Các dạng bài tập về tứ giác nội tiếp

Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại c và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MCID và MCHB là tứ[r]

BÀI TỨ GIÁC NỘI TIẾP I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa

- Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn - Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD

2 Định lí

- Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180°

- Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội tiếp đường tròn

3 Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đổi 180°

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện

- Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác

-Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α

Chú ý: Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường tròn

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp

Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng cách sau:

Cách Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đơì 180°.

Cách Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α

1A Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN BNMC tứ giác nội tiêp

1B Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, c tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp

2A Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh PEDC tứ giác nội tiếp

2B Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường trịn Vẽ MH vng góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC Chứng minh MIHC tứ giác nội tiếp Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng bằng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng Phương pháp: Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp.

3A Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  AE K Đường thẳng

DE cắt CK F Chứng minh: a) Tứ giác AtìCK tứ giác nội tiếp; b) AHì.AB = AD2;

c) Tam giác ACE tam giác cân

3B Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M  OA (M không trùng o A) Qua M vẽ đường

thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nôi NB cắt (O) c Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh: a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn;

b) NE2 = NC.NB;

c) NEH NME (H giao điểm AC d);

d) NF tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O)

4A Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H

a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AHAK có giá trị khơng phụ thuộc vị ữí điểm K

4B Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường trịn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi trung điểm BC

a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh AM2 = AB.AC.

c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chúng minh IE song song MC d) Chứng minh d thay đổi quanh quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC ln nằm đường trịn cơ' định

III BÀI TẬP VỂ NHÀ

5 Cho điểm C nằm nửa đường trịn (O) vói đường kính AB cho cung AClớn

cung BC (C ≠ B) Đường thăng vng góc vói AB O cắt dây AC D Chứng minh tứ

giác BCDO nội tiếp

6 Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B) Trên đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M đường tròn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) c D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID MCHB tứ giác nội tiếp

7 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A, B Kẻ đường kính AC (O) cắt đường tròn (O’) F Kẻ đường kính AE (O') cắt đưịng trịn (O) G Chứng minh:

a) Tứ giác GFEC nội tiếp; b) GC, FE AB đồng quy

8 Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng xy song song với BC cắt AB E cắt AC F Chúng minh tứ giác EFCB nội tiếp

9 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE vng góc với AB E, Kẻ HF vng góc với AC F Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp

10 Cho tam giác ABC vuông A điểm M thuộc cạnh AC Vẽ đường trịn tâm O đường kính MC cắt BC E Nối BM cắt đường tròn (O) N, AN cắt đường tròn (O) D Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E

a) Chứng minh BANC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh CA phân giác BCD .

c) Chứng minh ABED hình thang

11 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn (O; R) có đường kính BC cắt AB, AC F E; BE cắt CF H

a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp Từ đó, xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b) Tia AH cắt BC D Chứng minh HE.HB = 2HD.HI

c) Chứng minh bôn điểm D, E, I, F nằm đường tròn

12 Cho đường tròn (O; R) dây CD cố định Điểm M thuộc tia đối tia CD Qua M kẻ hai tiếp tuyên MA, MB tới đường tròn (A thuộc cung lớn CD) Gọi I trung điểm CD Nối BI cắt đường tròn E (E khác B) Nối OM cắt AB H

a) Chứng minh AE song song CD b) Tìm vị trí M để MA  MB

c) Chứng minh HB phân giác CHD

13 Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm c D thuộc đường trịn, B điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; tia đối tia AB lấy điểm S Nối S với cắt (O) M, MD cắt AB K, MB cắt AC H Chứng minh:

a) BM DBAC Từ suy tứ giác AMHK nội tiếp;

b) HK song song CD

Cho hình vng ABCD E di động đoạn CD (E khác c, D) Tia AE cắt đường thẳng BC F, tia Ax vng góc vói AE A cắt đường thẳng DC K Chứng minh:

a) CAF CKF  ;

b) Tam giác KAF vuông cân;

c) Đường thẳng BD qua trung điểm I KF;

d) Tứ giác IMCF nội tiếp với M giao điểm BD AE

15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH vng góc với BC H, MI vng góc AC I

a) Chứng minh IHM ICM

d) Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ suy ME vng góc vói EF

BÀI TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1A Xét tứ giác AMHN có:

  900 900 1800 AMH ANH     ĐPCM

Xét tứ giác BNMC có:

  900

BNC BMC   ĐPCM.

1B HS tự chứng minh

2A Ta có:



2

AED

(sđAD + sđMB )

1 

sđDM MCD  DEP PCD  1800  PEDC nội tiếp

2B Ta có: MIC CHM 900

 MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh

chứa hai đỉnh cịn lại góc vng) 3A a) Học sinh tự chứng minh

b) ADB vuông D, có đường cao DH  AD2 =

AH.AB c)

 

2

EACEDC

sđ EC, EAC KHC

(Tứ giác AKCH nội tiếp)

 EDC KHC  DF//HK (H trung điểm DC nên K

là trung điểm FC)

 ĐPCM

b)

 

2

NEC CBE 

sđ CE

NEC NBE (g.g)  ĐPCM

c) NCH NMB (g.g)  NC.NB = NH.NM = NE2 NEH NME (c.g.c)  NEH EMN

d) EMN EON (Tứ giác NEMO nội tiếp)  NEH NOE EH  NO

OEF cân O có ON phân giác  EONNOF NEO = NFO NFO NEO 900 ĐPCM

4A a) HIB HKB  1800  Tứ giác BIHK nội tiếp

b) Chứng minh được: AHI ABK (g.g)  AH.AK = AI.AB = R2 (không đổi)

c) Chứng minh MCND hình chữ nhật từ

 ĐPCM

4B a) Chú ý: AMO AIO ANO900

b)

 

2

AMB MCB 

sđ MB AMB ACM (g.g)  ĐPCM

c) AMIN nội tiếp

 AMN AIN

BE//AM  AMN BEN

Chứng minh được: BIE BCM   IE//CM.

d) G trọng tâm MBC  G  MI

Gọi K trung điểm AO  MK = IK =

1

2AO.

Từ G kẻ GG'//IK (G'  MK)

' '

3

GG MG MG

IK AO

IK MI MK

    

không đổi (1)

2

' '

3

MG  MK G

cố định (2) Từ (1) (2) có G thuộc (

1 ';

3

G AO

)

5 Học sinh tự chứng minh. 6 Học sinh tự chứng minh. 7 Học sinh tự chứng minh.

8 Gợi ý: Chứng minh BEFC hình thang cân

9 Gợi ý: AFEAHE (tính chất hình chữ nhật

 

AHEABH (cùng phụ BHE )

10 a) Học sinh tự chứng minh. b) Học sinh tự chứng minh c) Học sinh tự chứng minh d) Chú ý:

  ,  BIA BMA BMC BKC 

 Tứ giác BICK nội tiếp đường tròn (T), mà (T)

cũng đường tròn ngoại tiếp BIK Trong (T), dây

BC không đổi mà đường kính (T) ≥ BC nên đường kính nhỏ BC

Dấu "=" xảy  BIC900  I  A M A

11 HS tự làm.

b) OM R

c) MC MD = MA2 = MH.MO  MC MD = MH.MO

MHC MDO (c.g.c)

 

MHC MDO

   Tứ giác CHOD nội tiếp

Chứng minh được: MHC OHD   

CHB BHD

  (cùng phụ hai góc nhau)

13 HS tự chứng minh. 14 a) HS tự chứng minh. b) HS tự chứng minh

c) Tứ giác ACFK nội tiếp (i) với I trung điểm KF  BD trung trực AC phải qua I

d) HS tự chứng minh 15 HS tự chứng minh. b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) MIH MAB

2

MH IH EH EH

MB AB FB FB

   

MHE MBF

  

 

MFA MEK