Bài giảng số 1: Quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân – CN. Vì các phép biến đổi trên là tương đương nên điều ngược lại cũng đúng.. Bài giảng đượ[r]

(1)

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Quan hệ vng góc khơng gian

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân – CN Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 1: QUAN HỆ VNG GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG

KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định nghĩa: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90 0

Nhận xét: Cho hai đường thẳng song song Đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai

Tức là: a b c b

c a



  

 



 Định lý: Nếu đường thẳng

 

d

vng góc với hai đường

thẳng cắt a b nằm mặt phẳng

 

P

vng góc với đường thẳng nằm

 

P

 Định lý ba đường vng góc: Cho đường thẳng a có hình chiếu mặt phẳng

 

P

đường thẳng a Khi ấy,

đường thẳng b nằm

 

P

vng góc với a

khi vng góc với a Tức là: ab

 

P

a

b

B CÁC VÍ DỤ MẪU

 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vng góc sử dụng việc tính góc hai đường thẳng

Phương pháp áp dụng: Để chứng minh đường thẳng a (với vtcp a) vng góc với đường thẳng b (với vtcp b), ta lựa chọn theo hướng:

Hướng 1: Chứng minh



a b 



, nhiều trường hợp sử dụng tích vơ hướng

Hướng 2: Sử dụng kết liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc hai đường thẳng

Ví dụ 1: Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác nhau

a) Chứng minh AD vng góc với BC

b) Gọi M N điểm thuộc đường thẳng AB BD cho MAk MB NDk NB

 

Tính góc hai đường thẳng MN BC

P a

b c

d

b a' a

(2)

http://baigiangtoanhoc.com Khóa học: Quan hệ vng góc không gian

Giải:

a) Cách 1: Gọi I trung điểm BC, ta có: BC IA, BCID,





AD BC  IDIA BCID BCIA BC

        

AD BC

 

Cách 2: Vì ABC, DBC cân A D nên:





BC AI

BC IAD BC AD

BC DI

 

   

  

b) Từ giả thiết MAk MB NDk NB, suy

MN AD



 



, , 90

MN BC AD BC

  

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Chứng minh rằng AO vng góc với CD

Giải:

Qua O dựng đường thẳng song song với CD, cắt BC, BD theo thứ

tự E F , M trung điểm CD suy ra:



AO CD



AOF

Ta có:

EF CD

BE BF

BC BD

OE OF

MC MD



  

 

 

 

 

 

Xét ABE ABF, ta có:

 

60

BE BF

AB chung

ABE ABF

    

 



ABE ABF

   AEAF

AEF

 cân A AOEF AOF 900 AOCD

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng:

a)      AB CD AC DB AD BC 0 Từ đó, suy tứ diện ABCD có ABCD

ACDB ADBC

b) Nếu      AB AC AC AD  AD AB ABCD, ACBD, ADBC Điều ngược lại có không?

c) Nếu ADBDCD ADB BDCCDA ADBC,

ACDB, ABCD

Giải: a) Ta có:





 

AB CD AB ADAC AB ADAB AC 

        





 

AC BDAC ADAB AC ADAC AB 

        





 

AD BC AD ABAC AD ABAD AC 

        

D B

C I

N M

F B

C A

E

N

M D

O

B

C A

(3)

Cộng theo vế

 

AB CDAC DBAD BC      

Khi đó, với điều kiện ABCD ACDB thì:

AB CD 

 

 AC DB  0 AD BC 0 ADBC

b) Ta có:     AB CD AB AD



AC



AB AD

AB AC

AB

CD

Chứng minh tương tự ta nhận được: ACBD, ADBC Vì phép biến đổi tương đương nên điều ngược lại

c) Ta có:     AD BC  AD AB



AC



AD AB

AD AC

AD

CDA

AD

ADB

AD

BC

Chứng minh tương tự ta nhận được: ACDB, ABCD

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình bình hành SAB SAD tam giác vuông tại A

a) Chứng minh SA vng góc với BC CD b) Chứng minh SA vng góc với AC BD

Giải:

a) Ta có: BC AD BC SA

AD SA



 

  



, CD AB CD SA

AB SA



 

  



b) Trên tia SA lấy điểm S cho AS AS, ta có: AB, AD trung trực SS

BS BS

  DS DSSBDS BD c c c





OS OS

  OSS cân O OA SS

   ACSA

Trong



CSS



Ox

SS

SC

S C

theo thứ tự E, F trung điểm đường, ta có ngay: EF SA

Mặt khác, SBCS BC c c c





BE

BF

BEF

cân B

OB EF

  BDSA

Ví dụ 5: Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC D  có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O Chứng minh ABOO tứ giác CDD C  hình chữ nhật

Giải:

a) Giả sử hình vng có cạnh a , ta có:





0

2

.cos 45 cos 45

2

AB OO AB AO AO AB AO AB AO

a a

   

  

        

AB OO

 

D

C B

A

E

F S

O

S'

D

C

A

B C'

D'

(4)

b) Nhận xét rằng: CDAB



C D  AB



 

C D  CD

 







 



 

, , 90

DCC DC CC  AB OO  

Từ

 

CDD C

 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc với cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, mặt phẳng trung trực

Phương pháp áp dụng: Để chứng minh hai đường thẳng a , b vng góc với nhau, ta lựa chọn một cách sau:

Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng b

Cách 2: Sử dụng định lý ba đường vng góc

Cách 3: Nếu hai đường thẳng cắt áp dụng phương pháp học hình học

phẳng

Ví dụ 6: Cho tứ diện SABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng



ABC



có

ABC vng B

Trong mặt phẳng



SAB



kẻ

AM

vng góc với

SB

M

Trên cạnh

SC lấy điểm

N cho

SM SN

SB  SC Chứng minh rằng:

a) BC



SAB



AM



SBC



b) MN 



SAB



, từ suy SB

AN

Giải: a) Ta có:





BC SA

BC SAB

BC AB

 

 

  

, AM SB AM



SBC



AM BC

 

 

  

b) Từ giả thiết: SM SN

SB  SC MNBC





MN SAB

  MNSB





SB AMN

  SB AN

Ví dụ 7: Cho hình chóp SABC có SA



ABC



, tam giác

ABC

SBC không vuông Gọi H

K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng quy

b) SC 



BHK



c) HK 



SBC



Giải: a) Gọi

 

E

AH

BC

BC AE

BC SA

  









BC SAE

  BCSE

SE

 đường cao SBCKSE

Vậy ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy E

C

B A

S

M

N

C

B A

S

H

(5)

b) Ta có: BH AC

BH SA

  









BH SAC

  BH SC

Mặt khác, ta có: BK SC Do SC 



BHK



c) Do SC 



BHK



HK

SC

Mà HK BC Do HK 



SBC



Ví dụ 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O



ABC



a) Chứng minh BC



OAH



, CA



OBH



, AB



OCH



b) Chứng minh H trực tâm ABC

c) Chứng minh 2 12 12 12

OH OA OB OC

d) Chứng minh góc ABC nhọn

Giải: a) Từ giả thiết OH 



ABC



OH

BC

Ta có: OA OB

OA OC

  









OA OBC

  OABC

Do BC



OAH



Chứng minh tương tự ta nhận CA



OBH



AB



OCH



b) Từ kết câu a) ta có: BC



OAH



BC

AH





AC OBH  ACBH

Vậy H trực tâm ABC

c) Giả sử AH cắt BC K, suy OK BC

Trong OBC vuông O, ta có: 12 12 12 OK OB OC

Trong OAK vng O, ta có: 2 12 12 12 12 12 OH OA OK OA OB OC d) Giả sử OAa, OBb, OCc

Xét ABO, BCO, ACO vuông O, ta có:

2 2 2

AB OA OB a b , BC2 OB2OC2 b2c2, AC2 OA2 OC2 a2c2

 2 2 2





2 2

cos

2 2 .

a b a c b c

AB AC BC

BAC

AB AC a b a c

    

 

  

 



BAC

 nhọn

Chứng minh tương tự, ta góc ABC ACB nhọn

Vậy góc ABC nhọn

C

B O

A

H

(6)

Ví dụ 9: Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh SAa vng góc với mặt phẳng



ABCD



a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông

b) Mặt phẳng

 

 qua A vng góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD B, C, D

Chứng minh

B D

song song với

BD

AB vng

góc với SB

Giải:

a) Ta có ngay, SAB SAD vuông A Từ giả thiết: SA



ABCD



SA

BC

Mặt khác, ta có: ABBC ABCD hình vng Suy BC



SAB



BC

SB

SBC

B

Chứng minh tương tự ta SDC vuông D b) Nhận xét rằng: SABSAD c g c





SB

SD

Trong SBD có: SB SD

SB SD

 

 B D BD

Ta có: SC 

 



SC

AB

Mà BC



SAB



BC

AB

Do đó, AB



SBC



AB

SB

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với mặt phẳng



ABCD



Gọi H, I, K hình chiếu vng góc điểm A SB, SC, SD

a) Chứng minh BC



SAB



, CD



SAD



b) Chứng minh



SAC



mặt phẳng trung trực đoạn BD

c) Chứng minh AH, AK vng góc với SC Từ suy ba thẳng AH, AI, AK chứa mặt phẳng

d) Chứng minh



SAC



mặt phẳng trung trực đoạn HK Từ suy HK

AI

e) Tính diện tích tứ giác AHIK, biết SAABa

Giải: a) Từ giả thiết SABC

Mặt khác, ta có: ABBC ABCD hình vng Suy BC



SAB



Chứng minh tương tự ta CD



SAD



b) Từ giả thiết SA



ABCD



SA

BD

Mặt khác, ta có: ACBD ABCD hình vng Do BD



SAC



O

BD

Vậy



SAC



BD

c) Từ giả thiết kết hợp với kết câu a), ta được:

B

C A

D

S

O D'

B' C'

E

B

C A

D

S

O K

H I

(7)

AH SB

AH BC

  









AH SBC

   AH SC

Chứng minh tương tự ta AK SC

Như vậy, AH, AI, AK vng góc với SC nên ba đường thẳng AH, AI, AK chứa mặt phẳng qua A vng góc với SC

d) Giả sử HK cắt AI E

Nhận xét rằng: SABSAD c g c





SH

SK

Trong SBD, ta có: SH SK

SB  SD HKBD E trung điểm HK Kết hợp với kết câu a), suy HK 



SAC



E

HK

Vậy



SAC



HK

Từ kết HK 



SAC



HK

AI

e) Ta có:

AHIK

S  AI HK

Trong SAC vuông A, ta được: 12 12 2 12 12

2

AI  SA  AC a  a

6

a AI

 

Trong SBD, ta được:

2

SH SK

SB  SD  HK đường trung bình

2

a HK

 

Vậy

2

1

2

AHIK

a a a

S  

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có I trung điểm AB Hãy tính góc cặp vectơ sau đây:

a) AB BC ĐS:





120

AB,BC 

 

b) CI AC ĐS:





150

CI , AC  

Bài 2: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc OAOBOCa. Gọi M trung điểm AB Tính góc hai vectơ OM BC

HD: Sử dụng 1





2

OM  OA OB

  

BCOCOB

  

sau sử dụng tính cosin hai vectơ từ tính

tốn để suy 120o

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

a) Hãy phân tích vectơ AC BD theo ba vectơ AB , AD A'' A

b) Tính cos(AC,' BD) từ suy AC BD vng góc với '

(8)

a) AB B’C’ ĐS:





90

AB, B' C ' 

b) AC B’C’ ĐS:





45

AC , B' C ' 

c) A’C’ B’C ĐS:





60

A' C ',B' C 

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SASBSCABACa BC a Tính góc hai đường thẳng SC AB

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SASBSC ASB BSC CSA Chứng minh rằng: a) SABC b) SB AC c) SCAB

Bài 7: Cho hình tứ diện ABCD Chứng minh AB.AC AC.AD AD.AB

BC AD BD AC CD

AB ,  ,  Điều ngược lại có khơng?

Bài 8: Cho hình tứ diện ABCD, AB vng góc với AC , AB vng góc với BD Gọi P, Q điểm thuộc đường thẳng AB, CD cho PAkPB, QC kQD ( k1) Chứng minh

AB PQ vng góc với

Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh a góc ABCB BA' B BC' 60 Tính diện tích tứ giác A’B’CD

Bài 10: Tính góc cặp đường thẳng DA BC , DB AC, DC AB tứ diện ABCD, biết DABC a, DBACb, DCABc.

Bài 11: Cho tứ diện ABCD có AB ACAD BAC BAD 60 ,0 CAD90 Gọi I J trung điểm AB CD Chứng minh rằng: