Bài giảng Chương 7: Các phương pháp tính tích phân

Nội dung của bài giảng Chương 7: Các phương pháp tính tích phân trình bày ôn tập về phép đổi biến và bảng tích phân; tích phân từng phần; phương pháp lượng giác; phương pháp phân tích hữu tỷ; tóm tắt các kỹ thuật tính tích phân; phương trình vi phân bậc nhất; các hàm hyperbolic và các hàm ngược của chúng

Mục lục Contents Chương Các phương pháp tính tích phân 7.1 ÔN TẬP VỀ PHÉP ĐỔI BIẾN VÀ BẢNG TÍCH PHÂN 7.1.1 Ơn tập phép đổi biến 7.1.2 Sử dụng bảng tích phân 7.2 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 7.2.1 Cơng thức tích phân phần 7.2.2 Sử dụng nhiều lần tích phân phần 11 7.2.3 Tích phân phần cho tích phân xác định 12 7.3 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 14 7.3.1 Lũy thừa Sin Cos 14 7.3.2 Lũy thừa Sec Tan 15 7.3.3 Đổi biến lượng giác 17 7.3.4 Tích phân dạng bậc hai 21 7.4 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH HỮU TỶ 22 7.4.1 Phân tích thành phân thức tối giản 22 7.4.2 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 27 7.4.3 Phân thức hữu tỷ sin cos 29 7.5 TÓM TẮT CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN 31 7.6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC NHẤT 33 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT 34 MỘT ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 37 7.7 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 44 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 44 Tích phân suy rộng hàm không bị chặn 51 Tiêu chuẩn so sánh hội tụ phân kỳ 55 7.8 CÁC HÀM HYPERBOLIC VÀ CÁC HÀM NGƯỢC CỦA CHÚNG 56 Hàm hyperbolic 56 Đạo hàm tích phân hàm hyperbolic 58 Các hàm hyperbolic ngược 59 BÀI TẬP CHƯƠNG 62 Chương Các phương pháp tính tích phân 7.1 ƠN TẬP VỀ PHÉP ĐỔI BIẾN VÀ BẢNG TÍCH PHÂN 7.1.1 Ơn tập phép đổi biến Khi đổi biến ta chọn u, tính du, sau đổi biến để dạng ta tính tích phân giống với cơng thức tính phân biết Ví dụ 7.1 Tích phân phép đổi biến Tìm  x dx x  2 Giải Đặt u  x  Khi du  3x dx ,  x dx x 2    du u (sử dụng đổi biến) 1 u 4 5 u du  C 3 4 4  x  C 12    Với tất tích phân bất định, bạn kiểm tra kết cách tìm đạo hàm kết vừa tính để xem có với hàm dấu tích phân khơng Chẳng hạn, d dx   x 2  12    4    C    4 x   12     3x  5   0   x x2  2 ■ Ví dụ 7.2 Đưa dạng tích phân biết phép đổi biến Tìm t dt  1t4 Giải Ta ý tương tự tích phân tính tích phân cho hàm ngược hàm sin, ta đặt u  t Khi du  2tdt   tdt 1t4   sin1 u  C du    u2 du  u2  sin1 t  C ■ Phương pháp đổi biến (mục 5.5) quan trọng, nhiều kỹ thuật trình bày chương sử dụng kết hợp với phép đổi biến Ví dụ minh họa thêm cách đổi biến sử dụng tốn tích phân Ví dụ 7.3 Nhân với để cơng thức tích phân Tìm  sec x dx Giải Nhân hàm dấu tích phân sec x với sec x  tan x chia cho đại lượng này:  sec x dx     sec x sec x  tan x  sec x  tan x du u dx   (với u  sec x  tan x , du  sec x  sec x tan x dx )  ln u  C  ln sec x  tan x  C ■ Bạn thắc mắc lại nghĩ đến nhân chia hàm dấu tích phân sec x ví dụ với sec x  tan x Nói ta làm “nó hiệu quả” không câu trả lời thỏa đáng Tuy nhiên, kỹ thuật có từ lâu, nhân với phương pháp quan trọng tốn học để đổi dạng biểu diễn có sẵn sang dạng biểu diễn mới, nhằm giải toán dễ dàng Ví dụ 7.4 Đổi biến sau biến đổi đại số Tìm dx   ex Giải Đổi biến trực tiếp u   e khơng giải tốn: x dx  e x  du ex  u  du  ue x Đây khơng dạng thích hợp x chưa bị khử hết Thay vào đó, ta viết lại hàm dấu tích phân sau:  dx   ex   e x  dx  e x e x (nhân với 1)  e xdx e x  (đặt u  e   , du  e xdx ) x du   ln u  C u     ln e x   C   (e x   0, x , ln e x   ln e x  ) ■ Tích phân chứa số hạng có lũy thừa phân số Khi hàm dấu tích phân chứa số hạng với lũy thừa phân số, thường cách tốt chọn đổi biến x  u , với n số nguyên n dương bé mà chia hết cho tất mẫu số số mũ (đó bội chung nhỏ mẫu số) Chẳng hạn, hàm dấu tích phân chứa số hạng 14 23 x ,x ,x 16 , đổi biến x  u , 12 số nguyên dương bé chia hết cho tất 12 mẫu số số mũ 4, 3, Lợi cách giải đảm bảo lũy thừa phân số x trở thành lũy thừa nguyên u Như vậy, x 16    u 12 16  u 2, x 14    u 12 14  u 3, x    u 12  u8 Ví dụ 7.5 Đổi biến với lũy thừa phân số Tìm x 13 dx x 12 Giải Vì số nguyên bé chia hết cho mẫu số 3, nên ta đặt x  u , dx  6u 5du Ta đổi biến: x 13     2x dx x 12   u  6u 5du 13    u6 6u 3du 1u   12 (Chia 6u 5du u2  u3 6u 6  6u  6u   ) 1u 1u   6u  6u   6  du  2u  3u  6u  ln  u  C   u  12  3x 13  6x 16   ln  x 16  C (vì  x 16 (thay u  x 16 )  ) ■ 7.1.2 Sử dụng bảng tích phân Để sử dụng bảng tích phân, phân loại dạng tích phân Để dễ dàng đổi biến, ta sử dụng u biến tích phân, đặt a, b, c, m, n biểu diễn số Các dạng liệt kê phụ lục D sau: Dạng (công thức 1-29) Dạng bậc bậc hai (công thức 30-76) Các dạng bao gồm au  b; u  a ; u  a ; a  u ; au  bu  c Dạng (công thức 77-121) Các dạng bao gồm au  b ; u2  a2 ; u2 a2 ; a2  u2 Dạng lượng giác (công thức 122-167) Các dạng bao gồm sec au; csc au cos au; sin au; sinau cosau ; tan au; cot au; Dạng lượng giác ngược (công thức 168-182) Dạng mũ logarit (công thức 183-200) Các dạng bao gồm e au ; ln u Có quan niệm sai thường thấy, tính tích phân dễ có bảng sẵn, chí với bảng có sẵn số lượng lớn cơng việc Sau định dạng áp dụng, phải làm khớp toán giải với dạng áp dụng việc lựa chọn thích hợp số Ta áp dụng nhiều dạng, lấy kết để đạo hàm giống Trong bảng tích phân không ghi số C, bạn phải nhớ thêm chúng vào kết sử dụng bảng để tính tích phân Chú ý bảng phụ lục D có hai loại cơng thức Loại thứ cho công thức nguyên hàm, loại thứ hai (gọi công thức rút gọn (reduction formula)) đơn giản viết lại tích phân dạng khác Ví dụ 7.6 Tích phân sử dụng bảng tích phân  x 3  x  dx Tìm Giải Ta tính tích phân sử dụng đổi biến:  x 3  x  dx   3  u   u du     u  6u  9u du    (Nếu u   x du  dx ) u 6u 9u   C 8 6 3  x   3  x     x   C  Mặc dù ví dụ khơng q khó, nhàm chán, ta nghĩ cách tìm tích phân việc sử dụng bảng tích phân Đây tích phân chứa dạng au  b ; ta tìm công thức 32 với u  x , a  1, b  3, n  3  x   3 3  x  x  x dx     3 5  31 5  21  53 2 32   x  1  5  11 6 3  x   3  x     x   C  C ■ Ví dụ 7.7 Tích phân sử dụng cơng thức rút gọn từ bảng tích phân Tìm  ln x  dx Giải Hàm dấu tích phân có dạng logarit; từ bảng tích phân ta thấy áp dụng cơng thức 198, phụ lục D, với u  x , n  Công thức công thức rút gọn (reduction formula) ta tính tích phân cho trước qua tích phân dạng với lũy thừa thấp  ln x  dx  x ln x    ln x  dx 4 1 4 31    x ln x   x ln x    ln x  dx    (công thức 198) (công thức 198)  x ln x   4x ln x   12  ln x  dx 4    x ln x   4x ln x   12 x ln x   2x ln x  2x   C    x ln x   4x ln x   12x ln x   24x ln x  24x  C (công thức 197) ■ Chú ý từ ví dụ ta ghi số C sau tính tích phân cuối (thay ghi số C 1, C 2,  tích phân tích được, C1  C    C số bất kỳ) Thông thường ta cần đổi biến trước sử dụng cơng thức tích phân, điều ví dụ sau Ví dụ 7.8 Sử dụng bảng tích phân sau đổi biến Tìm  x dx  5x Giải Tích phân có dạng a  u , khơng thực khớp hồn tồn với cơng thức bảng Tuy nhiên, ngoại trừ hệ số 5, giống cơng thức 111 Đặt u  5x , du  dx :  xdx  5x u    du 1 5  u2 udu  u2      u C  (công thức 111 với a  )  5x C ■ Đối với ví dụ 8, bạn đặt u   5x , du  10xdx : xdx   5x du 10   u 1 2du   2u  C    5x  C 10  10 u     Kết giống với kết tính Tính tốn để nhấn mạnh bạn nên thử phương pháp tích phân đơn giản trước dùng bảng tích phân Ví dụ 7.9 Tích phân bảng Tìm  5x 3x  dx Giải Tích phân tương tự cơng thức 87  5x  u  du 3x  dx  5   u    u   2x 3x   24    32  32 3x du  3dx ) (công thức 87 với a  ) u  du  2  u u    3   (Nếu u    u u 1   ln u  u  12   C 8    2   x 3x  12   ln     3x  3x    C   ■ 7.2 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 7.2.1 Cơng thức tích phân phần Nhớ lại cơng thức vi phân tích Nếu u v hàm khả vi d uv   udv  vdu Tích phân hai vế phương trình để tìm cơng thức cho tích phân phần:  d uv    udv   vdu uv   udv   vdu Viết lại phương trình cuối, ta cơng thức tổng qt sau CƠNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN  u dv  uv   v du Ví dụ 7.10 Tích phân phần Tìm  xe x dx Giải Để sử dụng tích phân phần, ta chọn u dv cho tích phân dễ tính tích phân ban đầu du  dx u  x   Đặt  ,  Khi x dv  e dx v   e xdx  e x    xe x dx  x e x   e x dx  xe x  e x  C Bạn kiểm tra lại kết cách đạo hàm kết quả, sử dụng phần mềm, sử dụng bảng tích phân phụ lục D (công thức 184, với a  ) ■ Tích phân phân thường khó lần đầu bạn thử làm, khơng có lựa chọn tuyệt đối cho u dv Trong ví dụ 1, bạn chọn   du  e xdx u  e x   Đặt    x2  dv  x dx v  x dx        Khi 10   N  x p 1  dx dx    lim  lim N   x p N   p   xp   N  1p N  1  N   p   lim Nếu p   p  , N 1p  N    dx x p  1p   1  N    p N   p  p 1  lim Nếu p   p  , N 1p   N    dx x p  lim N   1p N  1     p  Vì vậy, tích phân suy rộng phân kỳ p  hội tụ p  Tích phân suy rộng      p  p    xp p 1   dx Ví dụ 7.41 Tích phân suy rộng sử dụng quy tắc l’Hơpital tích phân phần Tính   xe 2 x dx Giải 47   xe 2 x dx  lim N  N  xe 2 x dx  2x  N  N  e  2 x      lim x e dx  N    2  2  0   N  xe 2x e 2x    lim   N     2 N 2 N 1  lim  Ne  e 0  N   4   N  1   lim  2N   N  e    1   lim  2N   N   2e       u  x  du  dx       2 x  x    dv  e dx v  e       2   do lim e 2 N N  l ' Hopital  0  Ví dụ 7.42 Tù Gabriel: vật thể tích hữu hạn diện tích bề mặt vơ hạn Tù Gabriel (hay kèn trumpet Torricenlli) tên đặt cho vật thể xác định xoay tròn quanh trục Ox miền khơng bị chặn phía đường thẳng , x  Hãy chứng tỏ vật thể tích hữu hạn diện tích bề mặt x vơ hạn y Giải Ta tìm thể tích V cách dùng phương pháp đĩa, hình 7.14    V    x 1 dx   lim N      lim   1   N    N N x dx 2 Ta tìm diện tích bề mặt S Bạn đổ đầy tù Gabriel với lượng sơn hữu hạn lượng sơn cần để tô màu mặt 48  S  2  f x    2   1 x4 1 dx x x4 u2  du 2u  2    lim N  N  vơ hạn  1   f  x  dx  2   dx   x x u  x u2  du u2  du  2xdx   u2    lim   ln u  u  N  u          N (công thức 97) Chúng ta định nghĩa tích phân suy rộng khoảng khơng bị chặn bên trái toàn đường thẳng thực TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI I (Mở rộng) Cho b số cố định giả sử b  f x dx tồn với t  b Khi giới hạn lim t  t nghĩa tích phân suy rộng b  f x dx b  f x dx tồn tại, ta định t  b  f x dx   b Tích phân suy rộng  f x dx lim t  b  f x dx t gọi hội tụ giới hạn số hữu hạn  phân kỳ trường hợp ngược lại Nếu tích phân   a f x dx a  f x dx hội tụ với số a đó, tích phân  suy rộng f x  toàn trục Ox định nghĩa  a    a  f x dx   f x dx   f x dx 49 Chúng ta gọi tích phân phía trái hội tụ hai tích phân phía phải hội tụ, phân kỳ trường hợp ngược lại Ví dụ 7.43 Các tích phân suy rộng Tính tích phân suy rộng sau:  a  2x 3dx b 3 dx  x  c   xe x  dx Giải  a  2x dx  lim 3 N  3 3 N   2x 3dx  lim x 2 N    dx dx b   lim   lim ln x N  N  x x  N 3 N  N    lim N 2   N     lim ln  ln N   N  Vì tích phân phân kỳ c   xe  x  xe dx    lim a  x  dx   xe x dx  xe a x b u  x dx  lim  xe x dx b  x 0 2  du  2xdx  x b 1 u 1 u e du  lim  e du  a  b  2 x a x 0  lim b a  2  2  lim  e x   lim  e x  a   b    2   1 2  1  lim   e a   lim  e b   a     2  b   1  00  2 Ví dụ 7.44 Tích phân suy rộng tới âm vơ cực a Tính   dx  x2 50 b Bạn dự đoán giá trị   dx  x2  quan hệ với tích phân suy rộng câu a Hãy chứng tỏ đoán bạn cách tính tích phân Giải 0 dx dx a   lim   lim tan1 x 2 t t  t  1x 1x  t     lim  tan1  tan1 t        t     b Vì y x   y x  , nên y  đối xứng qua trục Oy, đốn tích  x2 phân câu b gấp đơi tích phân câu a Ta có  N dx dx dx  lim    x  tlim    x N   x2  t       lim  tan1 N  tan1 0     0    N   2  Ta thấy thực tích phân lần tích phân câu a đốn Ví dụ 7.45 Tích phân suy rộng cực Tính   2e 2  d Giải   N N   2  e d   lim  e 2d   lim  e 2  N  N   2  0     lim  e 2N     N     Tích phân suy rộng hàm không bị chặn Một hàm f không bị chặn c có giá trị lớn tùy ý gần c Một cách hình học, điều xuất đường thẳng x  c tiệm cận đứng đồ thị hàm số f c, mô tả Hình 7.15 51 Nếu f khơng bị chặn c a  c  b , tích phân Riemann b  f x dx chí khơng a xác định (chỉ hàm bị chặn khả tích Riemann) Tuy nhiên, ta xác định b  f x dx tích phân suy rộng trường hợp xác định a Ta xem xét ví dụ cụ thể Cho f x   chặn x   f x dx ,  x  Khi f khơng bị x khơng xác định Tuy nhiên, f x   đoạn t,1 với t  0, Hình 7.19   x liên tục Với đoạn t,1 ta có    t dx x x 1 t dx  x   t t Cho t  theo giá trị dương ta thấy lim  t 0 t dx x    lim  t  t 0 Đây gọi tích phân suy rộng hội tụ với giá trị 2, dường có lý cho  dx x  lim  t 0 t dx x 2 52 Trong ví dụ f khơng bị chặn mút bên trái đoạn lấy tích phân, khơng bị chặn mút bên phải hay điểm đoạn lập luận tương tự áp dụng TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI II Nếu f không bị chặn a b  f x dx tồn với t t thỏa mãn a  t  b , b b  f x dx  lim  f x dx t a  a t Nếu giới hạn tồn (là số hữu hạn), ta nói tích phân suy rộng hội tụ; ngược lại, tích phân suy rộng phân kỳ Tương tự, f không bị chặn b t  f x dx tồn a với t thỏa mãn a  t  b , b t  f x dx  lim  f x dx t b a a Nếu f không bị chặn c với a  c  b , tích phân suy rộng c  f x dx a b  f x dx hội tụ c b c b a a c  f x dx   f x dx   f x dx Chúng ta nói tích phân vế trái hội tụ hai tích phân vế phải đồng thời hội tụ Nhận xét Nếu hàm liên tục khoảng mở a, b  không bị chặn điểm mút, thay đầu mút t, tính tích phân, lấy giới hạn t tiến điểm mút Mặt khác, f liên tục đoạn a, b  , trừ điểm c thuộc a, b  mà f gián   đoạn vơ hạn, viết tích phân thành b c b a a c  f x dx   f x dx   f x dx 53 Bạn cần phải lấy giới hạn để tính tích phân vế phải Ví dụ 7.46 Tích phân suy rộng điểm mút phải Tính  dx x  1 2/3 Giải Hàm f x   x  1 2 không bị chặn đầu mút phải đoạn lấy tích phân liên tục 0, t  với t mà  t  Ta có    dx t x  1 2/3 dx  lim  t 1 t x  1 3 13     lim  x  1   lim t  1  1    t 1  t 1  Vậy tích phân hội tụ có giá trị Ví dụ 7.47 Tích phân suy rộng điểm mút trái Tính   sec x dx  /2 Giải Vì hàm sec x khơng bị chặn đầu mút trái đoạn lấy tích phân liên tục  t,   với t mà  t   , nên ta có     sec x dx  lim  sec x dx  lim ln sec x  tan x   t      /2 t  t      t  lim ln 1   ln sec t  tan t         t     Vì tích phân phân kỳ Ví dụ 7.48 Tích phân suy rộng điểm Tính  x  2 1 dx Giải Bài trình bày ngồi trình bày cách làm (cột 1) đưa lỗi sai thường gặp (cột 2) 54 Đúng Sai Tích phân cho suy rộng hàm dấu Kiểu sai lầm 1: (xem tích phân suy tích phân khơng bị chặn x  Nếu tích phân rộng tích phân xác định) cho hội tụ, ta có  x  2 1 dx  t  x  2 1 dx   x  2 dx 1  lim  x  2 dx  lim  x  2 dx t 2 1 t 2 1 t 2 t 2 t    lim  x  2 dx t 2  x  2 1 t  1 1 dx  x  2 1 dx   x  2 dx  ln x   ln x  t Do hai tích phân vế phải phân kỳ nên tích phân cho phân kỳ  ln1  ln   ln  lim  ln t   ln 2  lim  x  2 dx  t 2 t 2  dx  ln x  dạng vô định, chẳng hạn    ) 1 1 Kiểu sai lầm 2: (kết tính tích phân t  lim ln x   lim  x  2 dx t  x  2 1  ln  ln  ln  ln   ln     Tiêu chuẩn so sánh hội tụ phân kỳ Đơi khó khơng thể tìm xác giá trị tích phân suy rộng, lúc quan trọng ta phải biết hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ, ta thường sử dụng kỹ thuật số để ước lượng giá trị nó, trước hết phải xác định có hội tụ hay khơng Trong trường hợp này, kết sau, phát biểu cho tích phân suy rộng loại I, hữu ích Một định lý tương tự cho tích phân suy rộng loại II đưa Định lý 7.2 Tiêu chuẩn so sánh cho tích phân suy rộng Giả sử f g hàm liên tục thỏa mãn f x   g x   với x  a Nếu   f x dx a hội tụ, tích phân   g x dx a hội tụ,   g x dx hội tụ đến giá trị a 55 Hình 7.16 nhỏ   a a  f x dx Nếu  g x dx phân kỳ   f x dx phân kỳ a Ví dụ 7.49 Tiêu chuẩn so sánh Hãy chứng tỏ tích phân  e x dx hội tụ Giải Ta khơng thể tính trực tiếp tích phân ngun hàm e x khơng biểu diễn qua hàm sơ cấp (khơng tìm nguyên hàm) Tuy nhiên, e x  e x với x  (xem hình 7.16),   t   x x x t 1 1  e dx   e dx  lim  e dx  lim e  e  e t  t  Chú ý từ hình 7.16, đồ thị hàm y  e x đồ thị hàm y  e x với x  , sử dụng định lý 7.2 ta suy   e x dx hội tụ 7.8 CÁC HÀM HYPERBOLIC VÀ CÁC HÀM NGƯỢC CỦA CHÚNG Các hàm hyperbolic hàm hyperbolic ngược giới thiệu nghiên cứu; cơng thức tích phân sử dụng phần lại tài liệu suy từ Hàm hyperbolic Trong vật lý, dây cáp nặng, dẻo (chẳng hạn dây điện) treo hai điểm có độ cao cho có hình dáng đường cong gọi xích (xem Hình 7.17), với phương trình dạng y   a x /a e  e x /a Hình 7.17 Đây số ứng dụng quan trọng liên quan đến tổng hàm mũ Mục đích mục nghiên cứu tổng hàm ngược chúng 56 Theo cách đó, hàm mà nghiên cứu tương tự hàm lượng giác, chúng có mối quan hệ tương tự dạng hyperbol mà hàm lượng giác có với đường tròn Vì lý đó, hàm gọi hàm hyperbolic Ba hàm hyperbolic sin hyperbolic (ký hiệu sinhx đọc “sin h”), cosin hyperbolic (ký hiệu coshx đọc “cos h”) tang hyperbolic (ký hiệu tanhx đọc “tan h”) Chúng định nghĩa sau CÁC HÀM HYPERBOLIC e x  e x sinh x  với x cosh x  x  e x  e x với x sinh x e x  e x  x với x cosh x e  e x Đồ thị ba hàm hình 7.18 Các tính chất định lý sau gợi ý hàm hyperbolic tương tự hàm lượng giác Định lý 7.3 Tính chất hàm hyperbolic 57 cosh2 x  sinh2 x  sinh x    sinh x cosh x   cosh x (sinh x x hàm lẻ, cosh x hàm chẵn) x    x sinh x  y   sinh x cosh y  cosh x sinh y cosh x  y   cosh x cosh y  sinh x sinh y Có thêm ba hàm hyperbolic: co-tang hyperbolic (ký hiệu cothx), sec hyperbolic (ký hiệu sechx) co-sec hyperbolic (ký hiệu cschx) Những hàm định nghĩa sau: coth x  e x  e x 2  x ; sech x   x ; csch x   x x x x cosh x sinh x e  e x e e e e CHÚ Ý KỸ THUẬT: Một số gói phần mền biểu diễn hàm dạng đơn giản e 2x  2e x 2e x coth x  2x ; sechx  2x ; cschx  2x e 1 e 1 e 1 Hai đồng thức quan trọng liên quan đến hàm là: sech2 x   tanh2 x csch2 x  coth x  Đạo hàm tích phân hàm hyperbolic Định lý 7.4 Quy tắc đạo hàm hàm hyperbolic Cho u hàm khả vi x Khi đó: d du sinh u   cosh u  dx dx d du u   sech2 u  dx dx d du sech u    sech u u  dx dx d du cosh u   sinh u  dx dx d du coth u    csch2 u  dx dx d du csch u    csch u coth u  dx dx Ví dụ 7.50 Đạo hàm liên quan đến hàm hyperbolic Tìm dy với hàm sau đây: dx a y  cosh Ax , A số   b y  x  c y  ln sinh x  Giải 58 a d d cosh Ax   sinh Ax   Ax   A sinh Ax dx dx         d  d x    sech2 x  x   2x sech2 x    dx  dx d  d c ln sinh x   sinh x    cosh x   coth x   sinh x dx dx  sinh x b Định lý 7.5 Quy tắc tích phân hàm hyperbolic  sinh x dx  cosh x  C  sech x dx  x  C  sech x x dx   sech x  C  cosh x dx  sinh x  C  csch x dx   coth x  C  csch x coth x dx   csch x  C 2 Ví dụ 7.51 Tích phân liên quan đến dạng hyperbolic Tìm tích phân sau đây:   a  cosh x sinh x dx b  x sech x dx c  x dx Giải a Đặt u  cosh x du  sinh x dx Ta có  b Đặt u  x cosh x sinh x dx   u 3du  u4  C  cosh x  C 4 du  x dx Ta có 1    x sech x  dx   sech u  du   u  C  x 2 1 C c Đặt u  cosh x du  sinh x dx Ta có  x dx   sinh x dx cosh x   du  ln u  C  ln cosh x   C u Các hàm hyperbolic ngược Các hàm hyperbolic ngược quan tâm trước hết chúng cho ta biểu diễn số tích phân dạng đơn giản Vì sinhx liên tục đơn điệu ngặt (tăng), một-một có hàm ngược, hàm ngược định nghĩa 59 y  sinh1 x x  sinh y với x y Đây gọi hàm sin hyperbolic ngược, đồ thị nhận cách lấy đối xứng đồ thị hàm y  sinh x qua đường thẳng y  x , Hình 7.19 Các hàm hyperbolic khác định nghĩa theo hàm mũ, nghĩ tới việc biểu diễn hàm hyperbolic ngược theo hàm logarit Những mối quan hệ tổng kết định lý sau Hình 7.19 Định lý 7.6 Công thức dạng logarit cho hàm hyperbolic ngược    1  x  csch 1x  ln   , x   x x     1   x  sech1 x  ln  ,  x   x   x 1 coth1 x  ln , x 1 x 1  sinh1 x  ln x  x  , x ;   cosh1 x  ln x  x  , x  1; tanh1 x  1x ln , x  1; 1x Định lý 7.7 Đạo hàm tích phân hàm hyperbolic ngược d dx d dx d dx d dx sinh u   du  u dx du cosh1 u  u  dx du tanh1 u  u 1  u dx 1 du csch1 u  u  u dx 1         d 1 du sech1 u  dx u  u dx d du coth1 u  u 1 dx  u dx         du 1u du  sinh1 u  C  cosh1 u  C u 1 du 1   u  u  C u  du 1  u  u   csch u  C du 1  u  u   sech u  C du 1   u  coth u  C u      Ví dụ 7.52 Đạo hàm liên quan đến hàm hyperbolic ngược Tìm dy với dx a y  sinh1 ax  b  b y  cosh1 sec x  ,  x   Giải 60 a d  sinh1 ax  b      dx b d dx  ax  b  d ax  b   dx a  ax  b  sec x tan x d sec x    sec x  sec2 x  dx tan2 x cosh1 sec x     ( tan x   x   ) Ví dụ 7.53 Tích phân liên quan đến hàm hyperbolic ngược Tính  dx  x2 Giải  dx  x2    sinh1 x   ln x  x   0      ln   ln  ln   61 ... 56 Đạo hàm tích phân hàm hyperbolic 58 Các hàm hyperbolic ngược 59 BÀI TẬP CHƯƠNG 62 Chương Các phương pháp tính tích phân 7.1 ƠN TẬP VỀ PHÉP ĐỔI BIẾN VÀ BẢNG TÍCH PHÂN 7.1.1... 2, b  , cách lấy đạo hàm ■ 7.2.3 Tích phân phần cho tích phân xác định 12 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN CHO TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH b b b  u dv  uv a   v du a a Ví dụ 7.14 Tích phân phần cho tích phân xác... TẮT CÁC KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN CHIẾN LƯỢC TÍNH TÍCH PHÂN Để tích phân hàm, ta xét bước sau đây: Bước Rút gọn Rút gọn hàm khả tích sử dụng quy tắc thủ tục (xem phía bìa phía sau bảng tính tích phân)