 19 0 d Cho biết ∠BAM = 45 vµ ∠BAE = 30 TÝnh diƯn tích tam giác ABC theo R Bài tập 44 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Một cát tuyến MN quay xung quanh trung ®iĨm H cđa OB Giäi I trung điểm MN Từ A kẻ Ax vuông góc với MN K Gọi C giao điểm cđa Ax víi tia BI a/ Chøng minh r»ng: BN// MC b/ Chứng minh rằng: Tứ giác OIKC hình chữ nhật c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) c¾t tia AM ë E, c¾t tia Ax ë F Gọi D giao điểm thứ hai tia Ax víi (O) Chøng minh r»ng: tø gi¸c DMEF néi tiÕp Bài tập 45 Cho ABC cân (AB = AC) góc A nhỏ 60 0; tia đối cđa tia AC lÊy ®iĨm D cho AD = AC a) Tam giác BCD tam giác gì? sao? b) Kéo dài đờng cao CH ABC cắt BD E Vẽ đờng tròn tâm E tiếp xóc víi CD t¹i F Qua C vÏ tiÕp tun CG đờng tròn Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc đờng tròn c) Các đờng thẳng AB CG cắt M, tứ giác AFGM hình gì? Tại sao? d) Chứng minh: MBG cân Bài tập 46 Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O cắt đờng tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đờng thẳng OH cắt tia CN K a Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đờng tròn b Chứng minh KN.KC = KH.KO c Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN d Một đờng thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN lần lợt E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ Bài tập 47 Cho BC dây cung cố định đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R) A điểm di động cung lớn BC cho ABC nhọn Các đờng cao AD; BE; CF cắt t¹i H (D ∈ BC; E ∈ CA; F ∈ AB) Chøng minh: Tø gi¸c BCEF néi tiÕp Tõ ®ã suy AE.AC = AF.AB Gäi A' trung điểm BC Chứng minh rằng: AH = 2OA' Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A Đặt S diện tích ABC, 2p lµ chu vi ∆ DEF Chøng minh: a d // EF b S = p.R Bµi tËp 48 20 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD đáy nhỏ BC nội tiếp đờng tròn tâm O; AB CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O B D cắt điểm K a Chứng minh tứ giác OBID OBKD tứ giác nội tiÕp b Chøng minh IK song song víi BC c Hình thang ABCD phải thoả mÃn điều kiện để tứ giác AIKD hình bình hành Bài tập 49 Cho đờng tròn (O;R) điểm A nằm ®êng trßn Mét gãc xAy = 900 quay quanh A thoả mÃn Ax, Ay cắt đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tơng ứng B, C Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC điểm thứ hai tơng ứng M, N Tia OM cắt đờng tròn P Gọi H trực tâm tam giác AOP Chứng minh a) AMON hình chữ nhật b) MN//BC c) Tứ giác PHOB nội tiếp d) Xác định vị trÝ cđa gãc xAy cho tam gi¸c AMN cã diện tích lớn Bài tập 50 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB điểm I nằm A O (I khác A O) Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thc cung lín MN (C kh¸c M, N kh¸c B) Nối AC cắt MN E Chứng minh: a) Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bµi tËp 51 Cho nưa đờng tròn (O) đờng kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC nhỏ 900 góc COD = 900 Gọi M điểm nửa đờng tròn cho C điểm cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lợt E, F a) Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao? b) Chứng minh: D điểm cung MB c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn M cắt tia OC, OD lần lợt I, K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp đợc d) Giả sử tia AM cắt tia BD S HÃy xác định vị trí C D cho ®iĨm M, O, B, K, S cïng thc đờng tròn Bài tập 52 Cho đờng tròn (O) hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Trên tia ®èi cđa tia AB lÊy ®iĨm lÊy ®iĨm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đờng thẳng EF với đờng thẳng OM OH a) Chứng minh điểm M, O, H, E, F nằm đờng tròn b) Chøng minh: OH.OI = OK OM c) Chøng minh: IA, IB tiếp tuyến đờng tròn (O) Bài tập 53 21 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB CD cắt đờng tròn đờng kính BC I Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E thẳng hàng Chứng minh MI tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BC Bài tập 54 Cho đờng tròn (0) điểm A nằm đờng tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với đờng tròn a) Chứng minh: Bèn ®iĨm A, 0, E, C cïng thc mét ®êng trßn b) Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC c) Chứng minh: BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài tập 55 Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB Trên tiếp tuyến đờng tròn O A lấy điểm M (M không trùng với A) Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm M D; tia MC nằm tia MA vµ tia MO) vµ tiÕp tuyÕn thø hai MI (I tiếp điểm) với đờng tròn (O) Đờng thẳng BC BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E F Chứng minh: a Bốn điểm A, M, I O nằm đờng tròn b IAB = AMO c O trung điểm FE Bài tập 56 Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB Đờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F a/ Chứng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB c/ Tìm vị trí điểm C để tứ giác AEFC hình bình hành Bài tập 57 Cho đờng tròn (O) đờng thẳng xy đờng tròn Đờng thẳng qua O vuông góc với xy H cắt đờng tròn (O) A B M điểm (O), đờng thẳng AM cắt xy E, đờng thẳng BM cắt xy F, tiếp tuyến M cắt xy I, đờng thẳng AF cắt (O) K Nối E với K a) Chøng minh: IM = IF b) Chøng minh: ®iĨm E, M, K, F thuộc đờng tròn c) Chứng minh: IK tiếp tuyến (O) d) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp AMH M di động (O) Bài tập 58 Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB I, đờng thẳng cắt đờng tròn (O; R) M N Gọi S giao điểm BM AN Qua S kẻ đờng thẳng song song 22 với MN, đờng thẳng cắt đờng thẳng AB AM lần lợt K H HÃy chứng minh: 1) Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK=HA.HM 2) KM tiếp tuyến đờng tròn (O; R) 3) Ba điểm H; N; B thẳng hàng Bài tập 59 Cho đờng tròn (0; R), dây CD có trung điểm M Trên tia ®èi cđa tia DC lÊy ®iĨm S, qua S kỴ tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn Đờng thẳng AB cắt đờng thẳng SO ; OM P Q a) Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM néi tiÕp b) Chøng minh SA2 = SD SC c) Chứng minh OM OQ không phụ thuộc vào vị trÝ ®iĨm S d) Khi BC // SA Chøng minh tam giác ABC cân A e) Xác định vị ®iĨm S trªn tia ®èi cđa tia DC ®Ĩ C, O, B thẳng hàng BC // SA Bài tập 60 Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M điểm cung AB K thuộc cung BM ( K khác M B ) AK cắt MO I a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc đờng tròn b) Gọi H hình chiếu M lên AK Chứng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp c) Tam gi¸c HMK tam giác ? d) Chứng minh : OH phân giác góc MOK e) Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn (P hình chiếu K lên AB) Bài tập 61 Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (0) Tia phân giác góc B, góc C cắt đờng tròn thứ tự D E, hai tia phân giác cắt F Gọi I, K theo thứ tự giao điểm dây DE với cạnh AB, AC a) Chứng minh: tam giác EBF, DAF cân b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB c) Tứ giác AIFK hình ? Tại ? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK Bài tập 62 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, đoạn OA lấy điểm I cho OA AI = Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C ®iĨm t ý thc cung lín MN ( C kh«ng trùng với M, N, B) Nối AC cắt MN E a) Chøng minh : Tø gi¸c IECB néi tiÕp b) Chứng minh : Các tam giác AME, ACM đồng dạng AM2 = AE AC c) Chứng minh : AE AC - AI IB = AI2 d) H·y xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài tập 63 23 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD) Gọi P điểm cung nhỏ AB ; DP cắt AB E cắt CB K ; CP cắt AB F cắt DA I a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp ®ỵc b) Chøng minh: IK // AB c) Chøng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc d) Chứng minh: AP2 = PE PD = PF PC e) Chøng minh : AP tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED f) Gọi R1 , R2 bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED vµ 2 BED.Chøng minh: R1 + R2 = 4R PA Bài tập 54 Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD (E khác D), đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F, đờng thẳng vuông góc với AE A cắt đờng thẳng CD K 1) Chứng minh ABF = ADK từ suy AFK vuông cân 2) Gọi I trung điểm FK, Chứng minh I tâm đờng tròn qua A , C, F , K 3) TÝnh sè ®o gãc AIF, suy ®iĨm A, B, F, I nằm đờng tròn Bài tập 65 Cho góc vuông xOy , Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A B cho OA = OB M điểm AB Dựng đờng tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A, đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) điểm thứ hai N 1) Chứng minh tứ giác OANB tứ giác nội tiếp ON phân giác góc ANB 2) Chøng minh M n»m trªn mét cung tròn cố định M thay đổi 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn Bài tập 66 Cho im A bờn ngồi đường trịn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đường tròn · b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB = AI.AH Bài tập 67 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đờng tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đờng phân giác I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N 1) Chứng minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ? Bài tập 68 24 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC K trung OK điểm BC Tính tỉ số BC tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm HC > HE Tinh HC Bµi tËp 69 Cho (O) đờng kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH.AK theo R Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Bài tập 70 Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD 1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vuông 2) Gọi M giao diểm CO vµ DO2 Chøng minh O1 , O2 , M , B nằm đờng tròn 3) E trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn Bài tập 71 Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt E vµ F 1) Chøng minh B , C , D thẳng hàng 2) Chứng minh B, C , E , F nằm đờng tròn 3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A ®Ĩ EF cã ®é dµi lín nhÊt Bµi tËp 72 Cho đờng tròn tâm O cát tuyến CAB ( C đờng tròn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đờng tròn E , EN cắt đờng thẳng AB F 1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB 3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bµi tËp 73 25 Cho ∆ ABC cã gãc nhän AC > BC néi tiếp (O) Vẽ tiếp tuyến với (O) A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vuông góc O MC CMR a/ MAOH tứ giác nội tiếp b/ Tia HM phân giác góc AHB c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt E, F Nối EH cắt AC P, HF cắt BC Q Chứng minh r»ng QP // EF Bµi tËp 74 Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chøng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc ®êng trßn c) AC song song víi FG d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập 75 Cho đờng tròn tâm O Từ điểm P đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm) với đờng tròn (O) a Chứng minh PAOC tứ giác nội tiếp đờng tròn b Tia AO cắt đờng tròn (O) B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gì? c Gọi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng tỏ điểm I, J, K thẳng hàng Bài tập 76 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vu«ng gãc víi BC 1) Chøng minh tø giác MHKC tứ giác nội tiếp à à 2) Chøng minh AMB = HMK 3) Chøng minh ∆ AMB đồng dạng với HMK Bài tập 77 Cho nửa đường trịn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C B Các tia AC, AD cắt Bx E F a, Chứng minh ABE vuông cân b, Chứng minh  ABF   BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bài tập 78 Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O Hai đờng chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vuông góc E xuống AD I trung điểm DE Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm đờng tròn 26 Bài tập 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vuông góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD Bµi tËp 80 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; B > 45 ), đờng tròn (O) tiếp xúc với AB AC lần lợt B C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B C) hạ đờng vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB a Chỉ cách dựng đờng tròn (O) b Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp c Gọi P giao ®iĨm cđa MB vµ IK; Q lµ giao ®iĨm cđa MC vµ IH Chøng minh PQ ⊥ MI Bµi tËp 81 Cho ∆ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp đờng tròn tâm O, bán kính R Hạ ®êng cao AD, BE cđa tam gi¸c C¸c tia AD, BE lần lợt cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,D,B nằm đờng tròn Tìm tâm I đờng tròn MN// DE Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp CDE không đổi Bài tập 82 Cho điểm A đờng tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn (B , C tiếp điểm ) M điểm bất kú trªn cung nhá BC ( M ≠ B ; M ≠ C ) Gäi D , E , F tơng ứng hình chiếu vuông góc M đờng thẳng AB , AC , BC ; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF 1) Chứng minh : a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK 2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lín nhÊt Bµi tËp 83 Cho ∆ ABC vuông cân A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M thuộc đoạn AD (M không trùng A, D) Gọi I, K hình chiếu vng góc M AB, AC H hình chiếu vng góc I đoạn DK a/Tứ giác AIMK hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc đường trịn Tìm tâm đường trịn 27 c/ B, M, H thẳng hàng Bµi tËp 84 Cho tam gi¸c ABC (cã ba gãc nhän) Hai đờng cao AD BF gặp H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Gọi CK đờng cao lại tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF t¹i E Chøng minh r»ng gãcEFH = gãc KBH c/ Giả sử CH = AB Tính số đo góc ACB Bài tập 85 Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến A tiếp tuyến D đờng tròn (O) cắt E Gọi I giao điểm cđa AC vµ BD Chøng minh: ∠CAB = ∠AOD a b Tø gi¸c AEDO néi tiÕp c EI // AB Bµi tËp 86 Cho đường trịn tâm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường trịn tâm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường trịn tâm O D E Nối DC cắt đường tròn tâm O’ I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giác DMBI nội tip Bài tập 87 Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D, dựng CE vuông gãc víi BD a Chøng minh tø gi¸c ABCE néi tiếp đờng tròn b Chứng minh AD.CD = ED.BD c Từ D kẻ DK vuông góc với BC Chứng minh AB, DK, EC đồng quy điểm DKE = ABE Bài tập 88 Từ điểm A đờng tròn(O), ta kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC, ( M ≠ B; M ≠ C) Tõ M hạ đờng vuông góc MI, MH, MK tơng ứng xng BC, AC, AB Gäi P lµ giao cđa MB vµ IK; Q lµ giao cđa MC vµ IH a Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc ®êng trßn b Chøng minh r»ng tia ®èi cđa tia MI phân giác góc KMH c Chứng minh PQ // BC Bài tập 89 28 Cho đờng tròn tâm O, bán kính R hai đờng kính vuông góc AB CD Trên AO lấy điểm E mà OE = AO, CE cắt (O) M a TÝnh CE theo R b Chøng minh tø gi¸c MEOD nội tiếp đựơc Xác định tâm bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác c Chứng minh hai tam giác CEO CDM đồng dạng Tính độ dài đờng cao MH tam giác CDM Bài tập 90 Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CE đờng thẳng DF cắt I a Chứng minh IA vuông góc với CD b Chúng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp c Chứng minh đờng thẳng AB qua trung ®iĨm cđa EF Bµi tËp 91 Cho đường trịn tâm O cát tuyến CAB (C ngồi đường trịn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường trịn E, EN cắt đường thẳng AB F 4) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 5) Chứng minh góc CAE góc MEB 6) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam giác ABC vuông A có AB > AC, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F a Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b Chứng minh AE.AB = AF.AC c Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp Bài tập 93 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC Đờng tròn qua trung điểm M đoạn thẳng AB vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) D E Gọi F giao điểm thứ hai CD với đờng tròn (O'), K giao điểm thứ hai CE với đờng tròn (O') Chứng minh: a Tứ giác ADBE hình thoi b AF // BD c Ba điểm E, A, F thẳng hàng d Bốn điểm M, F, C E thuộc đờng tròn e Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy Bài tập 94 Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; ®êng tiÕp tun víi (O) vÏ tõ A c¾t (O') N Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P a Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm đờng tròn 29 c Chứng minh rằng: BP = BA Bài tập 95 Từ điểm P nằm đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đờng tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đờng thẳng qua điểm P cắt đờng tròn (O) hai điểm E F Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh rằng: a Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn b Các điểm P, N, O, H nằm đờng tròn c Tam giác PQO cân d PM2 = PE.PF e PHM = PHN Trên chuyên đề hệ thống tập chứng minh tứ giác nội ngoại tiếp đờng tròn mà thân tôI đà kì công biên soạn, chuyên đề có ích với thân tôI, hy vọng có ích với bạn bè đồng nghiệp em học sinh Trong trình biên soạn gặp sai sót, mong ý kiến đóng góp bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn / Bắc kạn ngày 15 tháng năm 2011 Ngời viết Phạm Văn Bảy 30 ... minh tam giác AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ? Bài tập 68 24 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường. .. rằng: a Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn b Các điểm P, N, O, H nằm đờng tròn c Tam giác PQO cân d PM2 = PE.PF e PHM = PHN Trên chuyên đề hệ thống tập chứng minh tứ giác nội ngoại tiếp đờng tròn. .. 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Từ A kẻ hai đường thẳng cắt tiếp tuyến đường tròn điểm B E F, cắt đường tròn C D Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp Để chứng minh tứ giác CDFE nội C E tiếp ta