một số dạng bài tập và phương pháp giải về số hữu tỉ và tỷ lệ thức trong Đại số lớp 7

Phần a: mở đầu I. Lý do chọn đề tài: Trong hệ thống các môn học ở bậc THCS, môn toán đóng một vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ học môn Toán giúp cho học sinh dần hình thành và phát triển được sự linh hoạt, sáng tạo và tư duy trừu tượng. Học toán giúp con người nâng cao trình độ tính toán, giúp khả năng tư duy logic, sáng tạo ngày càng nâng cao và phát triển. Khi học toán là qua hoạt động giải bài tập giúp học sinh nâng cao dần khả năng suy luận, đào sâu, tìm hiểu và trình bày các vấn đề một cách logic. Trong chương trình môn Đại số lớp 7 phần kiến thức về số hữu tỉ và tỷ lệ thức là hết sức cơ bản. Các phép tính số hữu tỉ đã giải quyết đước các bài toán thực tế mà trong số nguyên không thực hiện được, chúng được sử dụng để học tiếp các phần sau của môn toán THCS và các môn khoa học tự nhiên khác. Đặc biệt từ một tỷ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết được 3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư. Trong chương II, khi học về đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán. Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức. Trong hoá học, vật lý tỉ lệ thức cũng là phương tiện để giải các bài toán. Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới. Qua quá trình dạy học tôi thấy rất nhiều học sinh còn chưa có kĩ năng thực hiện các phép tính số hữu tỉ như: quy đồng, cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, tìm số hạng trong một tỉ lệ thức. Với những lý do trên đây, tôi đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải về số hữu tỉ và tỷ lệ thức trong Đại số lớp 7.

Phần a: mở đầu

I Lý do chọn đề tài:

Trong hệ thống các môn học ở bậc THCS, môn toán đóng một vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ học môn Toán giúp cho học sinh dần hình thành và phát triển đợc

sự linh hoạt, sáng tạo và t duy trừu tợng Học toán giúp con ngời nâng cao trình độ tính toán, giúp khả năng t duy logic, sáng tạo ngày càng nâng cao và phát triển Khi học toán là qua hoạt động giải bài tập giúp học sinh nâng cao dần khả năng suy luận,

đào sâu, tìm hiểu và trình bày các vấn đề một cách logic

Trong chơng trình môn Đại số lớp 7 phần kiến thức về số hữu tỉ và tỷ lệ thức là hết sức cơ bản Các phép tính số hữu tỉ đã giải quyết đớc các bài toán thực tế mà trong số nguyên không thực hiện đợc, chúng đợc sử dụng để học tiếp các phần sau của môn toán THCS và các môn khoa học tự nhiên khác Đặc biệt từ một tỷ lệ thức ta

có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỷ lệ thức nếu biết đợc 3 số hạng ta có thể tính đợc số hạng thứ t Trong chơng II, khi học về đại lợng tỷ lệ thuận,

tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức là một phơng tiện quan trọng giúp ta giải toán Trong phân môn Hình học, để học đợc định lý Talet, tam giác đồng dạng (lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỷ lệ thức Trong hoá học, vật lý tỉ lệ thức cũng là phơng tiện

để giải các bài toán Mặt khác khi học tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau còn rèn t duy cho học sinh rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới

Qua quá trình dạy học tôi thấy rất nhiều học sinh còn cha có kĩ năng thực hiện các phép tính số hữu tỉ nh: quy đồng, cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, tìm số hạng trong một tỉ lệ thức

Với những lý do trên đây, tôi đa ra một số dạng bài tập và phơng pháp giải về

số hữu tỉ và tỷ lệ thức trong Đại số lớp 7

II Mục tiêu nghiên cứu:

1 Mục đích nghiên cứu

Trong chuyên đề này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm số hữu tỉ, hệ thống lại một số định nghĩa, quy tắc về phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức, phơng pháp giải, các bớc giải các dạng toán về số hữu tỉ và tỉ lệ thức Bằng cách sắp xếp các dạng toán, phơng pháp truyền thụ phù hợp với đối tợng học sinh, phát huy tính tích cực của học sinh, giúp học sinh làm đợc một số dạng toán về phép tính số hữu tỉ và tỷ lệ thức nh: tìm số hạng cha biết, chứng minh liên quan đến tỷ số bằng nhau, toán chia tỷ lệ, tránh những sai lầm thờng gặp trong giải toán liên quan đến dãy tỷ số bằng nhau Học sinh có khả năng t duy, thành lập các bài toán mới, tính cẩn thận, chính xác trong tính toán

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Khảo sát chất lợng học sinh học môn toán đầu năm học, khảo sát chất lợng thực hiện phép tính phân số khi bắt đầu học chơng I

Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn phân loại các bài tập, tìm phơng án giải, cách h-ớng dẫn học sinh

Đa các bài tập đã lựa chọn vào các tiết dạy học lý thuyết mới, các tiết luyện tập, các buổi phụ đạo, bồi dỡng học sinh ngoài giờ chính khoá

Tổ chức khảo sát chất lợng học sinh sau khi học xong chơng I, phân loại chất lợng học sinh

Từ kết quả thực tiễn, viết sáng kiến kinh nghiệm

III Phạm vi nghiên cứu:

1 Phạm vi của đề tài:

Chơng I, môn đại số lớp 7

2 Thời gian thực hiện:

Từ ngày 17/8/2009 đến ngày 21/11/2009

Phần b: Nội dung

Chơng I Cơ sở lý luận khoa học của đề tài

A Định nghĩa số hữu tỉ, các phép toán về số hữu tỉ

I Định nghĩa số hữu tỉ

Số hữu tỉ là số viết đợc dới dạng phân số

b

a với a, b ∈Z; b ≠0

II Cộng, trừ số hữu tỉ

1 Quy tắc cộng, trừ

Viết các số hu tỉ dới dạng các phân số cùng mẫu dơng rồi thực hiện công, trừ phân số:

Với x=

m

a ; y=

m

b ( a, b, m ∈Z; m ≠0), ta có:

x+y=

m

a +

m

b =

m

b

a+ ; x-y=

m

a

-m

b =

m

b

a−

2 Quy tắc "chuyển vế"

Với mọi x, y, z ∈Q ta có x+ y=z ⇒x = z- y

III Nhân, chia số hữu tỉ

1 Nhân số hữu tỉ

Với x=

b

a; y=

d

c , ta có: x y=

b

a

d

c =

d b

c a

.

.

2 Chia số hữu tỉ

Với x=

b

a; y=

d

c , ( y ≠0) ta có: x:y=

b

a:

d

c =

b

a

c d

B Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức

I Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số

d

c b

a =

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ

II Tính chất

1 Tính chất 1( tính chất cơ bản): Nếu a c

b =d thì ad = bc

2 Tính chất 2( tính chất hoán vị)

Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

a

b c

d a

c b

d d

b c

a d

c b

a = ; = ; = ; =

3 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

+ từ tỉ lệ thức

d

c b

d b

c a d b

c a d

c b

−

−

= +

+

=

=

+mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau

f

e d

c b

a

=

=

ta suy ra =

+

−

+

−

= + +

+ +

=

=

=

f d b

e c a f d b

e c a f

e d

c b

a

( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

4 Chú ý:

+ Khi có dãy tỉ số

5 3 2

c b

a = = ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5

+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức,

từ tỉ lệ thức

d

c b

1 2

; 0 ;k a k c( , 0)

 ữ  ữ

   

từ

f

e

d

c

b

a = = suy ra

3

;

 

  =  = = ì ì   = ì

 ữ

C Các bớc thực hiện phơng pháp luyện tập thực hành giải toán

Bớc 1 xác định tài liệu cho luyện tập và thực hành

Tập chung chú ý của học sinh về một kỹ năng hoặc sự kiện cho luyện tập

Bớc 2 Giới thiệu mô hình luyện tập hoặc thực hành

Thông qua ví dụ, khuôn mẫu để học sinh bắt trớc làm theo

Bớc 3 Thực hành hoặc luyện tập sơ bộ

HS tìm hiểu để luyện tập thực hành Thử kỹ năng, đặt câu hỏi về những kỹ năng đó Việc nhắc lại kỹ năng có thể thông qua hoạt động của cả lớp với sự hớng dẫn của GV

Bớc 4 Thực hành đa dạng

Đa ra các bài tập đòi hỏi hoc sinh phải sử dụng nhiều định lý, công thức,

Bớc 5 Bài tập cá nhân

HS luyện tập các bài toán có trong SGK, SBT nhằm phát triển kỹ năng giải toán và rèn luyện t duy

Chơng II Thực trạng giải toán về số hữu tỉ của học sinh

I Đánh giá chung

Qua khảo sát chất lợng đầu năm học và quá trình dạy học chơng I Đại số 7 thấy rằng:

1 Đa số học sinh cha biết thực hiện quy đồng mẫu số của phân số, vì vậy gây khó khăn cho việc học và thực hiện phép cộng trừ số hữu tỉ

2 Kỹ năng thực hiện phép tính về phân số và số hữu tỉ còn hạn chế, có những học sinh không biết trình bày các bớc biến đổi của một dãy phép tính, không thực hiện

đ-ợc phép cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ

3 Có những học sinh không nhớ các tính chất cơ bản của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau do đó gặp khó khăn trong giải toán về tỉ lệ thức

4 Kỹ năng biến đổi một tỉ lệ thức để tìm số hạng chu biết, chứng minh đẳng thức, tính toán thực tế, còn hạn chế

5 Phần lớn học sinh còn mơ hồ về phơng pháp giải, các bớc giải khi đứng trớc một bài toán về số hữu tỉ và tỉ lệ thức

II Kết quả khảo sát chất lợng học sinh đầu chơng I

Qua khảo sát chất lợng học sinh thấy rằng: tỉ lệ học sinh giỏi không có, tỉ lệ học sinh trung bình và khá nhỏ hơn tỉ lệ học sinh yếu kém

Nguyên nhân có thể do trong hè học sinh không đợc ôn tập, nhng chủ yếu là do học sinh bị lỗ hổng kiến thức và kĩ năng từ các lớp dới

Trớc thực trạng đó rất cần có một chuyên đề bồi dỡng, phụ đạo cho học sinh về phép toán số hữu tỉ và tỉ lệ thức

Chơng III giải pháp thực hiện

Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đa ra một số một số dạng toán và phơng pháp giải sau:

I Các phép toán về số hữu tỉ

Dạng 1 Phép cộng, trừ số h u tỉ

1 Phơng pháp

Viết các số hữu tỉ dới dạng phân số cùng mẫu dơng, thực hiện phép cộng, trừ theo quy tắc cộng, trừ các phân số

Công thức nh sau: Với x=

m

a ; y=

m

b ( a, b, m ∈Z; m ≠0), ta có:

x+y=

m

a

+

m

b

=

m

b

a+

; x-y=

m

a

-m

b

=

m

b

a−

Đối với học sinh miền núi, việc thực hiện quy đồng mẫu số là rất khó khăn, trong khi lên lớp, cùng với thời gian phụ đạo ngoài giờ cần nhắc lại, luyện tập việc thực hiện quy đồng mẫu số để đa về phân số cùng mẫu

Việc trình bày lời giải cần hớng dẫn học sinh viết một dãy các đẳng thức số bằng nhau, biểu thức sau là kết quả của phép toán trớc

Quá trình lên lớp cần vận dụng linh hoạt phơng pháp thực hành giải toán, phù hợp với trình độ các đối tợng học sinh trong lớp Nếu cần có thể đa ra các hớng dẫn, các mức độ bài toán khác nhau cho từng đối tợng học sinh

2 Bài tập minh hoạ:

Tính: a, 0, 6+

3

2

− ; b, 3

1- (-0, 4); c,

18

8

−

-27

15 Giải

a, 0, 6+

3

2

− =10

6 + 3

2

− =

5

3+ 3

2

− =

15

9 + 15

10

− =

15

1

−

b,

3

1- (-0, 4)=

3

1+0, 4=

3

1+ 10

4 = 3

1+ 5

2= 15

6

5 + =

15 11

c,

18

8

−

-27

15=

9

4

−

-9

5=-1

Dạng 2 Phép nhân, chia số h u tỉ

1 Phơng pháp

Viết số hữu tỉ dới dạng các phân số, áp dụng quy tắc nhân, chia và các tính chất phép nhân để thực hiện

Đối với phép nhân, chia học sinh thực hiện rễ rằng hơn Trong các bài tập cần chú

ý rèn luyện cho học sinh rút gọn kết quả(nếu cần), khi thực hiện phép chia học sinh hay nhầm lẫn không nhân với nghịch đảo của số chia

Với x=

b

a; y=

d

c , ta có: x y=

b

a

d

c =

d b

c a

.

Với x=

b

a; y=

d

c , ( y ≠0) ta có: x:y=

b

a:

d

c =

b

a

c

d

2 Bài tập minh hoạ:

Thực hiện phép tính a,

7

2

−

8

21; b) 0, 24

4

15

− ; c, (-2) (-

12

7 ); d,

23

5

− : (-2)

Giải

7

2

−

8

21=

8 7

21 2

4 1

3 1

− =

4

3

−

b 0, 24

4

15

− =

100

24 4

15

− =

25

6 4

15

− =

10

9

−

c, (-2) (-

12

7 )=

1

2

−

2

7

− = 7

d,

23

5

− : (-2)=

23

5

−

2

1

− = 46

5

Dạng 3 Thực hiện phối hợp các phép tính

1 Phơng pháp

Vận dụng linh hoạt các quy tắc, tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của các phép tính thực hiện liên tiếp một dãy các phép tính theo thứ tự thực hiện

Khi trình bày lời giải cần rèn luyện cho học sinh viết các biểu thức bằng nhau liên tiếp, biểu thức sau là kết quả của phép toán đứng trớc, phép toán nào cha thực hiện thì viết lại

2 Bài tập minh hoạ: Tính giá trị các biểu thức

a, A = 6 2 1 5 5 3 3 7 5

 − +  − + −  − − + 

     ; b, B =

23 21 23 + − + + 21

c, C= 15 :1 5 25 :1 5

− − − 

   ; d, D= ( 7

3+ 2

1)2

e, E= -5, 13: (5

28

5 - 18

9 1, 25 + 1

63

16) Giải

a, Có thể hớng dẫn học sinh giải theo hai cách sau:

Cách 1 Trớc hết tính giá trị các biểu thức trong ngoặc

36 4 3 30 10 9 18 14 15

2

Cách 2 Bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các số hạng thích hợp

A= − + − − + − + − = (6 5 3) 2 5 7 1 3 5

− − − + − ữ + + − ữ

= 2 0 1 2 1 21

− − − = − + ữ= −

b, B = 1 4 5 4 0.5 16 1 4 4 5 16 0.5 1 1 0.5 2.5

c, C =15 :1 5 25 :1 5 151 251 : 5 ( 10) 7 14

− − −  = −  − = − ì − =

d, D = (

7

3+

2

1)2= (

14

13)2=

196 169

e, E = -5, 13: (5

28

5 - 9

17 4

5 + 1 63

16) = -5, 13: (5

28

5 -2 36

13 + 1

63

16)

= -5, 13 [(5-2+1)+ (

28

5 + 36

13+ 63

16)] = - 1, 26

Dạng 4 Tìm x trong đẳng thức

1 Phơng pháp

Vận dụng quy tắc chuyển vế đa các số hạng chứa x sang một vế, các số hạng không chứa x sang một vế rồi thực hiện các phép tính trong các biểu thức

Quy tắc "chuyển vế": Với mọi x, y, z ∈Q ta có x+ y=z ⇒x = z- y

Học sinh thờng mắc sai lầm khi chuyển vế nhng không đổi dấu, hay chuyển vế các

số hạng không hợp lý Khi lên lớp cần thờng xuyên yêu cầu học sinh nhắc lại quy tắc

và vận dụng quy tắc

2 Bài tập minh hoạ:

Tìm x, biết:

a, x-

2

1 =

3

2

− ; b,

7

2 x =

-4

3; c, x +

3

1 = 4

3; d, x -

5

2 = 7

5 Giải

a, x=

3

2

− +

2

1 =

6

3

4 +

6

1

− ; b, x=

7

2+ 4

3= 28

21

14 + =

28 35

c, x=

4

3

-3

1=

12

5 ; d, x=

7

5+ 5

2 = 35 39

II Các bài toán về tỉ lệ thức

Dạng 1 Tìm số hạng ch a biết

1 Tìm một số hạng cha biết

a) Phơng pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức

Nếu a c a d b c . a b c. ;b a d. ;c a d.

b = ⇒d = ⇒ = d = c = b

Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết

b) Bài tập:

Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)

- 0, 52 : x = - 9, 36 : 16, 38

9,36 0.52.16,38

0,52.16,38

0,91 9,36

x

x

−

−

Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ khó hơn nh sau :

a) 1 :2 1 :3 2

3x 3 4 5

 ữ

  ' b) 0, 2 :11 2: 6( 7)

5 = 3 x+

có thể đa các tỉ lệ thức trên về tỉ lệ thức đơn giản hơn rồi tìm x

Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13 – a)

60 15

x

x

−

=

−

Giải : từ ( ) ( )

2

60 15 15 60 900

30

x x

x x x x

−

=

−

Suy ra x = 30 hoặc -30

Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng cha biết nhng 2 số hạng đó giống nhau nên ta đa

về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức

1 60

x

x

− = −

x

x

− =

+

Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức

3 5

x

x

− =

−

Giải:

Cách 1: từ

3 5

3 7 5 5

7 21 25 5

12 46 5 3 6

x

x

x x

−

⇒ =

Cách 2: từ 3 5 3 5

x

− = ⇒ − = −

−

áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có

3 1

x

x

− = − = − + − = =

+

−

⇒ − = ⇒ =

Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức

( ) ( ) ( ) ( )

− = +

Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

2 Tìm nhiều số hạng cha biết

a)Xét bài toán cơ bản thờng gặp sau:

Tìm các số x, y, z thoả mãn

x y z

a= =b c (1) và x +y + z =d (2)

( trong đó a, b, c, a+b+c ≠ 0 và a, b, c, d là các số cho trớc)

Cách giải:

- Cách 1: đặt

; ;

x y z

k

a b c

x k a y k b z k c

= = =

⇒ = = = thay vào (2)

Ta có k a + k b + k c = d

k a b c d k

a b c

+ +

Từ đó tìm đợc x a d. ;y bd ;z cd

- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

a b c a b c a b c

+ +

b) Hớng khai thác từ bài trên nh sau

+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau:

* k x k y k z e1 + 2 + 3 =

k x +k y +k z = f

*x y z = g

+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:

-

;

a = a a = a

- a x a y a y a z2 = 1 ; 4 = 3

- b x b y b z1 = 2 = 3

- b x b z1 3 b y b x2 1 b z b y3 2

z b

x b y b

−

+Thay đổi cả hai điều kiện

c) Bài tập

Bài tập 1: tìm 3 số x, y, z biết

x = =y z và x +y + z = 27 Giải: Cách 1

x y z

k x k y k z k

Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k+ 3k+ 4k= 27 ⇒ 9k = 27 ⇒ =k 3

Khi đó x = 2 3 = 6; y = 3 3 = 9; z = 4 3 = 12

Vậy x = 6; y = 9; z = 12

- Cách 2 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

2 3 4 2 3 4 279 3

2.3 6; 3.3 9; 4.3 12

x y z x y z

+ +

+ +

Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:

Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết

x y z

= = và 2x + 3y – 5z = -21 Giải:

- Cách 1: Đặt

x= =y z=k

- Cách 2: Từ

x y z

= = suy ra 2 3 5

áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

24 39 520 24 9 203 5 217 3

6; 9; 12

Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau

1)Các phơng pháp :

Để Chứng minh tỷ lệ thức :a c

b = d Ta có các phơng pháp sau : Phơng pháp 1 : Chứng tỏ rằng : ad= bc

Phơng Pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số a c;

b d có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho trớc một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k

Phơng pháp 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh ) thành vế phải Phơng pháp 4: dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh

2) Bài tập:

Bài tập 1

( Bài 73 SGK T14 ) cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức: a c

b =d hãy suy ra tỷ lệ thức:

a b c d

− = −

Giải:

Cách 1: Xét tích ( )

a b c ac bc

a c d ac ad

Từ a c ad bc(3)

b = ⇒d =

Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra a b c d

− = −

- Cách 2: Đặt a c k a bk c dk,

b = = ⇒ =d =

Ta có:

(1),( 0)

(2),( 0)

b k

b

d k

d

−

−

Từ (1) và (2) suy ra: a b c d

− = −

- Cách 3: từ a c b d

b = ⇒ =d a c

Ta có: a b a− = − = − = − =a b a a 1 b a 1 d c c d−c

Do đó: a b c d

− = −

- Cách 4:

Từ

a a b a b c d

−

= ⇒ = =

−

−

- Cách 5: từ

a b c d

= ⇒ = ⇒ − = −

Bằng cách chứng minh tơng tự từ tỉ lệ thức a c

b = d ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:

a b c d a b c d

(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ) Bài tập 2: chứng minh rằng nếu 2

a =bc thì

a) a b c a; )b a22 c22 c,(b 0)

(với a≠b a c, ≠ )

Lời giải:

a) - Cách 1: Xét tích chéo

- Cách 2: từ 2 a c

a bc

b a

Đặt a c k a bk c ak,

b = = ⇒ =a =

Ta có:

, 0 (1)

0 ,(2)

b k

b

a k

a

+

+

Từ (1) và (2) suy ra: a b c a

a b c a

+ = +

- Cách 3: Ta có

2

2

a a b

do a bc

a b a a b a ab bc ab

b c a c a

a b

b c a c a

+

Do đó: a b c a

a b c b

+ = +

Ngợc lại từ a b c a

a b c b

+ = +

− − ta cũng suy ra đợc a2 = bc

Từ đó ta có bài toán cho a b c a

a b c b

+ = +

− − chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì

từ 3 số a, b, c có 1 số đợc dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức

- Cách 4: Từ a2 = bc

a b c a

a b c a

b)- Cách 1: xét tích chéo ( a2 + c2)b = a2b + c2b = bc b + c2b = bc (b +c)

= (b2 + a2)c = b2c + a2c = b2c + bc c= bc ( b+c)

Do đó (a2 + c2)b = ( b2+ a2)c

2 2

2 2

+

+

- Cách 2: Từ a2 = bc a c

b a

⇒ =

Đặt a c k

b = =a suy ra a = bk, c = ak = bk2