bài 3: Các phương pháp tính tích phân

Sau tiết này Học sinh nắm đợc phơng pháp tính tích phân từng phần, từ đó biết cách vận dụng để giải toán tích phân.. Sau tiết này Học sinh thành thạo kỹ năng vận dụng phơng pháp đổi biến

Trang 1

Ngày: 10/01/2006

Tiết PPCT: 62 Đ3 các phơng pháp tính tích phân

(Tiết 1: Phơng pháp đổi biến số)

A Mục tiêu Sau tiết này

Học sinh hiểu đợc các định lí về các dạng đổi biến số, nắm vững các qui tắc đổi biến Từ

đó biết cách sử dụng phơng pháp đổi biến số để các tích phân

• Trọng tâm: Học sinh nắm vững các quy tắc đổi biến và các công thức.

B hớng đích và gợi động cơ

HĐ 1: Trong thực tế giải toán tích phân, có nhiều trờng hợp nếu chỉ sử dụng định nghĩa,

các tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản cùng với các phép phân tích thì sẽ rất khó khăn Để tính

đợc các tích phân loại đó chúng ta phải sử dụng một số kỹ thuật khác Đó chính là vấn đề chúng

ta sẽ tìm hiểu

C Làm việc với nội dung mới.

Qui tắc đổi biến số dạng 1.

1) Đặt x = u(t) sao cho u(t) là hàm số có đạo hàm liên tục trên[; ], f(u(t)) xác định trên [; ] và u() = a; u() =b

2) Biến đổi f(x)dx = f(u(t).u’(t)dt = g(t)dt

Trang 2

 b

a f(x)dx 

 Qui tắc?

Tính I3 và I4?

Ví dụ 2 Tính 1

dx I



 

b) Đổi biến số dạng 2.

Lấy t = v(x) làm biến số mới, khi đó ta biến đổi đợc f(x) thành biểu thức dạng g(v(t)).v’(t) Đặt t = v(x)  dt= v’(x)dx và ta có:

a f(x)dx a g v(x) v '(x)dx v(a) g(t)dt

Qui tắc đổi biến số dạng 2.

1) Đặt t = v(x), v(x) là hàm số có đạo hàm liên tục

2) Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt

3) Tính một nguyên hàm G(t) của g(t)

4) Tính v( b) v( b)

v(a ) v(a )g(t)dt G(t)



Ví dụ 3 Tính I3 015x3 dx

Ví dụ 4 Tính

2 3 4

3

2

3





D Củng cố – hớng dẫn công việc ở nhà:

HĐ 6:  Nắm vững các qui tắc đổi biến?

 Với tích phân loại nào thì dùng đổi biến dạng 1, dạng 2

Bài tập về nhà: Làm các bài tập 1, 3  SGK.

E Rút kinh nghiệm và Bổ sung:

Ngày: 10/01/2006

(Tiết 2: Phơng pháp tích phân từng phần)

Học sinh nắm đợc phơng pháp tính tích phân từng phần, từ đó biết cách vận dụng để giải toán tích phân Rèn luyện đợc kỹ năng tính tích phân thông qua các ví dụ

• Trọng tâm: Học sinh nắm đợc phơng pháp tích phân từng phần.

B kiểm tra và đánh giá

HĐ 1: Tính các tích phân sau:

2

dx a) I 4 x dx; b) I

2 cos x





C Làm việc với nội dung mới.

Trang 3

Phân bậc hoạt động Nội dung

1dv

vx

Trang 4

Ví dụ 5 Tính 5 e

1

I ln xdx

Đặt

1

x

dv dx

v x







I (x ln x)  dx(x ln x)  x  e (e 1) 1

Ví dụ 6 Tính 2

6 0

I (2x 1) cos xdx



dv cos xdx v sin x



HĐ 6:  Nắm vững qui tắc tích phân từng phần?

 Dấu hiệu? Cách đặt?

Bài tập về nhà: Làm các bài tập 2, 3, 5, 6  SGK.

Ngày: 12/01/2006

(Tiết 3: Luyện tập)

Học sinh thành thạo kỹ năng vận dụng phơng pháp đổi biến số để giải toán tích phân Biết cách phân tích, biến đổi, tính các tích phân hàm số hữu tỉ

• Trọng tâm: Học sinh nắm đợc phơng pháp tính tích phân nhờ đổi biến số và tính đợc các

tích phân hàm hữu tỉ

1

dx

4 x





C Luyện tập.

HĐ 2:

Đặt t =?

Bài số 1 Tính

1 4

6

dx a) I cot gxdx; b) I

4 x





Hớng dẫn giải.

1

cos x

sin x

Trang 5

21

Trang 6

Do đó: 2 01 01  10  10

HĐ 5:  Nắm vững phơng pháp đổi biến số? Rút ra dấu hiệu, trờng hợp vận dụng.

 Ghi nhớ cách tính tích phân các hàm số hữu tỉ

Bài tập về nhà: Làm các bài tập 3.25, 3.26, 3.27 Tr33, 34 SBT.

Ngày: 12/01/2006

Học sinh củng cố đợc phơng pháp tích phân từng phần và thành thạo kỹ năng vận dụng phơng pháp này để giải toán tích phân, cũng nh nắm đợc một số dạng tích phân tính đợc bằng

ph-ơng pháp tích phân từng phần

• Trọng tâm: Học sinh nắm đợc các trờng hợp vận dụng của phơng pháp tích phân từng

phần

a) I x sin xdx; b) I x cos2xdx

C Luyện tập.

HĐ 2:

Đặt u =?, dv =?

Xác định du và v?

I1 = ?

Đặt u =? dv = ?

Tính du và v?

 I 2 = ?

HĐ 3:

Bài số 1 Tính

a) I (x 1) cos xdx; b) I (2 x)sin 3xdx

dv cos xdx v sin x



2 2

0 0

I (x 1) sin x sin xdx

(x 1) sin x cos x 1 1





b) Đặt

cos 3x

dv sin 3xdx v

3





 



Trang 7

2 5 2

Trang 8

HĐ 5:  Chú ý các trờng hợp vận dụng của phơng pháp tích phân từng phần.

 Các dạng toán liên quan

Bài tập về nhà: Làm các bài tập 3.28, 3.29 Tr.34, 35 SBT.

Ngày: 15/01/2006

Tiết PPCT: 66 Đ4 ứng dụng hình học và vật lí của tích phân

(Tiết 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị)

Học sinh nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x), trục Ox và các đờng thẳng x =a; x=b; Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=f(x), y = g(x) và các đờng thẳng x =a; x=b

• Trọng tâm: Học sinh nắm vững các công thức, vận dụng đợc để giải toán.

B Hớng đích và gợi động cơ

HĐ 1: Nhắc lại phơng pháp tính diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f(x) liên tục, f(x)≥0 trên [a; b], trục Ox và các đờng thẳng x = a, x=b?

C làm việc với nội dung mới.

HĐ 2:

Công thức tính diện tích của

hình thang cong?

SaABb =?

 Công thức tính S?

HĐ 3:

Công thức?  S=?

1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và các đờng thẳng x = a, x = b.

 Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên [a; b] Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và các đờng thẳng

x = a, x = b là:

Sf(x)dxf(x) dx

 Nếu hs y=f(x)≤0 trên [a; b] thì

(f(x))≥0 trên [a; b] và diện tích hình thang cong aABb giới hạn bởi đồ thị của f(x), trục Ox và các đờng thẳng

x = a, x = b bằng diện tích hình thang aA’B’b giới hạn bởi đồ thị y=f(x), trục Ox, các đờng thẳng x

=a, x =b

Khi đó ta cũng có:

Sf(x)dxf(x) dxf(x) dx

Từ các trờng hợp trên, một cách tổng quát ta có:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục

Ox và các đờng thẳng x = a, x = b đợc tính bởi công thức

b a

Sf(x) dx

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị hs y = x2, trục Ox và các

đờng thẳng x =1, x= 2

Trang 9

Xác định miền cần tính diện tích?

 Công thức?

 Tính tích phân đó?

HĐ 5:

 Phân tích các trờng hợp xảy

ra?

 Cách tính S?

 Các cách tính tích phân chứa

GTTĐ?

HĐ6:

 Xét các ví dụ?

2 3

1

Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2

yx  2x 3 , trục Ox và các đờng thẳng x 1; x 5

Ta có:

5 2 1 5 2 1 5 3 2 1 S x 2x 3 dx ( x 2x 3)dx x 265 x 3x 3 24                        Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ysin x trên đoạn [0; 2] (Xem sgk) 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng x=a, x=b và đồ thị của hai hàm số yf (x); y1 f (x)2 liên tục trên đoạn [a; b]. Từ công thức tính diện tích của hình thang cong, suy ra diện tích của hình phẳng trên đợc xác định bởi công thức: b 1 2 a Sf (x) f (x) dx Để tính S ta thực hiện theo cách sau: Cách 1 Chia khoảng, xét dấu biểu thức f1(x)  f2(x) rồi khử dấu GTTĐ và tính S Cách 2 Tìm các nghiệm của phơng trình f1(x)  f2(x) = 0, giả sử đó là , [a; b], thì:       b 1 2 1 2 1 2 a b 1 2 1 2 1 2 a S f (x) f (x) dx f (x) f (x) dx f (x) f (x) dx f (x) f (x) dx f (x) f (x) dx f (x) f (x) dx                           (Vì trên mỗi đoạn nhỏ đó f1(x)  f2(x) giữ nguyên dấu) Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng nằm giữa các đờng: 3 yx , y0, x1, x2 Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: 2 yx ;y x 2 D Củng cố – hớng dẫn công việc ở nhà: HĐ 7:  Nắm vững các công thức, ttrờng hợp vận dụng?  Cách lấy tích phân các hàm chứa GTTĐ? Bài tập về nhà: Làm các bài tập 1, 2, 3  SGK. E Rút kinh nghiệm và Bổ sung:

Trang 10

Ngày: 16/01/2006

(Tiết 2: Diện tích hình tròn và elíp Thể tích khối chóp và khối nón)

Học sinh nắm đợc công thức tính diện tích hình tròn và elíp đợc xây dựng bằng tích phân.Công thức tính thể tích của một vật thể, thể tích của khối chóp, khối nón, khối chóp cụt, nón cụt

• Trọng tâm: Học sinh ghi nhớ đợc các công thức tính diện tích và thể tích.

HĐ 1: Phát biểu công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng x=a,

x=b và đồ thị của hai hàm số yf (x); y1 f (x)2 liên tục trên đoạn [a; b]

f (x)2x 1;f (x) x 2x 3;a 1; b 2

2 2 1

y  R  x và y2  R2 x2

Do đó, diện tích của nó đợc xác địnhbởi công thức:

b Diện tích của elíp.

Cho elíp (E):

Trang 11

HĐ 5:

Xác định S(x)?

V=?

HĐ6:

Xét tơng tự khói chóp và khối

nón?

b) Thể tích của khối nón và khối chóp.

Xét khối nón (khối chóp) đỉnh S và diện tích đáy là B, đờng cao là SI = h

Gọi S(x) là điện tích của thiết diện cắt bởi mp song song với

đáy thì ta có:

2

x S(x) B

h



Do đó thể tích của khối chóp (khối nón) là:

V=

2 h 2 0

B dx



c) Thể tích của khối nón cụt và chóp cụt.

Xét khối nón cụt (chóp cụt) giới hạn bởi các mặt phẳng đáy có hoành độ SI = h và SI’ = h’ ta có:

2

h '

Gọi B’ là diện tích đáy thứ 2 và H là chiều cao thì từ công thức trên ta có: V HB B ' BB '

3

HĐ 7:  Nắm vững các công thức, ttrờng hợp vận dụng?

 Phơng pháp tính?

Bài tập về nhà: Làm các bài tập 2, 3  SGK.

Ngày: 16/01/2006

(Tiết 3: Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích khối cầu ứng dụng vật lí)

Học sinh nắm vững công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay, hiểu đợc công thức tính thể tích khối cầu và vận dụng đợc để giải toán

Nắm đợc một số ứng dụng vật lí của tích phân nh tính nhiệt lợng Q, tính công A của dòng

điện xoay chiều

• Trọng tâm: Học sinh nắm vững công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay.

HĐ 1:  Công thức tính diện tích hình tròn, elíp?

x b

O y

S

Trang 12

 Công thức tính thể tích khối chóp, khối nón, chóp cụt, nón cụt?

a) Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các

đờng y=f(x), y = 0, x=a, x=b quayquanh trục Ox tạo thành một vật thểtròn xoay T Ta tính thể tích vật thể

đó

Thiết diện của T cắt bởi mp()Oxtại x là hình tròn bán kính y =f(x) nêndiện tích của thiết diện là S(x) = y2

a

Vy dx (1)

Ví dụ 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng

giới hạn bởi các đờng y = x2, y = 0, x=1, x=2 quay quanh Ox

áp dụng công thức (1) ta có:

2 5

b 2

T ' a

V x dy (2)

Ví dụ 3 Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục

Oy của hình phẳng giới hạn bởi các đờng

2

x

y , y 2, y 42

c) Thể tích của khối cầu

Khối cầu là vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình tròn tâm O

và gới hạn bởi đờng tròn 2 2 2

x y R quanh trục Ox

Do đó từ công thức (1) ta có:

3 R

b) Công của dòng điện xoay chiều trong đoạn mạch có hiệu

điện thế xoay chiều u, dòng điện i trong thời gian một chu kì Tlà: T

Trang 13

T 2 T 2 2

0

2 T

0 0

2 t

T 2

1 cos 2 t

RI T





0 0

u I

T cos 2

HĐ 6:  Nắm vững các công thức và trờng hợp vận dụng?

Bài tập về nhà: Làm các bài tập 4, 5, 6  SGK.

Ngày: 22/01/2006 Tiết PPCT: 69 Đ4 ứng dụng hình học và vật lí của tích phân (Tiết 4: Luyện tập) A Mục tiêu Sau tiết này Học sinh thành thạo kỹ năng giải các bài toán tính diện tích hình phẳng nhờ ứng dụng tích phân Biết vận dụng công thức linh hoạt trong các tình huống cụ thể • Trọng tâm: Học sinh nắm đợc phơng pháp tính diện tích hình phẳng nhờ vận dụng linh hoạt công thức tích phân B kiểm tra và đánh giá HĐ 1:  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: 2 2 a) y 2x 2x 3, y 0, x 0, x 1 b) y x 3x, y 0, x 1, x 2            C luyện tập Phân bậc hoạt động Nội dung HĐ 2: Phơng trình hoành độ giao điểm? - Công thức tính S? Bài số 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:

2

3

a) y x 1, y x 3 b) y ln x, y 0, x e c) x y , y 1, x 8

a) Có y + x =3  y =x+3 Hoành độ giao điểm của hai đờng dã cho là nghiệm của phơng







Do đó diện tích hình phẳng cần tính là:

Trang 14

y x vµ y =1 lµ nghiÖm cña ph¬ngtr×nh : 3

2 2

xdxcosxdx

cosdx

xcosdx

xcosS

0

S f (x) g(x) dx x 6x 3 dx

x 3

93



Trang 15

Ngày: 5/02/2006

A Mục tiêu

• Kiến thức:

Học sinh nắm vững chắc công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng cong không là đồ thị của các hàm số

• Kỹ năng:

Vận dụng đợc các công thức tính diện tích hình phẳng đã học để giải đợc các bài toán cụ thể

• Rèn luyện t duy thuật toán và tính chính xác trong giải toán.

 Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C1): y =f(x) và (C2): y=g(x) liên tục

và cắt nhau

áp dụng: (C1): y = 2- x2; (C2): y = -x Đáp số:

2

9

S 

C luyện tập

HĐ 2:

- Xác định trên hình vẽ miền

cần tính diện tích?

- Hoành độ giao điểm?

- Tính diện tích theo biến x?

cách khác?

HĐ 3:

Tung độ giao điểm?

Khi đó các đờng cong có phơng

trình nh thế nào?

Bài số 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

1 x

y 2



 và y = x-1

Cách 1: Tọa độ giao điểm của

các đờng đã cho là nghiệm của hệ: 









1 x 2 y

1 x y

2

 Hoành độ giao điểm: x = 0;

x = 4

Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tính là:

3

16 x

2

x 1

x 2 3

1 2 3 1 x 2 3 2

dx 1 x 1 x dx

1 x 2

S

4 0

2 4 0 2 0

2

4 0 0

2































Cách 2: Xem x là hàm số của biến y, thì hình phẳng đã cho

đ-ợc giới hạn bởi các đờng: x = y+1 và

2

1 y 2

1



Phơng trình tung độ giao điểm:

3 y 1 y 2

1 y 2

1 1

Vậy diện tích cần tính là:

y

x

Trang 16

 Diện tích?

HĐ 4:

Xác định hình phẳng cần tính diện

tích?

 Công thức?

Tính các tích phân tơng ứng?

Vậy S =?

HĐ 5:

Hình phẳng cần tính diện tích?

Xác định topạ độ giao điểm?

Tính các tích phân tơng ứng?

Vậy S = ?

3

16 3

16 y

2

3 y 2

1 y 6

1 dy 2

3 y y 2 1

dy 2

3 y y 2

1 dy

1 y 2

1 S

3

1

2 3 3

1 2

3 1 2 3

1 2



































































2

y x

và  

 x2 y

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ:

  









0 y

; 0 x 1 y

; 1 x y x x y

2 2

Diện tích hình phẳng cần tính là:



1

2 0

1

2 dx x x dx x

x S

 

3

1 3

2 3

x x 3

1

3

2     











(đvdt)





y

và

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ:

) 4 x 0 ( x y

) x 4 ( y

2

3 2











 x =2 là nghiệm duy nhất

Từ hình vẽ ta có:







2

3 2

0

Đặt 4 x t 2 dx 2 tdt









 ; Khi x =2 t  2 ;  4  t  0

Do đó:

5 2 8 t

5

1 2 dt t 2 dt ) t 2 ( t dx ) x 4 (

2 0 5 2

0 4 0

2 3 4

2

3









Lại có:

3 2 8 x

3

2 2 dx x

2

0 2 3 2



Nên

15

2 128 5

2 16 3

2 16

Ngày: 05/02/2006

(Tiết 6: Luyện tập  Tính thể tích của các vật thể)

A Mục tiêu

• Kiến thức:

Học sinh nắm vững chắc công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay

• Kỹ năng:

Vận dụng đợc các công thức tính thể tích vật thể tròn xoay đã học để giải đợc các bài toán

cụ thể

• Rèn luyện t duy thuật toán và tính chính xác trong giải toán.

O

1

-1

4 O

y

x

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	857,5 KB