Bài giảng số 3: Quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia..  Hệ quả 2: Hai mặt[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Th.S Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 3: QUAN HỆ VNG GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Định nghĩa: Hai mặt phẳng vng góc với góc chúng 90 0

 Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc: Hai mặt phẳng gọi vng góc với hai mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Như vậy:    P  Q   a  P :a Q

 Hệ 1:

a Nếu hai mặt phẳng  P  Q vng góc với A điểm nằm  P đường

thẳng a qua A vng góc với  Q nằm  P

b Nếu hai mặt phẳng  P  Q vuông góc với đường thẳng a thuộc mặt

phẳng  P , vng góc với giao tuyến  P  Q vng góc với mặt phẳng  Q

 Hệ 2: Hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba

 Hệ 3: Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng  P có mặt phẳng  Q

vng góc với mặt phẳng  P

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi có cạnh a có SASBSCa Chứng minh rằng:

a) ABCD  SBD

b) SBD tam giác vuông

Giải:

a) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD, ta có: BD AC

Vì SAC cân S nên SO AC

Do AC SBD ABCD  SBD

P

a

Q

B

C

A

D S

(2)

b) Từ giả thiết, ta có: SAC BAC DAC

   SOOBOD

2 SO BD

 

Trong SBD trung tuyến SO thỏa mãn

SO BD nên tam giác vng S

Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC, ABD vng góc với mặt phẳng DBC Vẽ đường cao BE, DF BCD đường cao DK ACD

a) Chứng minh ABBCD

b) Chứng minh ABE  ADC DFK  ADC

c) Gọi O H trực tâm BCD ACD Chứng minh OH ACD

Giải:

a) Ta có:    

       

ABC ABD AB

ABC BCD v ABD BCD

  

 

 

 

 

AB BCD

 

b) Ta có: CD BE

CD AB

  



    

ABE CD ACD

   ABE  ADC

Ta có: DF BC DF ABC

DF AB

 

 

  

DF AC

 

Mặt khác DK AC

Suy DFKACACDDFK  ADC c) Vì ABECD nên AECD AEDK H

Ta có:    

         

ABE DFK OH

OH ACD

ABD ACD v DFK ACD

  



 



 

 

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng vng góc  P  Q có giao tuyến   Lấy A, B thuộc   lấy C P , D Q cho ACAB, BDAB AB ACBD Xác định thiết diện tứ diện

ABCD cắt mặt phẳng   qua điểm A vng góc với CD Tính diện tích thiết diện

AC ABBDa

Giải:

Để xác định tứ diện, ta thực hiện: - Trong ACD kẻ AK CD - Trong BCD kẻ HK CD Suy thiết diện AHK Ta có:

B D

A

C

E

F O

K

H

A D

C

B K

(3)

BD AC BD AB        BD ABC

  BDAH  AH BCD AH HK AHK vng H

Do

2

AHK

S  AH HK

Ta có

2 a

AH 

Vì hai tam giác CKH CBD đồng dạng nên HK CK DB  CB

6 DB CK a HK

CB

  

Vậy

2

1

2 12

AHK

a a a

S  

Ví dụ 4: Cho ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với nhau, AC ADBCBDa và CD2x Gọi I , J theo thứ tự trung điểm AB CD

a) Chứng minh IJ vng góc với AB CD b) Tính AB IJ theo a x

c) Xác định x cho ABC  ABD

Giải:

a) Xét ACD BCD, ta có:

CD chung

AC AD BC BD

      AJ BJ   JAB

 cân J IJ AB Xét CAB DAB, ta có:

AB chung

AC AD BC BD

 

  



DI CI

  ICD cân I IJ CD

b) Trong AJC vuông J, ta có:

2 2 2

AJ  AC CJ a x AJ  a2x2 Nhận xét rằng:

   

ACD BCD

ACD BCD CD

AJ CD            AJ BCD

   AJ BJ

Trong AJB vng cân J, ta có: AB AJ 2 2a2x2  

2 2 2 a x AB IJ   

c) Nhận xét rằng: ABC ABD AB

DI AB        

Do đó, để ABC  ABD điều kiện là: DI ABCDICI ICD vuông đỉnh I

C B

D

A

(4)

1 IJ CD     2 1 2 a x x 

  ax

Vậy với ax hai mặt phẳng ABC ABD vng góc với

Ví dụ 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có A 600, cạnh

2 a

SC  SC vng góc với mặt phẳng ABCD

a) Chứng minh SBD  SAC

b) Trong SCA kẻ IKSA K Hãy tính độ dài IK

c) Chứng minh BKD  900 và từ đó suy ra SAB  SAD

Giải:

a) Ta có: BD AC BD SAC

BD SC            SBD SAC  

b) Trong ABD có A 600 nên tam giác đều, BDa,

3 a

AI  ACa

Trong SAC vuông C, ta có:

 

2

2 2

3

2

a a

SA SC AC    a 

  2 a SA  

Vì hai tam giác AKI ACS đồng dạng nên IK AI SC  SA

2 SC AI a IK

SA

  

c) Trong KBD trung tuyến KI thỏa mãn:

KI  BD KBD vuông K 

90 BKD

 

Ta có: SA BD SA IK        SA KBD

  SA KB

SA KD          

   

, , 90

SAB SAD KB KD

   SAB  SAD

Ví dụ 6: Cho ABC vng A, ABa, BC2a Hai tia Bx Cy vng góc với mặt phẳng ABC nằm phía mặt phẳng Trên Bx, Cy lấy điểm B, C cho BB a, CC m

a) Với giá trị m AB C  tam giác vng?

b) Khi AB C  vuông B, kẻ AH BC Chứng minh B C H  tam giác vng Tính góc giữa hai mặt phẳng ABC AB C 

(5)

a) Kẻ B D BC  , suy B D BC2a C D  ma Với AB C , ta có: AB2 AB2BB2 a2a2 2a2,

2 2 2 2 2 2

4

AC  AC CC BC AB CC  a a m  a m ,  2

2 2

4

B C  B D C D  a  m a

Khi đó, để AB C  tam giác vng ta có trường hợp:

- AB C  tam giác vuông A, điều kiện là:

2 2

B C  AB AC 4a2m a 2 3a2 m22a2m0 - AB C  tam giác vuông B, điều kiện là:

2 2

AC B C  AB 3a2m2 4a2m a 22a2m2a - AB C  tam giác vuông C, điều kiện là:

2 2

AB B C  AC 2a2 4a2m a 23a2m2  

2

3 *

m am a

   

Phương trình  * ẩn m có biệt số 2

12 11

a a a

      nên vô

nghiệm

Vậy với m 0 m2a thỏa mãn điều kiện đề b) Trong ABC, ta có:

2

AB a

BH BC

  ,

2 a a CH BCBH  a 

Với B C H  , ta có:

2

2 2

4

a a

HB HB BB  a  ,

2

2 2 25

4

a a

HC HC CC   a  ,

 2

2 2

4

B C   a  a a  a

Suy HC2 B C 2HB2 B C H  vuông B

Gọi  ABC , AB C , ta có:

1

30

cos

1 10

ABC AB C

AB AC S

S

AB B C 

 

  

  



C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật ABa, ADa 3,SAABCD 

a) Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) với SAa ĐS: 30o b) Tìm xSA để góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 60 0 ĐS: x3a

C B

C'

A H y

x

(6)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a,

2 a

SA  SA( ABC ) Tính góc

hai mặt phẳng (ABC) (SBC) HD: Lấy I trung điểm BC, ĐS: 30

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA(ABCD), SA = x Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 60o HD: Kẻ BH SC, ĐS: x a

Bài 4: Cho tam giác vng ABC có cạnh huyền BC nằm mặt phẳng (P) Gọi , góc hợp  bởi hai đường thẳng AB, AC mặt phẳng (P) Gọi  góc hợp (ABC) (P) Chứng minh

2 2

sin   sin   sin  .

Bài 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,,  góc hợp mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC) Chứng minh cos2cos2cos21

Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, ABa,SOABCD

2 a SO .

Gọi I ,J trung điểm đoạn AD,BC Chứng minh rằng:

a) SAC  SBD b) SIJ  SBC c) SAD  SBC

Bài 7: Cho hai tam giác ACD, BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC=AD=BC=BD= a, CD = 2x Gọi I, J trung điểm AB CD

a) Tính AB, IJ theo a x

b) Với giá trị x hai mặt phẳng (ABC) (ABD) vng góc?

Bài 8: Cho hình vng ABCD Dựng đoạn thẳng AS vng góc với mặt phẳng chứa hình vng ABCD a) Hãy nêu tên mặt phẳng chứa đường thẳng SB, SC, SD vng góc với mặt phẳng (ABCD)

b) Chứng minh (SAC)(SBD)

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,SA vng góc với mặt phẳng ABCD  Gọi M ,N hai điểm hai cạnh BC ,DC cho

2

a a

BM  ,DN  . Chứng

minh hai mặt phẳng SAM SMN vng góc với

(7)

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a,

2 a

SA  SA (ABC) Tính diện tích tam giác SBC

Bài 12: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a

a) Chứng minh AC’ vng góc với hai mặt phẳng (A’BD) (B’CD’)